tfg.tex

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\newenvironment{proof}{\noindent{\it Demostracion:}}{\hfill$\blacksquare$} % para las demostraciones, con cuadrado negro al final
\begin{document}
%%%%%% Portada
\begin{titlepage}
\begin{large}
\begin{center}
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACI'ON A DISTANCIA.\\
\end{center}
\end{large}
\begin{center}
FACULTAD DE CIENCIAS.\\
DEPARTAMENTO DE MATEM'ATICAS FUNDAMENTALES. \\
\end{center}
\begin{center}
%\vspace*{0.3in}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{./EscudoUNED.jpg}
\end{center}
\end{figure}

\begin{large}
TRABAJO FIN DE GRADO.\\
GRADO EN CIENCIAS MATEM'ATICAS.\\
\end{large}
\vspace*{0.15in}

\vspace*{0.4in}

\begin{Large}
\textbf{REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS.} \\
\end{Large}
\vspace*{0.3in}

\rule{80mm}{0.1mm}\\
\vspace*{0.1in}
\begin{large}
Autor: \\
Angel Blasco Mu\~noz \\
\end{large}

\rule{80mm}{0.1mm}\\
\vspace*{0.1in}
\begin{large}
Director:\\
Dr. Javier Perez Alvarez\\
\end{large}
\rule{80mm}{0.1mm}\\

\end{center}
\vspace*{1in}
\begin{flushright}
Curso 2018 - 2019
\end{flushright}
\end{titlepage}
%%%%%%%%%
%Introduccion de pagina en blanco
\newpage
$\ $
\thispagestyle{empty}
%
%%%% Agradecimientos e indice
\addtocontents{toc}{\hspace{-7.5mm} \textbf{Capitulos}}
\addtocontents{toc}{\hfill \textbf{Pagina} \par}
\addtocontents{toc}{\vspace{-2mm} \hspace{-7.5mm} \hrule \par}

\chapter*{}
\pagenumbering{Roman} % para comenzar la numeracion de paginas en numeros romanos
\begin{flushright}
\textit{A Mateo, mi hijo, \\
por ense\~narme que lo imposible solo tarda un poco mas.\\
A Bego\~na, mi mujer, \\
por toda la paciencia que tiene conmigo.\\
A Angel y Juliana, mis padres, \\
por todas las oportunidades que me han dado, incluso cuando no las he merecido.}
\end{flushright}
\chapter*{Agradecimientos.} 
Quisiera aprovechar este espacio para agradecer a todas aquellas personas que con su profesionalidad, inter'es, apoyo y ayuda, han hecho posible, de manera directa o indirecta, la redacci'on de este trabajo. \\
\\
Asi pues, quiero agradecer al equipo docente de la UNED por todo lo que me han ense\~nado en estos a\~nos de estudio, y muy en especial al Dr. Javier Perez Alvarez por su dedicaci'on y sus consejos a la hora de dirigir este trabajo, sin el no hubiese sido posible la realizaci'on del mismo. Tambi'en me gustaria dedicar un agradecimiento al Dr. Jose Maria Leandro (Pepe), con qui'en he podido fraguar una grata amistad y el cual siempre me ha dado unos valiosos consejos a la hora de enfrentarme a mis estudios.\\
\\
No puedo dejar pasar la oportunidad de agradecer a mi mujer, Bego\~na, la paciencia que ha tenido conmigo mientras realizaba el presente trabajo que tantas horas me ha quitado de estar junto a ella en nuestras particulares condiciones familiares.\\
\\
Evidentemente es obligatorio agradecer a mis padres, Angel y Juliana, que siempre creyeron en mi, incluso en los momentos mas complicados, y nunca dejaron de apoyarme en esta aventura que es estudiar una carrera a distancia. Espero hacer que se sientan orgullosos.\\
\\
Por 'ultimo, pero no por ello menos importante, quisiera dar las gracias a una personita que lleva relativamente poco tiempo entre nosotros, pero que sin duda es quien mas tiempo me roba y quien mas feliz me hace, mi hijo, Mateo, el hace que todo esto tenga un sentido y su lucha diaria es fuente de mi inspiraci'on y motivaci'on.\\
\\
Gracias.
\chapter*{Resumen.}
Este trabajo versa sobre los grupos finitos y sus representaciones. Es importante destacar que en todo el trabajo al referirnos a \textit{grupo} nos referimos a un  \textbf{conjunto finito} en el cual se definir'a una operaci'on que debe cumplir unos condicionantes, al igual que en los grupos algebraicos propiamente dichos. En los grupos finitos se deben cumplir y respetar las mismas propiedades que en los grupos en general.\\
\\
Un problema fundamental de la teor'ia es determinar todas las representaciones de dimensi'on finita de un grupo dado $G$, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $K$. Este problema no solo es interesante en si mismo, y por sus aplicaciones en otros campos, sino que es importante para entender la estructura interna del grupo $G$. Las posibles soluciones de estos problemas se encuadran en dos casos radicalmente diferentes: cuando la caracteristica es cero o no divide al orden del grupo $G$, y cuando la caracteristica divide al orden de $G$.\\
\\
En el primer caso, toda representaci'on es completamente reducible, esto es, es suma directa de representaciones irreducibles; donde la cantidad de rpresentaciones irreducibles es igual a la cantidad de clases de conjugaci'on del grupo $G$, y las dimensiones de las representaciones irreducibles dividen al orden del grupo. Sin embargo, el problema de describir explicitamente todas las representaciones irreducibles del grupo fijo $G$ es mucho mas complicado en cada caso particular.\\
En el segundo caso, es decir, cuando la caracter'istica del cuerpo divide al orden del grupo, hay representaciones que no son completamente reducibles y la teor'ia es mas compleja.
\pagenumbering{arabic} % para comenzar la numeracion de paginas en numeros arabigos
%%% El documento se escribe a partir de aqui en cada chapter, section, etc
\tableofcontents
\chapter*{Introducci'on.}
Hasta el siglo XIX no se ten'ia claro el concepto de grupo abstracto. Los comienzos llegaron de la mano de Gauss con varios grupos, pero hasta el a\~no 1896 no se introdujo la Teor'ia de Representaciones en el mundo de las matem'aticas. El gran pionero fue \textit{Georg Ferdinand Frobenious}, qui'en se centr'o en el estudio de caracteres de grupos finitos (en particular, grupos no abelianos). Otros nombres a destacar son \textit{Hermann Weyl}, \textit{Michael Artin} e \textit{Isaai Schur}, quienes desarrollaron importantes resultados posteriormente.\\
\\
Durante el siglo XX se sigui'o profundizando en esta rama algebraica que consiste en la descripci'on de un grupo (en general, no necesariamente finito) como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matem'atico, obteniendo de esta forma resultados muy significativos sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Durante este siglo se han obtenido, a su vez, importantes resultados en las relaciones de ortogonalidad en los caracteres de grupos; estos resultados se extendieron a otros objetos y se usaron para definir las representaciones de 'algebras definidas sobre un cuerpo $K$.\\
\\
%%% Capitulo 1
\chapter{Conceptos b'asicos.}
\section{Grupos.}
Comencemos por definir el concepto de grupo:
\begin{definicion}
Un grupo es un conjunto no vacio G en el que est'a definida una operaci'on que toma dos elementos $a,b \in G$ y nos devuelve otro elemento $ab \in G$
 \[G \times G \rightarrow G \]
que escribiremos \[ (a,b) \mapsto ab \]
tal que:
\begin{enumerate}
\item \textit{(ab)c} = \textit{a(bc)} para cada terna de elementos $a,b$ y $c$ de $G$. Se dice que la operaci'on es \textit{asociativa}.
\item Existe un elemento $u \in G$ tal que \[ua =a=au\] para todos los elementos $a$ de $G$. A este elemento le llamaremos \textit{elemento neutro o elemento identidad}.
\item Para cada elemento $a \in G$ existe $x \in G$ tal que \[ax=u=xa\] A este elemento le llamaremos \textit{inverso} de $a$.
\end{enumerate}
\end{definicion}
Diremos que $ab$ es el producto de $a$ por $b$.\\
\\
Como ejemplos de grupos (infinitos) podemos citar los conjuntos $ \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ y $ \mathbb{C}$ con la suma usual. Otro ejemplo lo podemos tomar escogiendo un conjunto $X$ no vacio compuesto por las aplicaciones $X \rightarrow X$ que son biyectivas, este es un grupo con la operaci'on composici'on de aplicaciones.
\begin{definicion}
Se dice que un grupo $G$ es abeliano si $ab=ba$ para cada par de elementos $a,b \in G$.
\end{definicion}
Sobre los grupos abelianos es importante enunciar que todo grupo formado por dos elementos es abeliano, pues si $u$ es el elemento neutro y $a \neq u$ es el elemento restante, \[ uu=uu\] \[ aa=aa\] \[ au=u=ua\]
\begin{definicion}
El n'umero de elementos de un grupo $G$ se llama \textit{orden de G} y se denota como $o(G)$. Si $o(G)$ es finito, entonces se dice que $G$ es un \textit{grupo finito}.
\end{definicion}
\section{Subgrupos.}
En este apartado se definira el concepto de subgrupo, y como caracterizarlo,  y se enunciar'an dos importantes operaciones con subgrupos: la intersecci'on de varios subgrupos y el producto de dos subgrupos.
\begin{definicion}
Un subconjunto no vacio $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si, con la misma operaci'on de $G$, $H$ es un grupo.
\end{definicion}
\begin{proposicion}
Podemos afirmar que un conjunto no vacio $H$ es un subgrupo de $G$ si y solo si:
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y \in H \rightarrow xy \in H$
\item $1_{G}\in H$, siendo $1_{G}$ el elemento neutro de $G$
\item $\forall x \in H \rightarrow x^{-1} \in H$
\end{enumerate}
\end{proposicion}
La siguiente proposici'on puede ser muy util para caracterizar subgrupos:
\begin{proposicion}
Un subconjunto no vacio $H$ es un subgrupo de $G$ si y solo si:
\[
\forall x,y \in H \rightarrow xy^{-1}\in H
\]
\end{proposicion}
Trivialmente se tiene que $G$ es subgrupo de $G$ y $1_{G}$ es tambi'en subgrupo de $G$. Estos subgrupos se llaman \textit{impropios}.
\subsubsection{Intersecci'on de subgrupos.}
\begin{proposicion}
La intersecci'on de una cantidad cualquiera de subgrupos de $G$, es otro subgrupo.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $\Lambda \neq \emptyset$ un conjunto cualquiera y sea $\{H_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ una familia de subgrupos de $G$. Entonces,
\[
x,y \in \cap_{\lambda \in \Lambda}H_{\lambda}\rightarrow x,y \in H_{\lambda},\forall \lambda \in \Lambda \rightarrow
\]
\[
\rightarrow xy^{-1}\in H_{\lambda}, \forall \lambda \in \Lambda \rightarrow xy^{-1} \in \cap _{\lambda \in \Lambda}H_{\lambda}.
\]
\end{proof}
\\
En particular, dados $H,K$ subgrupos de $G$, se tendra que $H \cap K$ es subgrupo de $G$.
\subsubsection{Producto de dos subgrupos.}
Dados dos subconjuntos no vac'ios $H$ y $K$ de un grupo $G$, el conjunto
\[
HK=\{ g=xu \, | \, x \in H,u\in K \}
\]
de todos los resultados de operar un elemento de $H$ con otro de $K$, se nombra como el \textit{producto de H por K}.\\
Suponiendo que $H$ y $K$ sean subgrupos, en general $HK$ no va a ser otro subgrupo.\\
Vamos a desarrollar una de las condiciones suficientes para que $HK$ sea subgrupo, y vamos a se\~nalar una propiedad que pose'e $HK$ en caso de ser subgrupo.
\begin{proposicion}
Si $H$ y $K$ son subgrupos de un grupo abeliano $G$, se cumple que $HK$ es otro subgrupo de $G$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $g=xu$, $h=yv$, donde $x,y \in H$ y $u,v \in K$, dos elementos de $HK$. Entonces, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa, tenemos
\[
gh^{-1}=(xu)(yv)^{-1}=(xu)(v^{-1}y^{-1})=(xy^{-1})(uv^{-1})\in HK
\]
porque, al tratarse de subgrupos, sabemos que
\[
x,y \in H \rightarrow xy^{-1}\in H,uv\in K \rightarrow uv^{-1}\in K
\]
A su vez, la relaci'on $gh^{-1}\in HK$ implica que $HK$ es subgrupo.
\end{proof}
\begin{proposicion}
Supongamos dos subgrupos $H$ y $K$ de $G$ tales que $HK$ tambi'en sea subgrupo. Sea $L$ un tercer subgrupo. Entonces,
\begin{enumerate}
\item $H \cup K \subseteq HK$.
\item $H \cup K \subseteq L \rightarrow HK \subseteq L$.
\end{enumerate}
\end{proposicion}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Todo elemento $x \in H$ se puede escribir de la forma $xe$, con $e \in K$ (recordemos que $e$ representa el elemento neutro), luego $x\in HK$. Igualmente, si $u \in K$ escribiendo $u=eu$ con $e \in H$, vemos que $u \in HK$. As'i $HK$ contiene a $H$ y contiene a $K$, y, por ello, 
\[
H \cup K \subseteq HK
\]
\item Sea $L$ un subgrupo tal que $H \cup K \subseteq L$. Dado un elemento $g \in HK$, se tendr'a $g=xu$, donde $x \in H$ y $u \in K$. Como los dos factores pertenecen a $H \cup K$, pertenecer'an a $L$. Siendo $L$ subgrupo, su producto tambi'en. As'i queda probado que $HK \subseteq L$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\\
Esta proposici'on significa que si $HK$ es subgrupo, tiene la propiedad de ser el m'inimo subgrupo (para la relaci'on de contenido) que contiene a la uni'on.
\subsubsection{Subgrupo generado.}
\begin{definicion}
Si $S$ es un subconjunto no vac'io de un grupo $G$, el conjunto
\[
\langle S \rangle = \{s_{1}^{h_{1}}\ldots s_{n}^{h_{n}}:n\in \mathbb{N},s_{i}\in S,h_{i}\in \mathbb{Z}, 1 \le i \le n \}
\]
es un subgrupo de $G$ que contiene a $S$, llamado subgrupo generado por $S$.
\end{definicion}
Un caso particular y muy importante es aquel en que $S=\{a\}$ para alg'un $a \in G$. Obviamente
\[
\langle a \rangle = \{a^{k}:k \in \mathbb{Z} \}
\]
y se le llama \textit{subgrupo generado por a}.
\begin{definicion}
Un subconjunto no vac'io $S$ de un grupo $G$ se llama sistema generador de $G$ si $G=\langle S \rangle$
\end{definicion}
\subsubsection{Conjunto conjugado.}
Si $S$ es un subconjunto no vac'io de un grupo $G$ y $a \in G$, se llama \textit{conjugado de S por a} al conjunto
\[
S^{a}=\{a^{-1}xa\,:\,x\in S  \}
\]
Este conjunto tiene las siguientes propiedades que pasaremos a enunciar:
\begin{enumerate}
\item $S \rightarrow S^{a} \,:\, x\mapsto a^{-1}xa$ es biyectiva.
\item $(S^{a})^{b}=S^{ab}$ para cualesquiera $a,b \in G$.
\item $S=S^{1}$
\item Si $S$ es subgrupo de $G$, tambien lo es $S^{a}$.
\item Si $S \subset T$, entonces $S^{a} \subset T^{a}$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Normalizador.}
Si $S$ es un subconjunto no vac'io de un grupo $G$, se llama \textit{normalizador de S en G} a 
\[
N_{G}(S) = \{a \in G \,:\, S^{a}=S \}
