multi2.txt

 Si applica nella sua configurazione deformata, perché se deve essere in equilibrio lo è nella configurazione deformata e questo ci farà capire che avremo una prima difficoltà, perché come avete visto, le deformazioni si riferiscono sempre alla configurazione iniziale, abbiamo sempre parlato di inizio, invece l'equilibrio si formula nella configurazione attuale. Va bene, allora, cerchiamo di essere un po' pragmatici. Quali forze prenderemo in considerazione nell'equilibrio di un corpo? Avremo a vedere le forze di inerzia che poi aggiungeremo. Tutto si basa su un postulato che non è anche riportato, che è il postulato che ogni parte di un corpo deformabile deve essere in equilibrio, cioè valgono la conservazione della quantità di moto e del movimento della quantità di moto. Va bene, però, quali sono le forze che prendiamo in considerazione? Ci saranno vari tipi di forze. Uno ci sono le forze di volume. La forza più tipica di volume è la forza peso, anzi direi che è l'unica che prenderemo in considerazione. Quindi se abbiamo un sistema di riferimento in cui l'asse 3 è diretto come la superficie, allora avremo che la forza peso verrà espressa come ρf, questa è la forma generale di una forza di volume. Non so perché tipicamente, ma la forza di volume si esprime come una forza per unità di volume moltiplicata per rho ottenete la forza per unità di massa scusate F è la forza per unità di massa moltiplicata per rho ottenete la forza per unità di volume è un uso fare così proprio perché il motivo è la forza peso, quella normale, quindi avremo meno ROG e Z, ok? Questa è l'espressione più tipica della forza peso, proprio perché si esprime così, allora immagino che si sia deciso di esprimere tutte le forze di volume in questa forma. Rappresenta l'interazione di corpi a distanza sul corpo in oggetto poi abbiamo un secondo tipo di forze che sono le forze di superficie che indicheremo con F piccolo quindi rho F è la forza di volume F piccolo è la forza di superficie rappresenta l'interazione con i corpi esterni l''esempio più tipico, gli esempi più tipici saranno i due. Uno è la pressione di un gas, F è piccolo, quindi l'interesse è uguale a meno P per N, dove P è la pressione, N è la normale, uscente dal corpo. Sono esempi standard. Poi F invece potrà anche rappresentare le forze di contatto esercitate dai corpi limitrofi. I vincoli ad esempio. Perché un corpo in generale non è libero, è vincolato in qualche maniera. Quindi avremo sempre questa distinzione tra le F che sono note, perché sono dei carichi noti, ad esempio il peso della neve sul tetto, è dato dalla normativa, lo si suppone noto, ma la forza esercitata del terreno sulle colonne di un edificio non è nota perché sono delle forze vincolari, delle reazioni vincolari. Quindi saranno un po' note e un po' incognite e quando parleremo di condizioni a contorno dovremo farvi l'attenzione a distinguere quelle note da quelle incognite. E la cosa invece totalmente nuova rispetto a un corpo rigido è la presenza anche delle cosiddette, in inglese si chiamano tractions, le chiamiamo le T le forze interne cerchiamo quindi di spiegare cosa sono per noi le forze interne perché daranno origine a quello che voi conoscete come il tensore di Cauchy sigma quindi adesso rapidamente arriviamo a ricordarci che cos'è sigma il tensore degli spazi. Allora prendiamo il nostro corpo, fissiamo la tensione in un punto interno e lo dividiamo col pensiero tagliando il corpo in due e quindi avremo due semi parti nel nostro corpo e la superficie di taglio che passa per x non è necessariamente piana può essere di forma qualunque questa superficie se diciamo n la normale uscente da questo taglio questa superficie la chiameremo S- e invece la superficie dall'altra parte la chiameremo S+. Se parliamo solo con il pensiero il cocco, le due parti rimangono a contatto. Allora, noi ipotizziamo che le due parti interagiscono fra di loro con delle forze per unità di superficie che chiameremo proprio T, e su queste T dobbiamo fare dei postulati. Queste tensioni, o meglio appunto tractions in inglese, dipendono solo ed esclusivamente dal punto Y dove abbiamo effettuato il taglio, cioè cosa vuol dire che è un'interazione locale. Se vogliamo esprimere T nel punto del taglio, queste forze non dipendono da ciò che succede lontano, cioè non sono delle interazioni tipo potenziali atomici, che dipendono, che vanno magari all'infinito. Le interazioni sono locali, sono delle forze di contatto sostanzialmente. E poi dipendono esclusivamente dalla normale, e questa è anche un'altra ipotesi importante, in realtà questo si può dimostrare, però è complicatissimo, cioè non dipende da altre proprietà della superficie di taglio come ad esempio la curvatura, dipende solo dalla normale della superficie di taglio. Quindi sulla superficie S- di normale uccente n la forza avrà questa espressione, invece nell'altra superficie avremo T che è del tutto intuitivo, che T y,n, questa forza T, è uguale opposta alla forza T y-n, cioè questa forza e questa qua devono essere necessariamente uguali opposte. Sono forze di contatto, voi potete benissimo chiamarlo questo postulato di azione-reazione. Un corpo esercita una parte, la parte di destra esercita una forza sulla parte di sinistra e viceversa la parte di sinistra esercita la forza uguale opposta sulla parte di destra. Queste sono forze interne, no? Perché non sono esercitate dal mondo esterno sul corpo, che siano interazioni a distanza come forze di volume o interazioni sulla superficie. Queste sono forze che le varie parti del corpo si scambiano l'una con l'altra. E va bene, questo è quindi la T, la forza interna. Questo ci porta immediatamente a definire il tensore di Cauchy. Allora, ci mettiamo in un punto preciso all'interno del nostro corpo e prendiamo una superficie, una piccola superficie che è, anzi bisogna non mica tanto piccola, di normale E1 o X. Ok, quindi visto che la T dipende solo dalla normale è inutile stare a dire com'è fatta la superficie, mi basta dire com'è la normale. Quindi stiamo in un punto preciso, sto considerando un punto Y preciso. Y vuol dire che è configurazione attuale. Stiamo parlando del solido deformato. Stiamo guardando il solido deformato. La scuola dice di taglio, quindi rappresentata da questa faccetta, voglio esprimere la forza che la parte di destra che ho tolto esercita su questa parte di sinistra che ho rappresentato. È un vettore, no? Perché T, abbiamo detto, è un vettore, quindi avrà tre componenti. Avrete come le chiamo queste tre componenti? Allora il sistema di riferimento lo assumo fatto così, 1, 2, 3, 1, 2, 3, per comodità anche se è diverso da quello, allora avremo che la forza in direzione 1 la chiameremo sigma 1, 1, la componente in direzione 1 la chiameremo sigma 1, 1, la componente in direzione 2 la chiameremo sigma 2, 1, la componente in direzione 1 la chiameremo sigma 1 1, la componente in direzione 2 la chiameremo sigma 2 1, la componente in direzione 3 la chiameremo sigma 3 1. Quindi è una scelta, è una definizione. Va bene, ok, l'ho fatto per una superficie normale 1, adesso lo faccio, anche se è difficile disegnarlo, per una superficie che ha normale 2. Ci vuole una certa fantasia, perché in questo caso ha 2, 1, 2, 3, 2 entrante. Quindi sto disegnando delle cose che sono dietro allora avremo che la forza in direzione 1 la chiamerò questa è una sua indice normale 2 scusate, più di 2 la forza in direzione 1 la chiamerò sintoma 1-2 allora vedete qual è la strategia se la normale è 1 il secondo indice èice è sempre 1. Se la normale è 2, il secondo indice sarà sempre 2. E così vado avanti, avrò sigma 2, 2 in direzione 2 e sigma 3, 2 in direzione 3. Abbiamo un po' capito come funziona. Adesso facciamo l'ultimo caso. Prendo una superficie normale 3 che sarà fatta così e anche qui ci sarà un vettore tensione che posso decomporre nelle sue tre componenti che chiamerò proprio sigma 3 1 scusate sigma 1 3 perché il secondo dice la direzione sigma 2 3 sigma 3 3 quindi ho semplicemente deciso di chiamare questi tre vettori t in una maniera molto particolare adesso metto assieme queste componenti che ho definito all'interno di una matrice, usando proprio l'ordinamento che ho ormai introdotto. Quindi avremo sigma 1, 1, sigma 1, 2, sigma 1, 3, sigma 2, 1, sigma 2, 2, sigma 2, 3, sigma 3, 1, sigma 3, 2, sigma 3, 3. Allora, che cosa possiamo dire? Che il primo vettore T1 è la prima colonna, questo qua. Poi abbiamo una seconda colonna che rappresenta questo vettore, la terza colonna che rappresenta questo vettore. Le componenti di questo tensore le chiameremo sigma ij e il tensore associato, tensore sigma, o tensore di sforzo di Cauchy. Sforzo di Cauchy. Tensore degli sforzi di Cauchy. Ok, questo è il tensore degli sforzi di granula più noto. Non è assolutamente l'unico, troverete l'espressione in forma tensoriale di sigma in questa maniera, così come abbiamo visto quegli altri tensori di ordine 2, un tensore può essere sempre decomposto nella sua base, che sono queste diadi. Però anche questo non lo useremo mai, è solo per spiegarvi che cos'è, se lo troverete nelle dispensie. Queste sono le diadi che sono le basi per un tensore, esattamente come I sono le basi per