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<title>[Fórmulas] Curso de Relatividad General de Javier García</title>
<meta name="description" content="Repositorio de fórmulas para el Curso de Relatividad General de Javier García">
<meta name="author" content="Raúl J. Vila">
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de <a target="_blank" href="https://www.youtube.com/user/jamesjamesbondbond">Javier García</a>
</h1>
<h3><a href="https://github.com/Crul/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia">Repositorio en GitHub</a></h3>
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<a href="#capitulo-1">Capítulo 1</a>
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<a href="#capitulo-3">Capítulo 3</a>
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<a href="#capitulo-4">Capítulo 4</a>
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<li>
<a href="#capitulo-5">Capítulo 5</a>
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<a href="#capitulo-6">Capítulo 6</a>
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<li>
<a href="#capitulo-7">Capítulo 7</a>
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<li>
<a href="#capitulo-8">Capítulo 8</a>
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<a href="#capitulo-9">Capítulo 9</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-16">Capítulo 16</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=SxFczZoSx_0&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-16-apendice-1">Apéndice 1</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-17">Capítulo 17</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=6LAR2_BqaWc&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-18">Capítulo 18</a>
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</li>
<li>
<a href="#capitulo-19">Capítulo 19</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=ToFujBeddL4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-20">Capítulo 20</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=RDFfgMXX12I&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-21">Capítulo 21</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=wdumXfxnJRI&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-22">Capítulo 22</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=6b7q9Di3DII&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-23">Capítulo 23</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=ejZ2cmkc69g&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-24">Capítulo 24</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=b3s3gvi82fM&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-25">Capítulo 25</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=EZDM9aolHv8&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-26">Capítulo 26</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=XAioMiHRRLI&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-27">Capítulo 27</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=cQdRXSHaJJY&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-28">Capítulo 28</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=9ghyV-o2T5k&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-29">Capítulo 29</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=waBCfk9RsD4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-30">Capítulo 30</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=-LrBi94odOQ&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-31">Capítulo 31</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=bhNoPCgt9vU&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#seminario-parte-1">Seminario P-1</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=nLgTPM2xaIE&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#seminario-parte-2">Seminario P-2</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=iRPsRp9eWi4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#seminario-parte-3">Seminario P-3</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=X8xzRWaSQcE&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-area-cono">Área Cono</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=5_daHqE4ZqI&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-area-toro">Área Toro</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=090iUT_Pvdo&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-32">Capítulo 32</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=a3uX0_vgZQQ&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-33">Capítulo 33</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=KmLALbf_4Bs&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#maxima">Maxima</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=8AJVcDtl2a4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-34">Capítulo 34</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=BCd_kfvIEAs&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-35">Capítulo 