\]
que es un subgrupo de $G$.
\section{Orden de un elemento.}
Sea $a$ un elemento de un grupo $G$ de orden $g$ y consideremos la sucesi'on de potencias de $a$
\[
1_{G},a,a^{2},a^{3},\ldots
\]
todas las cuales son, por supuesto, elementos de $G$. Como $G$ es finito, estos elementos no pueden ser todos distintos, debemos tener la igualdad:
\[
a^{k}=a^{l}
\]
en la que podemos suponer $k>l$, por ejemplo. Por consiguiente,
\[
a^{k-l}=1_{G}
\]
lo que demuestra que en un grupo finito cada elemento tiene alguna potencia igual al elemento unidad.
\begin{definicion}
El menor entero positivo $h$, para el que $a^{h}$ es igual al elemento unidad se llama orden de $a$.
\end{definicion}
De modo que si $h$ es el orden de $a$ entonces $a^{h}=1_{G}$, mientras que $a^{x}\neq
1_{G}$ cuando $0<x<h$.\\
Ademas, si $m$ es multiplo de $h$, es decir $m=hq$, tenemos que:
\[
a^{m}=(a^{h})^{q}=1_{G}^{q}=1_{G}
\]
Si $a$ es de orden $h$, entonces $a^{m}=1_{G}$ si y solo si, $m$ es multiplo de $h$.\\
\\
Las siguientes propiedades, referentes al orden de un elemento, son de uso frecuente:
\begin{enumerate}
\item El 'unico elemento de orden 1 es el elemnto unidad.
\item Los elementos $a$ y $a^{-1}$  tienen siempre el mismo orden.
\item Si $b=p^{-1}ap$, en donde $p$ es un elemento arbitrario, entonces $a$ y $b$ son del mismo orden. Porque 
\[
b^{2}=(p^{-1}ap)(p^{-1}ap)=p^{-1}a1_{G}ap=p^{-1}a^{2}p
\]
y, en general,
\[
b^{k}=p^{-1}a^{k}p
\]
de modo que si $a^{k}=1_{G}$, tenemos $b^{k}=p^{-1}1_{G}p=1_{G}$, y reciprocamente.
\end{enumerate}
\section{Grupos c'iclicos.}
\begin{definicion}
Se llama grupo c'iclico aquel cuyos elementos pueden expresarse por las potencias de uno solo de ellos.
\end{definicion}
La forma general de un grupo c'iclico $G$ de orden $c$ es:
\[
G=\{ 1_{G},\, a, \, a^{2},\ldots, a^{c-1} \}
\]
en donde $c$ es el menor entero positivo que verifica la igualdad $a^{c}=1_{G}$. Y decimos que $a$ genera el grupo $G$ o que es el \textit{elemento generador} del grupo.\\
\\
El orden de un grupo c'iclico es igual al del elemento generador; reciprocamente, si un grupo de orden $c$ contiene un elemento tambi'en de orden $c$, entonces el grupo es c'iclico. El elemento generador no est'a un'ivocamente determinado; en efecto, si $e$ es un entero cualquiera primo con $c$ y $0<e<c$, entonces se puede tomar $a^{e}$ por elemento generador del grupo.\\
\\
Todos los grupos c'iclicos del mismo orden son isomorfos como se ve haciendo que se correspondan sus elementos generadores; en efecto, existe un grupo c'iclico (abstracto) y solo uno para cada orden dado.
\begin{proposicion}
Todos los grupos c'iclicos son abelianos.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $G=\langle a \rangle$ un grupo c'iclico. Dados $x,y \in G$, seran $x=a^{k}$, $y=a^{l}$, para ciertos enteros $k$ y $l$. Por lo tanto
\[
xy=a^{k+l}=yx
\]
lo que implica que $G$ es abeliano.
\end{proof}
\section{Coclases, 'indice de un grupo y Teorema de Lagrange.}
\begin{definicion}
Sea $H$ un subgrupo de un grupo $G$, y sea $x$ un elemento de $G$. El subconjunto de $G$ formado por los productos $hx$ $(h \in H)$ se denomina coclase derecha de $H$ en $G$ y se denota por $Hx$. La coclase izquierda de $H$ en $G$, $xH$, se define de forma similar. 
\end{definicion}
\begin{definicion}
El n'umero de las distintas coclases derechas de $H$ se llama 'indice de $H$ en $G$ y se denota por $[ G:H ]$
\end{definicion}
Para cada subconjunto $S$ de $G$, $S^{-1}$ ser'a el conjunto de los elementos inversos de $S$:
\[
S^{-1}= \{ s^{-1}\,:\, s \in S \}
\]
Si $S$ es una coclase derecha de $H$ , entonces $S=Hx$ para alg'un $x \in G$. La inversa de un elemento de $hx$ de $S$ es $x^{-1}h^{-1}$, as'i que $S^{-1}$  coincide con la coclase izquierda $x^{-1}H$. De igual forma $(yH)^{-1} = Hy^{-1}$. As'i que, el n'umero de las distintas coclases derechas de $H$ es igual al numero de las distintas coclases izquierdas de $H$.\\
Podriamos haber definido el 'indice usando las coclases izquierdas de igual manera.\\
\\
A continuaci'on se enunciar'an las propiedades b'asicas de las coclases:
\\
Sea $H$ un subgrupo de $G$,
\begin{enumerate}
\item Todo elemento $g \in G$ esta contenido en una y solo una coclase de $H$. Esta coclase es $Hg$.
\item Dos coclases distintas de $H$ no tienen elementos comunes.
\item El grupo $G$ esta particionado en una uni'on disjunta de coclases de $H$.
\item La funci'on $h \rightarrow hx$ tiene una correspondencia uno-a-uno entre los elementos del conjunto $H$ y los de la coclase $Hx$. Al tratarse $H$ de un subgrupo finito cada coclase de $H$ tiene el mismo n'umero de elementos que $H$.
\item Dos elementos $x,y \in G$ est'an contenidos en la misma coclase de $H$ si y solo si $xy^{-1}\in H$. 
\end{enumerate}
Pasemos ahora a enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange:
\begin{teorema}[Teorema de Lagrange]
Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$, tenemos que $o(G)=o(H)\cdot [G:H]$. En particular, el orden de $H$ y el indice de $H$ en $G$ dividen al orden de $G$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Utilizando las propiedades b'asicas de las coclases, en concreto por 3) y 4), el conjunto $G$ est'a particionado en una uni'on disjunta de $[G:H]$ conjuntos que contienen, cada uno, $o(H)$ elementos. Contando el n'umero de elementos en $G$, obtenemos que:
\[
 o(G)=o(H)\cdot [G:H].
 \]
\end{proof}
\\
El teorema de Lagrange implica los siguientes corol'arios que no demostraremos:
\begin{corolario}
El orden de un elemento de un grupo finito $G$ divide a $o(G)$.
\end{corolario}
\begin{corolario}
Si el orden de un grupo finito $G$ es $n$, entonces todo elemento $x \in G$ satisface $x^{n}=1_{G}$.
\end{corolario}
\section{Subgrupos normales. Grupo cociente.}
\subsection{Subgrupos normales.}
Dado un grupo $G$ y un subgrupo $H$ de $G$, formaremos un nuevo grupo cuyos elementos son las clases laterales izquierdas de $H$ en $G$. Estos subgrupos los denominaremos \textit{subgrupos normales} y su definici'on es:
\begin{definicion}
Sea $G$ un grupo. Un subgrupo $H$ de $G$ es un subgrupo normal si
\[
ghg^{-1}\in H, \, \forall g\in G, h\in H
\]
Si $H$ es un subgrupo normal de $G$ se representa como $H \triangleleft G$.
\end{definicion}
\begin{teorema}
Si $G$ es un grupo abeliano y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces $H$ es un subgrupo normal de $G$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Como $G$ es abeliano, $ghg^{-1}=hgg^{-1}=h \in H$ para todo $g \in G$ y todo $h \in H$, luego $H \triangleleft G$.
\end{proof}
\\
\\
Sea $G$ un grupo. Sea $H \triangleleft G$. Recordemos que, para $g \in G$, las clases laterales izquierda y derecha son, respectivamente,
\[
gH=\{gh\,:\, h\in H\}
\]
\[
Hg=\{hg\,:\, h \in H\}
\]
Para un subgrupo normal estas clases son iguales pues si $h\in H$, entonces $ghg^{-1} \in H$, luego $ghg^{-1}=h_{1}$ para alg'un $h_{1} \in H$, luego $gh=h_{1}g$. Esto muestra que $gH=Hg$.\\
Notar tambi'en que $gH=Hg$ significa que para cada $h \in H$ hay $h_{1} \in H$ tal que $gh=gh_{1}$.\\
Lo anterior no ocurre cuando $H$ no es subgrupo normal.
\subsection{Grupo cociente.}
Sea $H \triangleleft G$ (no usamos un s'imbolo especial para la operaci'on). Denotamos por $G/H$ el conjunto de las clases laterales izquierdas de $H$ en $G$, es decir
\[
G/H=\{gH\,:\, g\in G\}
\]
Observar que $gH=Hg$ pues $H$ es un subgrupo normal. Definiremos una operaci'on en este conjunto de clases.
\begin{teorema}
Sea $H \triangleleft G$. Dados $a,b \in G$ sea 
\[
(aH)(bH)=(ab)H
\]
Esto define una operaci'on en $G/H$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Si $aH=cH$ y $bH=dH$, queremos probar que $(ab)H=(cd)H$. Como $a \in aH = cH$, entonces $a=ch_{1}$, alg'un $h_{1}\in H$. De $b \in bH=dH$ obtenemos $b=dh_{2}$, alg'un $h_{2}\in H$. Ahora $ab=ch_{1}dh_{2}$ y ya que $dH=Hd$, hay $h_{3}\in H$ tal que $h_{1}d=dh_{3}$, luego $ch_{1}dh_{2}=cdh_{3}h_{2}=cdh_{4}$, donde $h_{4}=h_{3}h_{2}$. Tenemos entonces que $ab=cdh_{4}$ y por lo tanto $(ab)H=(cdh_{4})H=(cd)H$.
\end{proof}
\\
\\
Sea $H \triangleleft G$. El conjunto $G/H$ es un grupo con la operaci'on 
\[
(aH)(bH)=(ab)H
\]
\section{Homomorfismos de grupos.}
\begin{definicion}
Sean $G_{1}$ y $G_{2}$ grupos, y sea $f:G_{1}\rightarrow G_{2}$ una aplicaci'on entre ellos. Se dice que $f$ es un homomorfismo de grupos si
\[
f(xy)=f(x)f(y)
\]
\end{definicion}
Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo recibe el nombre de epimorfismo; un homomorfismo biyectivo recibe el nombre de isomorfismo; y un isomorfismo de $G$ en si mismo es un automorfismo.\\
Si existe un isomorfismo entre $G_{1}$ y $G_{2}$ se dice que ambos grupos son isomorfos.
\begin{proposicion}
Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $f:G \rightarrow H$ un homomorfismo entre ellos. Entonces, para todo $x,y \in G$
\[
f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}
\]
\[
f(y^{-1}x)=f(y)^{-1}f(x)
\]
\end{proposicion}
\begin{proof}
Utilizando que $f$ es un homomorfismo,
\[
f(xy^{-1})f(y)=f((xy^{-1})y)=f(x)
\]
y basta componer con $f(y)^{-1}$ por la derecha. La demostracion de la segunda igualdad es an'aloga.
\end{proof}
\\
\begin{proposicion}
Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $f:G \rightarrow H$ un homomorfismo entre ellos. Entonces,
\[
1.\,f(1_{G})=1_{H}
\]
\[
2.\,f(g^{-1})=f(g)^{-1},\, \forall g \in G
\]
\end{proposicion}
\begin{proof}
Para 1) basta aplicar la proposici'on anterior al caso $x=y$. Para 2) basta aplicar la proposici'on anterior al caso $x=1_{G}$, $y=g$.
\end{proof}
\begin{definicion}
Sean $G$ y $H$ grupos, y sea $f:G \rightarrow H$ un homomorfismo entre ellos. Se llaman n'ucleo e imagen de $f$ a los conjuntos:
\[
ker \,f =\{g \in G\,:\,f(g)=1_{G} \}
\]
\[
im \,f = \{h\in H\, :\,\exists g \in G \, : \, f(g)=h \}
\]
\end{definicion}
Es importante indicar que el nucleo de $f$ es un subgrupo de $G$, mientras que la imagen de $f$ es un subgrupo de $H$.
\begin{proposicion}
Sean $G$ y $H$ grupos, y $f:G \rightarrow H$ un homomorfismo. Si $G$ es abeliano, $f(G)$ es abeliano.
\end{proposicion}
\begin{proof}
\[
f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)
\]
\end{proof}
\\
\subsection{Teorema de Cayley.}
Este teorema afirma que todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un grupo $S_{n}$ para alg'un natural $n$. Primero a cada elemento de un grupo $G$  le asociaremos una funci'on biyectiva.
\begin{teorema}
Dado un conjunto no vac'io $X$, el conjunto $S_{x}$ de todas las funciones biyectivas de $X$ en $X$ es un grupo con la operaci'on $\circ$ de composici'on de funciones.
\end{teorema}
La demostraci'on es trivial usando las condiciones que debe cumplir un grupo.
\begin{teorema}
Dado un grupo $G$,
\begin{enumerate}
\item Para cada $g \in G$ la funci'on $\alpha_{g}:G \rightarrow G$, $\alpha_{g}(x)=gx$ es biyectiva.
\item La funci'on inversa de $\alpha_{g}$ es $\alpha_{g}^{-1}$.
\item Dados $a,b \in G$, $\alpha_{a}\circ \alpha_{b}=f_{ab}$.
\item El conjunto $\{ \alpha_{g}\,:\,g \in G\}$ es un grupo de $S_{G}$ con la operaci'on composici'on.
\end{enumerate}
\end{teorema}
\begin{teorema}[Teorema de Cayley.]
Si $G$ es un grupo finito de orden $n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo sim'etrico $S_{n}$.
\end{teorema}
\begin{proof}
La funci'on $\alpha : G \rightarrow S_{G}$, $\alpha (g)=\alpha_{g}$ es un homomorfismo. Si $g \in ker \, \alpha$, entonces $\alpha (g)$ es la identidad de $S_{G}$, luego $\alpha_{g}(x)=gx=x$, todo $x \in G$, de donde $g=1_{G}$. As'i $\alpha$ es inyectiva y $G$ es isomorfo con $\alpha (G)$, que es un subgrupo de $S_{G}$.\\
Ahora si $G$ es un grupo de orden $n$ veremos que $S_{G}$ es isomorfo con $S_{n}$. Si $o(G)=n$, entonces existe una funci'on biyectiva $\beta \, : \, G \rightarrow N_{n}$ y tambi'en $\beta^{-1}\,:\,N_{n}\rightarrow G$ es biyectiva. Dado $\sigma \in S_{n}$, la funci'on $\beta^{-1}\circ \sigma \circ \beta \,:\, G \rightarrow G$ es una biyecci'on y la funci'on $S_{n}\rightarrow S_{G}\,:\,\sigma \mapsto \beta^{-1}\circ \sigma \circ \beta$ es un isomorfismo.
\end{proof}
\subsection{Factorizaci'on de homomorfismos.}
Sean $G$ y $G'$ grupos arbitrarios y $\varphi:G\rightarrow G'$ un homomorfismo de grupos. Sea $H$ un subgrupo de $ker(\varphi)$; observar que $H$ es subgrupo normal de $G$ porque el n'ucleo es normal. Sea $\pi:G \rightarrow G/H$ la proyecci'on al cociente.Entonces existe un 'unico homomorfismo de grupos $\overline{\varphi}:G/H \rightarrow G'$ que hace conmutar el siguiente diagrama:
% hay que cargar el paquete float para insertar correctamente esta figura
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{./factorizacion.png}
\end{figure}
Es decir, para todo $x \in G $ dicho homomorfismo cumple que $\varphi(x)=\overline{\varphi}(\pi(x))$.
\\
\\
\begin{proof}
Existencia. Sea $\varphi:G/H \rightarrow G'$ la aplicaci'on dada por $\overline{x}\rightarrow \varphi(x)$. Est'a bi'en definida porque si $\overline{x}=\overline{y}$, entonces $1=\overline{x}\overline{y}^{-1}$, con lo cual $xy^{-1}\in H \subseteq ker(\varphi)$. Por lo tanto $\varphi(xy^{-1})=1$, y entonces $\varphi(x)=\varphi(y)$. Adem'as, define un homomorfismo porque $\overline{\varphi}(\overline{xy})=\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)=\overline{\varphi}(\overline{x})\overline{\varphi}(\overline{y})$. Para ver que hace conmutar el diagrama, notar que para todo $x \in G$ se cumple $\varphi(x)=\overline{\varphi}(\overline{x})=\overline{\varphi}(\pi(x))$.\\
Unicidad. Para la unicidad, basta observar que la manera en que fue definido el homomorfismo $\overline{\varphi}$ es la 'unica manera de definirlo de tal manera que conmute con el diagrama. Es decir, si se tiene un homomorfismo $\psi$ que conmuta con el diagrama, $\psi(\overline{x})=\varphi(x)$ para todo $x \in G$, y entonces $\psi = \overline{\varphi}$.
\end{proof}

