serie_16.Rmd

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title: "Étude de la série temporelle 16"
author: "OSMAN Ahmed"
date: "2/9/2022"
output:
  pdf_document: default
  html_document: default
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```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
library(timeSeries)
```

## Importation :

```{r}
data <- scan("serie_16.dat")

# transformation en série temporelle
x <- ts(data[-205], frequency = 12, start = c(2000, 1), end = c(2016, 12))
```

## Décomposition de la série temporelle :   

### Éstimation de la tendance m :

On crée un vecteur **`m`** tel que :    
  - les 6 premières et dernières coordonnées valent **`NA`**.   
  - sinon :
  
$$
  m_{t}=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{2} X_{t-6}+\sum_{i=t-5}^{t+5} X_{i}+\frac{1}{2} X_{t+6}\right)
$$


```{r}
# Fonction qui estime la tendance
tendance_estim <- function(X) {
  m <- rep(NA, times = length(X))
  
  for(i in 7:(length(X)-6)) 
    m[i] <- (0.5*X[i-6] + sum(X[(i-5):(i+5)]) + 0.5*X[i+6])/12
  
  return(ts(m, frequency = 12))
}

# Estimation de notre serie 
estimation_m <- tendance_estim(x)
estimation_m
```

### Estimation de la saisonnalité s :

- On crée un vecteur $w_k$ qu'on le recentra pour estimer la saisonnalité, avec $w_k$ :

$$
w_{k}=\frac{1}{17} \sum_{j=1}^{17}\left(X_{k+12(j-1)}-m_{k+12(j-1)}\right)
$$

```{r}
saisonalite_estim <- function(X) {
  m <- tendance_estim(X)
  w <- rep(NA, times = 12)
  
  for (k in 1:12) {
    ind <- k+12*((1:17)-1)
    w[k] <- mean(x[ind] - m[ind], na.rm=T)
  }
  
  s <- w - mean(w)
  s <- ts(rep(s, 15), frequency = 12)
  return(s)
}

estimation_s <- saisonalite_estim(x)
estimation_s
# plot(estimation_s)
```

### Estimation du bruit :

On estime le bruit en retranchant la tendance et la saisonnalité de notre série temporelle.

```{r, warning = FALSE}
# Bruit
estimation_z <- c(x) - c(estimation_m) - c(estimation_s)
estimation_z <- ts(estimation_z)
estimation_z

# décomposition du bruit en base train et test.
n <- length(na.omit(estimation_z))

# on choisit les 6 dernière valeurs qu'on prédira
z_test <- window(estimation_z, 187, 192)

# on prend le reste comme la base d'apprentissage
z_train <- window(estimation_z, 1, 186)
```

### Comparaison avec la fonction decompose

```{r}
dec <- decompose(x)

par(mfrow = c(3, 2))

# comparaison de la tendance m :
plot(estimation_m)
plot(dec$trend)

# comparaison de la saisonnalité s :
plot(estimation_s)
plot(dec$seasonal)

# comparaison du bruit z :
plot(estimation_z)
plot(dec$random)
```




```{r}
ts.plot(data)
#plot.ts(data)
monthplot(data)
lag.plot(rev(data), 12, layout = c(3, 4), diag.col = 2)
```

---

```{r}
dec <- decompose(x)
plot(dec)
```

```{r}
# stationnarité des résidus Z
acf(na.omit(estimation_z))

# paril qu'avec z_train 
acf(na.omit(z_train))

# acf(na.omit(dec$random))
```
  
On remarque que d'après cette figure que la stationnarité Z des résidus est bien vérifiée.

## Proposition et estimation des modèles ARMA pour le résidu
  
```{r}
par(mfrow = c(1, 2))

# Pour l'estimation de MA
acf(na.omit(estimation_z)) # MA(5)

# Pour l'estimation de AR
pacf(na.omit(estimation_z)) # AR(6)
```

D'après les graphes précédents, on peut proposer un modèle ARMA(6, 5).

On procedera par la méthode backward et on enlevera les derniers coefficients non significatifs.