un vettore. Tensore dei sforzi di Cauchy. Vi anticipo subito che una delle condizioni di equilibrio che diremo dopo, ma non le dimostreremo, afferma che stigma è simmetrico. Grande proprietà, stigma uguale a sigma trasposto. Se non fosse simmetrico sarebbe violato l'equilibrio alla rotazione, cioè sarebbe violata la conservazione del momento della quantità di moto per un elemento infinitesimo di materia. Quindi è proprio una conseguenza diretta dell'equilibrio al momento, del momento di un elemento di materia. Sigma è simmetrico, per cui io scriverò sempre indistintamente sigma e j, sigma j, intanto è simmetrico, quindi posso scambiare fra di loro indici. A proposito, mi sono ricordato che non ho sottolineato prima una proprietà fondamentale di epsilon, epsilon è un tesore delle piccole deformazioni che è simmetrico per costruzione. Epsilon è un tensore simmetrico per costruzione. Quindi troviamo che anche sigma è un tensore simmetrico. Ok? Quindi ricordatevi che la costruzione di sigma ha un simicato fisico molto preciso. Siamo andati a prendere delle superfici con normali E1, E2, E3 e abbiamo dato dei nomi alle componenti delle forze interne, delle forze interne T. Quindi sigma ha il significato di forza per unità di superficie, quindi sigma si misura in forza su superficie, tipicamente in pascal, però il pas Pascal è un'unità di misura troppo piccola, quindi molto spesso in meccanica dei solidi si usa il megapascal, il gigapascal, quindi i multipli decisamente più grandi, 10 alla 6, 10 alla 9. Y invece che è un'unità di misura A, Y è la derivata di uno spostamento rispetto a una coordinata, è numero 2. Epsilon è numero 2. Ok, adesso ricordiamo alcuni risultati senza dimostrarli. La prima cosa è, ok, se abbiamo delle superfici dirette come 1, 2 e 3, allora sappiamo che T è definito in questa maniera. Ma se prendiamo una superficie di normale n generica e vogliamo esprimere T, la forza per unità di superficie esercitata su questa superficie, quando io disegno una superficie penso sempre a un taglio, un taglio come ho fatto prima, tra due parti del corpo, cioè una parte che esercita delle forze sull'altra e questa è la forza. Quindi se questa superficie ha una normale n generica, come è possibile esprimere la forza interna T? C'è un teorema che ce lo dice, il teorema di Cauchy, che dice una cosa molto semplice, che T sarà uguale a sigma scala n. Quindi in 8 sigma possiamo calcolare le forze interne per qualunque normale la superficie, si dice per qualunque giacitura della superficie. Questo è il teorema di Cauchy. Anche qui, se qualcuno di voi fosse curioso di vedere come si mostrano queste cose, nelle dispense è tutto fatto in maniera estensiva. Ho pensato che non fosse così fondamentale, perché non è un corso di meccanica di continui. Se siete curiosi di andate a vedere, se vi lo ricordate più o meno o vi fidate, andiamo avanti. Penso che vi fidate. Allora, in componenti, è molto utile lavorare nelle componenti, qui abbiamo un vettore, quindi avrà componente iesima, dato dal prodotto di una matrice con un vettore, quindi avremo sigma ij nj. Questo è un prodotto riga-colonna, riga-iesima-colonna. Quindi si somma su j e si fa con il prodotto matrice-vettore riga-colonna. In componenti si scrive così. Arriviamo alla parte più importante. Il tensore sigma deve rispettare alcune equazioni che sono le condizioni di equilibrio. Ne abbiamo tre. Anche questa alcuni la chiamano condizione di equilibrio, però va bene, io preferisco tenerla separata. Questo è il teorema di Cauchy. Se imponiamo l'equilibrio di un elemento di materia, l'infinitesimo, otteniamo le equazioni indefinite di equilibrio, che sono l'equivalente delle quotidiani di Navier-Stokes, sostanzialmente. Quindi abbiamo che la densità che moltiplica l'accelerazione, questa è la forza di inerzia, cambiata di segno, è uguale alla divergenza di sigma, dove la divergenza di sigma, adesso diciamo che cos'è, il fatto che io abbia scritto la divergenza in lettere indica per mia convinzione che le derivate sono fatte rispetto alla y, alla coordinata attuale, mentre quando uso un nabla intendo che le derivate sono fatte rispetto alle coordinate iniziali. Quindi, ρ in due punti è uguale all'emergenza di σ più ρf. Che cosa sono ρf? Sono le forze di volume, le forze tipo la forza peso. Questa equazione viene chiamata equazione indefinita di equilibrio e deve essere valida per qualunque y particolente a omega, qualunque y del corpo all'interno del corpo. Omega è la configurazione attuale. Scriviamola con indici, così definiamo la divergenza di un tensore, perché noi sappiamo che cos'è la divergenza di un vettore, ma la divergenza di un tensore la dobbiamo definire, cioè la definiamo dando le componenti. Abbiamo la generica componente iesima dell'accelerazione, che sarà uguale alla derivata di sigma ij rispetto a yj, e adesso scrivo l'ultimo termine e poi commentiamo, più rho è fi. Quindi, se voglio la componente iesima dell'equazione, la componente iesima della divergenza di sigma, innanzitutto la divergenza di un tensore è un vettore, non è uno scalare come nel caso di un vettore. Se faccio la divergenza di un vettore ottengo uno scalare, invece se faccio la divergenza di un tensore del secondo ordine ottengo un vettore. La componente iesima assomiglia tantissimo alla definizione di divergenza per un vettore, quindi tengo i fisso e sommo su j, quindi avrò la somma per j che va da 1 a 3, la derivata di sigma e j rispetto a y al j. Queste sono le componenti del vettore divergenza di sigma. Quindi la divergenza diminuisce di uno l'ordine del tensore. Se faccio la divergenza di un vettore ottengo lo scalare. Se faccio la divergenza di un tensore ottengo un vettore. Quindi avrò delle componenti di un vettore. Infatti I è libero, J invece è saturato, è ripetuto, quindi sparisce. Rimane solo l'indice I. Queste sono quindi le componenti della nostra equazione indefinita di equilibrio. Ripeto, non è difficile dimostrarlo, si impone un volume arbitrario, piccolo, e si impone la conservazione della quantità di moto. Da questo discende l'equazione indefinita di equilibrio. Questa è un'equazione all'interno del volume. Esattamente se ci pensate, se vi prenderete il tempo per andare a guardarlo, sono le equazioni di Naviestox per un fluido. Solo che l'accelerazione nell'approccio Naviestox è più complicata perché c'è una derivata parziale della velocità più il termine convettivo che è U, scalare il gradiente di U. Quindi questo termine si calcola in maniera diversa in euleriano, però è sempre l'accelerazione della forza di inerzia. L'equazione di meccanica di solidi assume questa forma. Poi ci sono delle equazioni di equilibrio al contorno, perché sul contorno abbiamo queste forze F, abbiamo le forze F di superficie, quindi non è difficile capire che sul contorno queste forze T, che sono forze interne, man mano che ci avviciniamo al contorno, devono coincidere con le forze di superficie che abbiamo applicato. Quindi le t saranno uguali ad f piccolo, ma per il teorema di Cauchy avremo sigma scala n uguale ad f piccolo sul contorno. Qualunque y appartenente al bordo di ω. Condizioni di equilibrio al contorno. Anche qui scriviamole in componenti sigma i j n j uguale fi. E bariamolo, quando abbiamo un tensore scalare un vettore abbiamo sempre prodotto riga vettore, quindi il primo indice rimane fisso e il secondo indice rappresenta la riga per sigma e j e la colonna per l'anoma. Per completezza vi do l'ultima equazione di equilibrio che è utile quando abbiamo corpi fatti da materiali eterogenei, quindi abbiamo la transizione ad esempio fra due materiali tipo acciaio e calcio e struzzo. Sull'interfaccia tra i due materiali, anche questa è un'equazione di equilibrio, il salto di sigma attraverso l'interfaccia non può essere arbitrario, attraverso questa interfaccia il salto non può essere arbitrario, ma la sua proiezione lungo la normale è zero. Cioè la parte normale di sigma deve essere continua attraverso una discontinuità, ad esempio, del materiale. Quindi qualunque y appartenente a quello che chiamo SI, cioè superficie di interfaccia. Anche questa è una condizione di equilibrio, che si deduce analizzando un elemento infinitesimo parallelo all'interfaccia a cavallo dell'interfaccia. Lavorando un pochettino, salta fuori questa condizione di equilibrio. Quindi tre equazioni di equilibrio. Equazione indefinita per ogni punto del dominio, y nel dominio. Condizione di equilibrio sul contorno, cioè la trazione T alla fine avvicinandosi al suo contorno deve coincidere con F, perché sennò non avrebberebbe senso perché è chiaro che T esiste solo infinitamente all'interno del corpo infinitamente però vicino anche alla superficie ma sulla superficie la forza è F piccola quindi T deve coincidere con F piccola sul contorno la terza è un pochino più complicata da trattare ma effettivamente non la prenderemo mai in considerazione. Quindi, va bene, sappiate che esiste, la troverete insieme alle altre e lì ci fermiamo. Quindi queste sono le tre. La grande difficoltà è che queste sono applicate nella configurazione attuale. La configurazione attuale è incognita. Ahimè, è incognita. E voi direte, vabbè, che cosa vuol dire? È che quando