原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section02.html
任何积分方案的目标是准确地估计给定宽度的每个区间中的区域。如果被积函数在该区间内基本上是常数,那么这样做是没有问题的,但如果不是,我们需要一个进行估算的计划。任何此类计划称为规则,用于数值积分。
这是最简单的规则,从最不明智的规则开始。
1.通过区间最左侧点处的被积函数值估算区间的高度。这被称为左手规则。
2.通过最最右边点的被积函数值估算区间的高度。这是右手规则。
3.通过估计间隔的高度,即前两个的平均值。 这被称为梯形规则。
4.通过中间的被积函数的值估计区间的高度。 这样做的缺点是你需要在间隔的中间而不是在结束时找到它。它有时被称为中点规则。
5.选择二次函数完全满足的前两个的组合。这被称为 Simpson 的规则。
够了!还有更多规则吗?
是的,你可以做得更好。
好吗?这些规则的表现如何?
好吧,前两个规则中的错误随着线性下降。因此,如果将除以 2,则误差也会减少。
接下来的两个误差在中是二次的;这意味着当降低因子时,它们会下降因子。
辛普森的规则在中有一个四分之一的错误;当降低因子时,它下降因子;如果你愿意,你可以通过因子实现下降,甚至更多。
梯形规则使用每个间隔的高度作为每端的值的一半。这给出了到积分端点的权重,到每个中间点,(从它每一侧的间隔)。
辛普森一家规则相当于将奇数点的贡献加倍,然后使用作为分母而不是;所以第一个和最后一个点(最后一个必然是偶数)得到重量,奇数得到重量而其他偶数得到重量。
这些规则很难适用吗?
不,前三个很容易,你可以通过第三个聪明的伎俩得到辛普森的。使用另一个类似的技巧,您可以获得超级 Simpson 规则,每次降低时,因子误差下降。
那么这种集成有多准确?
对于大多数积分,在有限的时间间隔内,如果需要,您应该能够获得十位精度,这远远超过您遇到的任何问题。
好的,你让我很好奇。为什么梯形规则比前两个更好?为什么辛普森的规则仍然更好?
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