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data Laberinto a = Salida
| Celda a
| Pasillo a (Laberinto a)
| Bifurcacion (Laberinto a) (Laberinto a)
haySalida :: Laberinto a -> Bool
haySalida Salida = True
haySalida (Celda _) = False
haySalida (Pasillo _ lab) = haySalida lab
haySalida (Bifurcacion lab1 lab2) = haySalida lab1 || haySalida lab2
normSalidas :: Laberinto a -> Laberinto a
normSalidas Salida = Salida
normSalidas (Celda a) = Celda a
normSalidas (Pasillo n lab) = Pasillo n (normSalidas lab)
normSalidas (Bifurcacion Salida Salida) = Salida
normSalidas (Bifurcacion lab1 lab2) = Bifurcacion (normSalidas lab1) (normSalidas lab2)
haySalida = haySalida . normSalidas
PROP: haySalida = haySalida . normSalidas
DEM: por ppio de ext.
¿para todo lab :: Laberinto a. haySalida lab = (haySalida . normSalidas) lab?
Por definición de composición, es equivalente a
¿para todo lab :: Laberinto a. haySalida lab = haySalida (normSalidas lab)?
Caso Base.1 -- lab = Salida
haySalida Salida = haySalida (normSalidas Salida)
-- Lado Der
haySalida (normSalidas Salida)
-- = (normSalidas.1)
haySalida Salida
-- Queda demostrado Caso Base.1
Caso Base.2 -- lab = Celda n
haySalida (Celda n) = haySalida (normSalidas (Celda n))
-- Lado Der
haySalida (normSalidas (Celda n))
-- = (normSalidas.2)
haySalida (Celda n)
-- Queda demostrado Caso Base.2
Caso Inductivo.1 -- lab = Pasillo a lab1
¡HI: haySalida lab1 = haySalida (normSalidas lab1)!
¿TI: haySalida (Pasillo a lab1) = haySalida (normSalidas (Pasillo a lab1))?
-- Lado Der
haySalida (normSalidas (Pasillo a lab1))
-- = (normSalidas.3)
haySalida (Pasillo a (normSalidas lab1))
-- = (haySalida.3)
haySalida (normSalidas lab1)
-- x HI
haySalida lab1
-- Lado Izq
haySalida (Pasillo a lab1)
-- = (haySalida.3)
haySalida lab1
-- Queda demostrado Caso Inductivo.1
Caso Inductivo.2 -- lab = Bifurcacion lab1 lab2
¡HI.1: haySalida lab1 = haySalida (normSalidas lab1)!
¡HI.2: haySalida lab2 = haySalida (normSalidas lab2)!
¿TI: haySalida (Bifurcacion lab1 lab2) = haySalida (normSalidas (Bifurcacion lab1 lab2))?
-- Lado Der
haySalida (normSalidas (Bifurcacion lab1 lab2))
-- = (normSalidas.5)
haySalida (Bifurcacion (normSalidas lab1) (normSalidas lab2))
-- = (haySalida.4)
haySalida (normSalidas lab1) || haySalida (normSalidas lab2)
-- x HI.1 && HI.2
haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Lado Izq
haySalida (Bifurcacion lab1 lab2)
-- = (haySalida.4)
haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Queda demostrado Caso Inductivo.2
normSalidas :: Laberinto a -> Laberinto a
normSalidas Salida = Salida
normSalidas (Celda a) = Celda a
normSalidas (Pasillo n lab) = Pasillo n (normSalidas lab)
normSalidas (Bifurcacion Salida Salida) = Salida
normSalidas (Bifurcacion lab1 lab2) = Bifurcacion (normSalidas lab1) (normSalidas lab2)
haySalida :: Laberinto a -> Bool
haySalida Salida = True
haySalida (Celda _) = False
haySalida (Pasillo _ lab) = haySalida lab
haySalida (Bifurcacion lab1 lab2) = haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Punto 3
data BoolExp = BBop BBO BoolExp BoolExp | BTrue | BFalse
data BBO = BAnd | BOr
bopToOP :: BBO -> Bool -> Bool -> Bool
bopToOP BAnd = (&&)
bopToOP BOr = (||)
evalBE :: BoolExp -> Bool
evalBE BTrue = True
evalBE BFalse = False
evalBE (BBop bop be1 be2) = (bopToOP bop) (evalBE be1) (evalBE be2)
haySalidaBE :: Laberinto a -> BoolExp
haySalidaBE Salida = BTrue
haySalidaBE (Celda _) = BFalse
haySalidaBE (Pasillo _ lab) = haySalidaBE lab
haySalidaBE (Bifurcacion lab1 lab2) = BBop BOr (haySalidaBE lab1) (haySalidaBE lab2)
-- Punto 4
evalBE . haySalidaBE = haySalida
PROP: evalBE . haySalidaBE = haySalida
DEM: por ppio de ext.
¿para todo lab :: Laberinto a. (evalBE . haySalidaBE) lab = haySalida lab?