\subsection{Teoremas de isomorf'ia.}
\subsubsection{Primer teorema de isomorf'ia.}
\begin{teorema}
Sean $G$ y $G'$ grupos arbitrarios y sea $\varphi:G \rightarrow G'$ Un homomorfismo de grupos. Entonces $G/ker(\varphi)\simeq im(\varphi)$.
\end{teorema}
El simbolo $\simeq$ indica que los dos elementos son isomorfos.
\\
\\
\begin{proof}
Usando la factorizaci'on de homomorfismos de grupos sobre el n'ucleo $ker(\varphi)$, se tiene que existe un 'unico homomorfismo $\overline{\varphi}:G/ker(\varphi)\rightarrow G'$ tal que $\varphi=\overline{\varphi}\cdot\pi$.\\
Si consideramos dicho homomorfismo $\overline{\varphi}$ restringiendo su dominio a $im(\varphi)$ tendriamos un epimorfismo, porque por definici'on de la imagen, para todo $y \in im(\varphi)$ existe un $x \in G$ tal que $\varphi(x)=y$, y por lo tanto $\overline{\varphi}(\overline{x})=y$.\\
Ademas, es un monomorfismo, porque $\overline{\varphi}(\overline{x})=\varphi(x)$. Entonces si, $\overline{\varphi}(x)=0$ se tiene que $x \in ker(\varphi)$, con lo cual $\overline{x}=0$.\\
As'i, $\overline{\varphi}:G/ker(\varphi)\rightarrow im(\varphi)$ resulta un isomorfismo.
\end{proof}
\subsubsection{Segundo teorema de isomorf'ia.}
\begin{teorema}
Sean $N$ y $H$ subgrupos normales de un grupo $G$, tales que $N \subset H$. Entonces $H/N \triangleleft G/N$ y
\[
(G/N)/(H/N) \simeq G/H
\]
\end{teorema}
\begin{proof}
Consideramos la aplicaci'on 
\[
f:G/N \rightarrow G/H :aN \mapsto aH
\]
que sabemos que esta bien definida, pues si $aN = bN$, entonces $a^{-1}b \in N \subset H$, por lo que $aH=bH$.\\
Como $f((aN)(bN))=f(abN)=abH=(aH)(bH)=f(aN)f(bN)$, $f$ es homomorfismo.\\
Cada $aH \in G/H$ es $aH=f(aN)$, luego $f$ es sobreyectiva. Finalmente $aN \in ker(f)$ si y solo si $aH = f(aN)=H$, esto es,
\[
ker(f)=\{aN \in G/N\, : \, a \in H \}=H/N  
\]
Como $f$ es un homomorfismo de gupos, aplicando el primer teorema de isomorfia tenemos que
\[
(G/N)/ker(f) \simeq im(f)
\]
esto es,
\[
(G/N)/(H/N) \simeq G/H
\]
\end{proof}
\subsubsection{Tercer teorema de isomorf'ia.}
\begin{teorema}
Sean $G$ un grupo y $S$, $T$ subgrupos de $G$. Sea $S$ un subgrupo normal de $G$. Entonces se tiene que $ST/S=T/ (S \cap T)$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Para empezar, se debe verificar que las expresiones del enunciado est'an bi'en definidas. Por un lado $ST$ es subgrupo de $G$ porque $S$ es normal en $G$. Teniendo esto en cuenta se cumple tambi'en que $S$ es subgrupo normal de $ST$, por que dado cualquier $x \in ST$, en particular $x \in G$, y por lo tanto $xSx^{-1}=S$. Por 'ultimo $S \cap T$ es subgrupo normal de $T$. Para ello, dados $t \in T$ y $s \in S \cap T$, se debe ver que $tst^{-1} \in S \cap T$. En efecto, $tst^{-1}=S$ porque $S$ es normal, y est'a en $T$ porque todos sus factores lo est'an.\\
Para el isomorfismo, vamos a considerar primero la aplicaci'on $\varphi:T \rightarrow ST/S$ definida por $t \mapsto \overline{t}=1tS$. Se tiene que $\varphi$ es un homomrfismo de grupos porque $\varphi(tt')=\overline{tt'}=\varphi(t)\varphi(t')$.\\
Por un lado, $\varphi$ es un epimorfismo. Para ver esto, considerar un elemento $stS \in ST/S$ arbitrario. Por ser $S$ normal, se sabe que $st$ se escribe como $t \widetilde s$ para alg'un $\widetilde s \in S$. Se tiene entonces que $stS=t \widetilde s S=tS=\varphi(t)$.\\
Por otro lado, el n'ucleo $ker (varphi)$ es el conjunto $\{ t \in T:tS=S \}$, es decir, $T \cap S$.\\
Resumiendo, $\varphi:T \rightarrow ST/S$ es un epimorfismo cuyo n'ucleo es $T \cap S$. Por el primer teorema de isomorfia se concluye entonces que $T/(T \cap S) \simeq ST/S$.
\end{proof}
\section{Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos.}
El teorema de estructura de los grupos abelianos finitos constituye, por su naturaleza, una primera aproximaci'on a la clasificaci'on de los grupos, en nuestro caso de los grupos abelianos finitos.\\
Apuntemos que todo grupo c'iclico es abeliano, pero no todo grupo abeliano es ciclico, ademas, los grupos abelianos finitos son producto directo de grupos ciclicos.\\
Enunciamos a continuaci'on el teorema de estructura de los grupos abelianos finitos, del cual omitiremos su demostracion:
\begin{teorema}[Estructura de los Grupos Abelianos Finitos.]
Si $G$ es un grupo abeliano finito, existen enteros positivos $m_{1},\ldots ,m_{r}$ tales que:
\[
G \simeq Z/m_{1}Z \times \ldots \times Z/m_{r}Z
\]
y cada $m_{i}$ divide a $m_{i-1}$.
\end{teorema}
Queda claro que $o(G)=m_{1}\ldots m_{r}$. Ademas, los numeros $r, m_{1},\ldots ,m_{r}$ son 'unicos con esta propiedad. Se dice que $m_{1},\ldots ,m_{r}$ son los coficientes de torsi'on de $G$.\\
Este teorema nos permite calcular el numero de grupos abelianos finitos no isomorfos de un orden dado.\\
Pongamos un ejemplo aclarador de aplicaci'on de este teorema:\\
\\
Supongamos que deseamos calcular cuantos grupos abelianos no isomorfos existen de orden 200. El teorema de estructura reduce la cuesti'on a obtener todas las -uplas $(r,m_{1},\ldots ,m_{r})$ tales que $m_{1}\ldots m_{r}=200$ con $m_{i}$ divide a $m_{i-1}$. Asi tenemos que para:\\
\\
$r=1$:
\[
m_{1}=200
\] 
para $r=2$:
\[
m_{1}=100\, ; \,m_{2}=2
\]
\[
m_{1}=40\, ; \,m_{2}=5
\]
\[
m_{1}=20\, ; \,m_{2}=10
\]
para $r=3$:
\[
m_{1}=50\, ; \,m_{2}=2\, ; \, m_{3}=2
\]
\[
m_{1}=10\, ; \,m_{2}=10\, ; \, m_{3}=2
\]
ya no es posible encontrar mas -uplas que cumplan las condiciones del teorema. Por lo tanto hay 6 grupos abelianos, no isomorfos, de orden 200 que son:
\[
Z/200Z
\]
\[
Z/100Z \times Z/2Z
\]
\[
Z/400Z \times Z/5Z
\]
\[
Z/20Z \times Z/10Z
\]
\[
Z/500Z \times Z/2Z \times Z/2Z
\]
\[
Z/10Z \times Z/10Z \times Z/2Z
\]
por lo tanto, todos los grupos abelianos de orden 200 son isomorfos a alguno de ellos.
\section{Automorfismos de grupos.}
Los homomorfismos biyectivos de un grupo $G$ en si mismo se conocen como los automorfismos de $G$. Estas funciones conforman un grupo que tiene informaci'on importante relativa al grupo $G$.
\subsection{Automorfismos interiores.}
Veremos la relaci'on entre los automorfismos de un grupo, sus automorfismos interiores y su centro.\\
\\
Si $H$ es un subgrupo de un grupo $G$, se llama \textit{centralizador} de $H$ en $G$ a
\[
C_{G}(H)=\{ x \in G : ax = xa \,\, \forall a \in H \}
\]
Al centralizador de $G$ en $G$, simbolizado por $Z(G)$ y llamado \textit{centro} de $G$, es un grupo normal de $G$ el cual esta definido como
\[
Z(G)=\{ x \in G\, : \, xa=ax, \, \forall a \in G \}
\] 
Notese que $G$ es abeliano si y solo si $G=Z(G)$.
\begin{definicion}
Sea $G$ un grupo, un \textbf{automorfismo} de $G$ es un homomorfismo biyectivo de $G$ en si mismo. Sea $x \in G$ la funci'on definida por
\[
\phi_{x}:G \rightarrow G
\]
\[
a \mapsto x^{-1}ax
\]
es un automorfismo de $G$ y se denomina \textbf{automorfismo interior} de $G$ determinado por $x$. El conjunto de los automorfismos interiores de $G$ lo denotaremos como $Int(G)$.
\end{definicion}
Enunciamos ahora la siguiente proposici'on que nos sera de utilidad para demostrar el pr'oximo teorema:
\begin{proposicion}
Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. La aplicaci'on 
\[
\phi : N_{G}(H) \rightarrow Aut(H) \, : \, a \mapsto \phi_{a}
\]
es homomorfismo de grupos con imagen $Int(H)$ y n'ucleo $C_{G}(H)$.
\end{proposicion}
\begin{teorema}
Sea $G$ un grupo, $Aut(G)$ su colecci'on de automorfismos y sea $Int(G)$ el conjunto de automorfismos interiores de $G$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item $Aut(G)$ es un subgrupo de grupo $S_{G}$ de funciones biyectivas de $G$ en $G$.
\item $Int(G) \triangleleft Aut(G)$
\end{enumerate}
\end{teorema}
\begin{proof}
1) La primera afirmaci'on es evidente. 2) Por comodidad, llamando $K=Int(G)$ se trata de probar, como vimos en la definici'on 1.6.1, que:
\[
K^{f} \subset K, \,\, \forall f \in Aut(G)
\]
Sea pues $g \in K^{f}$. Asi $f \circ g \circ f^{-1} \in K$, luego existe $a \in G$ tal que $f \circ g \circ f^{-1}=\phi_{a}$, donde $\phi_{a}$ es un automorfismo interior, y asi $g=f^{-1}\circ \phi_{a} \circ f$. Entonces, dado $x \in G$ y llamando $b=f^{-1}(a)$ se tiene
\[
g(x)=(f^{-1} \circ \phi_{a})(f(x))=f^{-1}(af(x)a^{-1})=bxb^{-1}=\phi_{b}(x)
\]
por tanto, $g=\phi_{b} \in K$.\\
Por 'ultimo, de la proposici'on 1.9.1 se deduce que la aplicaci'on 
\[
\phi : G \rightarrow Int(G) \,\, : a \mapsto \phi_{a}
\]
es homomorfismo sobreyectivo con n'ucleo $Z(G)$, y por ello
\[
G/Z(G) \cong Int(G)
\]
\end{proof}
\subsection{Acci'on de un grupo sobre un conjunto.}
El concepto de grupo tom'o importancia en la matem'atica cuando Lagrange y luego Galois consideraron las sustituciones de las raices de una ecuaci'on polinomial; los patrones de intercambios de las raices aportan informaci'on sobre la solubilidad de la ecuaci'on mediante f'ormulas expl'icitas. Posteriormente, Felix Klein enfatiz'o la importancia de las simetrias admisibles en la clasificaci'on de las geometrias. En los dos casos, los elementos de un grupo aparecen como transformaci'on de otros objetos (raices de una ecuaci'on algebraica; o puntos de un plano) y los objetos transformados no son menos importantes que las propias transformaciones.
\begin{definicion}
Una acci'on (a la izquierda) de un grupo $G$ sobre un conjunto $X$ es una funci'on $\phi : G \times X \rightarrow X$ tal que: 
\begin{enumerate}
\item $\phi(g, \phi(h, x))=\phi(gh, x)$ para todo $g, h \in G$, $x \in X$.
\item $\phi(1_{G},x)=x$ para todo $x \in X$.
\end{enumerate}
\end{definicion}
Se acostumbra a escribir $g \cdot x$ en lugar de $\phi(g,x)$; con esta notaci'on, las propiedades de una acci'on son:
\[
g \cdot (h \cdot x)=(gh)\cdot x
\]
\[
1_{G}\cdot x = x
\]
\begin{definicion}
Una acci'on de grupo define una relaci'on de equivalencia sobre $X$: $x\sim y$ si y solo si $x=g \cdot y$ para alg'un $g \in G$.
\end{definicion}
La \textbf{'orbita} de $x \in X$ bajo la acci'on de $G$ es la clase de equivalencia de $x$ bajo esta relaci'on:
\[
G \cdot x = \{g\cdot x \in X\, :\,g\in G \}\subseteq X
\]
Una acci'on de un grupo $G$ en un conjunto $X$ se dice que es \textit{transitiva} si para todo par de elementos $x,y \in X$ existe un $g \in G$ tal que $g \cdot x = y$. 
\begin{definicion}
Sea $\phi : G \times X \rightarrow X$ una acci'on de un grupo sobre un conjunto. El \textbf{subgrupo estabilizador} para un elemento $x \in X$ es el subgrupo
\[
G_{x}=\{g \in G\,:\,g \cdot x = x  \} \subseteq G
\]
\end{definicion}
\begin{proposicion}
Dada una acci'on de un grupo $G$ sobre un conjunto $X$, el n'umero de elementos de la 'orbita $G \cdot x$ coincide con el 'indice $[G:G_{x}]$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Si $h,g \in G$ y $x \in X$, entonces
\[
g \cdot x = h \cdot x \Longleftrightarrow g^{-1}h \cdot x = x \Longleftrightarrow g^{-1}h \in G_{x} \Longleftrightarrow gG_{x} = hG_{x} \in G/G_{x}
\]
luego la aplicaci'on $g \cdot x \mapsto gG_{x}$ es una biyecci'on de la 'orbita $G \cdot x$ en el conjunto cociente $G/G_{x}$. Por lo tanto $o(G \cdot x)=o(G/G_ {x})=[G:G_{x}]$
\end{proof}
\begin{definicion}
Una acci'on $\phi : G \times X \rightarrow X$ es \textbf{eficaz} (o \textbf{fiel}) si el homomorfismo $\psi : G \rightarrow S_{X}$ es inyectivo. Una acci'on es eficaz si $g \cdot x=x$ para todo $x \in X$ implica $g=1_{G}$.
\end{definicion}
Un grupo $G$ tambi'en act'ua por conjugaci'on sobre el conjunto de todos sus subgrupos, $X=\{H:H\subseteq G \}$. Esta acci'on est'a dada por la f'ormula $g \cdot H = gHg^{-1} $. La 'orbita de H bajo esta acci'on es la familia de subgrupos conjugados de $H$. \\
El subgrupo estabilizador de $H$ en este caso es el \textbf{normalizador} de $H$, definido como:
\[
N_{G}(H)=\{g \in G : gHg^{-1}=H  \}
\]
Se puede observar que $N_{G}(H)$ es un subgrupo de $G$, no necesariamente normal, pero $H$ es un subgrupo normal de 'el: $H \triangleleft N_{G}(H)$.
\subsection{Teorema de Sylow.}
Antes de enunciar los teoremas de Sylow debemos introducir el concepto de \textit{p-grupo} y el \textit{Teorema de Cauchy}.
\begin{definicion}
Sea $p$ un n'umero primo. Un grupo finito $G$ se denomina \textit{p-grupo} si $o(G)=p^{r}$, con $r \in \mathbb{Z}^{+}$.
\end{definicion}
Antes de continuar es importante destacar dos resultados que usaremos en la demostraci'on del Teorema de Syllow:
\begin{enumerate}
\item \textit{Congruencia de los puntos fijos.} Si $G$ es un \textit{p-grupo} y $G$ opera sobre un conjunto finito $X$, entonces:
\[
o(X) \equiv o(X_{0}) (mod \, p)
\]
Donde $X_{0}\subseteq X$ es el conjunto de puntos fijos, 
\[
X_{0}=\{ x \in X ; Gx = \{x \} \}
\]
\item \textit{Congruencia del normalizador.} Es un caso particular del resultado anterior. Sea $H$ un \textit{p-subgrupo} de un grupo finito $G$. Entonces:
\[
[N(H):H] \equiv [G:H] (mod \, p) 
\]
\end{enumerate}
\begin{teorema}[Teorema de Cauchy]
Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ y $p$ un n'umero primo que divide a $n$. Entonces $G$ tiene un elemento (y por lo tanto un subgrupo) de orden $p$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Sea $X= \{ (x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}\, : \, x_{1}\ldots x_{p}=1\}$. Si $k \in \mathbb{Z}_{p}$, la relaci'on 
\[
k(x_{1},\ldots ,x_{p})=(x_{k+1},\ldots ,x_{p},x_{1},\ldots ,x_{k})
\]
define una acci'on de $\mathbb{Z}_{p}$ en $X$. Como $\mathbb{Z}_{p}$ es un p-grupo y $o(X)=n^{p-1}$, se tiene que $o(X_{0})$ es multiplo de $p$, siendo
\[
X_{0}=\{ (x,\ldots ,x)\, : \, x \in G \, ,x^{p}=1 \}
\]
Dado que $X_{0}$ contiene el elemento $(1, 1, \ldots ,1)$, resulta que $G$ tiene un elemento de orden $p$.
\end{proof}\\
\\
Sea $G$ un grupo finito, ante el problema de estudiar los subgrupos de $G$ es natural empezar con los p-subgrupos, para cada primo $p$. El conocimiento de estos subgrupos es muy 'util para determinar la estructura de $G$. \\
Con los teoremas de Sylow podremos conocer, si, dado un grupo finito $G$ y un primo $p$ que divida a $o(G)$, si existen p-subgrupos de cualquier orden permitido por el teorema de Lagrange, cuantos hay, y que relaci'on hay entre ellos. 
\begin{teorema}[Primer teorema de Sylow]
Sea $G$ un grupo finito, $p$ un n'umero primo y $r > 0$ un n'umero entero tales que $p^{r}$ divide a $o(G)$. Entonces existen subgrupos $H_{1}, \ldots ,H_{r}$ de $G$ tales que $o(H_{i})=p^{i}$ para $i=1,\ldots ,r$ y de modo que $H_{i} \triangleleft H_{i+1}$ para $i=1,\ldots ,r-1$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Si $r=1$ el resultado es consecuencia directa del teorema de Cauchy. Supongamos pues que $r \geq 2$. Entonces existen, por inducci'on, subgrupos $H_{1},\ldots ,H_{r-1}$ de $G$ tales que $o(H_{i}=p^{i}\,(1 \leq i \leq r-1)$ y con $H_{i}$ normal en $H_{i+1}\, (1 \leq r \leq r-2)$. Como $p$ divide a $[G:H_{r-1}]$, por la congruencia del normalizador, vemos que $p$ divide a $[N(H_{r-1}):H_{r-1}]$. Por el teorema de Cauchy el grupo cociente $N(H_{r-1})/H_{r-1}$ tiene un subgrupo $H_{r}/H_{r-1}$ de orden $p$, o lo que es lo mismo, $H_{r}$ es un subgrupo de $N(H_{r-1})$ que contiene a $H_{r-1}$ como subgrupo normal. Como $H_{r}$ tiene orden $p^{r}$, por el teorema de Lagrange, la demostraci'on es completa.
\end{proof}\\
\\
Si $p$ es un divisor del orden $n$, de un grupo finito $G$, entonces existen p-subgrupos de Sylow de $G$. Basta con observar que si $n=p^{r}m$, $m$ primo con $p$, los p-subgrupos de Sylow de $G$ son los subgrupos de orden $p^{r}$. Si $G$ posee un 'unico p-subgrupo de Sylow $H$, entonces $H \triangleleft G$.
\begin{teorema}[Segundo teorema de Sylow]
Sea $G$ un grupo finito, $H$ un p-subgrupo de $G$ y $S$ un p-subgrupo de Sylow de $G$. Entonces existe $x \in G$ tal que
\[
H \subseteq xSx^{-1}
\]