formuliamo questo problema di equilibrio sulla configurazione attuale diventa un problema fortemente non lineare, perché dipende da quanto si deforma il corpo. Cioè non possiamo prendere il corpo nella sua configurazione iniziale e imporre queste equazioni differenziali in una geometria nota. La dobbiamo imporre su una geometria incognita e questo complica enormemente il problema in generale. Ok, fino nel capitolo 2. Sforzo concluso. Costitutive. Abbiamo parlato di Epsilon, abbiamo parlato di Sigma, però è abbastanza ovvio che in qualche maniera Sigma e Epsilon debbano essere collegati fra di loro, perché è un gatto che si mordono a code, ma Epsilon dipende da Sigma, Sigma dipende da Epsilon, però è chiaro che ci deve essere una relazione, lo sforzo è naturale che dipenda dalle deformazioni. Questa legge che ci dice come lo sforzo e le deformazioni sono legate tra di loro si chiama legge costitutiva. E qui a livello di legge costitutiva i vari materiali si differenziano, perché per ora questo che stiamo dicendo vale per ogni tipo di materiale, vale per i fluidi, vale per i solidi. Quello che ho ricordato per adesso si chiama genericamente meccanica dei continui, che siano solidi o fluidi. Adesso, a cominciare la legge costitutiva, si distingue un solido, un fluido, un calciastruzzo da un acciaio, un materiale discoplastico da un materiale elastico, eccetera, eccetera. Quindi le vere differenze. Nessuno ci dice da dove viene la legge costituttiva. Per ora è frutto di esperimenti di laboratorio. Ovviamente c'è dietro una formulazione matematica molto avanzata, ma poi per calcolare i parametri di questa legge costituttiva non c'è adesso, si deve andare in laboratorio a testare nel laboratorio proprio materiali del Politecnico. Si prendono i polini, si tirano, si allargano, si fanno, si intucono un'opera. Poi tra un po' di tempo, già qualcuno lo fa come sapete perfettamente, ma è molto difficile farlo per un materiale real realistico e si fanno simulazioni anche atomistiche per dedurre queste proprietà, però è estremamente complicato. Simulazioni all'inizio, però adesso non funzionano ancora abbastanza bene per queste applicazioni. Allora, la difficoltà enorme è che i due tensori sigma ed y vivono in spazi totalmente diversi. Sigma è definito in configurazione attuale, come abbiamo appena detto, e y è definito in configurazione iniziale. Infatti, la legge costitutiva non si impone a priori fra questi due tensori, ma si impone fra altre due cose, che sono uno, l'abbiamo definito prima, è il tensore G, il tensore delle deformazioni di Green-Lagrange. Il secondo è un altro tensore degli sforzi che non abbiamo citato, lo cito adesso e poi lo dimentichiamo, che si chiama tensore S, o secondo tensore di Piola-Kirchhoff. È una cosa strana, è una cosa strana che serve però per trattare le grandi trasformazioni. Vi scrivo, anche nel caso più semplice in cui S e G siano legati in maniera lineare, il legame costitutivo è piuttosto complicato, perché ci deve dire come varia un tensore del secondo ordine, quindi una matrice, in funzione di un'altra matrice, che sono le componenti di G sostanzialmente. E allora il legame costretivo si scrive in questa maniera, anche nella sua forma lineare, più generale. Adesso vi spiego cosa sono queste cose qua. Ok. Innanzitutto esprimiamo il tensore di sforzo S come il prodotto di questo G, che è il tensore di Green-Lagrange, per un tensore A, che si chiama tensore di rigidezza, che è una cosa gigantesca, perché deve prendere un tensore e trasformarlo in un altro tensore. Quindi è un tensore in effetti di ordine 4. Poi ve lo scrivo con gli indici per darvi un'idea. Per fortuna non useremo mai il tensore A nella sua forma generale, ma ci limiteremo a considerare corpi isotropi, per cui è molto più semplice. Adesso lo vedremo. Questa è la parte che ci dice come si genera uno sforzo in funzione della deformazione. Qui prendiamo in considerazione anche le variazioni termiche. Per noi saranno estremamente importanti perché parleremo di termoelasticità. Quindi questo termine sarà estremamente importante. T non ha significato di temperatura assoluta per noi, ha significato di variazione di temperatura. È un tau meno tau zero, dove se indichiamo con tau la temperatura assoluta, tau zero una temperatura iniziale di riferimento, ti indica una variazione di temperatura. E questo sigma zero si chiama sforzo iniziale. Se io lo vorrei scrivere con gli indici, allora dovrei scrivere questa cosa orrenda. S di IJ è uguale a A IJ K L GK L meno T K IJ più S la 0 IJ. Sono tutti indici, ij sono gli indici della componente di S che vogliamo calcolare. KL invece vengono ripetuti due volte, quindi sono saturati. Ajkl è un tensore enorme che ha quattro indici e a priori 81 coefficienti indipendenti. K invece è un tensore che lega la variazione di temperatura allo sforzo e dipende solamente da 9 coefficienti, perché le componenti di S sono 9, quindi 9, e stima in 0 per esempio lo stato di sforzo iniziale. Una volta poi serve scrivere il legame in forma inversa, cioè esprimere G in funzione, lo faccio qua sotto, serve esprimere G in funzione di S e lo si scrive in maniera formale così a meno 1 per S e poi la parte termica la si esprime in questa maniera. Che qual è A meno 1? È il tensore inverso di A, non stiamo a definire cosa sia il tensore inverso, tanto poi dopo daremo espressioni esplicite nel caso esotro. Il legame costitutivo in forma corretta fa intervenire questo fantomatico tensore S, che è il tensore di Piola-Kirchhoff, che è definito in configurazione iniziale. Però, per nostra fortuna, faremo delle ipotesi forti, che sono le seguenti. Allora, 1. Riprendiamo l'ipotesi di trasformazione infinitesima, quella di prima. Vi ricordate? Uno grande di trasformazione infinitesima. Chi ci dice che i componenti e i componenti U sono piccoli. Quindi, esotanzialmente, ovunque trov troviamo G possiamo sostituire Y e trascuriamo infinitesimi di ordine superiore. La seconda ipotesi però, abbiamo bisogno di aggiungere una seconda ipotesi, che dice che sostanzialmente le variazioni di temperatura non possono essere enormi, devono essere limitate anche loro, quindi lo si esprime utilizzando questo tensore alfa, che alfa è tipicamente associato a quello che avete certamente chiamato dilattazione coefficiente e dilattazione tecnica, vedremo infatti che ritroveremo proprio alfa, alfa t deve essere piccolo, quindi scriveremo che alfa t è uno grande, anche lui, uno grande di freps. Dobbiamo introdurre anche questa ipotesi. Quindi non possiamo sviluppare un legame costituttivo se vogliamo accettare le semplificazioni che adesso faremo, se le variazioni di temperatura sono enormi. Troveremo che questo tensore in genere ha le dimensioni dei valori di 10 a meno 6 o 10 a meno 5, per cui le variazioni di temperatura ragionevoli che noi possiamo ipotizzare di qualche decina di grado ampiamente soddisfano questa condizione. Quindi è molto poco restrittiva, però ci vuole. Quindi questa è la prima, sono il primo set di ipotesi. C'è un'altra set di ipotesi, c'è una terza e ultima in realtà ipotesi, che ci dice quanto può essere grande sigma zero. Cioè lo sforzo iniziale non può essere enorme neanche lui, perché sennò la teoria che vogliamo sviluppare non funziona. E allora, questo deve essere uno grande di Epsilon quadrato per questa cosa strana che scrivo. Cos'è quella? È la norma di A. Non stiamo a definire norma di questo oggetto, però possiamo semplicemente dire che prendiamo ad esempio il coefficiente più grande di A, lo sbattiamo qua dentro, quindi sigma zero deve essere molto più piccolo del coefficiente più grande di A, diciamolo così. Cioè deve essere piccolo rispetto alle componenti di questo tensore di rigidezza. Però deve essere ordine y quadro, e attenzione, non semplicemente lineare. Beh, per noi questo... Allora, per voi, cioè, voi che farete MEMS, quando andrete a fabbricarli i MEMS, troverete che la più grande incertezza, una volta prodotto, è proprio il valore di sigma zero, lo sforzo iniziale che viene dai processi termici che sono stati applicati al MEMS. Quindi conoscere il valore di Sigma Zero è un problema tecnologico enorme, che ha un impatto gigantesco sulla qualità del prodotto. Quindi non lo possiamo trassicurare, però vi accorgerete subito che c'è una fortissima incertezza sul valore di Sigma Zero. Quindi voi vi trovate il device ruoto, non lo state sollecitando, ipotizzate che sigma sia zero. No, perché purtroppo ci sono questi sforzi iniziali, frutto della storia pregressa della struttura che state guardando. Non siamo abbastanza bravi da ricostruire la storia di quella struttura dall'inizio, dalla creazione del materiale fino al momento in cui la guardate. E quindi questa ignoranza la sbattiamo tutta in sigma zero. Però ipotezziamo che valga questa, se no siamo nel pasticcio. Va bene, se sono verificate queste ipotesi, allora il legame costitutivo può essere tranquillamente imposto fra stigma ed y cioè invece di usare S e G ovunque c'è S mettiamo stigma e ovunque c'è G mettiamo y perché a priori ipotizziamo che la configurazione attuale sia molto vicina a quella iniziale, che quindi al primo ordine il tensore sigma sia definito in configurazione