前面我们涉及到的逆（inverse）都是指左、右乘均成立的逆矩阵，即$A^{-1}A=I=AA^{-1}$。在这种情况下，$m\times n$矩阵$A$满足$m=n=rank(A)$，也就是满秩方阵。
记得我们在最小二乘一讲（第十六讲）介绍过列满秩的情况，也就是列向量线性无关，但行向量通常不是线性无关的。常见的列满秩矩阵$A$满足$m>n=rank(A)$。
列满秩时，列向量线性无关，所以其零空间中只有零解，方程$Ax=b$可能有一个唯一解（$b$在$A$的列空间中，此特解就是全部解，因为通常的特解可以通过零空间中的向量扩展出一组解集，而此时零空间只有列向量），也可能无解（$b$不在$A$的列空间中）。
另外，此时行空间为$\mathbb{R}^n$，也正印证了与行空间互为正交补的零空间中只有列向量。
现在来观察$A^TA$，也就是在$m>n=rank(A)$的情况下，$n\times m$矩阵乘以$m\times n$矩阵，结果为一个满秩的$n\times n$矩阵，所以$A^TA$是一个可逆矩阵。也就是说$\underbrace{\left(A^TA\right)^{-1}A^T}A=I$成立，而大括号部分的$\left(A^TA\right)^{-1}A^T$称为长方形矩阵$A$的左逆
顺便复习一下最小二乘一讲，通过关键方程$A^TA\hat x=A^Tb$，$A^{-1}_{left}$被当做一个系数矩阵乘在$b$向量上，求得$b$向量投影在$A$的列空间之后的解$\hat x=\left(A^TA\right)^{-1}A^Tb$。如果我们强行给左逆左乘矩阵$A$，得到的矩阵就是投影矩阵$P=A\left(A^TA\right)^{-1}A^T$，来自$p=A\hat x=A\left(A^TA\right)^{-1}A^T$，它将右乘的向量$b$投影在矩阵$A$的列空间中。
再来观察$AA^T$矩阵，这是一个$m\times m$矩阵，秩为$rank(AA^T)=n<m$，也就是说$AA^T$是不可逆的，那么接下来我们看看右逆。
可以与左逆对称的看，右逆也就是研究$m\times n$矩阵$A$行满秩的情况，此时$n>m=rank(A)$。对称的，其左零空间中仅有零向量，即没有行向量的线性组合能够得到零向量。
行满秩时，矩阵的列空间将充满向量空间$C(A)=\mathbb{R}^m$，所以方程$Ax=b$总是有解集，由于消元后有$n-m$个自由变量，所以方程的零空间为$n-m$维。
与左逆对称，再来观察$AA^T$，在$n>m=rank(A)$的情况下，$m\times n$矩阵乘以$n\times m$矩阵，结果为一个满秩的$m\times m$矩阵，所以此时$AA^T$是一个满秩矩阵，也就是$AA^T$可逆。所以$A\underbrace{A^T\left(AA^T\right)}=I$，大括号部分的$A^T\left(AA^T\right)$称为长方形矩阵的右逆
同样的，如果我们强行给右逆右乘矩阵$A$，将得到另一个投影矩阵$P=A^T\left(AA^T\right)A$，与上一个投影矩阵不同的是，这个矩阵的$A$全部变为$A^T$了。所以这是一个能够将右乘的向量$b$投影在$A$的行空间中。
前面我们提及了逆（方阵满秩），并讨论了左逆（矩阵列满秩）、右逆（矩阵行满秩），现在看一下第四种情况，$m\times n$矩阵$A$不满秩的情况。
有$m\times n$矩阵$A$，满足$rank(A)\lt min(m,\ n)$，则
- 列空间$C(A)\in\mathbb{R}^m,\ \dim C(A)=r$，左零空间$N\left(A^T\right)\in\mathbb{R}^m,\ \dim N\left(A^T\right)=m-r$，列空间与左零空间互为正交补；
- 行空间$C\left(A^T\right)\in\mathbb{R}^n,\ \dim C\left(A^T\right)=r$，零空间$N(A)\in\mathbb{R}^n,\ \dim N(A)=n-r$，行空间与零空间互为正交补。
现在任取一个向量$x$，乘上$A$后结果$Ax$一定落在矩阵$A$的列空间$C(A)$中。而根据维数，$x\in\mathbb{R}^n,\ Ax\in\mathbb{R}^m$，那么我们现在猜测，输入向量$x$全部来自矩阵的行空间，而输出向量$Ax$全部来自矩阵的列空间，并且是一一对应的关系，也就是$\mathbb{R}^n$的$r$维子空间到$\mathbb{R}^m$的$r$维子空间的映射。