35</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=0OajKVuqaww&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-36">Capítulo 36</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=S8TI4yFAG00&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-37">Capítulo 37</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=HGL9q8jDWYw&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-38">Capítulo 38</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=EJATEyvRlVI&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-39">Capítulo 39</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=s7FTEy8F3Ic&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-40">Capítulo 40</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=kZoLFzKkHXs&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-41">Capítulo 41</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=dR3z7H2A7oQ&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-42">Capítulo 42</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=kXBsFVugS2E&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-43">Capítulo 43</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=CWTVzMPiZOE&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-44">Capítulo 44</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=LY_4hO9uF-4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-45">Capítulo 45</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=g-P2aTiKykI&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-46">Capítulo 46</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=cB3Rx-19SkE&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-47">Capítulo 47</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=3d88IVE1eME&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-48">Capítulo 48</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=MkNmZnCt4zc&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-49">Capítulo 49</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=7p_qoHZD62A&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-50">Capítulo 50</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=B6tzPhAli7g&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-51">Capítulo 51</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=3z_jrDwGePY&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-52">Capítulo 52</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=ZwSEOmRU_f0&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-53">Capítulo 53</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=aU1J3NvWQZM&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-54">Capítulo 54</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=w4J5AegxHcU&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-55">Capítulo 55</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=gXWDTXD-Enw&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-56">Capítulo 56</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=OpG3H-KW1us&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-57">Capítulo 57</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=LtWJoaYRGvk&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-58">Capítulo 58</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=XXEfE4bezlk&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-59">Capítulo 59</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=HI3m80zLo24&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-60">Capítulo 60</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=a-7iAwEcYk4&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-61">Capítulo 61</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=jcJ25m6UNZA&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-62">Capítulo 62</a>
<a target="_blank" href="https://www.youtube.com/watch?v=uTM7fD-gQ5E&list=PLAnA8FVrBl8DF03y6o-AIYPLK12F1IA25">►</a>
</li>
<li>
<a href="#capitulo-63">Capítulo 63</a>
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</li>
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Apuntes transcritos (capítulos 1 al 17) por Sergio Hidalgo (PDF)
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</a>
</div>
<h2 id="capitulo-1"><a href="#capitulo-1" class="formulas-title">Capítulo 1</a></h2>
<div class="capitulo-1 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.1) Base de T<sub>p</sub>M
</span>
<span class="formula">
\{e_1, e_2, ..., e_N\}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.2) Métrica de T<sub>p</sub>M
</span>
<span class="formula">
g_{ij} = e_i \cdot e_j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.3) Longitud <br/>
infinitesimal de una curva
</span>
<span class="formula">
ds = \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.4) Parametrización <br/>
de una curva
</span>
<span class="formula">
x^i \left( \lambda \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.5) Longitud infinitesimal<br/>
de una curva (parametrizada)
</span>
<span class="formula">