iniziale e così via. Una serie di ipotesi abbastanza complicate, le potete guardare anche questa nelle dispense, che fa sì che invece di avere S ovunque avremo sigma invece di avere G ovunque avremo y e anche questa è la stessa cosa anche qui nella relazione inversa ovunque invece di G e Y invece di questo avremo sigma e questo è il legame costruttivo più generale possibile lineare. Molto spesso il comportamento dei materiali da costruzione, acciai, calcestruzzi, alluminio, viene considerato lineare, tranne quando esce dal campo elastico, perché ad esempio c'è un crash, c'è una deformazione, allora entra in regime plastico, però noi non affrontiamo assolutamente questo regime. I MEMS sta notificamente in campo lineare perché il comportamento del silicio è molto fragile, quindi è un comportamento lineare quando si rompe sostanzialmente. Quindi non è un'approssimazione per le nostre applicazioni, è veramente un'ottima rappresentazione. Però, però, però, capiamo che il legame costitutivo è scritto in questa forma, troppo, generale, 81 coefficienti di ama, va bene. Infatti noi ci limiteremo a vedere come diventa il legame sottotitutivo nell'ipotesi di comportamento isotropo. Attenzione, questo un po' mi piange il cuore perché molti dei devalsi che voi considererete non saranno infatti materiali isotropi. Se ad esempio prendete il silicio monocristallino, S&T produce soprattutto il silicio polisilicio, cioè cresce in casa e quindi ha un comportamento che né piano è isotropo e fuori piano no, allora si chiama trasversalmente isotropo. Se invece costruisce con un silicio monocristallino è a simmetria pubblica e quindi non è un materiale isotropo. Quindi dovremmo passare due o tre settimane a parlare del legame costitutivo per un materiale non isotropo, però non abbiamo il tempo. Il mio scopo qui è farvi vedere un po' le tecniche di simulazione, quindi quello è un obiettivo di altri corsi. Anche qui, se siete curiosi di vedere, andate a leggere le spese, e lì proprio prende il silicio come esempio e vi fa vedere come diventa il legame produttivo per una simmetria pubblica. E non è facile, non è banalissimo. Noi assumiamo il comportamento isotrofo, comportamento isotrofo vuol dire che è indipendente dalla direzione sostanzialmente, che l'energia che si accumula nel solido rispetta delle condizioni di simmetria, cioè invariante per tutte le rotazioni che si applicano al solido. Allora, prima di però fare questo, vi parlo di un modo di rappresentare questo legame costitutivo che poi useremo tantissimo nei codici e che poi chiarisce molto di più che cos'è questa roba. Stigma è un tensore simmetrico, quindi ha solo sei componenti indipendenti. Allora noi definiamo un vettore sigma che le colleziona. Sigma è un tensore, quindi è una matrice, però molto spesso è comodo pensarlo come questo vettore che colleziona le 6 componenti indipendenti, che saranno sigma 1, 1, sigma 2, 2, sigma 3, 3. Poi l'ordine delle ultime tre è un po' arbitrario. Io faccio così, comincio con sigma 1, 2, poi continuo col 2 e ci aggiungo il 3, poi continuo col 3 e ci aggiungo il 1. E li sono costruito quindi l'ordine. Ho costruito quindi questo vettore. Quando lo penso come vettore ci metto le parentesi graffe, è un array, il Matlock sarà un array, un array colonna. La stessa cosa la faccio per le componenti di epsilon. Epsilon è un tensore simmetrico, quindi non ha 9 componenti indipendenti, ne ha solo 6, e le raccolgo all'interno di un array che chiamo epsilon, e che definisco in questa maniera. y1,1, y2,2, y3,3 poi 2, y1,2 il 2 non vi dovrebbe stupire perché era lo scorrimento e poi 2 volte y1,2 era la somma della derivata di u1 rispetto a x2 più derivata di u2 rispetto a x1, senza l'un mezzo, per un paio di motivi. L'ordine invece lo teniamo lo stesso di prima, quindi avremo... Allora, siamo d'accordo sul fatto che queste liste contengono tutte le componenti indipendenti di sigma e di y. Allora, prendiamo ad esempio questa relazione lineare, questa parte lineare, cioè sigma uguale a per y. Io la voglio esprimere, e questa cosa qui la voglio esprimere, anzi, scusate, un'ulteriore cosa. Molto spesso poi queste vengono chiamate, si cambiano il nome, gli si chiama sigma 1, sigma 2, sigma 3, sigma 4, sigma 5, sigma 6. No, è abbastanza naturale. Perché tenersi dietro due indici quando sono listati in un arremolo dimensionale e lo stesso anche per y. Quindi avremo y1 e y2 e ricordate semplicemente che quando vedete questi y con un indice solo rappresentano semplicemente il posizionamento della lista. Beh, allora se c'è un legame line lineare fra sigma ed y, allora certamente io posso dire che sigma sarà uguale a un matricione che moltiplica y. Ma il vantaggio di aver trovato questa lista è che il legame costituttivo diventa una matrice. E che dimensioni ha questa matrice? E questa matrice diventa 6x6. Quindi innanzitutto vediamo che non è vero che i coefficienti di A indipendenti sono 81, ma al peggio sono 36. No, perché certo. E li chiameremo A11, A12, eccetera, eccetera. A2, 1, A2, 2, e così via. 36 coefficienti. In realtà questa matrice deve essere simmetrica. Anche qui ci vorrebbe un bel po' di tempo per spiegarlo. Il motivo per cui questa matrice è simmetrica è che noi prendiamo in considerazione una particolare classe di materiali che non solo sono lineari, ma sono lineari elastici. Questo aggettivo aggiunto vuol dire che l'energia di deformazione che si accumula all'interno del materiale quando lo deformiamo deve essere una funzione di stato, cioè dipende solo dal valore finale delle deformazioni, non dipende dalla storia con cui queste deformazioni sono state sviluppate, cosa che sembra un'ipotesi assolutamente ragionevole. Ora, sembra curioso, ma l'affermare che l'energia e le deformazioni non funzionano di stato implica che questa matrice sia simmetrica. Per cui non è vero che ci sono 36 coefficienti indipendenti, ma se ci pensate sono solo 21. Perché bisogna togliere i 6 della diagonale, quindi 30, la parte sopra e la parte sotto, quindi solo 15, 15 più i 6 della diagonale, tira 21. 21 coefficienti. Questa rappresentazione non solo è infinitamente più chiara di quella tensoriale, ma è quella che si utilizzerà nei codici. Ricordiamoci sempre questo 2. Allora, però, a noi interesterà in particolare, come ho detto prima, lavorare con un legame costitutivo abbastanza semplice, il più semplice di tutti, che è il legame isotropo. Lasciatemi cancellare questo. Il legame isotropo che si riduce alla seguente forma. SIGMA è uguale a lo scrivo e poi dopo lo commentiamo. Dopo cercheremo di compilare il matricione per questo legame. Ok? Lambda traccia di y1 più 2μ e y meno 3anda più 2μ per t, scusate, alfa t per 1 più sigma z. Adesso ragioniamo un po' su questo legame e sarà molto importante che lo useremo in continuo. Innanzitutto, i coefficienti che troviamo sono lambda e mu. Sono dei coefficienti che vengono da indagini sperimentali. Si chiamano coefficienti di lave. Non sono quelli più famosi. Quelli più famosi sono altri due che vedremo nella forma inversa del legame. Ma sono collegati agli altri due. Alfa è il coefficiente di dilatazione termica, T è la variazione di temperatura. Allora, la traccia di Y è uno scalare, quindi è la somma dei tre coefficienti sulla diumonare. Questo vuol dire che questo 1, quali sono le componenti di sigma che vengono modificate da questo termine? Solo quelle con lo stesso indice, quindi sigma 1, 1, sigma 2, 2, sigma 3, 3. Questo termine invece influisce su tutti i termini di sigma. La variazione di temperatura influisce solo sui termini che hanno lo stesso indice. Va bene, allora, scriviamo la matrice associata. Sigma, proviamo a fare questo per esercizio. Sigma uguale Y. Allora, proviamo a compilarla. Compiliamo la prima riga e poi dopo le altre, la prima e la quarta. le altre le fate voi per l'esercizio. Allora, la prima riga è quella che assegna sigma 1 che è uguale a sigma 1 1, sostanzialmente, sigma 1 1 moltiplicato per tutte le componenti di epsilon. Quindi il primo coefficiente sarà il coefficiente che esprime sigma 1 1 in funzione di epsilon 1 1 allora c'è perché nella traccia di epsilon ricordiamoci che è traccia di epsilon è uguale a epsilon più 1 1 più epsilon 2 2 più epsilon 3 3 quindi avremo effettivamente lambda qua in prima posizione cioè questo termine c'è è presente poi abbiamo che ogni termine di sigma è pari a 2 mu moltiplicato per la corrispondente componente di epsilon quindi qui avremo anche più 2 mu questo termine lo lasciamo da parte perché non moltiplica y, lo scriveremo dopo. Adesso stiamo facendo solo quelli che moltiplicano y, questi primi due qua. Poi, dobbiamo andare avanti, quindi abbiamo il nostro vettore che contiene y1,1 e y2,2, quindi che coefficiente moltiplica y2,2? Allora, questo no, perché sigma 1,1 sarà uguale a 2 mu per y1,1 da questo termine, non dipende da y2,2. Qui invece abbiamo la traccia di y che è la somma di questi termini, quindi c'è anche y2,2 che è moltiplicato per 1 e 1 in questo caso è il tensione di metri uguale a 1 perché stiamo considerando il signor 1,1. Quindi qui avremo in seconda posizione 2μ, scusate, λ. Il secondo coefficiente della matrice risulta essere uguale a lambda. Per lo stesso