Por definición de composición, es equivalente a
¿para todo lab :: Laberinto a. evalBE (haySalidaBE lab) = haySalida lab?
Caso Base.1 -- be = Salida
evalBE (haySalidaBE Salida) = haySalida Salida
-- Lado Izq
evalBE (haySalidaBE Salida)
-- = (haySalidaBE.1)
evalBE BTrue
-- = (evalBE.1)
True
-- Lado Der
haySalida Salida
-- = (haySalida.1)
True
-- Queda demostrado Caso Base.1
Caso Base.2 -- lab = Celda n
evalBE (haySalidaBE (Celda n)) = haySalida (Celda n)
-- Lado Izq
evalBE (haySalidaBE (Celda n))
-- = (haySalidaBE.2)
evalBE BFalse
-- = (evalBE.2)
False
-- Lado Der
haySalida (Celda n)
-- = (haySalida.2)
False
-- Queda demostrado Caso Base.2
Caso Inductivo.1 -- lab = Pasillo a lab1
¡HI: evalBE (haySalidaBE lab1) = haySalida lab1!
¿TI: evalBE (haySalidaBE (Pasillo a lab1)) = haySalida (Pasillo a lab1)?
-- Lado Izq
evalBE (haySalidaBE (Pasillo a lab1))
-- = (haySalidaBE.3)
evalBE (haySalidaBE lab1)
-- x HI
haySalida lab1
-- Lado Der
haySalida (Pasillo a lab1)
-- = (haySalida.3)
haySalida lab1
-- Queda demostrado Caso Inductivo.1
Caso Inductivo.2 -- lab = Bifurcacion lab1 lab2
¡HI.1: evalBE (haySalidaBE lab1) = haySalida lab1!
¡HI.2: evalBE (haySalidaBE lab2) = haySalida lab2!
¿TI: evalBE (haySalidaBE (Bifurcacion lab1 lab2)) = haySalida (Bifurcacion lab1 lab2)?
-- Lado Izq
evalBE (haySalidaBE (Bifurcacion lab1 lab2))
-- = (haySalidaBE.4)
evalBE (BBop BOr (haySalidaBE lab1) (haySalidaBE lab2))
-- = (evalBE.4)
(bopToOP BOr) (evalBE (haySalidaBE lab1)) (evalBE (haySalidaBE lab2))
-- = (bopToOP.1)
(||) (evalBE (haySalidaBE lab1)) (evalBE (haySalidaBE lab2))
-- x HI1 && HI2
(||) (haySalida lab1) (haySalida lab2)
-- = (def operador infijo ||)
haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Lado Der
haySalida (Bifurcacion lab1 lab2)
-- = (haySalida.4)
haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Queda demostrado Caso Inductivo.2
bopToOP :: BBO -> Bool -> Bool -> Bool
bopToOP BAnd = (&&)
bopToOP BOr = (||)
evalBE :: BoolExp -> Bool
evalBE BTrue = True
evalBE BFalse = False
evalBE (BBop bop be1 be2) = (bopToOP bop) (evalBE be1) (evalBE be2)
haySalidaBE :: Laberinto a -> BoolExp
haySalidaBE Salida = BTrue
haySalidaBE (Celda _) = BFalse
haySalidaBE (Pasillo _ lab) = haySalidaBE lab
haySalidaBE (Bifurcacion lab1 lab2) = BBop BOr (haySalidaBE lab1) (haySalidaBE lab2)
haySalida :: Laberinto a -> Bool
haySalida Salida = True
haySalida (Celda _) = False
haySalida (Pasillo _ lab) = haySalida lab
haySalida (Bifurcacion lab1 lab2) = haySalida lab1 || haySalida lab2
-- Punto 5
delta :: Bool -> Int
delta True = 1
delta False = 0
cantQueCumplen :: (a -> Bool) -> Laberinto a -> Int
cantQueCumplen _ Salida = 0
cantQueCumplen p (Celda n) = delta (p n)
cantQueCumplen p (Pasillo n lab) = delta (p n) + cantQueCumplen p lab
cantQueCumplen p (Bifurcacion lab1 lab2) = cantQueCumplen p lab1 + cantQueCumplen p lab2
objs2Int :: (a -> Integer) -> Laberinto a -> Laberinto Integer
objs2Int _ Salida = Salida
objs2Int f (Celda n) = Celda (f n)
objs2Int f (Pasillo n lab) = Pasillo (f n) (objs2Int f lab)
objs2Int f (Bifurcacion lab1 lab2) = Bifurcacion (objs2Int f lab1) (objs2Int f lab2)
losQueCumplenPorDistancia :: (a -> Bool) -> Laberinto a -> [[a]]
losQueCumplenPorDistancia _ Salida = [[]]
losQueCumplenPorDistancia p (Celda n) = predicateToList p n
losQueCumplenPorDistancia p (Pasillo n lab) = (predicateToList p n) ++ losQueCumplenPorDistancia p lab
losQueCumplenPorDistancia p (Bifurcacion lab1 lab2) = juntarPorIndice (losQueCumplenPorDistancia p lab1) (losQueCumplenPorDistancia p lab2)
predicateToList :: (a -> Bool) -> a -> [[a]]
predicateToList p n = if (p n) then [[n]] else [[]]
juntarPorIndice :: [[a]] -> [[a]] -> [[a]]
juntarPorIndice (x:xs) (y:ys) = (x ++ y) : juntarPorIndice xs ys
juntarPorIndice l1 [] = l1
juntarPorIndice [] l2 = l2
esPar :: Integer -> Bool
esPar x = mod x 2 == 0
-- Punto 6
Suponiendo dadas las definiciones de los ejercicios anteriores, y la siguiente función
sumObj :: Laberinto Int -> Int
sumObj Salida = 0
sumObj (Celda n) = n
sumObj (Pasillo x lab) = x + sumObj lab
sumObj (Bifurcacion lab1 lab2) = sumObj lab1 + sumObj lab2
demostrar la siguiente propiedad
cantQueCumplen (const True) = sumObj . objs2Int (const 1)
data Laberinto a = Salida
| Celda a
| Pasillo a (Laberinto a)
| Bifurcacion (Laberinto a) (Laberinto a) deriving Show
PROP: cantQueCumplen (const True) = sumObj . objs2Int (const 1)
DEM: por ppio de ext.