ds = \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(1.6) Longitud de una curva (parametrizada)
</span>
<span class="formula">
s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \sqrt{g_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda}} d \lambda
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-2"><a href="#capitulo-2" class="formulas-title">Capítulo 2</a></h2>
<div class="capitulo-2 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.1) Inversa de la métrica
</span>
<span class="formula">
g^{ij} = \left( g^{-1} \right)_{ij}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(2.2) Base dual
</span>
<span class="formula">
e^i \cdot e_j = \delta^i_j
</span>
<span class="formula">
e^i = g^{ij} e_j
</span>
<span class="formula">
e_i = g_{ij} e^j
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-3"><a href="#capitulo-3" class="formulas-title">Capítulo 3</a></h2>
<div class="capitulo-3 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(3.1) Transformación <br/>
de coordenadas
</span>
<span class="formula">
x^{i'} = x^{i'} \left( x^j \right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(3.2) Base coordenada
</span>
<span class="formula">
e_{i'} = \frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} e_j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(3.3) Base coordenada dual
</span>
<span class="formula">
e^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} e^j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(3.4)
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j}
\frac{\partial x^j}{\partial x^{j'}}
= \delta_{j'}^{i'}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(3.5)
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}}
\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^j}
= \delta_j^i
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-4"><a href="#capitulo-4" class="formulas-title">Capítulo 4</a></h2>
<div class="capitulo-4 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(4.1) Transformación de <br/>
componentes de un vector
</span>
<span class="formula">
A^{i'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} A^j
</span>
<span class="formula">
A_{i'}=\frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} A_j
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-5"><a href="#capitulo-5" class="formulas-title">Capítulo 5</a></h2>
<div class="capitulo-5 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.1) Producto tensorial de <br/>
espacios vectoriales
</span>
<span class="formula">
T_pM \otimes T_pM
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.2) Base del producto tensorial <br/>
de espacios vectoriales
</span>
<span class="formula">
\{ e_i \otimes e_j \}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.3) Base dual del producto tensorial <br/>
de espacios vectoriales
</span>
<span class="formula">
\{ e^i \otimes e^j \}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.4) Bases mixtas del producto tensorial <br/>
de espacios vectoriales
</span>
<span class="formula">
\{ e_i \otimes e^j \} \quad \{ e^i \otimes e_j \}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.5) Tensor de rango 2 tipo (0,2)
</span>
<span class="formula">
\mathbb{T} = T_{ij} e^i \otimes e^j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.6) Tensor de rango 2 tipo (2,0)
</span>
<span class="formula">
\mathbb{T} = T^{ij} e_i \otimes e_j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.7) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1)
</span>
<span class="formula">
\mathbb{T} = {T^i}_j e_i \otimes e^j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.8) Tensor mixto de rango 2 tipo (1,1)
</span>
<span class="formula">
\mathbb{T} = {T_i}^{\space j} e^i \otimes e_j
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.9) Producto escalar de Tensores
</span>
<span class="formula">
\mathbb{T} \bullet \mathbb{M}
= \left( T_{ij}e^i \otimes e^j \right)
\bullet \left( M_{kl} e^k \otimes e^l \right)
= T_{ij} M_{kl} g^{ik} g^{jl}
= T_{ij} M^{ij}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.10) Contracción de un <br/>
tensor con un vector
</span>
<span class="formula">
T_{ij} A^i
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.11) Subida y bajada de <br/>
índices de un tensor
</span>
<span class="formula">
A^i = g^{ij} A_j
</span>
<span class="formula">
A_i = g_{ij} A^j
</span>
<span class="formula">
T_{mjk} = g_{im} {T^i}_{jk}
</span>
<span class="formula">
{T^i}_j \space^m = g^{km} {T^i}_{jk}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(5.12) Transformación de <br/>
componentes de un tensor
</span>
<span class="formula">
T_{i'j'} =
\frac{\partial x^k}{\partial x^{i'}}
\frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}}
T_{km}
</span>
<span class="formula">
{T^{i'}}_{j'} =
\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k}
\frac{\partial x^m}{\partial x^{j'}}
{T^k}_m
</span>
<span class="formula">
T^{i'j'} =
\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^k}