en particular, dos p-subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados.
\end{teorema}
\begin{proof}
Consideremos la acci'on de $H$ en $X=G/S$ por traslaciones por la izquierda. Una clase $xS \in X$ es invariante por la acci'on anterior si y solo si $hxS=xS$ para todo $h \in H$, es decir, si y solo si $x^{-1}hx \in S$ para todo $h \in H$. Como esta relaci'on es equivalente a $H \subseteq xSx^{-1}$, vemos que
\[
X_{0}=\{ xS \in X \, : \, H \subseteq xSx^{-1} \}
\]
Ahora bien, como $H$ es un p-grupo y $o(X)=[G:S]$, la congruencia de puntos fijos nos da 
\[
o(X_{0}) \equiv [G:S] \, \, (mod \, p)
\]
Como $p$ no divide a $[G:S]$, concluimos que $X_{0}$ no es divisible por $p$ y por tanto que $X_{0}$ no es vac'io.
\end{proof}\\
\\
El segundo teorema de Sylow se deduce trivialmente que la condici'on de que $G$ posea un 'unico p-subgrupo de Sylow es equivalente a que $G$ posea un p-subgrupo de Sylow normal.
\begin{teorema}[Tercer teorema de Sylow]
Sea $G$ un grupo finito, y $n_{p}$ el n'umero de p-subgrupos de Sylow de $G$. Entonces $n_{p}=[G:N(S)]$, para todo p-subgrupo de Sylow $S$ de $G$. Puesto que $[G:N(S)]$ divide a $[G:S]$, en particular tenemos que $n_{p}$ divide a $[G:S]$ para todo p-subgrupo de Sylow $S$ de $G$. Por 'ultimo, se verifica que $n_{p} \equiv 1(mod \, p)$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Por el segundo teorema de Sylow, $n_{p}$ es el cardinal de la 'orbita de un p-subgrupo de Sylow $S$ por la acci'on de $G$ (por conjugaci'on) en el conjunto de subgrupos de $G$. De ello se deduce que
\[
n_{p}=[G:N(S)]
\]
dado que el grupo estabilizador de $S$ es $N(S)$. La primera parte del enunciado se sigue de la relaci'on
\[
[G:S]=[G:N(S)][N(S):S]
\]
Sea ahora $X$ el conjunto de p-subgrupos de Sylow de $G$. Consideremos la acci'on de $S$ en $X$ por conjugaci'on. Entonces
\[
X_{0}=\{ T \in X \, : \, sTs^{-1}=T, \, \forall s \in S \} = \{T \in X \, : \, S \subseteq N(T) \}
\]
Veamos que $X_{0}=\{ S \}$. En efecto, si $T \in X_{0}$, entonces $S$ y $T$ son p-subgrupos de Sylow de $N(T)$ y $T \triangleleft N(T)$, de donde, por el segundo teorema de Sylow, $T=S$. Como $o(X)=n_{p}$ y $o(X_{0}=1$, obtenemos la congruencia enunciada usando la congruencia de puntos fijos.
\end{proof}
%%% Capitulo 2
\chapter{Representaciones de grupos.}
Una representaci'on de un grupo finito $G$ nos proporciona una manera de visualizar $G$ como un grupo de matrices. Para ser mas preciso diremos que una representaci'on es un homomorfismo de $G$ en el grupo de matrices invertibles.\\
La estructura de estos homomorfismos y sus propiedades seran objeto de estudio en este capitulo.   
\section{Representaciones de grupos.}
Sea $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ de los n'umeros complejos, y sea $GL(V)$ el grupo de isomorfismos de $V$. Un elemento $a \in GL(V)$ es, por definici'on, una aplicaci'on lineal de $V$ en $V$ que admite inversa $a^{-1}$; $a^{-1}$ es tambi'en lineal. Si $V$ admite una base finita $(e_{i})$ de $n$ elementos, toda aplicaci'on lineal $a:V \rightarrow V$ se representa por una matriz cuadrada $(a_{ij})$ de orden $n$. Los coeficientes $a_{ij}$ son n'umeros complejos; se calculan expresando $a(e_{j})$ en la base $(e_{i})$:
\[
a(e_{j})=\sum_{i} a_{ij}e_{i}
\]
Decir que $a$ es un isomorfismo equivale a decir que el determinante de $a$ es no nulo. El grupo $GL(V)$ se identifica as'i como el grupo de matrices cuadradas invertibles de orden $n$. En algunas ocasiones escribiremos $GL(n,V)$.
\begin{definicion}
Sea $G$ un grupo finito. Una representaci'on de $G$ en $V$ es un homomorfismo $\rho$ del grupo $G$ en el grupo $GL(V)$:
\[
\rho : G \rightarrow GL(V)
\]
de modo que:
\[
\rho (st)=\rho (s)  \rho (t)
\]
cualesquiera que sean $s,t \in G$.
\end{definicion}
Supongamos que $V$ es de dimensi'on finita, y sea $n$ su dimensi'on; se dice tambi'en que $n$ es el \textit{grado} de la representaci'on considerada.
\begin{ejemplo}
Sea $G$ el grupo dihedral $D_8=\langle a,b:\, a^{4}=b^{2}=1,\, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$. Definimos las matrices $A$ y $B$ como:
\[
A= \left( \begin{array}{cc}
0 & 1  \\
-1 & 0  \end{array} \right),\,
B= \left( \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
0 & -1  \end{array} \right)
\] 
se comprueba que:
\[
A^{4}=B^{2}=I, \, B^{-1}AB=A^{-1}
\]
la funci'on
\[
\rho : G \rightarrow GL(2,V)
\]
definida como $\rho: a^{i}b^{j} \rightarrow A^{i}B^{j}$ para $0\leq i \leq 3$, $0\leq j \leq 1$, es una representaci'on de $D_{8}$ sobre $V$. Es una representaci'on de grado 2.\\
En la siguiente tabla se representan las im'agenes de $\rho$ para cada elemento de $D_{8}$:
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
g & $\rho (g)$ \\
\hline \hline
$1$ & $\left( \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
0 & 1  \end{array} \right)$ \\ \hline 
$a$ & $\left( \begin{array}{cc}
0 & 1  \\
-1 & 0  \end{array} \right)$ \\ \hline
$a^{2}$ & $\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0  \\
0 & -1  \end{array} \right)$ \\ \hline
$a^{3}$ & $\left( \begin{array}{cc}
0 & -1  \\
1 & 0  \end{array} \right)$ \\ \hline
$b$ & $\left( \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
0 & -1  \end{array} \right)$ \\ \hline
$ab$ & $\left( \begin{array}{cc}
0 & -1  \\
-1 & 0  \end{array} \right)$ \\ \hline
$a^{2}b$ & $\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0  \\
0 & 1  \end{array} \right)$ \\ \hline
$a^{3}b$ & $\left( \begin{array}{cc}
0 & 1  \\
1 & 0  \end{array} \right)$ \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Representaci'on del grupo dihedral 8.}
\label{tabla:dihedral8}
\end{center}
\end{table}
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}
Sea $G$ un grupo cualquiera. Definimos $\rho : G \rightarrow GL(n,V)$ como $\rho (g)=I_{n}$ para todo $g \in G$, donde $I_{n}$ es la matriz identidad $n \times n$. Entoces:
\[
\rho (gh) = I_{n}=I_{n}I_{n}=\rho (g)  \rho (h)
\]
para todo $g,h \in G$, por lo tanto, $\rho$ es una representaci'on de $G$. Esto nos indica que todo grupo tiene representaciones de cualquier grado.
\end{ejemplo}
\section{Representaciones equivalentes.}
Sean $\rho$ y $\rho'$ representaciones lineales de un grupo $G$ en espacios vectoriales $V$ y $V'$ respectivamente. Se dice que estas representaciones son equivalentes (o isomorfas) si existe un isomorfismo lineal $\tau : V \rightarrow V'$ que transforma $\rho$ en $\rho'$, es decir, que verifica la identidad:
\[
\tau \cdot \rho (s) = \rho' (s) \cdot \tau
\]
para todo $s \in G$.\\
\\
Si $\rho$ y $\rho'$ se dan en forma matricial por $R$ y $R'$ respectivamente, el isomorfismo se traduce en una matriz invertible $T$ tal que:
\[
T \cdot R = R' \cdot T
\]
o, equivalentemente, tal que:
\[
R' = TRT^{-1}
\] 
Sea $\rho : G \rightarrow GL(V)$ una representaci'on, Y sea $T$ una matriz invertible $n \times n$ de $V$. Para todas las $n \times n$ matrices $A$ y $B$ tenemos:
\[
(T^{-1}AT)(T^{-1}BT)=T^{-1}(AB)T
\]
Usamos esto para crear una reprsentacion $\sigma$ desde $\rho$; definimos
\[
\sigma (g) = T^{-1}\rho (g) T
\]
para todo $g \in G$. Por lo tanto, para todo $g,h \in G$, tenemos:
\[
\sigma (gh) = T^{-1} \rho (gh) T
\]
\[
= T^{-1}\rho (g) \rho (h) T
\]
\[
=T^{-1}\rho (g)T \cdot T^{-1}\rho (h)T 
\]
\[
=\sigma (g) \sigma (h)
\]
por lo que, $\sigma$ es, en efecto, una representaci'on.\\
\\
Con esto podemos ya dar la siguiente definici'on:
\begin{definicion}
Sean $\rho : G \rightarrow GL(m,V)$ y $\sigma : G \rightarrow GL(n,V)$ representaciones de $G$ sobre $V$. Decimos que $\rho$ es equivalente a $\sigma$ si $n=m$ y existe una matriz invertible $n \times n$ $T$ tal que, para todo $g \in G$,
\[
\sigma (g) = T^{-1} \rho (g) T
\]
\end{definicion}
Dadas las representaciones $\rho$, $\sigma$ y $\tau$ de $G$ sobre $V$, se tiene que:
\begin{enumerate}
\item $\rho$ es equivalente a $\rho$. (Prop. Reflexiva).
\item si $\rho$ es equivalente a $\sigma$, entonces $\sigma$ es equivalente a $\rho$. (Prop. Sim'etrica).
\item si $\rho$ es equivalente a $\sigma$ y $\sigma$ es equivalente a $\tau$, entonces $\rho$ es equivalente a $\tau$. (Prop. Transitiva).
\end{enumerate}
Esto nos indica que ser equivalentes es una relaci'on de equivalencia.\\
\\
\begin{proof}
Sean $\rho$, $\sigma$ y $\tau$ representaciones de $G$ sobre $V$, y sea $g \in G$. Tenemos:
\begin{enumerate}
\item Prop. Reflexiva:\\
Sea $I$ la matriz identidad, que ademas es una matriz cuadrada e invertible, siempre podemos poner
\[
\rho (g) = I^{-1} \rho (g) I
\]
por lo que $\rho$ es equivalente a $\rho$.
\item Prop. Sim'etrica:\\
Por ser $\rho$ equivalente a $\sigma$, tenemos que existe una matriz cuadrada invertible $T$ que cumple:
\[
\sigma (g) = T^{-1}\rho (g) T
\]
\[
T \sigma (g) = \rho (g) T
\]
\[
T \sigma (g)T^{-1} = \rho (g) 
\]
lo que concluye que $\sigma$ es equivalente a $\rho$.
\item Prop. Transitiva.\\
Por ser $\rho$ equivalente a $\sigma$, tenemos que existe una matriz cuadrada invertible $T$ que cumple:
\[
\sigma (g) = T^{-1}\rho (g) T
\]
Del mismo modo, por ser $\sigma$ equivalente a $\tau$, tenemos que existe una matriz cuadrada invertible $P$ que cumple:
\[
\tau (g) = P^{-1}\sigma (g) P
\]
Sustituyendo tenemos que:
\[
\tau (g) = P^{-1}T^{-1} \rho (g)T P
\]
\[
\tau (g) = (TP)^{-1} \rho (g)T P
\]
por lo que $\rho$ es equivalente a $\tau$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\section{N'ucleo de una representaci'on.}
Sea una representaci'on $\rho : G \rightarrow GL(V)$. El n'ucleo de una representaci'on consiste en un grupo de elementos $g \in G$ 
para los cuales $\rho (g)$ es la matriz identidad.
\[
Ker \, \rho = \{ g \in G:\rho (g) = I_{n} \}
\]
El n'ucleo de $\rho$ es un subgrupo normal de $G$.\\
\\
Puede ocurrir que el n'ucleo de una representaci'on es el propio grupo $G$.
\begin{definicion}
Una representaci'on $\rho : G \rightarrow GL(1,V)$ definida como:
\[
\rho (g) = 1_{G}
\]
para todo $g \in G$, se denomina \textit{representaci'on trivial} de $G$.
\end{definicion} 
\section{Representaciones irreducibles.}
Sea $\rho : G \rightarrow GL(V)$ una representaci'on lineal y sea $W$ un subespacio de $V$. Si $W$ es estable para la accion de $G$, es decir
\[
gW \subset W, \forall g \in G
\]
entonces $\rho$ define por restricci'on una representaci'on $\rho':G \rightarrow GL(W)$.\\
\\
Si $W'$ es otro subespacio del mismo, se dice que $V$ es suma directa de $W$ y $W'$ si todo $v \in V$ se puede expresar de la forma $v=w+w'$, $w \in W$, $w' \in W'$ y $W \cap W'=0$. Se escribe entonces $V=W \oplus W'$ y se dice que $W'$ es un suplementario de $W$ en $V$. La aplicaci'on $p$ que hace corresponder a cada vector $v \in V$ su componente $w \in W$ es llamada proyector de de $V$ sobre $W$ asociado a la descomposici'on $V=W \oplus W'$; en consecuencia $p$ verifica las condiciones $Im(p)=W$ y $p(w)=w$ si $w \in W$. Rec'iprocamente cualquier aplicaci'on lineal $p$ que verifique estas condiciones cumple $p^{2}=p$. La expresi'on $v=p(v)+v-p(v)$ para todo $v \in V$, da una descripci'on expl'icita de la suma $V=W + Ker(p)$. F'acilmente se comprueba que $W \cap Ker(p)=0$, con lo que $V=W \oplus Ker(p)$. Se establece asi una correspondencia biyectiva entre los proyectores de $V$ sobre $W$ y los suplementarios de $W$ en $V$.\\
\\  
Antes de dar una definici'on de representaci'on irreducible veamos un resultado que nos va a ser 'util en breve:
\begin{teorema}
Sea $\rho: G \rightarrow GL(V)$ una representaci'on lineal de $G$ en $V$ y sea $W$ un subespacio vectorial de $V$ estable por la acci'on de $G$. Existe un subespacio complementario $W'$ de $W$ en $V$ el cual es estable por la acci'on de $G$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Sea $p$ cualquier proyector de $V$ sobre $W$. Consideremos la suma de Poincar'e $P$ de $p$:
\[
P(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}gp(g^{-1}v)
\]
se cumple que $P$ es tambi'en un proyector de $V$ sobre $W$. En efecto, como $W$ es estable por $G$, la expresi'on para $P$ dice que $Im(P)\subset W$. Ademas si $w \in W$, como tambi'en $g^{-1}w \in W$, se tiene $gp(g^{-1}w)=gg^{-1}w=w$, lo que implica que $P(w)=w$ y en consecuencia $P^{2}=Id$ y $P$ es un proyector sobre $W$.\\
Por ser $P$ una suma de Poincar'e , se cumple $P(gv)=gP(v), \forall g \in G$, con lo que $Ker(P)$ es estable por $G$. Como $V=W \oplus Ker(P)$ se concluye el enunciado.
\end{proof}\\
\\
Supongamos que $V$ esta dotado de un producto escalar $\langle x,y \rangle$ satisfaciendo las condiciones de linealidad en $x$, bilinealidad en $y$, y $\langle x,x \rangle > 0$ si $x \neq 0$. Supongamos que este producto escalar permanece invariante por la acci'on de $G$, $\langle \rho(s)x,\rho (s)y \rangle =\langle x,y \rangle$; podemos reemplazar $\langle x,y \rangle$ por $\sum_{t \in G} \langle \rho(t)x,\rho (t)y \rangle$. Bajo esta hip'otesis el complementario ortogonal $W'$ de $W$ en $V$ es un subespacio complementario de $W$ estable por $G$; y asi, obtenemos una demostraci'on alternativa al anterior teorema (2.4.1). Observemos el hecho de que como el producto escalar $\langle x,y \rangle$ es invariante, implica que, si $(e_{i})$ es una base ortonormal de $V$, la matriz $\rho (s)$ con respecto a esa base es la matriz unitaria.\\
\\
Manteniendo las hip'otesis y notaci'on del teorema 2.4.1, sea $x \in V$, y sean $w$ y $w'$ proyecciones en $W$ y $W'$ respectivamente. Tenemos $x=w+w'$, de donde $\rho (s)x=\rho (s)w+\rho (s)w'$, por lo que $w$ y $w'$ son estables por $G$, tenemos que $\rho (s)w \in W$ y $\rho (s)w' \in W'$; asi que $\rho (s)w$ y $\rho (s)w'$ son proyecciones de $\rho (s)x$.\\
\\
Se sigue, entonces, que las representaciones de $W$ y $W'$ determinan la representaci'on de $V$. Decimos que $V$ es suma directa de $W$ y $W'$, y lo escribimos como $V=W \oplus W'$. Podemos definir los elementos de $V$ como un par $(w,w')$ con $w \in W$ y $w' \in W'$. Si $W$ y $W'$ son dados en forma matricial por $R_{s}$ y $R_{s}'$, $W \oplus W'$ estar'a dado en forma matricial como:
\[
\left(
\begin{array}{cc}
R_{s} & 0 \\
0 & R_{s}'
\end{array}
\right)
\]
\begin{definicion}
Una representaci'on lineal $\rho : G \rightarrow GL(V)$ se dice \textit{irreducible} si $V \neq 0$ y ning'un subespacio de $V$ es estable por $G$, excepto, claro est'a, 0 y $V$. 
\end{definicion}
Debido al teorema 2.4.1 la segunda condici'on equivale a decir que $V$ no es suma directa de dos representaciones, salvo la descomposici'on trivial $V=0\oplus V$.\\
\\
Toda representacion de grado 1 es evidentemente irreducible.
\begin{teorema}
Toda representaci'on es suma directa de representaciones irreducibles.
\end{teorema} 
\begin{proof}
Sea $V$ una representaci'on lineal de $G$. Se razona por inducci'on sobre $dim(V)$. Si $dim(V)=0$, el teorema es evidente, 0 es suma directa de la familia vacia de representaciones irreducibles. Si $dim(V)\geq 1$ y $V$ es irreducible no hay nada que demostrar. De lo contrario, debido al teorema 2.4.1, $V$ puede ser descompuesto como suma directa $V' \oplus V''$. Por hip'otesis de inducci'on $V'$ y $V''$ son suma directa de representaciones irreducibles, y lo mismo es cierto para $V$. 
\end{proof}\\
\\
Sea $V$ una representaci'on y sea $V=W_{1}\oplus \ldots \oplus W_{k}$ una descomposici'on de $V$ en suma directa de representaciones irreducibles, podemos preguntarnos si la descomposici'on es unica. En el caso donde todas las representaciones $\rho (s)$ son iguales a 1 muestra que esto no es cierto en general. Sin embargo, mas adelante, veremos que el n'umero de $W_{i}$ isomorfas a una representaci'on irreducible dada, no depende de la descomposici'on elegida. 
\section{FG-m'odulos.}