而矩阵$A$现在有这些零空间存在，其作用是将某些向量变为零向量，这样$\mathbb{R}^n$空间的所有向量都包含在行空间与零空间中，所有向量都能由行空间的分量和零空间的分量构成，变换将零空间的分量消除。但如果我们只看行空间中的向量，那就全部变换到列空间中了。
那么，我们现在只看行空间与列空间，在行空间中任取两个向量$x,\ y\in C(A^T)$，则有$Ax\neq Ay$。所以从行空间到列空间，变换$A$是个不错的映射，如果限制在这两个空间上，$A$可以说“是个可逆矩阵”，那么它的逆就称作伪逆，而这个伪逆的作用就是将列空间的向量一一映射到行空间中。通常，伪逆记作$A^+$，因此$Ax=(Ax),\ y=A^+(Ay)$。
现在我们来证明对于$x,y\in C\left(A^T\right),\ x\neq y$，有$Ax,Ay\in C(A),\ Ax\neq Ay$：
- 反证法，设$Ax=Ay$，则有$A(x-y)=0$，即向量$x-y\in N(A)$；
- 另一方面，向量$x,y\in C\left(A^T\right)$，所以两者之差$x-y$向量也在$C\left(A^T\right)$中，即$x-y\in C\left(A^T\right)$；
- 此时满足这两个结论要求的仅有一个向量，即零向量同时属于这两个正交的向量空间，从而得到$x=y$，与题设中的条件矛盾，得证。
伪逆在统计学中非常有用，以前我们做最小二乘需要矩阵列满秩这一条件，只有矩阵列满秩才能保证$A^TA$是可逆矩阵，而统计中经常出现重复测试，会导致列向量线性相关，在这种情况下$A^TA$就成了奇异矩阵，这时候就需要伪逆。
接下来我们介绍如何计算伪逆$A^+$：
其中一种方法是使用奇异值分解，$A=U\varSigma V^T$，其中的对角矩阵型为$\varSigma=\left[\begin{array}{c c c|c}\sigma_1&&&\&\ddots&&\&&\sigma_2&\\hline&&&\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\end{array}\right]$，对角线非零的部分来自$A^TA,\ AA^T$比较好的部分，剩下的来自左/零空间。
我们先来看一下$\varSigma$矩阵的伪逆是多少，这是一个$m\times n$矩阵，$rank(\varSigma)=r$，$\varSigma^+=\left[\begin{array}{c c c|c}\frac{1}{\sigma_1}&&&\&\ddots&&\&&\frac{1}{\sigma_r}&\\hline&&&\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\end{array}\right]$，伪逆与原矩阵有个小区别：这是一个$n\times m$矩阵。则有$\varSigma\varSigma^+=\left[\begin{array}{c c c|c}1&&&\&\ddots&&\&&1&\\hline&&&\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\end{array}\right]{m\times m}$，$\varSigma^+\varSigma=\left[\begin{array}{c c c|c}1&&&\&\ddots&&\&&1&\\hline&&&\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\end{array}\right]{n\times n}$。
观察$\varSigma\varSigma^+$和$\varSigma^+\varSigma$不难发现，$\varSigma\varSigma^+$是将向量投影到列空间上的投影矩阵，而$\varSigma^+\varSigma$是将向量投影到行空间上的投影矩阵。我们不论是左乘还是右乘伪逆，得到的不是单位矩阵，而是投影矩阵，该投影将向量带入比较好的空间（行空间和列空间，而不是左/零空间）。
接下来我们来求$A$的伪逆：