\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^m}
T^{km}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-6"><a href="#capitulo-6" class="formulas-title">Capítulo 6</a></h2>
<div class="capitulo-6 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula">
I \left[ x^i \left( \lambda \right) \right]
=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}
f\left( x^i, \frac{dx^i}{d\lambda} \right) d\lambda
</span>
<span class="formula-titulo">
(6.1) Ecuaciones Euler-Lagrange
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial f}{\partial x^i}
= \frac{d}{d \lambda}
\left(
\frac
{\partial f}
{\partial
\left(
\frac{dx^i}{d \lambda}
\right)
}
\right)
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-7"><a href="#capitulo-7" class="formulas-title">Capítulo 7</a></h2>
<div class="capitulo-7 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="no-formula">
No hay fórmulas
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-8"><a href="#capitulo-8" class="formulas-title">Capítulo 8</a></h2>
<div class="capitulo-8 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(8.1)
</span>
<span class="formula">
u^i \equiv \frac{dx^i}{ds}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(8.2) Geodésicas
</span>
<span class="formula">
\frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi}
\left(
\partial_k g_{ip}
+ \partial_p g_{ik}
- \partial_i g_{kp}
\right)
u^k u^p
= 0
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-9"><a href="#capitulo-9" class="formulas-title">Capítulo 9: Ejercicio</a></h2>
<div class="capitulo-9 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(9.1) Propuesta de ejercicio <br/>
Escribir (no resolver) las ecuaciones de las geodésicas
</span>
<span class="formula">
x^1 = x
</span>
<span class="formula">
x^2 = y
</span>
<span class="formula">
g = \begin{pmatrix}
-1 - \frac{b}{y} & 0 \\
0 & \frac{1}{1 + \frac{b}{y}}
\end{pmatrix}
</span>
<span class="formula">
\frac{du^m}{ds} + \tfrac{1}{2} g^{mi}
\left(
\partial_k g_{ip}
+ \partial_p g_{ik}
- \partial_i g_{kp}
\right)
u^k u^p
= 0
</span>
<span class="formula-titulo">
En donde:
</span>
<span class="formula">
u^1 = \frac{dx^1}{ds} \equiv \frac{dx}{ds}
</span>
<span class="formula">
u^2 = \frac{dx^2}{ds} \equiv \frac{dy}{ds}
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-10"><a href="#capitulo-10" class="formulas-title">Capítulo 10: Solución Ejercicio</a></h2>
<div class="capitulo-10 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(10.1) Solución al ejercicio del Capítulo 9
</span>
<span class="spoiler-btn">
Click para mostrar la solución
</span>
<span class="formula spoiler">
\ddot{x}
- \frac{b}{ \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2}
\dot{x} \dot{y} = 0
</span>
<span class="formula spoiler">
\ddot{y}
- \frac{b}{2y^2} \left(1 + \frac{b}{y} \right) \left( \dot{x} \right) ^2
+ \frac{b}{ 2 \left( 1 + \frac{b}{y} \right) y^2}
\left( \dot{y} \right) ^2 = 0
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-11"><a href="#capitulo-11" class="formulas-title">Capítulo 11: Transporte Paralelo (1/3)</a></h2>
<div class="capitulo-11 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.1) Coordenadas esféricas
</span>
<span class="formula">
x = R \sin \theta \cos \phi
</span>
<span class="formula">
y = R \sin \theta \sin \phi
</span>
<span class="formula">
z = R \cos \theta
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.2) Base coordenada en coordenadas esféricas
</span>
<span class="formula">
e_R = \sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y + \cos \theta e_z
</span>
<span class="formula">
e_{\theta} = R \cos \theta \cos \phi e_x + R \cos \theta \sin \phi e_y - R \sin \theta e_z
</span>
<span class="formula">
e_{\phi} = -R \sin \theta \sin \phi e_x + R \sin \theta \cos \phi e_y
</span>
<span class="formula-titulo">
a la inversa
</span>
<span class="formula">
e_x = \cos \phi \sin \theta e_R
+ \frac{1}{R} \cos \theta \cos \phi e_\theta
- \frac{1}{R} \frac{\sin \phi}{\sin \theta} e_\phi
</span>
<span class="formula">
e_y = \sin \phi \sin \theta e_R
+ \frac{1}{R} \cos \theta \sin \phi e_\theta
+ \frac{1}{R} \frac{\cos \phi}{\sin \theta} e_\phi
</span>
<span class="formula">
e_z = \cos \theta e_R - \frac{1}{R} \sin \theta e_\theta
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.3) Métrica en coordenadas esféricas
</span>
<span class="formula">
g_{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & R^2 & 0 \\
0 & 0 & R^2 \sin^2 \theta
\end{pmatrix}
</span>
<span class="formula-titulo">
(11.4) Inversa de la métrica en coordenadas esféricas
</span>
<span class="formula">
g^{ij} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{R^2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{R^2 \sin^2 \theta}
\end{pmatrix}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.5) Base dual en coordenadas esféricas
</span>
<span class="formula">
e^R = e_R
</span>
<span class="formula">
e^{\theta} = \frac{1}{R^2} e_{\theta}
