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#NAME dk_logic.
(; Impredicative prop ;)
prop : cc.uT.
def Prop : Type := cc.eT prop.
ebP : cc.eT dk_bool.bool -> Prop.
def True : Prop := ebP dk_bool.true.
def False : Prop := ebP dk_bool.false.
imp : Prop -> Prop -> Prop.
def not : Prop -> Prop
:= f : Prop => imp f False.
and : Prop -> Prop -> Prop.
or : Prop -> Prop -> Prop.
def eqv : Prop -> Prop -> Prop
:= f1 : Prop => f2 : Prop => and (imp f1 f2) (imp f2 f1).
forall : A : cc.uT -> (cc.eT A -> Prop) -> Prop.
exists : A : cc.uT -> (cc.eT A -> Prop) -> Prop.
def eeP : Prop -> cc.uT.
def eP : Prop -> Type
:= f : Prop => cc.eT (eeP f).
[f1,f2] eeP (imp f1 f2) --> cc.Arrow (eeP f1) (eeP f2)
[f1,f2] eeP (and f1 f2) --> dk_type.prod (eeP f1) (eeP f2)
[f1,f2] eeP (or f1 f2) --> dk_type.sum (eeP f1) (eeP f2)
[A,f] eeP (forall A f) --> cc.Pi A (x : cc.eT A => eeP (f x))
[A,f] eeP (exists A f) --> dk_type.sigma A (x : cc.eT A => eeP (f x)).
def TrueT : Type := eP True.
def FalseT : Type := eP False.
I : TrueT.
False_elim : A : cc.uT -> FalseT -> cc.eT A.
def and_intro (f1 : Prop) (f2 : Prop) : eP f1 -> eP f2 -> eP (and f1 f2)
:= dk_tuple.cpl (eeP f1) (eeP f2).
def and_elim1 (f1 : Prop) (f2 : Prop) :
eP (and f1 f2) -> eP f1
:= dk_tuple.fst (eeP f1) (eeP f2).
def and_elim2 (f1 : Prop) (f2 : Prop) :
eP (and f1 f2) -> eP f2
:= dk_tuple.snd (eeP f1) (eeP f2).
def or_intro1 (f1 : Prop) (f2 : Prop) :
eP f1 -> eP (or f1 f2)
:= dk_type.left (eeP f1) (eeP f2).
def or_intro2 (f1 : Prop) (f2 : Prop) :
eP f2 -> eP (or f1 f2)
:= dk_type.right (eeP f1) (eeP f2).
def or_elim (f1 : Prop)
(f2 : Prop)
(f3 : Prop) :
eP (or f1 f2) ->
eP (imp f1 f3) ->
eP (imp f2 f3) ->
eP f3
:= dk_type.sum_elim (eeP f1) (eeP f2) (eeP f3).
(; cut elimination ;)
f1 : Prop.
f2 : Prop.
H1 : eP f1.
H2 : eP f2.
#CONV and_elim1 f1 f2 (and_intro f1 f2 H1 H2), H1.
#CONV and_elim2 f1 f2 (and_intro f1 f2 H1 H2), H2.
f3 : Prop.
H13 : eP (imp f1 f3).
H23 : eP (imp f2 f3).
#CONV or_elim f1 f2 f3 (or_intro1 f1 f2 H1) H13 H23, H13 H1.
#CONV or_elim f1 f2 f3 (or_intro2 f1 f2 H2) H13 H23, H23 H2.
def eqv_intro := f1 : Prop =>
f2 : Prop =>
and_intro (imp f1 f2) (imp f2 f1).
def eqv_elim1 := f1 : Prop =>
f2 : Prop =>
and_elim1 (imp f1 f2) (imp f2 f1).
def eqv_elim2 := f1 : Prop =>
f2 : Prop =>
and_elim2 (imp f1 f2) (imp f2 f1).
def imp_transfer :
b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.imp b1 b2)) ->
eP (imp (ebP b1) (ebP b2))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (forall dk_bool.bool
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP (dk_bool.imp b1 b2))
(imp (ebP b1) (ebP b2)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP b2) =>
I : TrueT =>
H)
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
I : TrueT =>
H : FalseT =>
False_elim (eeP (ebP b2)) H).
def and_transfer :
b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.and b1 b2)) ->
eP (and (ebP b1) (ebP b2))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (forall dk_bool.bool
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP (dk_bool.and b1 b2))
(and (ebP b1) (ebP b2)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP b2) =>
and_intro True (ebP b2) I H)
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : FalseT =>
False_elim (eeP (and False (ebP b2))) H).