Sea $G$ un grupo, y sea $F=\mathbb{R}$ o $F=\mathbb{C}$. Escribiremos como $V=F^{n}$ el espacio vectorial formado por los vectores fila $(\lambda_{1}, \ldots \lambda_{n})$ con $\lambda_{i} \in F$. Para todo $v \in V$ y $g \in G$, el producto matricial 
\[
v\rho (g)
\]
de el vector fila $v$ con la matriz de dimensi'on $n \times n$ $\rho (g)$, es un vector fila en $V$.\\
\\
Basandonos en el producto matricial $v\rho (g)$ definimos el FG-m'odulo.
\begin{definicion}
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$ y sea $G$ un grupo. Entonces $V$ es un FG-modulo si esta definida la multiplicaci'on $vg$, para $v \in V$ y $g \in G$, y ademas satisfacen las siguientes condiciones para todo $u, v \in V$, $\lambda \in F$ y $g ,h \in G$:
\begin{enumerate}
\item $vg \in V$
\item $v(gh)=(vg)h$
\item $v1=v$
\item $(\lambda v)g=\lambda (vg)$
\item $(u+v)g=ug+vg$
\end{enumerate}
\end{definicion}
Las condiciones $(1)$, $(4)$ y $(5)$ de la definici'on aseguran que para todo $g \in G$, la funci'on
\[
v \rightarrow vg
\]
es un endomorfismo de $V$.\\
\\
Sea $V$ un FG-m'odulo, y sea $\mathscr{B}$ una base de $V$. Para cada $g \in G$, denotamos como 
\[
[g]_{\mathscr{B}}
\]
a la matriz del endomorfismo $v \rightarrow vg$ de $V$, relativo a la base $\mathscr{B}$.\\
La relaci'on entre los FG-m'odulos y las representaciones de $G$ sobre $F$ se ver'a en el siguiente teorema:
\begin{teorema}
(1) Si $\rho : G \rightarrow GL(F)$ es una representaci'on de $G$ sobre $F$, y $V=F^{n}$, entonces $V$ sera un FG-m'odulo si definimos la multiplicaci'on $vg$ como
\[
vg=v \rho (g)
\]
ademas, existe una base $\mathscr{B}$ de $V$ tal que
\[
\rho (g) = [g]_{\mathscr{B}}
\]
para todo $g \in G$.\\
\\
(2) Sea $V$ un FG-m'odulo y sea $\mathscr{B}$ una base de $V$. Entonces la funci'on 
\[
g \rightarrow [g]_{\mathscr{B}}
\]
es una representaci'on de $G$ sobre $F$. 
\end{teorema}
\begin{proof}
(1) Sabemos que $v \rho (g) \in F^{n}$, ademas por ser $\rho$ un homomorfismo tenemos que $v (\rho (gh))=v(\rho (g) \rho (h))$ y $v (\rho (1))=v$. Del mismo modo, por las propiedades de la multiplicaci'on matricial tenemos que $(\lambda v)\rho(g)=\lambda (v \rho(g))$ y $(u +v)\rho (g)=u \rho(g) + v \rho (g)$ para todo $u, v \in F^{n}$, $\lambda \in F$ y $g, h \in G$.\\
Por lo tanto, $F^{n}$ se convertir'a en un FG-m'odulo si definimos
\[
vg=v \rho (g)
\]
para todo $v \in F^{n}, g \in G$.\\
Ademas, si consideramos la base $\mathscr{B}$ como
\[
(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ...,0), ..., (0, 0, 0, ... , 1)
\]
de $F^{n}$, entonces $\rho (g) = [g]_{\mathscr{B}}$ para todo $g \in G$.\\
\\
(2) Sea $V$ un FG-m'odulo con base $\mathscr{B}$. De $v(gh)=(vg)h$ para todo $g, h \in G$ y todo $v \in \mathscr{B}$, se sigue que 
\[
[gh]_{\mathscr{B}}=[g]_{\mathscr{B}}[h]_{\mathscr{B}}
\]
En particular, 
\[
[1]_{\mathscr{B}}=[g]_{\mathscr{B}}[g^{-1}]_{\mathscr{B}}
\]
para todo $g \in G$. Ahora $v1=v$ para todo $v \in V$, asi que $[1]_{\mathscr{B}}$ es la matriz identidad.\\
Por lo tanto cada matriz $[g]_{\mathscr{B}}$ es invertible.\\
Hemos probado que la funci'on $g \rightarrow [g]_{\mathscr{B}}$ es un homomorfismo de $G$ a $GL(F)$ y por lo tanto es una representaci'on de $G$ sobre $F$. 
\end{proof}\\
\\
Podemos construir FG-m'odulos sin usar una representaci'on. Para hacer esto transformamos un espacio vectorial $V$ sobre $F$ en un FG-m'odulo especificando la acci'on de los elementos del grupo en una base $v_{1}, \ldots v_{n}$ de $V$ y haciendo que sea lineal la acci'on en el entorno de $V$, es decir, primero definimos $v_{i}g$ para cada $i$ y cada $g \in G$, y entonces definimos
\[
(\lambda_{1}v_{1}+ \ldots +\lambda_{n}v_{n})g
\]
para $\lambda_{i} \in F$, como 
\[
\lambda_{1}(v_{1}g)+ \ldots +\lambda_{n}(v_{n}g)
\]
Como era de esperar existen restricciones a la hora de definir los vectores $v_{i}g$.
\begin{teorema}
Sea $v_{1}, \ldots v_{n}$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Supongamos que tenemos una multiplicaci'on $vg$ para todo $v \in V$ y $g \in G$, la cual satisface las siguientes condiciones para todo $i$ con $1 \leq i \leq n$, para todo $g, h \in G$ y para todo $\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{n} \in F$:
\begin{enumerate}
\item $v_{i}g \in V$
\item $v_{i}(gh)=(v_{i}g)h$
\item $v_{i}1=v$
\item $(\lambda_{1}v_{1}+ \ldots +\lambda_{n}v_{n})g=\lambda_{1}(v_{1}g)+ \ldots +\lambda_{n}(v_{n}g)$ 
\end{enumerate}
Entonces $V$ es un FG-m'odulo.
\end{teorema}
\begin{proof}
Es trivial ver de (3) y (4) que $v1=v$ para todo $v \in V$. Las condiciones (1) y (4) nos aseguran que, para todo $g \in G$, la funci'on $v \rightarrow vg$ $(v \in V)$ es un endomorfismo de $V$. Esto es:
\[
vg \in V,
\]
\[
(\lambda v)g=\lambda (vg),
\]
\[
(u+v)g=ug+vg,
\]
para todo $u, v \in V$, $\lambda \in F$ y $g \in G$. Por lo tanto
\[
 (\lambda_{1}u_{1}+ \ldots +\lambda_{n}u_{n})h=\lambda_{1}(u_{1}h)+ \ldots +\lambda_{n}(u_{n}h) 
\]
para todo $\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{n} \in F$, todo $u_{1}, \ldots ,u_{n} \in V$, y todo $h \in G$.\\
Ahora sea $v \in V$ y $g, h \in G$. Entonces $v=\lambda_{1}v_{1}+ \ldots +\lambda_{n}v_{n}$ para alg'un $\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{n} \in F$, y
\[
v(gh)=\lambda_{1}(v_{1}(gh))+ \ldots + \lambda_{n}(v_{n}(gh))
\]
\[
=\lambda_{1}((v_{1}g)h)+ \ldots + \lambda_{n}((v_{n}g)h)
\]
\[
=(\lambda_{1}(v_{1}g)+ \ldots + \lambda_{n}(v_{n}g))h
\]
\[
=(vg)h
\]
Con esto hemos comprobado todos los axiomas requeridos para que $V$ sea un FG-m'odulo.
\end{proof}
\begin{definicion}
El FG-m'odulo trivial es un espacio vectorial $V$ sobre $F$ 1-dimensional con
\[
vg=v
\] 
para todo $v \in V$, $g \in G$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Un FG-m'odulo $V$ es fiel si el elemento unitario de $G$ es el 'unico elemento $g$ para el cual
\[
vg=v
\]
para todo $v \in V$.
\end{definicion}
\subsection{FG-m'odulos y representaciones equivalentes.}
Veamos ahora las relaciones entre los FG-m'odulos y las representaciones equivalentes de $G$ sobre $F$. Un FG-m'odulo tiene varias representaciones, todas de la forma
\[
g \rightarrow [g]_\mathscr{B}
\]
para una base $\mathscr{B}$ de $V$. El siguiente resultado muestra que todas estas representaciones son equivalentes entre si.
\begin{teorema}
Sea $V$ un FG-m'odulo con una base $\mathscr{B}$, y sea $\rho$ la representaci'on de $G$ sobre $F$ definida por
\[
\rho: g \rightarrow [g]_\mathscr{B}
\]
(1) Si $\mathscr{B}'$ es una base de $V$, entonces la representaci'on
\[
\phi: g \rightarrow [g]_\mathscr{B'}
\]
de $G$ es equivalente a $\rho$.\\
(2) Si $\sigma$ es una representaci'on de $G$ la cual es equivalente a $\rho$, entonces existe una base $\mathscr{B}''$
de $V$ tal que
\[
\sigma: g \rightarrow [g]_\mathscr{B''}
\]
\end{teorema}
\begin{proof}
(1) Sea $T$ la matriz del cambio de base de $\mathscr{B}$ a $\mathscr{B'}$. Para todo $g \in G$, tenemos
\[
[g]_{\mathscr{B}}=T^{-1}[g]_{\mathscr{B'}}T
\]
Por lo tanto $\phi$ es equivalente a $\rho$.\\
(2) Supongamos que $\rho$ y $\sigma$ son representaciones equivalentes de $G$. Entonces, para la matriz invertible $T$ tenemos
\[
g\rho = T^{-1}(g \sigma )T
\]
para todo $g \in G$. Sea $\mathscr{B''}$ la base de $V$ para la cual la matriz del cambio de base de $\mathscr{B}$ a $\mathscr{B''}$ es $T$. Entonces para todo $g \in G$
\[
[g]_{\mathscr{B}}=T^{-1}[g]_{\mathscr{B''}}T
\]
por lo que $g \sigma = [g]_\mathscr{B''}$.
\end{proof}
\subsection{FG-subm'odulos.}
En lo sucesivo $G$ sera un grupo y $F$ sera $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.
\begin{definicion}
Sea $V$ un FG-m'odulo. Un subconjunto $W$ de $V$ se dice que es un FG-subm'odulo de $V$ si $W$ es un subespacio y $wg \in W$ para todo $w \in W$ y $g \in G$. 
\end{definicion}
\subsection{FG-m'odulos irreducibles.}
\begin{definicion}
Un FG-m'odulo $V$ se dice que es irreducible si es diferente a $\{0\}$ y no tiene FG-subm'odulos aparte de $\{0\}$ y $V$.\\
Si $V$ tiene un FG-subm'odulo $W$ donde $W$ es distinto a $\{0\}$ o $V$, entonces $V$ es recucible.
\end{definicion}
Del mismo modo, una representaci'on $\rho : G \rightarrow GL(F)$ es irreducible si el correspondiente FG-m'odulo $F^{n}$ dado por
\[
vg=v(\rho (g))
\]
es irreducible; y $\rho$ es reducible si $F^{n}$ es reducible.\\
\\
Supongamos ahora que $V$ es un FG-m'odulo reducible, por lo tanto hay un FG-subm'odulo $W$ con 0 $<$ dim W $<$ dim V. Tomando una base $\mathscr{B_{1}}$ de $W$ y extendi'endola a una base $\mathscr{B}$ de $V$. Entonces para todo $g \in G$, la matriz $[g]_{\mathscr{B}}$ tiene la forma
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c|c}
  X_{g} & 0 \\ 
  \hline
  Y_{g} & Z_{g}
 \end{array} \right)
\end{equation}
para las matrices $X_{g}$, $Y_{g}$ y $Z_{g}$, donde $X_{g}$ es $k \times k$ para $k=dim(W)$.\\
\\
Una representaci'on de grado $n$ es reducible si, y solo si, es equivalente a una representaci'on de la forma (2.6.1), donde $X_{g}$ es $k \times k$ y $0 < k < n$. Notemos que en (2.6.1), las funciones $g \rightarrow X_{g}$ y $g \rightarrow Z_{g}$ son representaciones de $G$.
\subsection{FG-homomorfismos.}
\begin{definicion}
Sean $V$ y $W$ FG-m'odulos. Una funci'on $\vartheta : V \rightarrow W$ se dice que es un FG-homomorfismo si $\vartheta$ es una transformaci'on lineal y 
\[
\vartheta (vg) = \vartheta (v)g
\]
\end{definicion}
En otras palabras, si $\vartheta$ envia $v$ a $w$ entonces envia $vg$ a $wg$.\\
\\
Como $G$ es un grupo finito y $\vartheta : V \rightarrow W$ es un FG-homomorfismo, entonces para todo $v \in V$ y $r=\sum_{g \in G} \lambda_{g}g \in FG$, tenemos
\[
\vartheta (vr) = \vartheta (v)r
\]
\begin{proposicion}
Sea $V$ y $W$ FG-m'odulos y sea $\vartheta : V \rightarrow W$ un FG-homomorfismo. Entonces $Ker \, \vartheta$ es un FG-subm'odulo de $V$ y $Im \, \vartheta$ es un FG-subm'odulo de $W$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
$Ker \, \vartheta$ es un subespacio de $V$ y $Im \, \vartheta$ es un subespacio de $W$ ya que $\vartheta$ es una transformaci'on lineal.\\
Sea $v \in Ker \, \vartheta$ y $g \in G$, entonces
\[
\vartheta (vg) = \vartheta (v)g = 0g = 0
\]
asi que $vg \in Ker \, \vartheta$. Ademas $Ker \, \vartheta$ es un FG-submodulo de $V$.\\
Sea $w \in Im \, \vartheta$, tal que $w = \vartheta (v)$ para alg'un $v \in V$. Para todo $g \in G$,
\[
wg = \vartheta (v)g = \vartheta (vg) \in Im \, \vartheta
\]
por lo que $Im \, \vartheta$ es un FG-subm'odulo de $W$.
\end{proof}
\subsection{Isomorfismos de FG-m'odulos.}
\begin{definicion}
Sean $V$ y $W$ FG-m'odulos. Decimos que $\vartheta : V \rightarrow W$ es un FG-isomorfismo si $\vartheta$ es un FG-homomorfismo y ademas posee inversa. Si $\vartheta : V \rightarrow W$ es un FG-isomorfismo, entonces $V$ y $W$ son FG-m'odulos isomorfos y los representaremos como $V \cong W$.
\end{definicion}
En el siguiente teorema veremos que si $V \cong W$ entonces $W \cong V$.
\begin{teorema}
Si $\vartheta : V \rightarrow W$ es un FG-isomorfismo, entonces la inversa $\vartheta^{-1} : W \rightarrow V$ es tambien un FG-isomorfismo.
\end{teorema}
\begin{proof}
Es evidente que $\vartheta^{-1}$ es una transformaci'on lineal invertible, por lo que, unicamente, debemos demostrar que $\vartheta^{-1}$ es un FG-homomorfismo. Sean $w \in W$ y $g \in G$,
\[
\vartheta(\vartheta^{-1}(w)g)=g(\vartheta(\vartheta^{-1}(w))
\]
como $\vartheta$ es un FG-homomorfismo,
\[
=wg
\]
\[
\vartheta(\vartheta^{-1}(wg))
\]
As'i que $\vartheta^{-1}(w)g=\vartheta^{-1}(wg)$ como se buscaba.
\end{proof}\\
\\
Sea $\vartheta : V \rightarrow W$ un FG-isomorfismo, entonces podemos usar $\vartheta$ y $\vartheta^{-1}$ para cambiar entre los FG-m'odulos isomorfos $V$ y $W$, y probar que $V$ y $W$ comparten la mismas propiedades estructurales; algunos ejemplos pueden ser:
\begin{enumerate}
\item dim $V$ = dim $W$ (cada $v_{1}, \ldots ,v_{n} $ es una base de $V$ si y solo si $\vartheta (v_{1}), \ldots ,\vartheta (v_{n})$ es base de $W$).
\item $V$ es irreducible si y solo si $W$ es irreducible (cada $X$  es un FG-subm'odulo de $V$ si y solo si $\vartheta (X)$ es un FG-subm'odulo de $W$).
\item $V$ contiene un FG-subm'odulo trivial si y solo si $W$ contiene un FG-subm'odulo trivial (cada $X$ es un FG-subm'odulo trivial de $V$ si y solo si $\vartheta (X)$ es un FG-subm'odulo trivial de $W$).
\end{enumerate}
\begin{teorema}
Sea $V$ un FG-m'odulo con una base $\mathscr{B}$, y sea $W$ un FG-m'odulo con una base $\mathscr{B'}$. Entonces $V$ y $W$ son isomorfas si y solo si las representaciones
\[
\rho : g \rightarrow [g]_{\mathscr{B}}
\]
\[
\sigma : g \rightarrow [g]_{\mathscr{B'}}
\]
son equivalentes.
\end{teorema}
\begin{proof}
Para la demostraci'on del anterior teorema primero estableceremos lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item Los FG-m'odulos $V$ y $W$ son isomorfos si y solo si existe una base $\mathscr{B}_{1}$ de $V$ y una base $\mathscr{B}_{2}$ de $W$ tal que
\[
[g]_{\mathscr{B}_{1}}=[g]_{\mathscr{B}_{2}}
\]
para todo $g \in G$.
\end{enumerate}
Para ver esto supongamos, primero, que $\vartheta$ es un FG-isomorfismo de $V$ a $W$, y sea $v_{1}, \ldots ,v_{n}$ una base $\mathscr{B}_{1}$ de $V$; entonces $\vartheta (v_{1}), \ldots ,\vartheta (v_{n})$ es una base de $\mathscr{B}_{2}$ de $W$. Sea $g \in G$. Ya que $\vartheta (v_{i}g)=\vartheta (v_{i})g$ para cada $i$, se sigue que $[g]_{\mathscr{B}_{1}}=[g]_{\mathscr{B}_{2}}$.\\
De modo inverso, supongamos que $v_{1}, \ldots ,v_{n}$ una base $\mathscr{B}_{1}$ de $V$ y $w_{1}, \ldots ,w_{n}$ una base $\mathscr{B}_{2}$ de $W$ tal que $[g]_{\mathscr{B}_{1}}=[g]_{\mathscr{B}_{2}}$ para todo $g \in G$. Sea $\vartheta$ la transformaci'on lineal invertible de $V$ a $W$ para la cu'al $\vartheta (v_{i})=w_{i}$. Y que $[g]_{\mathscr{B}_{1}}=[g]_{\mathscr{B}_{2}}$, se deduce que $\vartheta (v_{i}g)=\vartheta (v_{i})g$ y por lo tanto cada $\vartheta$ es un FG-isomorfismo. Esto completa la demostraci'on de (1).\\
Ahora asumimos que $V$ y $W$ son FG-m'odulos isomorfos. Por (1) hay una base $\mathscr{B}_{1}$ de $V$ y una base $\mathscr{B}_{2}$ de $W$ tal que $[g]_{\mathscr{B}_{1}}=[g]_{\mathscr{B}_{2}}$ para todo $g \in G$. Definimos ahora una representaci'on $\phi$ de $G$ como $\phi : g \rightarrow [g]_{\mathscr{B}_{1}}$. Seg'un el teorema 2.6.3(1), $\phi$ es equivalente a $\rho$ y a $\sigma$, por lo que $\rho$ y $\sigma$ son equivalentes.\\
A la inversa, supongamos que $\rho$ y a $\sigma$ son equivalentes, entonces, por el teorema 2.6.3(2) hay una base $\mathscr{B''}$ de $V$ tal que $\sigma (g) = [g]_{\mathscr{B''}}$ para todo $g \in G$; esto es, $[g]_{\mathscr{B'}}=[g]_{\mathscr{B''}}$  para todo $g \in G$. Por lo tanto $V$ y $W$ son FG-m'odulos isomorfos, por (1).
\end{proof}
\subsection{Suma directa de FG-m'odulos.}
Sea $V$ un FG-m'odulo, y supongamos que
\[
V=U \oplus W
\]
donde $U$ y $W$ son FG-subm'odulos de $V$. Sea $u_{1}, \ldots ,u_{m}$ una base $\mathscr{B}_{1}$ de $U$, y $w_{1}, \ldots ,w_{n}$ una base $\mathscr{B}_{2}$ de $W$. Entonces sabemos, por los primeros cursos de 'algebra lineal, que $u_{1}, \ldots ,u_{m},w_{1}, \ldots ,w_{n}$ es una base $\mathscr{B}$ de $V$, y para $g \in G$
\[
\left( \begin{array}{c|c}
  [g]_{\mathscr{B}_{1}} & 0 \\ 
  \hline
  0 & [g]_{\mathscr{B}_{2}}
 \end{array} \right)
\]
Generalizando aun mas, si $V=U_{1} \oplus \ldots \oplus U_{r}$, es suma directa de los FG-subm'odulos $U_{i}$ y $\mathscr{B}_{i}$ es una base de $U_{i}$, entonces podemos unir $\mathscr{B}_{1}, \ldots ,\mathscr{B}_{r}$, para obtener una base $mathscr{B}$ de $V$, y para $g \in G$,
\[
[g]_{\mathscr{B}} =
\left( \begin{array}{ccc}
 [g]_{\mathscr{B}_{1}} & & 0 \\ 
  