identico motivo, adesso devo estenderlo, il terzo coefficiente sarà lambda, e poi invece il quarto, il quarto moltiplica, il quarto moltiplica, ricordiamoci, ce l'abbiamo lì, guardate, non lo rischierò perché ci sono lì le componenti. Il quarto componente è questo p. sigma 1,1 dipende da y1,2? No, perché qui nella traccia non c'è. Qui abbiamo detto che appare solo 1,2, quindi ci saranno 0. E così ci saranno 0 per le ultime tre componenti. Beh, le prime tre righe sono molto simili, perché per simmetria saranno uguali sempre a questa cosa qui, 0, 0, 0, e poi lambda, lambda, lambda più 2 mu, 6 lambda più 2 mu, verificatelo per l'esercizio, ma sono così fatte le prime tre righe, sono molto simili alla prima, il coefficiente sulla diagonale è sempre lo stesso, deve essere simmetrico, eccetera. Quindi deve essere simmetrico, anche qui avremo tutti 0 qua sotto. Quindi l'unica cosa che ci rimane da riempire è questa sottomatrice, l'ultima 3x3. Quella che dice come sono legati i coefficienti sigma con indici diversi alle rispettive componenti di y. Allora, se abbiamo una componente di sigma a indici diversi, questo tessore è uguale a 0, perché 1 ha 0 su tutti i coefficienti che non siano sulle diagonali. Quindi questo non dà contributo, rimane solo questo, quindi è 2μ, se io voglio calcolare sigma 1,2, qui avrò 2μ per y1,2. Però ricordiamoci che qui c'è 2y1,2, quindi qui scriverò sulla diagonale mu. E non dipende dalle altre componenti con indici diversi, perché non dipende da y2,3, non dipende da y1,3, dipende solo da y1,2. E così gli altri saranno 0 mu mu, 0, 0, 0, mu. Ecco la matrice compilata. Questo è il nostro legame costituttivo. Questo come si esprime? Avremo un coefficiente che è davanti, che è 3anda più 2, mu, nu per alza t che moltifica un vettore perché devo ricostruire il vettore sigma e il vettore che corrisponde al tensore metrico è 1 1 1 0 0 0 e quindi abbiamo ricostruito il nostro legame in forma matriciale. Allora, c'è un legame... Molto spesso è utile invece utilizzare il legame opposto, anche perché ha un significato fisico molto più... posso cancellare questo. Comunque questo lo avrete tutto nelle dispensite che vi metterò. Ilame inverso è quello che esprime invece l'epsilon in funzione delle stigma e senza dimostrarvelo vi do il risultato finale, epsilon è uguale a meno, adesso appaiono i coefficienti che probabilmente vi ricordate la meccanica, che sono i coefficienti di Poisson e il modulo di Young, traccia di sigma per 1, più 1 più nu diviso re per sigma, più alfa per t per 1, più y2. Questo è il legame inverso, cioè quello che noto sigma vi dà y. Vi vedete che ho usato due coefficienti diversi per esprimere questo legame. Allora, mentre il primo vi contiene ricordarvi la memoria perché lo useremo mille e mille volte, questo qua lo useremo più raramente nelle analisi numeriche, anche se ci dice il significato fisico di questi due coefficienti, dove c'è di passare il modulo di Young. Chiaramente i due set di coefficienti nu, lambda e mu non sono indipendenti. Nelle dispense trovate il modo per, nelle dispense di Nibirot troverete le relazioni che vi permettono di passare dall'uno all'altro. In particolare, quello che troveremo tanto, soprattutto in termine elasticità, è che questo coefficiente sarà uguale ad e diviso 1 meno 2 nu, in funzione degli altri, è più facile ricordarselo, io me lo ricordo in funzione di quella, del modulo di Young i coefficienti di Poisson, non me lo ricordo come sto andando, io mi ricordo questa espressione. Scriviamo il matricione, allora innanzitutto scusate una cosa, vedete che questo è particolarmente semplice ed è il significato fisico di questo alfa, influisce solamente sui coefficienti con uguali indici, quindi se do una variazione di temperatura ne risentono solo gli allungamenti delle fibre, non gli scorrimenti. E gli allungamenti sono pari ad alza per t, dove alfa è il coefficiente di dilattazione termica, è il significato che tutti conosciamo, dell'ordine del 10 alla meno 5 per un acciaio e un po' più piccolo per il silice. Guardiamo solo la matrice associata alle stigma. Ah bene, io ve la stegno e provate a giustificarla per esercizio. Allora, vediamo che innanzitutto ci sarà sempre 1 diviso E a moltiplicare, quindi lo porto fuori. 1 diviso e c'è ovunque, per cui è ovvio che tutti i coefficienti ci saranno. Allora sono 1 meno nu meno nu 0 0 0 e così si costruiscono gli altri. Poi tutti gli altri, tutti i coefficienti sono uguali a zero, tranne quelli sulla diagonale che sono 2, 1 più mu, 2, 1 più mu, 2, 1 più mu. Ok, va bene, ma prendiamola per buono, poi dopo nell'espressione, se ne avete bisogno, la trovate qui, diamo un significato fisico. Allora, prendiamo il primo coefficiente, questo qua. Questo vuol dire che se abbiamo solo σ1,1, se l'unica componente di sigma diversa da 0 è sigma 1 1, allora epsilon 1 1 risulterà essere uguale a questo diviso E. E questa è la relazione più semplice di meccanica dei solidi, cioè la deformazione è uguale allo sforzo diviso il modulo di Young. Per questo è molto semplice valutare in laboratorio, si prende un programma, lo si tira, solamente con sigma 1,1 si vede di quanto si allunga il modulo di Young e il rapporto. Il modulo di Young è il parametro di meccanica dei solidi per eccellenza. Ordine di grandezza per un acciaio 200.000 MPa, ovvero 200 circa GPa. Per un silicio può essere 160, 164, 165, dipende dal lotto di produzione. 165 polisilicio, intendo, 165 GPa. Peruminio 70 gigapascali, insomma i numeri sono sempre grossi. Nu, quel vicente di Poisson, che significa tohà? Supponiamo che ci sia sempre solo sigma 1 o 1, cioè che io stia tirando solo una barretta lungo il suo asse che è diretto come l'asse 1 e voglio calcolare y2,2. Allora y2,2 è dato da questo coefficiente qua che è uguale quindi a meno nu diviso e per sigma 1,1. Tipicamente nu è maggiore di zero per i materiali in natura anche se ormai ci ci sono dei materiali ingegnerizzati, metamateriali che hanno dei nu negativi. Però i materiali standard ce l'hanno positivo, 0,27, 0,3. Vuol dire che se io tiro in una direzione, le fibre in direzione ortogonale si accorciano. Si accorciano di una frazione dell'allungamento, una frazione che però è significativa, 0,3, 0,3 non è trascurabile. Quindi tiro, questi nella direzione opposta si accorciano, si restringono. E questo vale non solo in direzione 2 ma anche in direzione 3, y3,3 sarà uguale alla stessa cosa, 1,1 diviso e il prossimo 1,1. Quindi anche questa è una, 1. Quindi anche questa è abbastanza facile, più delicata, ma è abbastanza facile da misurare in laboratorio. Tiri, misuri quanto si accorgia, quanto si restringe in direzione trasversale e dai una stima del coefficiente di passaggio. Quindi, sperimentalmente si calcolano E e NU e poi dopo con le relazioni che vengono fuori dall'analisi, dalla matematica, dalla teoria dei tensori esotrobi, si ottengono lambda e 2NU. Quindi si ottiene l'altro set di parametri. Però noi useremo la relazione in questa forma, in una forma diretta, avremo bisogno di esprimere stigma e funzioni di epsilon e quindi usiamo più spesso la prima. Ok? E questo è quanto. Dovevamo dire, vi devo dire, sul legame costitutivo. ma finiamo la parte noiosa, rimandiamo l'uso del gioco, cominciare a giocare sul codice la settimana prossima, almeno però finiamo questa cosa. Poi dopo ci possiamo lanciare sul metodo di soluzione. Formulazione del problema, cioè come si mettono assieme tutte queste cose che abbiamo detto. Ne abbiamo detto talmente tante che viene mal di testa. Però adesso cerchiamo di metterle assieme. Ci manca in realtà un piccolo elemento che sono le condizioni al contorno. Come ogni problema differenziale che si rispetti, lo sapete meglio di me, ci sono le equazioni alle derivate parziali e ci sono le condizioni al contorno. Più le condizioni iniziali, se il problema è dipendente da tempo. Loabbiamo visto anche nella diffusione della settimana scorsa, c'era l'equazione in forma forza che poi abbiamo trasformato in forma debole e poi le condizioni al contorno, la temperatura assegnata su un lato e le condizioni iniziali, temperatura uniforme e volga. Quindi dobbiamo fare qualcosa del genere, ci vogliamo dire cosa sono nel nostro caso le condizioni al contorno. Allora, facciamolo per un problema che sarà poi il problema che affronteremo nella generazione della mesh la settimana prossima. Quello che volevo fare oggi è il problema descritto nell'appendice sui elementi finiti nelle dispense. Allora, c'è questa roba qua, che cosa sono sticare l'inviva? Abbiamo questa piastra forata, che sarà proprio uno degli esempi che troveremo dentro,esta piastra forata è assoggettata a vari tinte di sollecitazioni. Allora, abbiamo che questo lato qua è bloccato, i carolini però implicano che possono scorrere in direzione verticale, semplicemente che bloccano lo spostamento orizzontale ma lasciano libero lo spostamento verticale. Questa è la definizione della mia condizione contro. Qui a destra invece abbiamo una cosa simile, lo scorrimento in verticale libero, lo spostamento orizzontale è in posto diverso da zero pari a delta, per tutti i carellini, cioè abbiamo la stessa condizione al contorno di spostamento per tutti i punti