¿para todo lab :: Laberinto a. cantQueCumplen (const True) lab = (sumObj . objs2Int (const 1)) lab?
Por definición de composición, es equivalente a
¿para todo lab :: Laberinto a. cantQueCumplen (const True) lab = sumObj (objs2Int (const 1) lab)?
Caso Base.1 -- lab = Salida
cantQueCumplen (const True) Salida = sumObj (objs2Int (const 1) Salida)
-- Lado Izq
cantQueCumplen (const True) Salida
-- = (cantQueCumplen.1)
0
-- Lado Der
sumObj (objs2Int (const 1) Salida)
-- = (objs2Int.1)
sumObj Salida
-- = (sumObj.1)
0
-- Queda demostrado caso Base 1
Caso Base.2 -- lab = Celda n
cantQueCumplen (const True) (Celda n) = sumObj (objs2Int (const 1) (Celda n))
-- Lado Izq
cantQueCumplen (const True) (Celda n)
-- = (cantQueCumplen.2)
delta (const True (Celda n))
-- = (const)
delta True
-- = (delta)
1
-- Lado Der
sumObj (objs2Int (const 1) (Celda n))
-- = (objs2Int.2)
sumObj (Celda ((const 1) n))
-- = (const)
sumObj (Celda 1)
-- = (sumobj.2)
1
-- Queda demostrado caso Base 2
-- Caso Inductivo.1 -- lab = Pasillo n lab1
¡HI: cantQueCumplen (const True) lab1 = sumObj (objs2Int (const 1) lab1)!
¿TI: cantQueCumplen (const True) (Pasillo n lab1) = sumObj (objs2Int (const 1) (Pasillo n lab1))?
-- Lado Derecho
cantQueCumplen (const True) (Pasillo n lab1)
-- = (cantQueCumplen.3)
delta ((const True) n) + cantQueCumplen (const True) lab1
-- = (const)
delta True + cantQueCumplen (const True) lab1
-- = (delta.1)
1 + cantQueCumplen (const True) lab1
-- x HI
1 + sumObj (objs2Int (const 1) lab1)
-- Lado Izq
sumObj (objs2Int (const 1) (Pasillo n lab1))
-- = (objs2Int.3)
sumObj (Pasillo ((const 1) n) (objs2Int (const 1) lab1))
-- = (const) *2
sumObj (Pasillo 1 (objs2Int (const 1) lab1))
-- = (sumObj.3)
1 + sumObj (objs2Int (const 1) lab1)
-- Queda demostrado caso ind.1
-- FALTA CASO IND 2 POR FALTA DE TIEMPO :(
Seria con -- lab = Bifurcacion lab1 lab2
delta :: Bool -> Int
delta True = 1
delta False = 0
cantQueCumplen :: (a -> Bool) -> Laberinto a -> Int
cantQueCumplen _ Salida = 0
cantQueCumplen p (Celda n) = delta (p n)
cantQueCumplen p (Pasillo n lab) = delta (p n) + cantQueCumplen p lab
cantQueCumplen p (Bifurcacion lab1 lab2) = cantQueCumplen p lab1 + cantQueCumplen p lab2
sumObj :: Laberinto Int -> Int
sumObj Salida = 0
sumObj (Celda n) = n
sumObj (Pasillo x lab) = x + sumObj lab
sumObj (Bifurcacion lab1 lab2) = sumObj lab1 + sumObj lab2
objs2Int :: (a -> Integer) -> Laberinto a -> Laberinto Integer
objs2Int _ Salida = Salida
objs2Int f (Celda n) = Celda (f n)
objs2Int f (Pasillo n lab) = Pasillo (f n) (objs2Int f lab)
objs2Int f (Bifurcacion lab1 lab2) = Bifurcacion (objs2Int f lab1) (objs2Int f lab2)