   & \ddots &  \\
  0 & & [g]_{\mathscr{B}_{r}}
\end{array} \right) 
\]
\begin{proposicion}
Sea $V$ un FG-m'odulo, y supongamos que
\[
V=U_{1} \oplus \ldots \oplus U_{r}
\]
donde cada $U_{i}$ es un FG-subm'odulo de $V$. Para $v \in V$, tenemos que $v=u_{1}+ \ldots + u_{r}$ para $u_{i} \in U_{i}$, y definimos $\pi_{i}:V \rightarrow V$ como 
\[
\pi_{i}(v)=u_{i}
\]
Entonces cada $\pi_{i}$ es un FG-homomorfismo, y es, ademas, una proyecci'on de $V$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Evidentemente $\pi_{i}$ es una transformaci'on lineal; y es tambi'en un FG-homomorfismo, ya que para $v \in V$ con $v=u_{i}+ \ldots +u_{r}$ siendo $u_{j} \in U_{j}$ para todo $j$, y $g \in G$, tenemos que
\[
\pi_{i}(vg)=\pi_{i}(u_{1}g+ \ldots +u_{r}g)=u_{i}g=\pi_{i}(v)g
\]
por lo tanto 
\[
\pi_{i}^{2}(v)=\pi_{i}(u_{i})=u_{i}=\pi_{i}(v)
\]
asi que $\pi_{i}^{2}=\pi_{i}$. Lo que implica que $\pi_{i}$ es una proyecci'on.
\end{proof}\\
\\
Veamos, por 'ultimo, un resultado concerniente a la suma de FG-m'odulos irreducibles del cual no daremos una demostraci'on.
\begin{proposicion}
Sea $V$ un FG-m'odulo, y supongamos que
\[
V=U_{1}+\ldots +U_{r}
\]
donde cada $U_{i}$ es un FG-subm'odulo irreducible de $V$. Entonces $V$ es una suma directa de algunos FG-subm'odulos $U_{i}$.
\end{proposicion}
%%% Capìtulo 3
\chapter{Caracteres.}
\section{El lema de Schur.}
\begin{teorema}[Lema de Schur.]
Sea $f : V \rightarrow V'$ una aplicaci'on lineal entre G-m'odulos irreducibles. Entonces, o bien $f = 0$, o bien $f$ es un isomorfismo; ademas, en este caso, $f$ es una homotecia.
\end{teorema}
\begin{proof}
Como Ker(f) es un $G$-subm'odulo estable de $V$, o bien Ker(f)=$V$, lo que significa que $f=0$, o bien Ker(f)=0. En este caso la condici'on $f(gv)=gf(v)$, para $v \in V$, implica que Im(f) es tambi'en un $G$-subm'odulo invariante de $V'$, con lo que Im(f)=$V'$. Sobre los numeros complejos $f$ ha de tener alg'un valor propio $\lambda$, ello supone que $f - \lambda Id$ tiene n'ucleo no nulo, con lo que por lo anterior  $f - \lambda Id$ es el morfismo nulo y por lo tanto $f = \lambda Id$.
\end{proof}
\begin{corolario}
Toda representaci'on irreducible $V$ de un grupo abeliano es de grado 1.
\end{corolario}
\begin{proof}
Sea $g$ un elemento de $G$ y consideremos la aplicaci'on lineal que induce $g : V \rightarrow V$. Puesto que para todo $h \in G$ se cumple que $gh=hg$, se tiene que $g$ es un morfismo de $G$-m'odulos, con ello $g$ es una homotecia. Asi la representaci'on de $G$ en $V$ convierte a $G$ en un grupo de homotecias. Puesto que una homotecia deja invariante cualquier espacio, si $V$ es irreducible ha de ser de dimensi'on 1.
\end{proof}
\section{Car'acter de una representaci'on.}
Para comprender lo que es el car'acter de una representaci'on necesitamos conocer primero el concepto de traza. Este concepto se estudi'o en los primeros cursos de Algebra Lineal, pero debido a su importancia en esta secci'on procedemos, de nuevo, a dar su definici'on:
\begin{definicion}
Sea $V$ un espacio vectorial de dimension $n$ y $a$ un endomorfismo, cuya matriz, en una base $(e_{i})$ de $V$, es $(a_{ij})$. La traza de $a$ es el escalar 
\[
Tr(a)=\sum_{i} a_{ii}
\]
la traza de $a$ no depende de la base $(e_{i})$ elegida.
\end{definicion}
Sea $\rho : G \rightarrow GL(V)$ una representaci'on lineal de un grupo finito $G$ en el espacio vectorial $V$. Dado $s \in G$, pongamos 
\[
\chi_{\rho}(s)=Tr(\rho(s))
\]
Se obtiene as'i una aplicaci'on $\chi_{\rho}$ definida en $G$, a valores complejos
\[
\chi_{\rho} : G \rightarrow \mathbb{C} 
\]    
llamada \emph{car'acter} de la representaci'on $\rho$, la importancia de esta aplicaci'on proviene de que caracteriza la representaci'on considerada.
\begin{proposicion}
Si $\chi$ es el car'acter de una representaci'on $\rho$ de grado $n$, entonces,
\begin{enumerate}
\item $\chi (1)=n$
\item $\chi (s^{-1})=\chi (s)^{*}$ para todo $s \in G$
\item $\chi (tst^{-1})=\chi(s)$ cualquiera que sean $s \, ,t \in G $
\end{enumerate} 
(Si $x$ es un n'umero complejo, denotamos a su conjugado por $x^{*}$.)
\end{proposicion} 
\begin{proof}
Como $\rho (1) = 1$ y $Tr(1)=n$ por ser $V$ de dimensi'on $n$, tendremos $\chi (1)=n$.\\
\\
$\rho (s)$ es de orden finito; sus valores propios $\lambda_{1}, \ldots .\lambda_{n}$ tambien ser'an de orden finito y por lo tanto de m'odulo 1. Entonces:
\[
\chi (s^{*})=Tr(\rho (s^{*}))=\sum \lambda_{i}^{*}= \sum \lambda_{i}^{-1}=Tr(\rho (s^{-1}))=\chi (s^{-1})
\]
\end{proof}\\
\\
Una aplicaci'on $f$ definida en $G$ que verifica la identidad 3), o, equivalentemente, la identidad $f(uv)=f(vu)$, se llama una \emph{funci'on central}. 
\begin{proposicion}
Sean $\rho_{1}:G \rightarrow GL(V_{1})$ y  $\rho_{2}:G \rightarrow GL(V_{2})$, dos representaciones lineales de $G$, y sean $\chi_{1}$ y $\chi_{2}$ sus caracteres. Entonces
\begin{enumerate}
\item El car'acter $\chi$ de la representaci'on suma directa $V_{1} \oplus V_{2}$ es igual a $\chi_{1} + \chi_{2}$.
\item El car'acter $\psi$ de la representaci'on producto tensorial $V_{1} \otimes V_{2}$ es igual a $\chi_{1} \cdot \chi_{2}$.
\end{enumerate}
\end{proposicion}
\begin{proof}
Expresamos $\rho_{1}$ y $\rho_{2}$ en forma matricial: $R_{s}^{1}$ y $R_{s}^{2}$. La forma matricial de la representaci'on $V_{1} \oplus V_{2}$ es 
\[
R_{s}= \left(
\begin{array}{cc}
R_{s}^{1} & 0 \\
0 & R_{s}^{2}
\end{array}
\right)
\]
de donde $Tr(R_{s})=Tr(R_{s}^{1})+Tr(R_{s}^{2})$, es decir, $\chi(s)=\chi_{1}(s)+\chi_{2}(s)$. Sabemos que:
\[
\chi_{1}(s)=\sum_{i_{1}}r_{i1i1}(s)
\]
\[
\chi_{2}(s)=\sum_{i_{2}}r_{i2i2}(s)
\]
\[
\psi(s)=\sum_{i1,i2}r_{i1i1}(s)\cdot r_{i2i2}(s)=\chi_{1}(s) \cdot \chi_{2}(s)
\]
\end{proof}\\
\\
Veamos esto con un ejemplo.
\begin{ejemplo}
Sea $G=D_{8} = \langle a, b; a^{4}=b^{2}=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$, y sea $\rho : G \rightarrow GL(2, \mathbb{C})$ la representaci'on definida como
\[
\rho (a)= \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
\]
\[
\rho (b)= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right)
\]
Sea $\chi$ el car'acter de esta representaci'on. En la siguiente tabla podemos ver los valores que toma $\rho (g)$ y $\chi (g)$ en funci'on de $g$.
\begin{longtable}[c]{c c c }
\caption{Valores de los caracteres.} \\ \toprule
\textbf{$g$} & \textbf{$\rho (g)$} &\textbf{$\chi (g)$} \\ \toprule % Es la fila que se repetirá en cada página                  
\endfirsthead
 \multicolumn{3}{c}{\textit{\textsl{(Viene de la página anterior)}}} \\
\caption{Mi primera tabla larga} \\ \toprule
\textbf{columna 1} & \textbf{columna 2} &\textbf{ columna 3} \\ \toprule % Repetirá la fila en todas las páginas                      
\endhead
 %\multicolumn{3}{c}{\textsl{\textit{(Contin'ua en la p'agina siguiente)}}}\\ %\midrule                                                   
\endfoot
 %\multicolumn{3}{c}{\textit{\textsl{(Fin de mi primera tabla larga)}}} \\% \midrule                                                    
%\endlastfoot
1 & $\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$ & 2 \\ \midrule 
a & $\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)$ & 0 \\ \midrule
$a^{2}$ & $\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right)$ & -2 \\ \midrule 
$a^{3}$ & $\left(
\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}
\right)$ & 0 \\ \midrule
b & $\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right)$& 0 \\ \midrule 
ab & $\left(
\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)$ & 0 \\ \midrule
$a^{2}b$ & $\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$ & 0 \\ \midrule 
$a^{3}b$ & $\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right)$ & 0 \\ \bottomrule
\end{longtable}
\end{ejemplo}
\section{Relaciones de ortogonalidad de los caracteres y descomposici'on de la representaci'on regular.}
Introduzcamos la siguiente notaci'on: sean $\rho_{V}$ y $\rho_{W}$ dos representaciones lineales de $G$ y sean $\chi_{V}$ y $\chi_{W}$ sus caracteres. Se define su producto escalar como: 
\[
\langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in G}\chi_{V}(g_{i})\chi_{W}^{*}(g_{i})
\]
El producto escalar cumple las siguientes propiedades:
\begin{enumerate}
\item $\langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle$ es un n'umero real. En efecto, podemos escribir
\[
\langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in G}\chi_{V}(g_{i}^{-1})\chi_{W}^{*}(g_{i}^{-1}) = \frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in G}\chi_{V}^{*}(g_{i})\chi_{W}(g_{i}) = \langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle ^{*}
\]
\item $\langle \chi ,\chi \rangle \geq 0$ para cualquier car'acter $\chi$, y $\langle \chi ,\chi \rangle = 0$ si y solo si $\chi =0$.
\end{enumerate}
\begin{proposicion}
Sea $V$ un G-espacio, entonces $dim_{\mathbb{C}}V^{G}=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_{V}(g)$. 
\end{proposicion}
\begin{proof}
La aplicaci'on
\[
\pi (v) = \frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in V} g_{i}v, \, \, v \in V
\]
es un proyector sobre $V^{G}$. Como $V = ker (\pi) \oplus Im (\pi) = ker (\pi) \oplus V^{G}$, la traza de $\pi$ coincide con la traza de su restricci'on a $V^{G}$. Como esta restricci'on es la identidad esta traza vale  $dim_{\mathbb{C}}V^{G}$.\\
Por ultimo, como la traza de la suma de aplicaciones lineales es la suma de las trazas, se concluye el enunciado.
\end{proof}
\begin{teorema}
$\langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle$=$dim_{\mathbb{C}}Hom_{\mathbb{C}}(V,W)^{G}=Hom_{G}(V,W)$
\end{teorema}
\begin{proof}
Por la proposici'on anterior
\[
dim_{\mathbb{C}}Hom_{\mathbb{C}}(V,W)^{G}=
\frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in G} \chi_{Hom_{\mathbb{C}}(V,W)}(g_{i})=
\frac{1}{|G|}\sum_{g_{i} \in G} \chi_{V}^{*}(g_{i})\chi_{W}(g_{i})=
\langle \chi_{V} ,\chi_{W} \rangle
\]
\end{proof}
\begin{corolario}
Si $\chi$ es el car'acter de una representaci'on irreducible $W$ entonces $\langle \chi ,\chi \rangle =1$. Si $\chi$ y $\chi'$ son los caracteres de dos representaciones irreducibles $W$ y $W'$ no isomorfas, entonces $\langle \chi ,\chi' \rangle =0$
\end{corolario}
\begin{proof}
En efecto, por el lema de Schur, si $W$ es irreducible los unicos isomorfismos de G-espacios son las constantes, con lo que $dim_{\mathbb{C}}Hom_{G}(W,W)=1$. \\
\\
Por otra parte, que $W$ y $W'$ sean G-espacios no isomorfos quiere decir que $dim_{\mathbb{C}}Hom_{G}(W,W')=0$, con lo que, por el teorema anterior, $\langle \chi_{W} ,\chi_{W'} \rangle = 0 $ 
\end{proof}
\begin{teorema}
Sea $V$ una representaci'on lineal de $G$, de car'acter $\varphi$, descomponemos $V$ en suma directa de representaciones irreducibles
\[
V = W_{1} \oplus \ldots \oplus W_{k}
\]
Entonces, si $W$ es una representaci'on irreducible de car'acter $\chi$, el numero de las $W_{i}$ isomorfas a $W$ es igual al prducto escalar $\langle \varphi , \chi \rangle$. 
\end{teorema}
Sea $\chi_{i}$ el caracter de $W_{i}$, sabemos que 
\[
\varphi = \chi_{1}+ \ldots + \chi_{k}
\]
y por lo tanto $\langle \varphi , \chi \rangle= \langle \chi_{1}, \chi \rangle +\ldots +   \langle \chi_{k}, \chi \rangle $. Por el teorema anterior $\langle \chi_{i}, \chi \rangle$ es igual a 1 (o a 0) segun que $W_{i}$ sea (o no) isomorfa a $W$.\\
\\
Del anterior teorema podemos afirmar que el n'umero de las $W_{i}$ isomorfas a $W$ no depende de la descomposici'on elegida; ademas, dos representaciones del mismo car'acter son isomorfas, ya que ambas contienen el mismo n'umero de veces toda representaci'on irreducible dada.\\
Estos resultados permiten reducir el estudio de las representaciones al de los caracteres. Si $\chi_{1}, \ldots ,\chi_{h}$ son los caracteres de las representaciones irreducibles de $G$ y $W_{1}, \ldots W_{h}$ son sus correspondientes representaciones, toda representaci'on $V$ es isomorfa a una suma directa
\[
V=m_{1}W_{1} \oplus \ldots \oplus m_{h}W_{h}
\]
para $m_{i}$ entero mayor o igual a 0.\\
El car'acter $\varphi$ de $V$ es igual a $m_{1}\chi_{1}+\ldots + m_{h}\chi_{h}$, y $m_{i}=\langle \varphi , \chi_{i} \rangle$. Las relaciones de ortogonalidad entre los $\chi_{i}$ implican que
\[
\langle \varphi , \varphi \rangle = \sum_{i=1}^{h}m_{i}^{2}
\]
de donde obtenemos el siguiente teorema.
\begin{teorema}
Si $\varphi$ es el car'acter de una representaci'on $V$, $\langle \varphi, \varphi \rangle$ es un entero y $\langle \varphi, \varphi \rangle =1$ si y s'olo si $V$ es irreducible.
\end{teorema}
\begin{proof}
En efecto, $\sum m_{i}^{2}$ vale 1 si y solo si uno de los $m_{i}$ es igual a 1 y los demas iguales a 0, es decir, si y solo si $V$ es isomorfo a una de las $W_{i}$.
\end{proof}\\
\\
Se ha obtenido as'i un \emph{criterio de irreducibilidad} muy c'omodo.\\
\\
Con los siguientes resultados describiremos la descomposici'on de una representaci'on regular:
\begin{proposicion}
El car'acter $\varphi$ de la representaci'on regular viene dado por las siguientes f'ormulas:
\[
\varphi (1) = |G|
\]
donde $|G|$ es el ord'en de $G$. Y
\[
\varphi (s)=0
\]
si $s \neq 1$.
\end{proposicion}
\begin{corolario}
Cada representaci'on irreducible $W_{i}$ est'a contenida en la representaci'on regular un n'umero de veces igual a su grado $n_{i}$.
\end{corolario}
\begin{proof}
Por el teorema 3.3.2, este n'umero es igual a $\langle \varphi , \chi_{i} \rangle$. Ahora bien
\[
\langle \varphi , \chi_{i} \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{s \in G} \varphi (s)^{*} \chi_{i} (s) = \frac{1}{|G|}|G|\chi_{i}(1)=\chi_{i}(1)=n_{i} 
\]
\end{proof}
\begin{corolario}
Los grados $n_{i}$ verifican la relaci'on $\sum_{i=1}^{h}n_{i}^{2}=|G|$.
\end{corolario}
\begin{proof}
En efecto, el corolario 3.3.1 asegura que $\varphi = \sum n_{i} \chi_{i}$ y aplicando ambos miembros a dicho corolario resulta $|G|=\sum_{i=1}^{h} n_{i}^{2}$. 
\end{proof}\\
\\
Este resultado se puede usar cuando se buscan las representaciones irreducibles de $G$; supongamos construidas representaciones irreducibles no isomorfas dos a dos, de grados $n_{1}, \ldots ,n_{k}$; a fin de que sean todas las representaciones irreducibles de $G$ (salvo isomorfismos) es necesario y suficiente que $n_{1}^{2}+ \ldots + n_{k}^{2}=|G|$.
\section{Clases de conjugaci'on.}
\begin{definicion}
Sean $x, y \in G$. Decimos que $x$ es un conjugado de $y$ en $G$ si 
\[
y=g^{-1}xg
\]
para $g \in G$.\\
El conjunto de todos los elementos conjugados de $x$ en $G$ es
\[
x^{G}=\{g^{-1}xg : g \in G \}
\]
y se llama clase de conjugaci'on de $x$ en $G$.
\end{definicion}
Ahora daremos un primer resultado que muestra que dos clases de conjugaci'on no tienen elementos en com'un.
\begin{proposicion}
Si $x, y \in G$, entonces $x^{G}=y^{G}$ o $x^{G} \cap y^{G}$ es vacio.
\end{proposicion} 
\begin{proof}
Supongamos que $x^{G} \cap y^{G}$ no es vacio, tomemos $z \in x^{G} \cap y^{G}$. Entonces existe $g, h \in G$ tal que 
\[
z=g^{-1}xg = h^{-1}yh
\]
por lo tanto $x=gh^{-1}yhg^{-1}=k^{-1}yk $, donde $k=hg^{-1}$. Asi que
\[
a \in x^{G} \Rightarrow a=b^{-1}xb
\]
para $b \in G$
\[
\Rightarrow a=b^{-1}k^{-1}ykb
\]
\[
\Rightarrow a=c^{-1}yc
\]
donde $c=kb$ 
\[
\Rightarrow a \in y^{G}
\]
De este modo $x^{G} \subseteq y^{G}$. Del mismo modo $y^{G} \subseteq x^{G}$, usando $y=kxk^{-1}$, y por lo tanto $x^{G}=y^{G}$.
\end{proof}\\
\\
Cada elemento $x \in G$ se encuentra en a clase de conjugaci'on $x^{G}$, como $x=1^{-1}x1$ con $1 \in G$, $G$ es la uni'on de sus clases de conjugaci'on.
\begin{corolario}
Todo grupo es una uni'on de sus clases de conjugaci'on. Las clases de conjugaci'on distintas son disjuntas.
\end{corolario}
\begin{definicion}
Si $G=x_{1}^{G} \cup \ldots \cup x_{l}^{G}$, donde las clases de conjugaci'on $x_{1}^{G}, \ldots , x_{l}^{G}$ son distintas, llamamos a $x_{1}, \ldots , x_{l}$ representantes de las clases de conjugaci'on de $G$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Sea $G=D_{6}=\langle a, b: a^{3}=b^{2}=1, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$. Los elementos de $G$ son $1, a, a^{2}, b, ab, a^{2}b$. Cada $g^{-1}ag$ es $a$ o $a^{2}$ para todo $g \in G$, y $b^{-1}ab=a^{2}$, tenemos
\[
a^{G}=\{ a, a^{2} \}
\]
Ademas, $a^{-i}ba^{i}=a^{-2i}b$ para todo entero $i$, asi que
\[
b^{G}= \{ b, ab, a^{2}b \}
\]
Por lo tanto las clases de conjugaci'on de $G$ son
\[
\{ 1 \}, \{ a, a^{2} \}, \{ b, ab, a^{2}b \}
\]
\end{ejemplo}
La siguiente proposici'on puede ser 'util a la hora de calcular las clases de conjugaci'on.
\begin{proposicion}
Sean $x, y \in G$. Si $x$ es conjugado de $y$ en $G$, entonces $x^{n}$ es conjugado de $y^{n}$ en $G$ para todo entero $n$. $x$ e $y$ tienen el mismo orden.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Observemos que para $a, b \in G$, tenemos
\[
g^{-1}abg=(g^{-1}ag)(g^{-1}bg)
\]
As'i que $g^{-1}x^{n}g=(g^{-1}xg)^{n}$. Supongamos que $x$ es conjugado de $y$ en $G$, as'i que $y=g^{-1}xg$ para alg'un $g \in G$. Entonces $y^{n}=g^{-1}x^{n}g$ y por lo tanto $x^{n}$ es conjugado de $y^{n}$ en $G$. Sea $x$ de orden $m$, entonces $y^{m}=g^{-1}x^{m}g=1$, y para $0<r<m$, $y^{r}=g^{-1}x^{r}g \neq 1$, as'i que $y$ tiene orden $m$.
\end{proof}
\subsection{Tama\~no de las clases de conjugaci'on.}
El pr'oximo teorema determina el tama\~no de las clases de conjugaci'on en $G$, pero antes daremos la siguiente definici'on:
\begin{definicion}
Sea $x \in G$. El centralizador de $x$ en $G$, escrito $C_{G}(x)$, es el conjunto de elementos de $G$ los cuales conmutan con $x$; es decir
\[
C_{G}(x)=\{ g \in G: xg=gx \}
\]
\end{definicion}
$C_{G}(x)$ es un subgrupo de $G$.
\begin{teorema}
Sea $x \in G$. El tama\~no de la clase de conjugaci'on $x^{G}$ esta dado por
\[
|x^{G}|=|G:C_{G}(x)|=|G|/|C_{G}(x)|
\]
En particular, $|x^{G}|$ divide a $|G|$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Observemos primero que para $g,h \in G$, tenemos
\[
g^{-1}xg=h^{-1}xh \Leftrightarrow hg^{-1}x=xhg^{-1}
\]
\[
\Leftrightarrow hg^{-1} \in C_{G}(x)
\]
\[
\Leftrightarrow C_{G}(x)g=C_{G}(x)h
\]
teniendo esto en cuenta, podemos definir una funci'on inyectiva $f$ definida por:
\[
f:g^{-1}xg \rightarrow C_{G}(x)
\]
Es evidente que $f$ es sobreyectiva. Asi que $f$ es una biyecci'on, lo que prueba que $|x^{G}|=|G:C_{G}(x)|$.
\end{proof}\\
\\
Antes de avanzar hagamos la siguiente observaci'on
\[
|x^{G}|=1 \Leftrightarrow g^{-1}xg=x
\]
para todo $g \in G$
\[
\Leftrightarrow x \in Z(G)
\]
donde $Z(G)$ es el centro de $G$.
\begin{definicion}[Equaci'on de clases.]
Sean $x_{1}, \ldots ,x_{l}$ representantes de las clases de conjugaci'on de $G$. Entonces
\[
|G|=|Z(G)|+\sum_{x_{i} \nsubseteq Z(G)}|x_{i}^{G}|
\]
donde $|x_{i}^{G}|=|G:C_{G}(x_{i})|$ y ambos, $|Z(G)|$ y $|x_{i}^{G}|$ divide a $|G|$.
\end{definicion}
Existen determinados paquetes inform'aticos que tienen como objeto trabajar con los distintos grupos algebraicos, uno de ellos es GAP, el cual puede ser descargado de forma gratuita desde \emph{www.gap-system.org}. GAP permite calcular las clases de conjugaci'on de un grupo determinado, en el siguiente ejemplo veremos como calcular las clases de conjugaci'on del grupo sim'etrico $S_{3}$. 
\begin{verbatim}
# Creamos el grupo:
gap> s3:=SymmetricGroup(3);
Sym( [ 1 .. 3 ] )