def not_transfer :
b : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.not b)) ->
eP (not (ebP b))
:=
dk_bool.match
(b : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (imp
(ebP (dk_bool.not b))
(not (ebP b))))
(H : FalseT => I : TrueT => H)
(I : TrueT => H : FalseT => H).
def eqv_transfer :
b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.eqv b1 b2)) ->
eP (eqv (ebP b1) (ebP b2))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (forall dk_bool.bool
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP (dk_bool.eqv b1 b2))
(eqv (ebP b1) (ebP b2)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP b2) =>
eqv_intro
True
(ebP b2)
(I : TrueT => H)
(H : eP (ebP b2) => I))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP (dk_bool.not b2)) =>
eqv_intro
False
(ebP b2)
(False_elim (eeP (ebP b2)))
(not_transfer b2 H)).
def or_transfer :
b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.or b1 b2)) ->
eP (or (ebP b1) (ebP b2))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (forall dk_bool.bool (b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP (dk_bool.or b1 b2))
(or (ebP b1) (ebP b2)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
or_intro1 True (ebP b2))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
or_intro2 False (ebP b2)).
def bool_eqv_refl : b : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.eqv b b))
:= dk_bool.match
(b : cc.eT dk_bool.bool => eeP (ebP (dk_bool.eqv b b)))
I
I.
def bool_and_elim1 : b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.and b1 b2)) ->
eP (ebP b1)
:=
b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP (dk_bool.and b1 b2)) =>
and_elim1
(ebP b1)
(ebP b2)
(and_transfer b1 b2 H).
def bool_and_elim2 : b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.and b1 b2)) ->
eP (ebP b2)
:=
b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP (dk_bool.and b1 b2)) =>
and_elim2
(ebP b1)
(ebP b2)
(and_transfer b1 b2 H).
def bool_or_true : b : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.or b dk_bool.true))
:=
dk_bool.match
(b : cc.eT dk_bool.bool => eeP (ebP (dk_bool.or b dk_bool.true)))
I
I.
def bool_or_false : b : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP b) ->
eP (ebP (dk_bool.or b dk_bool.false))
:=
dk_bool.match
(b : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (
imp (ebP b)
(ebP (dk_bool.or b dk_bool.false))))
(I : TrueT => I)
(H : FalseT => H).
def bool_or_sym : b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP (dk_bool.or b1 b2)) ->
eP (ebP (dk_bool.or b2 b1))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (
forall dk_bool.bool (b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP (dk_bool.or b1 b2))
(ebP (dk_bool.or b2 b1)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
I : TrueT =>
bool_or_true b2)
bool_or_false.
def bool_or_intro1 : b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP b1) ->
eP (ebP (dk_bool.or b1 b2))
:=
dk_bool.match
(b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
eeP (
forall dk_bool.bool
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
imp (ebP b1) (ebP (dk_bool.or b1 b2)))))
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
I : TrueT =>
I)
(b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
False_elim (eeP (ebP b2))).
def bool_or_intro2 : b1 : cc.eT dk_bool.bool ->
b2 : cc.eT dk_bool.bool ->
eP (ebP b2) ->
eP (ebP (dk_bool.or b1 b2))
:=
b1 : cc.eT dk_bool.bool =>
b2 : cc.eT dk_bool.bool =>
H : eP (ebP b2) =>
bool_or_sym b2 b1 (bool_or_intro1 b2 b1 H).
def if_uT : b : dk_bool.Bool ->
cc.uT ->
cc.uT ->
cc.uT.
[A] if_uT dk_bool.true A _ --> A
[B] if_uT dk_bool.false _ B --> B.
def booltype_if_elim : b : cc.eT dk_bool.bool ->
A : cc.uT ->
B : cc.uT ->
eP (ebP b) ->
cc.eT (if_uT b A B) ->
cc.eT A.
[a] booltype_if_elim dk_bool.true _ _ _ a --> a
[A,H] booltype_if_elim dk_bool.false A _ H _ --> False_elim A H.
def booltype_if_intro : b : cc.eT dk_bool.bool ->
A : cc.uT ->
B : cc.uT ->
eP (ebP b) ->
cc.eT A ->
cc.eT (if_uT b A B).
[a] booltype_if_intro dk_bool.true _ _ _ a --> a
[B,H] booltype_if_intro dk_bool.false _ B H _ --> False_elim B H.
def booltype_ifnot_elim : b : cc.eT dk_bool.bool ->
A : cc.uT ->
B : cc.uT ->
eP (ebP (dk_bool.not b)) ->
cc.eT (if_uT b A B) ->
cc.eT B.