```{r}
modele1 <- arima(na.omit(z_train), order = c(6, 0, 5))
modele1
```

### Testons maintenant la blancheur des résidus :

```{r}
acf(modele1$residuals)
```

On voit d'après le graphique que les résidus sont corrélés (le 19ème individu), ainsi on peut constater que les résidus ne sont pas blancs, on rejette donc le modèle.

Proposons un autre modèle : ARMA(5, 5)

```{r}
modele2 <- arima(na.omit(z_train), order = c(5, 0, 5))
modele2
```

### Testons maintenant la blancheur des résidus :

```{r}
acf(modele2$residuals)
```

On voit d’après le graphique que les résidus ne sont pas corrélés, ainsi on peut constater que les résidus sont blancs.

### Testons la significativité des coefficients

```{r}
confint(modele2)
```

On remarque bien que 0 appartient à l'intervalle de confiance des estimateurs : ar1, ar3, ar5, ma1, ma3.
ainsi ces coefficients ne sont pas significatifs.

On peut enlever le coefficient ar5 et donc proposer un nouveau modèle ARMA(4, 5)

```{r}
modele3 <- arima(na.omit(z_train), order = c(4, 0, 5))

acf(modele3$residuals)
```
  
On voit d’après le graphique que les résidus ne sont pas corrélés, ainsi on peut constater que les résidus sont blancs.


### Testons la significativité des coefficients

```{r}
confint(modele3)
```

On remarque bien que 0 n'appartient à l'intervalle de confiance des estimateurs : ar4 et ma5
ainsi ces coefficients sont pas significatifs.

On peut aussi proposer un autre modèle comme MA(5) :

```{r}
modeleMA <- arima(na.omit(z_train), order = c(0, 0, 5))

acf(modeleMA$residuals)
```

On voit d'après le graphique que les résidus sont corrélés (l'avant dernier individu), ainsi on peut constater que les résidus ne sont pas blancs, on rejette donc le modèle.

On pouvait aussi proposer un modèle AR(6) :

```{r}
modeleAR <- arima(na.omit(z_train), order = c(6, 0, 0))

acf(modeleAR$residual)
```

Les résidus ne sont pas blancs, on rejette donc le modèle.

### Conclusion

On rejette tous les modèles sauf le modèle : ARMA(4, 5) "modele3".


## Prédiction

```{r}
predict(modele3, n.ahead = 6)
z_test
```

### Prédiction des bruits

```{r}
plot(na.omit(z_train), type = "o", pch = 19)
points(predict(modele3, n.ahead = 6)$pred, col = 2, type = "o", pch = 19)
points(z_test, col = 3, type = "o", pch = 19)
```

### Prédiction de la série

```{r}
prediction <- ts(predict(modele3, n.ahead = 6)$pred, start = c(2016, 1), end = c(2016, 6), frequency = 12)

estimation_m <- ts(estimation_m, start = c(2000, 1), end = c(2016, 12), frequency = 12)
estimation_s <- ts(estimation_s, start = c(2000, 1), end = c(2016, 12), frequency = 12)

plot(window(x, start = c(2000, 1), end = c(2015, 12)), type = "o", pch = 19)
points(prediction + 
         window(estimation_s, start = c(2016, 1), end = c(2016, 6)) + 
         window(estimation_m, start = c(2016, 1), end = c(2016, 6)),
                col = 2, type = "o", pch = 19)
points(window(x, start = c(2016, 1), end = c(2016, 6)), col = 3, type = "o", pch = 19)
```

```{r}
ecart <- var(c(prediction) - c(z_test))
sqrt(ecart)
```

Si le graphe n'est pas trop clair, regarder l'image **prediction_serie_16.png** qui se trouve dans le même fichier.