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困难
1823
第 190 场周赛 Q4
数组
动态规划

1458. 两个子序列的最大点积

English Version

题目描述

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

 

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

 

提示：

  • 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
  • -1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

 

点积：

定义 a = [a1, a2,…, an] 和 b = [b1, b2,…, bn] 的点积为：

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 

这里的 Σ 指示总和符号。

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示 $\textit{nums1}$ 的前 $i$ 个元素和 $\textit{nums2}$ 的前 $j$ 个元素构成的两个子序列的最大点积。初始时 $f[i][j] = -\infty$。

对于 $f[i][j]$，我们有以下几种情况：

  1. 不选 $\textit{nums1}[i-1]$ 或者不选 $\textit{nums2}[j-1]$，即 $f[i][j] = \max(f[i-1][j], f[i][j-1])$；
  2. 选 $\textit{nums1}[i-1]$ 和 $\textit{nums2}[j-1]$，即 $f[i][j] = \max(f[i][j], \max(0, f[i-1][j-1]) + \textit{nums1}[i-1] \times \textit{nums2}[j-1])$。

最终答案即为 $f[m][n]$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是数组 $\textit{nums1}$ 和 $\textit{nums2}$ 的长度。

Python3

class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        m, n = len(nums1), len(nums2)
        f = [[-inf] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        for i, x in enumerate(nums1, 1):
            for j, y in enumerate(nums2, 1):
                v = x * y
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1], max(0, f[i - 1][j - 1]) + v)
        return f[m][n]

Java

class Solution {
    public int maxDotProduct(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
        for (var g : f) {
            Arrays.fill(g, Integer.MIN_VALUE);
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                int v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1];
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                f[i][j] = Math.max(f[i][j], Math.max(f[i - 1][j - 1], 0) + v);
            }
        }
        return f[m][n];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        int f[m + 1][n + 1];
        memset(f, 0xc0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                int v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1];
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                f[i][j] = max(f[i][j], max(0, f[i - 1][j - 1]) + v);
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

Go

func maxDotProduct(nums1 []int, nums2 []int) int {
	m, n := len(nums1), len(nums2)
	f := make([][]int, m+1)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n+1)
		for j := range f[i] {
			f[i][j] = math.MinInt32
		}
	}
	for i := 1; i <= m; i++ {
		for j := 1; j <= n; j++ {
			v := nums1[i-1] * nums2[j-1]
			f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])
			f[i][j] = max(f[i][j], max(0, f[i-1][j-1])+v)
		}
	}
	return f[m][n]
}

TypeScript

function maxDotProduct(nums1: number[], nums2: number[]): number {
    const m = nums1.length;
    const n = nums2.length;
    const f = Array.from({ length: m + 1 }, () => Array.from({ length: n + 1 }, () => -Infinity));
    for (let i = 1; i <= m; ++i) {
        for (let j = 1; j <= n; ++j) {
            const v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1];
            f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            f[i][j] = Math.max(f[i][j], Math.max(0, f[i - 1][j - 1]) + v);
        }
    }
    return f[m][n];
}

Rust

impl Solution {
    pub fn max_dot_product(nums1: Vec<i32>, nums2: Vec<i32>) -> i32 {
        let m = nums1.len();
        let n = nums2.len();
        let mut f = vec![vec![i32::MIN; n + 1]; m + 1];

        for i in 1..=m {
            for j in 1..=n {
                let v = nums1[i - 1] * nums2[j - 1];
                f[i][j] = f[i][j].max(f[i - 1][j]).max(f[i][j - 1]);
                f[i][j] = f[i][j].max(f[i - 1][j - 1].max(0) + v);
            }
        }

        f[m][n]
    }
}