</span>
<span class="formula">
e^{\phi} = \frac{e_{\phi}}{R^2 \sin^2 \theta}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.6) Símbolos de Christoffel
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial e_i}{\partial x^j} \equiv \Gamma^k_{ij} e_k
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial e^i}{\partial x^j} \equiv -\Gamma^i_{jk} e^k
</span>
<span class="formula-titulo">
Para coordenadas esféricas:
</span>
<span class="formula">
\Gamma^R_{\theta \theta} = - R
</span>
<span class="formula">
\Gamma^{\theta}_{\phi \phi} = - \sin \theta \cos \theta
</span>
<span class="formula">
\Gamma^{\phi}_{\phi \theta} = \Gamma^{\phi}_{\theta \phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
</span>
<span class="formula">
\Gamma^R_{\phi \phi} = - R \sin^2 \theta
</span>
<span class="formula">
\Gamma^{\theta}_{\theta R} = \Gamma^{\theta}_{R \theta} =\Gamma^{\phi}_{\phi R} =\Gamma^{\phi}_{R \phi} = \frac{1}{R}
</span>
<span class="formula">
\text{ resto } \Gamma^k_{ij} = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(11.7) Derivada covariante (Definición)
</span>
<span class="formula">
\nabla_i A^k \equiv
\frac{\partial A^k}{\partial x^i}
+ \Gamma^k_{ij} A^j
</span>
<span class="formula">
\nabla_i A_k \equiv
\frac{\partial A_k}{\partial x^i}
- \Gamma^j_{ik} A_j
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-12"><a href="#capitulo-12" class="formulas-title">Capítulo 12: Transporte Paralelo (2/3)</a></h2>
<div class="capitulo-12 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.1) Derivada de un vector <br/>
a lo largo de una trayectoria
</span>
<span class="formula">
\frac{d \vec{A}}{d \lambda}
= \left( u^i \nabla_i A^k \right) e_k
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.2) S<sup>2</sup> (Esferalandia) <br/>
Coordenadas:
</span>
<span class="formula">
\{ \theta, \phi \}
</span>
<span class="formula-titulo">
Base
</span>
<span class="formula">
\{ e_{\theta}, e_{\phi} \}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.3) Métrica de S<sup>2</sup>
</span>
<span class="formula">
g = \begin{pmatrix}
R^2 & 0 \\
0 & R^2 \sin^2 \theta
\end{pmatrix}
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.4) Símbolos de Christoffel de S<sup>2</sup>
</span>
<span class="formula">
\Gamma_{\phi \phi}^{\theta} = - \sin \theta \cos \theta
</span>
<span class="formula">
\Gamma_{\phi \theta}^{\phi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
</span>
<span class="formula">
\text{ resto } \Gamma_{ij}^k = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(12.5) Campo transportado
</span>
<span class="formula formula-texto">
\vec{A} \text{ será un campo transportado paralelamente }
</span>
<span class="formula formula-texto">
\text{ en la trayectoria }
\theta \left( \lambda \right) \phi \left( \lambda \right)
\text{ si cumple: }
</span>
<span class="formula">
u^i \nabla_i A^k = 0
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-13"><a href="#capitulo-13" class="formulas-title">Capítulo 13: Transporte Paralelo (3/3)</a></h2>
<div class="capitulo-13 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.1) Transporte paralelo
</span>
<span class="formula">
\frac{du^\alpha}{ds} + \Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} u^\gamma u^\delta = 0
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.2) Conexión métrica
</span>
<span class="formula">
\Gamma_{\gamma \delta}^{\alpha} = \tfrac{1}{2} g^{\alpha \beta}
\left(
\partial_\gamma g_{\beta \delta}
+ \partial_\delta g_{\beta \gamma}
- \partial_\beta g_{\gamma \delta}
\right)
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(13.3) Teorema
</span>
<span class="formula">
\text{ Conexión métrica } \Gamma \Leftrightarrow \nabla g = 0
</span>
</div>
</div>
<h2 id="capitulo-14"><a href="#capitulo-14" class="formulas-title">Capítulo 14: Derivada Covariante de un Tensor</a></h2>
<div class="capitulo-14 formulas">
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(14.1) Derivada de un vector<br>
respecto a una coordenada
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial e_\alpha}{\partial x^\beta} =
\Gamma_{\beta \alpha}^\gamma e_\gamma
</span>
<span class="formula">
\frac{\partial e^\alpha}{\partial x^\beta} =
- \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha e^\gamma
</span>
</div>
<div class="grupo-formulas">
<span class="formula-titulo">
(14.2) Derivada covariante de un Tensor tipo (2,0)
</span>
<span class="formula">
\nabla_\gamma T^{\alpha \beta} \equiv
\partial_\gamma T^{\alpha \beta}
+ \Gamma_{\sigma \gamma}^\alpha T^{\sigma \beta}
+ \Gamma_{\delta \gamma}^\beta T^{\alpha \delta}
</span>
<span class="formula-titulo">
(14.3) Derivada covariante de un Tensor tipo (0,2)
</span>
<span class="formula">
\nabla_\gamma T_{\alpha \beta} \equiv
\partial_\gamma T_{\alpha \beta}
- \Gamma_{\alpha \gamma}^\sigma T_{\sigma \beta}
- \Gamma_{\beta \gamma}^\delta T_{\alpha \delta}
</span>
<span class="formula-titulo">