# Tiene 3 clases de conjugaciones de elementos:
gap> cc:=ConjugacyClasses(s3);
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
gap> Length(cc);
3

# Tomemos por ejemplo el segundo de ellos:
gap> c:=cc[2];
(1,2)^G

# Vemos que contiene 3 elementos
gap> Size(c);
3

# Generamos una lista con todos los elementos de la clase escogida
gap> AsList(c);
[ (1,2), (2,3), (1,3) ]
\end{verbatim}


\section{N'umero de caracteres irreducibles.}
En este punto desarrollaremos un resultado que afirma que el n'umero de caracteres irreducibles de un grupo finito es igual al n'umero de clases de conjugaci'on de el grupo.
\subsection{Funciones de clase.}
\begin{definicion}
Una funci'on de clase en $G$ es una funci'on $\psi : G \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\psi (x) = \psi (y)$ donde $x$ e $y$ son elementos conjugados de $G$.
\end{definicion}
Sabemos que los caracteres de $G$ son funciones de clase $G$. El conjunto $C$ de todas las funciones de clase en $G$ es un subespacio de el espacio vectorial de todas las funciones de $G$ a $\mathbb{C}$. Una base de $C$ estaria dada por aquellas funciones que toman el valor 1 en una clase de conjugaci'on y 0 en el resto. Asi que, si $l$ es el n'umero de clases de conjugaci'on de $G$, entonces
\[
dim(C)=l
\]
\begin{teorema}
El n'umero de caracteres irreducibles de $G$ es igual al numero de clases de conjugaci'on de $G$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Sea $\chi_{1}, \ldots \chi_{k}$ los caracteres irreducibles de $G$ y sea $l$ el numero de clases de conjugaciones de $G$. $\chi_{1}, \ldots \chi_{k}$ son elementos linealmente independientes de $C$, lo que implica que $k \leq l$.\\
Para demostrar $l \leq k$ consideraremos los $\mathbb{C}$G-m'odulos regulares. Si $V_{1}, \ldots V_{k}$ es un conjunto completo de $\mathbb{C}$G-m'odulos irreducibles no isomorfos, entonces:
\[
\mathbb{C}G = W_{1} \oplus \ldots \oplus W_{k}
\]
donde para cada $i$, $W_{i}$ es isomorfo a la suma directa de $V_{i}$.\\
Cada $\mathbb{C}G$ contiene el elemento identidad, por lo que podemos poner
\[
1=f_{1}+ \ldots + f_{k}
\]
con $f_{i} \in W_{i}$ para $1 \leq i \leq k$.\\
Sea $z \in Z(\mathbb{C}G)$, el centro de $\mathbb{C}G$, para cada $i$ existe $\lambda_{i} \in \mathbb{C}$ tal que para todo $v \in V_{i}$
\[
vz=\lambda_{i}v
\]
por lo tanto $wz=\lambda_{i}w$ para todo $w \in W_{i}$, en particular, de 
\[
f_{i}z=\lambda_{i}f_{i}
\] 
se sigue que
\[
z=1z=(f_{1}+\ldots +f_{k})z=f_{1}z+ \ldots +f_{k}z
\]
\[
=\lambda_{1}f_{1} + \ldots + \lambda_{k}f_{k}
\]
Esto prueba que $Z(\mathbb{C}G)$ est'a contenido en el subespacio de $\mathbb{C}$G generado por $f_{i}, \ldots ,f_{k}$. Como cada $Z(\mathbb{C}G)$ tiene dimensi'on $l$ deducimos que $l \leq k$. Esto completa la prueba de que $k=l$. 
\end{proof}
\begin{corolario}
Los caracteres irreducibles $\chi_{1}, \ldots ,\chi_{k}$ de $G$ forman una base de el espacio vectorial de todas las funciones de clase en $G$. En efecto, si $\psi$ es una funci'on de clase, entonces
\[
\psi=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\chi_{i}
\]
donde $\lambda_{i} = \langle \psi , \chi_{i} \rangle$ para $1 \leq i \leq k$
\end{corolario}
\begin{proposicion}
Sean $g, h \in G$. Entonces $g$ es conjugado de $h$ si, y solo si, $\chi(g)=\chi(h)$ para todos los caracteres $\chi$ de $G$. 
\end{proposicion}
\begin{proof}
Es sabido que si $g$ es conjugado de $h$ entonces $\chi(g)=\chi(h)$.\\
A la inversa, supongamos que $\chi(g)=\chi(h)$ para todos los caracteres $\chi$ de $G$. Por el anterior corolario $\psi (g) = \psi (h)$ para todas las funciones de clase $\psi$ de $G$. En particular, esto es cierto para las funciones de clase $\psi$ la cuales toman el valor 1 en la clase de conjugaci'on de $g$ y toma el valor 0 en el resto. Entonces $\psi(g)=\psi(h)=1$, y, por lo tanto, $g$ es conjugado de $h$.
\end{proof}
\begin{corolario}
Sea $g \in G$. Entonces $g$ es conjugado de $g^{-1}$ si, y solo si, $\chi (g)$ es real para todos los caracteres $\chi$ de $G$.
\end{corolario}
\begin{ejemplo}
Sea $G$ el grupo de permutaciones de 3 letras. Entonces $|G|=6$, y tiene tres clases: el elemento identidad, tres transposiciones y dos permutaciones c'iclicas. Sea $t$ una transposici'on, y $c$ una permutaci'on c'iclica. Tenemos $t^{2}=1$, $c^{3}=1$, $tc=c^{2}t$; de donde hay solo dos caracteres de grado 1: el car'acter identidad $\chi_{1}$ y e car'acter $\chi_{2}$ que nos varia el signo de la permutaci'on.\\
Segun el teorema que afirma que "el n'umero de caracteres irreducibles de $G$ es igual al numero de clases de conjugaci'on de $G$", nos muestra que existe otro car'acter irreducible $\theta$; si $n$ es su grado debemos tener $1+1+n^{2}=6$, por lo que $n=2$. Los valores de $\theta$ pueden ser deducidos del hecho de que $\chi_{1}+\chi_{2}+2\theta$ es el car'acter de la representaci'on regular de $G$. Obtenemos la siguiente tabla de caracteres de $G$:
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & t & c \\
\hline \hline
$\chi_{1}$ & 1 & 1 & 1 \\ 
$\chi_{2}$ & 1 & -1 & 1 \\ 
$\theta$ & 2 & 0 & -1 \\ 
\hline
\end{tabular}
\caption{Tabla de caracteres de G.}
\label{tabla:caracteresG}
\end{center}
\end{table}
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}
A continuaci'on veremos un simple ejemplo con GAP en el cual se verifica el teorema que afirma que el n'umero de caracteres irreducibles de $G$ es igual al numero de clases de conjugaci'on de $G$.
\begin{verbatim}
## Creamos un grupo, en este caso el grupo dihedral asociado a un cuadrado 
gap> d8:=DihedralGroup(IsPermGroup, 8);
Group([ (1,2,3,4), (2,4) ])

## Comprobamos que tiene 5 caracteres irreducibles 
gap> cir:=Irr(d8);
[ Character( CharacterTable( Group([ (1,2,3,4), (2,4) ]) ), [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Group([ (1,2,3,4), (2,4) ]) ), [ 1, -1, -1, 1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Group([ (1,2,3,4), (2,4) ]) ), [ 1, -1, 1, -1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Group([ (1,2,3,4), (2,4) ]) ), [ 1, 1, -1, -1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Group([ (1,2,3,4), (2,4) ]) ), [ 2, 0, 0, 0, -2 ] ) ]
gap> Size(cir);
5

## Comprobamos que tiene 5 clases de conjugacion
gap> cc:=ConjugacyClasses(d8);
[ ()^G, (2,4)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3,4)^G, (1,3)(2,4)^G ]
gap> Size(cc);
5
\end{verbatim}
\end{ejemplo}
%%% Capitulo 4
\chapter{Tabla de caracteres.}
\section{Tablas de caracteres.}
Los caracteres irreducibles de un grupo finito $G$ son funciones de clase, y el numero de ellos es igual al numero de las clases de conjugaci'on de $G$. En ocasiones es conveniente anotar los valores de los caracteres irreducibles de $G$ en una matriz cuadrada. Esta matriz se llama \emph{tabla de caracteres de G}. 
\subsection{Tablas de caracteres.}
\begin{definicion}
Sean $\chi_{1},\ldots .\chi_{k}$ los caracteres irreducibles de $G$, y sean $g_{1},\ldots .g_{k}$ representantes de las clases de conjugaci'on de $G$. La matriz cuadrada $k \times k$ cuya \emph{ij-esima} entrada es $\chi_{i}(g_{j})$, para todo $i$, $j$ con $1 \leq i \leq k$, $1 \leq j \leq k$, se llama tabla de caracteres de $G$. 
\end{definicion}
Es normal nombrar los caracteres irreducibles y las clases de conjugaci'on de $G$ de tal modo que $\chi_{1}=1_{G}$ sea el car'acter trivial, y $g_{1}=1$ el elemento identidad de $G$. Mas alla de esto, se nombran de modo arbitrario. Se\~nalar que en las tablas de caracteres las filas estan indexadas por los caracteres irreducibles de $G$, mientras que las columnas estan indexadas por las clases de conjugaci'on.
\begin{proposicion}
La tabla de caracteres de $G$ es una matriz invertible.
\end{proposicion}
\begin{proof}
La demostraci'on de esta proposici'on se sigue inmediatamente del hecho de que los caracteres irreducibles de $G$, y por lo tanto las filas de la tabla de caracteres, son linealmente independientes.
\end{proof}
\subsection{Relaciones de ortogonalidad.}
Las relaciones de ortogonalidad,
\[
\langle \chi_{r}, \chi_{s} \rangle = \delta_{rs}
\]
de las cuales ya se habl'o en el cap'itulo anterior, pueden ser expresadas en t'erminos de filas de la tabla de caracteres escribiendo las relaciones como
\[
\sum_{i=1}^{k}\frac{\chi_{r}(g_{i})\chi_{s}^{*}(g_{i})}{|C_{G}(g_{i})|}=\delta_{rs}
\]
Las mismas relaciones existen para las columnas de la tabla de caracteres como veremos en el siguiente resultado:
\begin{teorema}
Sean $\chi_{1}, \ldots,\chi_{k}$ caracteres irreducibles de $G$, y sean $g_{1},\ldots ,g_{k}$ representantes de las clases de conjugaci'on de $G$. Las siguientes relaciones se mantienen para cualquier $r, s \in \{1, \ldots ,k\}$
\begin{enumerate}
\item Relaci'on de ortogonalidad asociada a las filas de la tabla de caracteres:
\[
\sum_{i=1}^{k}\frac{\chi_{r}(g_{i})\chi_{s}^{*}(g_{i})}{|C_{G}(g_{i})|}=\delta_{rs}
\]
\item Relaci'on de ortogonalidad asociada a las columnas de la tabla de caracteres:
\[
\sum_{i=1}^{k}\chi_{i}(g_{r})\chi_{i}^{*}(g_{s})=\delta_{rs}|C_{G}(g_{r})|
\]
\end{enumerate}
\end{teorema}
\begin{proof}
Para las relaciones de ortogonalidad asociadas a las filas de la tabla de caracteres denotamos por $g_{i}^{G}$ la clase de conjugaci'on de $G$ que contiene a $g_{i}$. Ya que los caracteres son constantes en cada clase de conjugaci'on
\[
\sum_{g \in g_{i}^{G}}\chi(g)\psi^{*}(g)=|g_{i}^{G}|\chi(g_{i})\psi^{*}(g_{i})
\]
Como
\[
G=\bigcup_{i=1}^{l} g_{i}^{G}
\]
y
\[
|g_{i}^{G}|=|G|/|C_{G}(g_{i})|
\]
Tenemos que
\[
\langle \chi, \psi \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G}\chi(g)\psi^{*}(g)=\frac{1}{|G|} \sum_{i=1}^{l} \sum_{g \in g_{i}^{G}} \chi(g)\psi^{*}(g)
\]
\[
=\sum_{i=1}^{l}\frac{|g_{i}^{G}|}{|G|}\chi (g_{i})\psi^{*}(g_{i})
\]
\[
=\sum_{i=1}^{l}\frac{1}{|C_{G}(g_{i})|}\chi(g_{i})\psi^{*}(g_{i})
\]
Pasamos ahora a dar una demostraci'on para para las relaciones de ortogonalidad asociadas a las columnas de la tabla de caracteres:\\
Para $1 \leq s \leq k$, sea $\psi_{s}$ una funci'on de clase que satisface 
\[
\psi_{s}(g_{r})=\delta_{rs}
\]
Por el corolario 3.5.1, $\psi_{s}$ es una combinaci'on lineal de $\chi_{1}, \ldots ,\chi_{k}$, ya que
\[
\psi_{s}=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\chi_{i}
\]
como $\langle \chi_{i} ,\chi_{j} \rangle = \delta_{ij}$, tenemos
\[
\lambda_{i}=\langle \psi_{s}, \chi_{i} \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}\psi_{s}(g)\chi_{i}^{*}(g)
\]
$\phi_{s}(g)=1$ si $g$ es conjugado de $g_{s}$, y $\phi_{s}(g)=0$ en cualquier otro caso; asi que hay $|G|/|C_{G}(g_{s})|$ elementos de $G$ conjugados de $g_{s}$ por el teorema 3.4.1.\\
Asi que
\[
\lambda_{i}=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}\psi_{s}(g)\chi_{i}^{*}(g)=\frac{\chi_{i}^{*}(g_{s})}{|C_{G}(g_{s})|}
\]
Por lo tanto
\[
\delta_{rs}=\psi_{s}(g_{r})=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}\chi_{i}(g_{r})=\sum_{i=1}^{k}\frac{\chi_{i}(g_{r})\chi_{i}^{*}(g_{s})}{|C_{G}(g_{s})|}
\]
\end{proof}\\
\\
Veamos todo lo tratado hasta ahora con un ejemplo:
\begin{ejemplo}
Consideremos el grupo sim'etrico $S_{3}$. Las clases de conjugaci'on son $\{1\}$, $\{(12),(13),(23)\}$, y $\{(123),(132)\}$, con lo que existen 3 caracteres irreducibles $\chi_{1}, \chi_{2}, \chi_{3}$. Con GAP lo hariamos como sigue:
\begin{verbatim}
# Creamos el grupo simetrico s3
gap> s3:=SymmetricGroup(IsPermGroup, 3);
Sym( [ 1 .. 3 ] )
# Calculamos sus clases de conjugacion
gap> cc:=ConjugacyClasses(s3);
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
# Vemos que tiene 3 clases de conjugacion, procedemos a analizarlas
gap> Elements(cc[1]);
[ () ]
gap> Elements(cc[2]);
[ (2,3), (1,2), (1,3) ]
gap> Elements(cc[3]);
[ (1,2,3), (1,3,2) ]
# Como tiene 3 clases de conjugacion tendra 3 caracteres irreducibles, lo comprobamos
gap> cir:=Irr(s3);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, -1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 2, 0, -1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, 1, 1 ] ) ]
gap> Length(cir);
3
\end{verbatim}
Si consideramos la representaci'on 
\[
\rho_{2} : S_{3} \rightarrow S^{1}
\]
asignando a cada permutaci'on en $S_{3}$ su signo, obtenemos:
\[
\left( \begin{array}{ccc}
\chi_{1}(1)=1 & \chi_{1}(12)=1 & \chi_{1}(123)=1 \\
\chi_{2}(1)=1 & \chi_{2}(12)=-1 & \chi_{2}(123)=1 \\
\chi_{3}(1)=n_{3}& \chi_{3}(12) & \chi_{3}(123) \end{array} \right)
\]
Como $6=|S_{3}|=1+1+n_{3}^{2}$, se tiene $n_{3}=2$. La ortogonalidad de las dos primeras columnas implica 
\[
1 \cdot 1 +1 \cdot (-1)+2 \cdot \chi_{3}(12)=0
\]
de lo que $\chi_{3}(12)=0$. Mientras, la ortogonalidad de las columnas primera y tercera proporciona
\[
1 \cdot 1 +1 \cdot 1 +2 \cdot \chi_{3}(123)=0
\]
por lo que $\chi_{3}(123)=-1$.\\
\\
En conclusion tenemos:
\[
\left( \begin{array}{ccc}
\chi_{1}(1)=1 & \chi_{1}(12)=1 & \chi_{1}(123)=1 \\
\chi_{2}(1)=1 & \chi_{2}(12)=-1 & \chi_{2}(123)=1 \\
\chi_{3}(1)=2& \chi_{3}(12)=0 & \chi_{3}(123)=-1 \end{array} \right)
\]
en GAP seria como sigue:
\begin{verbatim}
# La tabla de caracteres del grupo s3 sera:
gap> ct:=CharacterTable(s3);
CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) )
gap> Display(ct);
CT1