di quella superficie. Sul foro interno viene applicata una pressione P. Ok, questa è la descrizione del problema. Il nostro corpo si deforma a un certo punto, il nostro corpo si deformerà più o meno esagerando in questa maniera, ovviamente molto esagerando, il corpo si trasformerà nelle liste, questo se fosse di gomma veramente farebbe così. Le condizioni al contorno, siccome l'equilibrio lo imponiamo sulla configurazione attuale, le condizioni al contorno le analizziamo sulla configurazione attuale. Allora, noi innanzitutto faremo una partizione della superficie in superficie S1, S2, S3, S4 ed S5, il fuori interno. Il bordo del nostro corpo è dato dall'unione di queste 5, ok? In configurazione attuale. D'accordo? Affinché il problema sia ben posto, in configurazione attuale, per ogni punto della superficie nelle tre direzioni del sistema di riferimento 1, 2, 3 per ciascuna di queste tre direzioni dobbiamo assegnare una condizione che può essere o di spostamento o di forza F. Vi ricordate che avevamo parlato di forza F esercitata sulla superficie del corpo, la F piccola? Quindi dobbiamo imporre una delle due cose, mutualmente esclusive, ma almeno una la dobbiamo imporre. Quindi dobbiamo imporre o lo spostamento o la forza, in ciascuna delle tre direzioni. Non possiamo imporre tutte e due, per un motivo semplice, perché se prendiamo un corpo e imponiamo uno spostamento non conosciamo a priori la forza. Così, se prendiamo un corpo e applichiamo una forza, non conosciamo a priori lo spostamento. Cioè, è abbastanza intuitivo che se pretendiamo di imporre in uno stesso punto sia la forza sia lo spostamento, il problema sarà mal posto. Anche matematicamente si vede che affinché il problema venga ben posto, le condizioni al contorno devono essere fatte così. Cioè, in ogni punto del contorno si deve imporre o lo spostamento o la forza in ciascuna delle tre direzioni. Per questo motivo noi prenderemo il nostro contorno delta omega ed effettueremo una partizione in superficie che chiameremo SUI e superficie che chiameremo STI per I uguale a 1, 2, 3, I uguale 1, 2, 3, cioè per ognuna delle tre direzioni. Che cos'è SUI? SUI è la parte di superficie, la parte di delta-omega, sulla quale imporremo lo spostamento in direzione I. STI, invece, sarà la parte di delta omega, dove imporremo la forza in direzione I. Ok. Come faccio a tradurre matematicamente quello che ho detto prima? Cioè che in un punto devo necessariamente imporre una delle due condizioni, ma sono esclusive. Dovranno dire semplicemente che delta omega è uguale a SUI unione SG. Questo vuol dire che sto imponendo una condizione in tutti i punti del bordo. No? Però questa mi dice che sto imponendo almeno una condizione in tutti i punti del bordo. Se voglio invece dire che sono mutualmente esclusive, allora devo dire che SUI intersezione STI è uguale all'insieme nullo. Cioè non c'è nessuna intersezione fra queste due superfici. Cioè l'unione, e questa attenzione per ogni I, quindi devo saperlo fare per I uguale ad 1, I uguale ad 2, I uguale ad 3, nelle tre direzioni. Cioè l'unione di queste due superfici S, U e S e T deve dare il bordo completo, ma non c'è intersezione, perché se ci fosse intersezione vorrebbe dire che in un punto sto assegnando sia la forza sia lo spostamento. Vediamo come questo diventa per il nostro problema, per il nostro problema particolare. Perché sarà importante sapere quantificare le condizioni al contorno. Cioè, questo problema, quali sono le condizioni al contorno? Sono un problema estremamente concreto estremamente concreto che fa parte anche dell'idealizzazione voi vedete che la vostra tutela, il vostro mem se lo volete simulare e gli chiedete ma quali sono le condizioni al contorno? e i codici FEM capiscono solo queste cose qui che stiamo introducendo e non è una cosa astratta poi vedrete che esattamente questo si troverà anche all'interno dei file input che dovremo generare per dire all'analisi cosa devi fare. Allora, vediamo. Sulla superficie S1. Quindi faccio un bel disegno qua, più grosso, più grande, e vado a dire quali sono le condizioni. Qua che cosa sto imponendo? Sto imponendo che U in direzione X dato è uguale a 0. Siamo d'accordo? La presenza del carayle impone che su tutta questa superficie conosco lo spostamento in direzione X ed è 0. Quindi vuol dire che non posso imporre la forza in direzione X, adesso già. In dire direzione y, la presenza dei carrelli dice che questo può scorrere, quindi non conosco lo spostamento in direzione verticale, so che i carrelli non possono esercitare forza e che quindi Fd in direzione y è uguale a 0. Conosco la forza esercitante in direzione y che è 0. D sta per dato, come la settimana scorsa. Quando ho un dato gli metto l'apice D. Ok, allora vedete che qui abbiamo rispettato la condizione mutuamente esclusiva, no? Perché in ogni punto assegno una condizione, certamente sì, e non le sto sovrapponendo. Va bene, ma questo lo vediamo dopo. Prima completiamo le condizioni assegnate su tutto il contorno. Allora, qui non ho niente, il problema non mi dice niente, in realtà mi dice una cosa estremamente interessante, che sto applicando delle forze nulle in tutte le direzioni. Quando il problema non dice niente vuol dire che la forza è nulla, quindi avremo f di x uguale a f di x uguale a 0. E lo stesso qua sopra. Quindi completiamo f di x, f di x uguale a f di y uguale a f di x uguale a f di y uguale a f di x uguale a f di y uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x uguale a f di x ugo so che Fd ve lo scrivo come vettore uguale a meno P per n lo conosco poi a seconda del punto conoscerò dovrò decomporlo se lo voglio esprimere in xy dovrò usare un angolo per dire quali sono i componenti x però così però così è scritto in maniera chiara. La forza è assegnata in tutte le direzioni. A destra, per dire, le condizioni sono molto simili a quelle che accadevano a sinistra, l'unica differenza è che lo spostamento in posto è pari a delta e non è zero. Quindi avrò Ud in direzione x uguale a delta e ud in direzione y uguale a, scusate, edesp v in direzione y uguale a zero. Ok, quindi questo è l'esercizio che bisogna fare appena si ha un problema, cioè quali sono effettivamente le condizioni che vengono assegnate sulle varie parti di superficie. Adesso ricordiamoci che ho dato dei nomi a queste parti di superficie S1, S2, S3, S4 e S5 e facciamo un esercizio. Voglio esprimere, voglio dire quali sono queste due superfici S1 e SI. E lo voglio fare... Qui siamo in un problema piano, quindi a terza direzione non c'è, quindi parliamo solo di XY. Quindi, qual è la superficie SUX? La superficie SUX è la superficie in cui sto imponendo delle condizioni sullo spostamento in direzione x. Su quali superfici le ho imposte? Le ho imposte sulla S1 e sulla S3. Quindi questa sarà uguale a S1 unione S3. E così via. Proviamo a... vediamo un po'. SUy. Provate a dirmelo voi. Secondo voi che cosa sarà SUY? È zero. Non c'è. Perché non è imposto da nessuna parte condizioni sullo spostamento in direzione Y. Quindi è la massima di ricerca vuota. STX. Su quale superficie ho imposto la forza in direzione X?2 S4 S5 S2 S4 S5 quindi sarà S2 non S4 non S5 e fine qual è la superficie S di Y? su quale superficie ho imposto forza in direzione Y? solo S5 no? no cosa mai? su quale superficie ho imposto forze in direzione Y? Solo S5. No? No, cosa mai? Su quale superficie? Tutto. Ovunque. Ovunque, no? Tutto il bordo. Delta omega. Adesso, va bene, questa è una costruzione. Andiamo a vedere se sono stato bravo e ho rispettato queste condizioni qua. È vero che se prendo ad esempio la direzione X, unione di SUX ed STX da tutto il bordo? Sì? È vero che l'intersezione è nulla? S? per la direzione y è ancora più semplice quindi vedete che naturalmente queste condizioni che impongono sono assurde per un problema meccanico sono le condizioni naturali e sarebbe difficile appunto che qualcuno venisse e pretendesse di imporre sia lo spostamento sia la forza. La condizione naturale imporre uno l'altro. Però abbiamo imparato a imporre queste condizioni. Va bene, quindi una volta capito come si fa questa che si chiama partizione della superficie nelle condizioni al contorno. Scriviamo formalmente come si scrivono le condizioni. Allora avremo che ui è uguale a ui assegnato y appartenente ad SUI. Cioè su tutte le superfici SUI avrò assegnato lo spostamento in direzione I. Per definizione, no? Per definizione di superficie SUI. Invece, su tutte le superfici STI conosco che cosa? Conosco la forza. Vi ricordate l'equazione di equilibrio sulla superficie che diceva sigma scalar n uguale ad F di, scusate, uguale ad F, io l'avevo scritta così. Adesso dobbiamo dire che, l'avevamo scritta in componenti anche sigma ij nj uguale ad fi, l'avevamo scritta con queste componenti. Adesso io devo dire che sulle superfici sti conosco la componente iesima della forza, quindi dovrò dire che sigma ijnj è uguale ad fdi sulla superficie st. Ok? È abbastanza delicato però, se volete, è una specie giochetto questo. Però è un giochetto molto importante. Ecco, queste sono le condizioni al contorno. Le condizioni iniziali saranno ovvie perché dovremo imporre degli spostamenti iniziali, delle velocità iniziali. Adesso