[a] booltype_ifnot_elim dk_bool.false _ _ _ a --> a
[B,H] booltype_ifnot_elim dk_bool.true _ B H _ --> False_elim B H.
def bool_if_intro : b : cc.eT dk_bool.bool ->
H : eP (ebP b) ->
A : cc.uT ->
a1 : cc.eT A ->
a2 : cc.eT A ->
P : (cc.eT A -> cc.uT) ->
cc.eT (P a1) ->
cc.eT (P (dk_bool.ite A b a1 a2)).
[H1] bool_if_intro dk_bool.true _ _ _ _ _ H1 --> H1
[H,a2,P] bool_if_intro dk_bool.false H _ _ a2 P _ --> False_elim (P a2) H.
def bool_if_elim : b : cc.eT dk_bool.bool ->
H : eP (ebP b) ->
A : cc.uT ->
a1 : cc.eT A ->
a2 : cc.eT A ->
P : (cc.eT A -> cc.uT) ->
cc.eT (P (dk_bool.ite A b a1 a2)) ->
cc.eT (P a1).
[H1] bool_if_elim dk_bool.true _ _ _ _ _ H1 --> H1
[H,a1,P] bool_if_elim dk_bool.false H _ a1 _ P _ --> False_elim (P a1) H.
def bool_ifnot_intro : b : cc.eT dk_bool.bool ->
H : eP (ebP (dk_bool.not b)) ->
A : cc.uT ->
a1 : cc.eT A ->
a2 : cc.eT A ->
P : (cc.eT A -> cc.uT) ->
cc.eT (P a2) ->
cc.eT (P (dk_bool.ite A b a1 a2)).
[H2] bool_ifnot_intro dk_bool.false _ _ _ _ _ H2 --> H2
[H,a1,P] bool_ifnot_intro dk_bool.true H _ a1 _ P _ --> False_elim (P a1) H.
def bool_ifnot_elim : b : cc.eT dk_bool.bool ->
H : eP (ebP (dk_bool.not b)) ->
A : cc.uT ->
a1 : cc.eT A ->
a2 : cc.eT A ->
P : (cc.eT A -> cc.uT) ->
cc.eT (P (dk_bool.ite A b a1 a2)) ->
cc.eT (P a2).
[H2] bool_ifnot_elim dk_bool.false _ _ _ _ _ H2 --> H2
[H,a2,P] bool_ifnot_elim dk_bool.true H _ _ a2 P _ --> False_elim (P a2) H.
(; Magic proof ;)
(; Definition of assumed proofs ;)
magic_proof : p : Prop -> eP p.
(; equality ;)
def equal : A : cc.uT -> x : cc.eT A -> y : cc.eT A -> Prop
:= A : cc.uT => x : cc.eT A => y : cc.eT A =>
forall (cc.Arrow A prop)
(H : (cc.eT A -> Prop) =>
imp (H x) (H y)).
def refl : A : cc.uT -> x : cc.eT A -> eP (equal A x x)
:= A : cc.uT => x : cc.eT A =>
H : (cc.eT A -> Prop) =>
px : eP (H x) => px.
def equal_ind : A : cc.uT ->
H : (cc.eT A -> Prop) ->
x : cc.eT A ->
y : cc.eT A ->
eP (equal A x y) ->
eP (H x) ->
eP (H y)
:=
A : cc.uT =>
P : (cc.eT A -> Prop) =>
x : cc.eT A =>
y : cc.eT A =>
eq: eP (equal A x y) =>
eq P.
def equal_sym : A : cc.uT ->
x : cc.eT A ->
y : cc.eT A ->
eP (equal A x y) ->
eP (equal A y x)
:=
A : cc.uT =>
x : cc.eT A =>
y : cc.eT A =>
eq : eP (equal A x y) =>
equal_ind
A
(z : cc.eT A => equal A z x)
x
y
eq
(refl A x).
def equal_congr :
A : cc.uT ->
B : cc.uT ->
f : (cc.eT A -> cc.eT B) ->
x : cc.eT A ->
y : cc.eT A ->
eP (equal A x y) ->
eP (equal B (f x) (f y))
:=
A : cc.uT =>
B : cc.uT =>
f : (cc.eT A -> cc.eT B) =>
x : cc.eT A =>
y : cc.eT A =>
H : eP (equal A x y) =>
equal_ind A (z : cc.eT A => equal B (f x) (f z)) x y H (refl B (f x)).