     2  1  1  .
     3  1  .  1

       1a 2a 3a
    2P 1a 1a 3a
    3P 1a 2a 1a

X.1     1 -1  1
X.2     2  . -1
X.3     1  1  1
\end{verbatim}
\end{ejemplo}
\section{Subgrupos normales y elevaci'on de caracteres.}
Si $N$ es un subgrupo normal de el grupo finito $G$, y $N \neq \{ 1 \}$ el  grupo cociente $G/N$ es menor que $G$. Los caracteres de $G/N$ deberian ser mas sencillos de calcular que los caracteres de $G$. De hecho, podemos usar los caracteres de $G/N$ para conseguir algunos caracteres de $G$ por un procedimiento conocido como \emph{elevavci'on}. Los subgrupos normales nos ayudan a encontrar caracteres de $G$. En la direcci'on opuesta, la tabla de caracteres de $G$ nos permite encontrar los subgrupos normales de $G$.\\
Los caracteres lineales de $G$ se obtienen por elevaci'on de los caracteres irreducibles de $G/N$ en el caso en el que $N$ es un subgrupo derivado de $G$. Los caracteres lineales pueden ser usados para obtener nuevos caracteres irreducibles a partir de un caracter irreducible dado.
\subsection{Elevaci'on de caracteres.}
Comenzaremos por obtener un car'acter de $G$ a partir de un car'acter de $G/N$.
\begin{proposicion}
Sea $N \triangleleft G$, y sea $\tilde \chi$ un car'acter de $G/N$. Definimos $\chi : G \rightarrow \mathbb{C}$ por:
\[
\chi(g)=\tilde \chi (Ng)
\]
Entonces $\chi$ es un car'acter de $G$, y $\chi$ y $\tilde \chi$ tienen el mismo grado.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $\tilde \rho : G/N \rightarrow GL(n, \mathbb{C})$ una representaci'on de $G/N$ con car'acter $\tilde \chi$. La funci'on $\rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C})$ dada por la composici'on
\[
g \rightarrow Ng \rightarrow \tilde \rho(Ng)
\]
es un homomorfismo de $G$ en $GL(n, \mathbb{C})$. Entonces $\rho$ es una representaci'on de $G$. El car'acter $\chi$ de $\rho$ satisface
\[
\chi (g)=tr(\rho(g))=tr(\tilde \rho(Ng))=\tilde \chi (Ng)
\]
para todo $g \in G$. Por lo tanto, $\chi (1) = \tilde \chi (N)$, asi que $\chi$ y $\tilde \chi$ tienen el mismo grado.
\end{proof}
\begin{definicion}
Si $N \triangleleft G$ y $\tilde \chi$ es un car'acter de $G/N$, el car'acter $\chi$ de $G$ definido como:
\[
\chi (g) = \tilde \chi (Ng) 
\]
se denomina \emph{elevaci'on} de $\tilde \chi$ a $G$.
\end{definicion}
\begin{teorema}
Sea $N \triangleleft G$. Si asociamos cada car'acter de $G/N$ con su elevaci'on a $G$, obtenemos una correspondencia biyectiva entre el conjunto de caracteres de $G/N$ y el conjunto de caracteres $\chi$ de $G$ que satifacen $N \leq Ker(\chi)$. Los caracteres irreducibles de $G/N$ se corresponden con los caracteres irreducibles de $G$ los cuales tienen a $N$ en su n'ucleo.
\end{teorema}
\begin{proof}
Si $\tilde \chi$ es un car'acter de $G/N$, y $\chi$ es la elevaci'on de $\tilde \chi$ a $G$, entonces $\tilde \chi (N) = \chi (1)$. Si $k \in N$ entonces 
\[
\chi (k)=\tilde \chi (Nk) = \tilde \chi (N) = \chi (1)
\]
as'i que $N \leq Ker (\chi)$.\\
Sea $\chi$ un car'acter de $G$ con $N \leq Ker (\chi)$. Supongamos que $\rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C})$ es una representaci'on de $G$ con car'acter $\chi$. Si $g_{1},g_{2} \in G$ y $Ng_{1}=Ng_{2}$ entonces $g_{1}g_{2}^{-1} \in N$, as'i $\rho (g_{1}g_{2}^{-1})=I$, y $\rho (g_{1}) = \rho (g_{2})$. Por lo tanto, podemos definir una funci'on $\tilde \rho : G/N \rightarrow GL(n, \mathbb{C})$ como
\[
\tilde \rho (Ng) = \rho (g)
\]
Para todo $g, h \in G$ tenemos
\[
\tilde \rho ((Ng)(Nh)) = \tilde \rho (Ngh) = \rho (gh) = \rho (g) \rho (h)
\]
\[
=(\tilde \rho (Ng))(\tilde \rho (Nh))
\]
as'i que $\tilde \rho$ es una representaci'on de $G/N$. Si $\tilde \chi$ es el car'acter de $\tilde \rho$ entonces
\[
\tilde \chi (Ng)= \chi (g)
\]
As'i que $\chi$ es la elevaci'on de $\tilde \chi$.\\
Hemos establecido que la funci'on que envia cada car'acter de $G/N$ a su elevaci'on a $G$ es una biyecci'on entre el conjunto de caracteres de $G/N$ y el conjunto de caracteres de $G$ el cual tiene a $N$ en su n'ucleo. Queda por mostrar que los caracteres irreducibles se corresponden con caracteres irreducibles. Sea $U$ un subespacio de $\mathbb{C}^{n}$ y denotemos $u \rho(g) \in U$ para todo $u \in U$, si, y solo si $u \tilde \rho (Ng) \in U$ para todo $u \in U$. 
As'i, $U$ es un $\mathbb{C}$G-subm'odulo de $\mathbb{C}^{n}$ si, y solo si $U$ es un $\mathbb{C}$(G/N)-subm'odulo de $\mathbb{C}^{n}$. La representaci'on $\rho$ es, por lo tanto, irreducible si, y solo si, la representaci'on $\tilde \rho$ es irreducible. As'i que $\chi$ es irreducible si, y solo si, $\tilde \chi$ es irreducible. 
\end{proof}\\
\\
Si conocemos la tabla de caracteres de $G/N$ para alg'un subgrupo normal $N$ de $G$ el anterior teorema nos habilita para encontrar tantos caracteres irreducibles de $G$ como caracteres irreducibles hay en $G/N$.
\begin{ejemplo}
Sea $G=S_{4}$ y $N=\{ 1,(1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) \} $ lo que hace que $N \triangleleft G$. Si ponemos $a=N(1, 2,3)$ y $b=N(1,2)$, entonces tenemos que $G/N=\langle a, b \rangle$ y $a^{3}=b^{2}=N, b^{-1}ab=a^{-1}$, as'i que $G/N  \cong D_{6}$.\\
La tabla de caracteres de $G/N$ es:
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& N & N(1,2) & N(1,2,3) \\
\hline \hline
$\tilde \chi_{1}$ & 1 & 1 & 1 \\ 
$\tilde \chi_{2}$ & 1 & -1 & 1 \\ 
$\tilde \chi_{3}$ & 2 & 0 & -1 \\ 
\hline
\end{tabular}
\caption{Tabla de caracteres de G/N.}
\label{tabla:caracteresG/N}
\end{center}
\end{table}
Para calcular la elevaci'on $\chi$ de un car'acter $\tilde \chi$ de $G/N$ tomamos en consideraci'on que:
\[
\chi ((1,2)(3,4))= \tilde \chi (N)
\]
para cada $(1,2)(3,4) \in N$, y
\[
\chi ((1,2,3,4)) = \tilde \chi (N(1,3))
\]
para cada $N(1,2,3,4)=N(1,3)$. As'i que las elevaciones de $\tilde \chi_{1}, \tilde \chi_{2}, \tilde \chi_{3}$ son $\chi_{1}, \chi_{2}, \chi_{3}$,
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & (1,2) & (1,2,3) & (1,2)(3,4) & (1,2,3,4)\\
\hline \hline
$\chi_{1}$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
$\chi_{2}$ & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 
$\chi_{3}$ & 2 & 0 & -1 & 2 & 0\\ 
\hline
\end{tabular}
\caption{Tabla de elevaci'on de caracteres de G/N.}
\label{tabla:elevacioncaracteresG/N}
\end{center}
\end{table}
$\chi_{1}, \chi_{2}, \chi_{3}$ son caracteres irreducibles de $G$, cada $\tilde \chi_{1}, \tilde \chi_{2}, \tilde \chi_{3}$ son caracteres irreducibles de $G/N$.
\end{ejemplo}
\subsection{Subgrupos normales y caracteres.}
La tabla de caracteres contiene informaci'on sobre la estructura de un grupo, veremos como encontrar todos los subgrupos normales de $G$ conocida la tabla de caracteres de $G$. Es muy sencillo localizar el n'ucleo de un car'acter irreducible $\chi$ partiendo de la tabla de caracteres ya que
\[
Ker (\chi) = \{ g \in G : \chi (g) = \chi (1) \}
\] 
Ademas $Ker (\chi) \triangleleft G$. Recordar, tambi'en, que la intersecci'on de los nucleos de los caracteres irreducibles es, tambi'en, un subgrupo normal.
\begin{proposicion}
Si $N \triangleleft G$ entonces existen caracteres irreducibles $\chi_{1}, \ldots ,\chi_{s}$ de $G$ tales que
\[
N=\bigcap_{i=1}^{s}Ker(\chi_{i})
\]
\end{proposicion} 
\begin{proof}
Si $g$ pertenece a el n'ucleo de cada car'acter irreducible de $G$, entonces $\chi (g) = \chi (1)$ para todo los carcateres $\chi$, asi $g=1$ por la proposici'on 3.5.1. Por lo tanto, la intersecci'on de los nucleos de todos los caracteres irreducibles de $G$ es $\{1\}$.\\
Sean $\tilde \chi_{1}, \ldots \tilde \chi_{s}$ caracteres irreducibles de $G/N$, por la observaci'on anterior 
\[
\bigcap_{i=1}^{s}Ker(\tilde \chi_{i})= \{N\}
\]
Para $1 \leq i \leq s$, sea $\chi_{i}$ la elevaci'on a $G$ de $\tilde \chi_{i}$, si $g \in Ker (\chi_{i})$ entonces
\[
\tilde \chi_{i}(N)=\chi_{i}(1)=\chi_{i}(g)= \tilde \chi_{i}(Ng)
\] 
as'i que $Ng \in Ker (\tilde \chi_{i})$. Por lo tanto, si $g \in \cap Ker (\chi_{i})$ entonces $Ng \in \cap Ker (\tilde \chi_{i})=\{ N \}$, as'i que $g \in N$ y tenemos 
\[
N=\bigcap_{i=1}^{s}Ker(\chi_{i})
\]
\end{proof}\\
\\
Es particularmente f'acil distinguir de la tabla de caracteres de $G$ si $G$ es simple o no.
\begin{proposicion}
El grupo $G$ no es simple si, y solo si, para algun car'acter irreducible $\chi$ de $G$ existe $g \in G$ con
\[
\chi (g) = \chi (1)
\]
\end{proposicion}
\begin{proof}
Supongamos que existe un car'acter irreducible no trivial $\chi$ tal que $\chi (g)=\chi (1)$ para alg'un elemento $g$ diferente del elemento identidad. Entonces $g \in Ker (\chi)$, as'i que $Ker (\chi) \neq \{ 1 \}$. Si $\rho$ es una representaci'on de $G$ con car'acter $\chi$, entonces $Ker (\chi) = Ker (\rho)$. Ya que $\chi$ no es trivial y es irreducible, $Ker (\rho) \neq G$; por lo tanto $Ker (\chi) \neq G$. As'i $Ker (\chi)$ es un subgrupo normal de $G$ distinto de $\{ 1 \}$ y, por lo tanto, $G$ no es simple.\\
En el sentido contrario, supongamos que $G$ no es simple, por lo que existe un subgrupo normal $N$ de $G$ tal que $N \neq \{ 1 \}$ y $N \neq G$. Por la proposici'on 4.4.2 hay un car'acter irreducibe $\chi$ de $G$ tal que $Ker (\chi) \neq \{ 1 \}$ o $Ker (\chi) \neq G$. Como $Ker (\chi) \neq G$, $\chi$ no es trivial; y tomando $1 \neq g \in Ker (\chi)$, tenemos que $\chi (g) = \chi (1)$. 
\end{proof}
\subsection{Caracteres lineales.}
Un car'acter lineal de un grupo es un car'acter de grado 1. Vamos a ver como encontrar todos los caracteres lineales de un grupo $G$, ya que el primer paso en la contrucci'on de la tabla de caracteres suele ser anotar los caracteres lineales.\\
Como paso preliminar, es necesario definir el concepto de \emph{subgrupo derivado} de $G$.	
\begin{definicion}
Sea $G'$ un subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma 
\[
g^{-1}h^{-1}gh
\]
para $g, h \in G$. Entonces $G'$ es el subgrupo derivado de $G$.
\end{definicion}
Por sencillez abreviaremos $g^{-1}h^{-1}gh$ como $[g,h]$. As'i 
\[
G'=\langle [g,h] : g, h \in G \rangle
\]
\begin{ejemplo}
Veamos como calcular el subgrupo derivado del grupo sim'etrico $S_{3}$ utilizando el software GAP:
\begin{verbatim}
gap> # Creamos el grupo S3 y vemos sus elementos
gap> S3:=SymmetricGroup(3);
Sym( [ 1 .. 3 ] )
gap> Elements(S3);
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
gap> # Calculamos ahora el subgrupo derivado de S3 y mostramos
gap> # los elementos que lo forman
gap> de:=DerivedSubgroup(S3);
Alt( [ 1 .. 3 ] )
gap> Elements(de);
[ (), (1,2,3), (1,3,2) ]
gap> # En este caso vemos que el subgrupo derivado
gap> # de el grupo simetrico S3, es el grupo alterno A3
gap> # vamos a comprobarlo
gap> A3:=AlternatingGroup(3);
Alt( [ 1 .. 3 ] )
gap> A3=de;
true
\end{verbatim}
\end{ejemplo}
Vamos a mostrar que $G' \triangleleft G$ y los caracteres lineales de $G$ son las elevaciones a $G'$ de los caracteres irreducibles de $G/G'$. Comencemos para ello con la siguiente proposici'on.
\begin{proposicion}
Si $\chi$ es un car'acter lineal de $G$, entonces $G' \leq Ker (\chi)$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $\chi$ un car'acter lineal de $G$. Entonces $\chi$ es un homomorfismo entre $G$ y el grupo multiplicativo de los n'umeros complejos diferentes a cero. Por lo tanto, par todo $g, h \in G$,
\[
\chi (g^{-1}h^{-1}gh)= \chi (g)^{-1} \chi (h)^{-1} \chi (g) \chi (h) = 1 
\]
Por lo que $G' \leq Ker (\chi)$.
\end{proof}\\
\\
Ahora pasaremos a ver algunas propiedades de los subgrupos derivados.
\begin{proposicion}
Sea $N \triangleleft G$. Entonces:
\begin{enumerate}
\item $G' \triangleleft G$.
\item $G' \leq N$ si y solo si $G/N$ es abeliano. En particular $G/G'$ es abeliano.
\end{enumerate}
\end{proposicion}
\begin{proof}
(1) Sea $a, b, x \in G$, tenemos
\[
x^{-1}(ab)x=(x^{-1}ax)(x^{-1}bx)
\]
y,
\[
x^{-1}a^{-1}x=(x^{-1}ax)^{-1}.
\]
$G'$ est'a formado por elementos de la forma $[g, h]$ y sus inversos. Por lo tanto, para probar que $G' \triangleleft G$ es suficiente con probar que $x^{-1}[g, h]x \in G'$ para todo $g, h, x \in G$. Pero
\[
x^{-1}[g, h]x= x^{-1} g^{-1} h^{-1} ghx
\]
\[
= (x^{-1}gx)^{-1} (x^{-1}hx)^{-1} (x^{-1}gx) (x^{-1}hx)
\]
\[
[x^{-1}gx, x^{-1}hx]
\]
Por lo tanto, $G' \triangleleft G$.\\
\\
(2) Sea $g, h \in G$. Tenemos
\[
ghg^{-1}h^{-1} \in N \Leftrightarrow Ngh = Nhg \Leftrightarrow (Ng)(Nh) = (Nh)(Ng)
\]
As'i pues, $G' \leq N$ si, y solo si $G/N$ es abeliano. Ya que hemos probado que $G' \triangleleft G$ deducimos que $G/G'$ es abeliano.
\end{proof}\\
\\
De esta proposici'on se deduce que $G'$ es el subgrupo normal mas peque\~no con factores abelianos.\\
Dado el subgrupo derivado $G'$, podemos obtener los caracteres lineales de $G$ aplicando el siguiente teorema:
\begin{teorema}
Los caracteres lineales de $G$ son las elevaciones a $G$ de los caracteres irreducibles de $G/G'$. En particular, el n'umero de caracteres lineales distintos de $G$ es igual a $|G/G'|$ y divide a $|G|$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Sea $m=|G/G'|$. Como $G/G'$ es abeliano sabemos que $G/G'$ tiene, exactamente, $m$ caracteres irreducibles $\tilde \chi_{1}, \ldots \tilde \chi_{m}$, todos de grado 1, que son, precisamente, por el teorema 4.4.1, los caracteres irreducibles $\chi$ de $G$, tales que $G' \leq Ker (\chi)$. Seg'un lo visto en la anterior proposici'on los caracteres $ \chi_{1}, \ldots \chi_{m}$ son, por lo tanto, caracteres lineales de $G$.
\end{proof}
\begin{proposicion}
Supongamos que $\chi$ es un car'acter de $G$ y $\lambda$ es un car'acter lineal de $G$. El producto $\chi^{\lambda}$, definido como
\[
\chi^{\lambda}(g)=\chi (g) \lambda (g)
\]
es un car'acter de $G$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
Sea $\rho : G \rightarrow GL(n, \mathbb{C}$ una representai'on con car'acter $\chi$. Definimos $\rho \lambda : G \rightarrow GL (n, \mathbb{C}$ como
\[
g(\rho \lambda) = \lambda (g)(g \rho)
\]
As'i que $g(\rho \lambda$ es la matriz $\rho (g)$ multiplicada por el n'umero complejo $\lambda (g)$.\\
Ya que $\rho$ y $\lambda$ son homomorfismos se deduce facilmente que $\rho \lambda$ es un homomorfismo. La matriz $g(\rho \lambda$ tiene traza $\lambda (g) tr(g \rho)$, que es $\lambda (g) \chi (g)$. Por lo tanto $\rho \lambda$ es una representaci'on de $G$ con car'acter $\chi^{\lambda}$. 
\end{proof}
\newpage
$\ $
\thispagestyle{empty}
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$\ $
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\end{document}