siamo pronti a... Ecco, infatti ho sbagliato perché non l'ho appropriata. Adesso siamo pronti a mettere tutto tutto assieme, veramente, a formulare il problema. Qui ci sarebbe veramente un passaggio estremamente delicato, però in virtù di tutte le ipotesi che abbiamo fatto, vi ricordo che per il legame costitutivo, magari adesso non ve ne siete scordati ma ho detto che eravamo in trasformazione infinitesima andate a leggere la serie di ipotesi, trasformazione infinitesima temperatura limitata, variazione di temperature limitate, poi abbiamo detto che sigma 0 doveva essere piccolo rispetto ai coefficienti di A, adesso sappiamo che il tipico coefficiente di A è il modulo di Young, quindi possiamo dire che il sigma zero deve essere piccolo rispetto ad esempio al modulo di Young. Casper, non è molto difficile essere piccolo rispetto a 200 giga pascal, anche perché se avessimo uno sforzo di 200 giga pascal saremmo veramente finiti. Uno sforzo grande è nell'ordine del mega pascal, magari decina di mega pascal, centinaia di meno, quindi almeno tre ordini di grandezza sotto il modulo di Young. Quindi è un'ipotesi che è abbastanza ben rappresentata. È vero che deve essere uno grande di di VEPS4 però insomma avere una pressione di 200 di 200 megapascal è veramente tanto tanto perché un megapascal in quanti bar sono? un bar è 10 alla quinta e nel megapascal 10 alla sesta ci sono 2000 bar. Vi avremmaginate una bombola, io non faccio inversioni, ma una bombola con 2000 bar di pressione. Se ne ha 200 siamo veramente a una grande pressione, quindi rimane 4 ordini di gradezza sotto il modulo di Younger. Quindi ci può stare, 10 alla meno 4 può essere considerato una buona approssimazione di un Veps quadro 10 alla meno 2 è un Veps bolino quindi 10 alla 4 10 alla meno 4 diventa un buon Veps al quadrato quindi sono tutte ipotesi che sono ragionevoli 200 bar veramente sono tanta persone allora quindi se mettiamo dentro quell'ipotesi tutte quante quelle ipotesi però aggiungiamo che non solo lo sigma zero deve essere piccolo ma anche le forze che noi applichiamo sulla nostra struttura siano sufficientemente piccole, che le forze FD siano un grande di Veps per A, qui siamo un po' più rilassati, quindi basta un Veps, quindi in base a quello che abbiamo detto è ampiamente rispettato. Quindi se anche questa ipotesi, quindi che i carichi siano, si dice, carichi limitati, se i carichi sono limitati, allora possiamo per fortuna utilizzare una formulazione linearizzata, che ci permette di imporre tutte le condizioni di equilibrio sulla configurazione iniziale. Erano in teoria da applicare sulla configurazione attuale, ma poiché tutto si muove poco perché le trasformazioni sono infinitesime e gli sforzi non sono esagerati, facciamo un errore piccolo se applichiamo tutto in configurazione iniziale, con l'enorme vantaggio che la configurazione iniziale nota. Quindi diventa un problema completamente lineare. Scriviamo quindi tutte le equazioni che governano il nostro problema completamente lineare. Allora abbiamo le condizioni indefinite di equilibrio. Che sono? Attenzione che adesso introduco alcune modifiche rispetto a quelle vincite Rho, quali sono? Sono Rho 0, quindi densità iniziale, mentre prima ce la Rho, e l'accelerazione. Cioè considero tutto in configurazione iniziale, la densità in configurazione iniziale, la geometria in configurazione iniziale, poi meno la divergenza di sigma, e vedete che l'ho scritta diversa rispetto a prima, perché prima avevo scritto in testo, div. Adesso però le derivate sono la stessa cosa, però fatte rispetto non all y ma alla x quindi uso il nabla, come ho sempre dichiarato meno ro 0f e le forze di volume utilizzano la densità iniziale questo è una ra 0 F dato I per X, anche qui la differenza è che la impongo sulla superficie T0, cioè la superficie iniziale, mentre la vera condizione al contorno era imposta in configurazione attuale. Adesso però, in virtù di tutte quelle ipotesi, posso linearizzare, chiaramente non vi ho spiegato perchéato perché se volete vedere un po' perché anche lì andate a vedere il malloppone delle distenze in capitolo 4 spiegate un po' come mai si può linearizzare però abbastanza intuitivo tant'è che la meccanica delle strutture la formulazione viene presentata direttamente in geometria iniziale, senza neanche dirlo, senza neanche spiegarlo. Quindi, invece di avere le condizioni di equilibrio, l'equazione di equilibrio sul contorno, su tutta la superficie, abbiamo le condizioni al contorno, cioè la differenza del sottile, quelle erano condizioni di equilibrio. Queste invece le chiamo condizioni al contorno, in forza, che sono applicate solamente sulle superfici ST0I. Lo zero indica che la superficie non questa deformata, non questa che era deformata, ma quella iniziale. Ok? Poi abbiamo le condizioni di equilibrio sull'interfacciace che però non troveremo mai, come vi ho detto. Sulle interfacce tra vari materiali in questo salto deve essere uguale a zero, qualunque x appartenente alle superfici SI0, cioè sulle interfacce nella configurazione iniziale. Ecco, queste tre sono le equazioni di equilibrio del nostro problema. Sono la parte relativa all'equilibrio. Associati a queste abbiamo le condizioni cinematiche, quindi i valori imposti degli spostamenti, ui uguale a ui assegnato, qualunque x appartenente a s u0i, e poi abbiamo il legame costitutivo, quello che lega fra di loro la stigma e la y, il legame che abbiamo scritto prima. Lo scrivo in forma generale, anche se poi utilizzeremo sempre solo il... anzi no, facciamo che uso direttamente il legame lambda per la traccia di y per 1 più 2 nu e y meno e diviso 1 meno 2 nu alfa t più sigma 0. Questo è il legame costitutivo. Quello che abbiamo scritto prima, alla fine. L'istieme di tutte queste equazioni costituisce un problema complicato ma ben posto. Perché potete benissimo immaginare, non lo si fa mai, cioè non lo si fa mai, non faremo come, però non analiticamente, si prende sigma e lo sostituisce qua dentro. Quindi, tutto diventa formulato in funzione di epsilon, ma epsilon, beh, epsilon, attenzione, dovete scrivere che epsilon è uguale alla parte simmetrica del gradiente U, questo non l'ho riscritto, ma è ovvio, questo vale sempre, no? Quindi, y qua dentro è in funzione dello spostamento, se si costituite sigma qua dentro, questa divergenza diventa una serie di derivate di secondo ordine rispetto allo spostamento. Quindi è veramente un'equazione iperbolica, l'equazione delle onde assomiglia molto all'equazione, infatti decomponendo in maniera opportuna, cosa che si fa in sismica, in generica sismica, si vede proprio l'equazione delle onde, quelle che arrivano in terremoto, le onde S, le onde P, le onde SH, tutte queste cose qui. Quindi è un'equazione iperbolica. Quindi legame costitutivo potete anche filtrarlo, non mettere Y dentro sigma, sigma dentro qua e formulare tutto solo in funzione di queste cose, tenendo conto delle condizioni al contorno e spostanti. Questa formulazione parte del problema l'avevamo scritta nei primi due minuti. Adesso invece abbiamo dovuto richiamare, ma penso che fosse necessario richiamare queste cose qui. Se no farmi piombare queste equazioni dall'alto, magari invece è stato peggio così, non lo so, me lo direte voi a questo rio. Cosa avevamo fatto la volta scorsa? Vi ricordate, prima di fare l'implementazione in Matlab, avevamo deciso che implementare la forma forte non ci piaceva. La forma forte dell'equazione. Non avevamo queste condizioni la volta scorsa, queste qui non c'erano, perché non c'era flusso termico imposto, almeno, forse all'inizio sì, ma dopo nell'esempio non c'era più. Invece, quello che dobbiamo fare adesso, senza dimostrarlo, cioè quel processo che abbiamo fatto la volta scorsa di integrazione per parti si può fare anche qui, salteremo la dimostrazione, vi dico solo a che punto si arriva, la cosa che voglio fare è sostituire queste tre equazioni in forma forte con la forma debole, che in meccanica dei solidi si chiama principio delle potenze virtuali. E aggiungo una definizione in forma ristretta, perché c'è anche una forma estesa, ma noi per l'implementazione FM utilizziamo la cosiddetta forma ristretta. Quindi vi prego pazienza un quarto d'ora e poi oggi finiamo perché vi ho ammazzato. E tutte le cose, quindi Galerkin e Gmesh, lo vediamo settimana. Va bene, allora cosa vuol dire imporre queste equazioni in forma debole? Allora, per sottilicare le cose non consideriamo questa terza equazione. Sappiate che con una piccola modifica si può anche prendere in considerazione questa terza equazione che quindi quello che otteniamo è il risultato finale vale assolutamente anche per il caso dell'interfaccia se hai bisogno di un caricatorino attentissimo no no mi sono ricordato che è un iPad. Perché c'è il lightning, sì. Come? C'è il lightning di presa. Eh, no, è l'altra, non è questa. Ah, non è questa PC, perché anch'io... No, no, ma finalmente... Grazie allo stesso. Allora... allora dicevo allora non consideriamo questa qui però vi dico che il risultato finale. Il principio delle potenze virtuali si scrive esattamente nella stessa maniera. Allora, non voglio porre questa in forma forte, ma la voglio porre in forma debole. Che cosa vuol dire? Che prendo la prima, la integro su... Vi ricordate cosa ho fatto? L'avevo preso l'equazione, l'avevo integrata sul volume, questo qua diventa rho zero, quindi rho zero per u due punti meno divergenza di sigma, meno rho zero a rete. Ok, l'avevo moltiplicata... Questa è un'equazione vettoriale, quindi deve essere moltiplicata scalarmente per un campo test che chiamo w, e la integro sul volume di omega. La cosa ovvia è che se questa equazione è rispettata, anche questo integrale sarà uguale a 0, per qualunque scelta di W quindi è una condizione che questa sia uguale a zero è una condizione necessaria se l'equilibrio è rispettato poi però ci aggiungo anche l'altro termine che corrisponde a queste condizioni al contorno in forza. Dove le dobbiamo integrare? Le dobbiamo integrare sulla superficie ST0I, perché sono definite lì, e sono sigma in J, sigma in J NJ, meno F dato I, questo è l'indice libero è solo I, la moltiplico per una funzione test wii, la integro sulla superficie e anche questa deve essere necessariamente uguale a 0 se quell'equazione a contorno è soddisfatta. Una piccola modifica, qui in teoria posso avere tante superfici ST, cioè le superfici ST0i possono essere diverse per I uguali a 1, 2, 3, quindi devo fare la somma su tutti gli I, la somma su gli I di queste cose, perché potrei avere una superficie ST0X, Y e Z, diverse fra di loro ma ci possono essere tutte e tre, quindi le sommo. Però ognuna singolarmente deve essere uguale a zero. Quindi che questa cosa sia uguale a zero è una condizione certamente necessaria per una scelta di W doppia arbitraria. Per una scelta di W doppia arbitraria. Però vi ricordate cosa abbiamo detto volta scorsa? Che se invece di impolla per una scelta unica di W, la impugniamo in uno spazio di W sufficientemente ricco, ad esempio lo spazio delle funzioni a campana, localizzate, che quindi vanno a prendere i valori di queste funzioni in punti precisi, è abbastanza intuitivo che se impongo questa per una scelta molto ricca di W che sta all'interno di un certo spazio che adesso chiamo C, uno spazio di funzioni continue e differenziabili, se lo impongo per ogni possibile scelta di W all'interno di questo spazio, questa equazione corrisponde quasi perfettamente alla forma forte. Per i nostri fini, perfettamente. A questo punto però devo definire due spazi, due spazi che abbiamo già visto la settimana scorsa e che sono gli spazi funzionali di cui ho bisogno per impostare il problema che sono lo spazio CUD e lo spazio C0. Che spazio è lo spazio CUD? Cioè delle funzioni S, tale che SI sia uguale a UDI su SU0I, cioè delle funzioni che sono belle, fatte bene, continue, che hanno tutte le proprietà che mi servono per calcolare queste integrali e che soddisfano le condizioni al contorno cinematiche, così come se ti manscolta c'è la condizione al contorno sulla temperatura invece lo spazio c0 è l'istrame per tutte le funzioni C0. Ma perché? Ma perché sulle superfici SUI, io conosco già la soluzione, perché mai dovrei andare a imporre una condizione sulla superficie SUI se già conosco la soluzione spostamento? E poi questo avrà il vantaggio, che abbiamo già visto la settimana scorsa, di eliminare quei termini di superficie che dipendono dalle trazioni incognite sulla superficie e far apparire solo le trazioni note. Quindi, sostanzialmente, vado a testare queste equazioni solamente con le delle W che siano 0 altrove. Cosa mi serve? Le devo integrare solamente su S e T0X? Cosa mi serve che siano diverse da 0 altrove? Sulle superfici SUI. Lì, poi, conosco la soluzione, quindi mi limito a testarla con questa funzione W in C0. Ok, un abuso di linguaggio, un abuso di notazione, un abuso di notazione, siccome scrivere sempre tutto questo integrale è molto noioso, io lo scriverò, ma è una cosa sostanzialmente giusta, lo scriverò così, st0, lo scriverò così. Non è la stessa cosa, perché io sto dicendo che sto integrando su tutte le superfici ST0. Sappiamo che invece in ogni direzione la superficie ST0 può essere diversa, quindi con ST0 sto indicando l'unione delle superfici ST0i nelle tre direzioni. È una questione proprio di notazione, cioè quando troviamo questa espressione dobbiamo pensare a questa sommatoria complicata. E lo uso solo per scrivere brevemente. Però, a patto di definire... A parte che devo scrivere ST0, se no non... ST0. A parte di definire ST0 come l'unione di queste superfici, cosa che è abbastanza naturale. Non ci sono errori sostanziali in quello che facciamo. L'obiezione potrebbe essere dire che Fd non è... No, neanche qui ci sono critiche, perché basta definire questo vettore Fd come quel vettore che ha le componenti corrette su una superficie St. Non è un errore veramente grave concettualmente sostituire questa espressione a questa, ma a noi serve dal punto di vista solo per scrivere più rapidamente. Quindi lasciatevi scrivere l'espressione sotto al posto di quella sopra. Al posto di quella sopra. Ok? Il vettore F e D si possono rimettere a posto veramente tutte le cose. Va bene, permettetemi di fare questo, lo userò frequentemente, soprattutto nell'implementazione di elementi finti, invece di scrivere questo sommatore scriverò questa cosa. Applicando delle formule di integrazione per parti che troverete nella dispensa, che fanno uso del teorema della divergenza, però un po' complicato perché il teorema della divergenza deve essere in questo caso applicato ad un tensore, quindi bisogna lavorare un pochettino per tirarla fuori, si dimostra che questa equazione diventa la cosa seguente che vi scrivo. L'integrale su ω0, ρ0 u due punti, prodotto scalare con v doppia, quindi ω, più, e questa è una, se volete, una potenza, è la potenza delle forze di inerzia. Il prodotto scalare fra le forze di inerzia è questo campo test, se questo campo test lo intendiamo come una velocità test, diventa una potenza, più l'integrale su omega 0 di questo oggetto qui, sigma, e vi dico cos'è questo simbolo dei due punti, sigma contratto, doppiamente si legge, doppiamente contratto con epsilon valutato subidoppia, che cos'è? Epsilon, vi ho detto, molto spesso lo interpreto come operatore, quando scrivo Epsilon, l'ho allontato su questo vettore, intendo la parte simmetrica del gradiente di W. Quindi un mezzo del gradiente di W più il gradiente trasporto di W. Questa è la parte segno, si chiama potenza degli sforzi interni. Questa cosa è uguale all'integrale su omega di rho zero F scalare W doppia, quindi omega, questa è la potenza delle forze di volume, questa è la potenza delle forze di volume, più l'integrale su st0, e quindi uso l'abuso di linguaggio che ho introdotto prima, st0 di fd scalando doppia, e questa è la potenza delle forze assegnate di superficie. Questo è il principio delle potenze virtuali che deve essere imposto per tutte le possibili scelte di W nello spazio C0. Cioè, non ho fatto i passaggi, non ho fatto la dimostrazione, ma è rigorosamente vero che questa prima riga equivale a questa. E questo è il principio delle potenze virtuali. La potenza delle forze di inerzia più la potenza degli sforzi interni, i segni non mi interessano, sono uguali alla potenza delle forze esterne, forze di volum e forze di superficie. Però vedete che abbiamo fatto la stessa cosa della settimana scorsa, qui avevamo, se sostituite la legge costitutiva qua dentro, abbiamo notato prima che arriviamo a delle derivate seconde nello spostamento. Qui invece integrando per parti, sigma dipende solo dalle derivate prime e una derivata prima è stata scaricata sulle funzioni test. Quindi abbiamo solo derivate prime rispetto allo spazio e quindi un'interpolazione continua, il cui gradiente sia discontinua tratti, va benissimo per approssimare questo integrale. Cioè gli elementi finiti che abbiamo usato la volta scorsa, che erano lineari tratti, avevano le derivate discontinue, sono perfetti per calcolare un termine di questo genere, mentre non ci avrebbero mai permesso di affrontare le derivate seconde. Quindi questo è il nostro principio delle potenze virtuali, che è un'espressione che noi useremo tantissime volte. Quindi se c'è una cosa che... In realtà oggi ci sono un po' di cose che vi dovete ricordare a memoria. Questo è forse l'elemento più importante. Gli altri li trovate qua. Queste ve le potete anche dimenticare quasi, perché soprattutto queste qui, queste equazioni di equilibrio è meglio ricordarsene, queste ce le ricordiamo, queste ce le ricordiamo e poi il principio delle potenze virtuali. Se volete le cose che dovete veramente ricordarvi di oggi sono contenute in questa lavagna. Il significato poi è meglio ricordarsi gli appunti, rivedere gli appunti, però quello che ci servirà per continuare sono effettivamente questo. Questo principio delle potenze virtuali imposto per tutte le possibili scelte di W nello spazio C0 sostituisce in toto le tre equazioni di equilibrio in forma forte. Quindi per risolvere il problema dovremo associare a questo solo le ultime condizioni, queste tre, che U cioè rispetti le condizioni a contorno e sbostamento, che sì, ma sia legato a Y attraverso la legge costitutiva e che Y non sia la parte simmetrica, questo l'abbiamo già ripetuto, alla fine ho azzeccato la taglia del capitolo.