原文: http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section03.html
当弹簧上的物体受到外力时,即某种函数,,我们一直在考虑的模型
强迫可以是任何形式。我们通过查看对任何给定频率的正弦强制响应来处理。我们这样做的原因有三个。
首先,我们可以求解得到的方程,并且解决方案具有本身有趣的属性。
其次,在许多其他环境中出现了相同的方程,例如在电路的研究中,这些特性非常重要。
第三,解决方案可用于解决一般问题。任何刺激都可以写成正弦函数的和或积分,然后这些解可以用来获得描述解的相应和或积分。
然后我们的模型由等式描述
给定这个方程的任何解,我们可以用作为右边的术语来添加任何方程式,我们仍然会有一个解决方案。正如我们在上一节中看到的那样,只要非零,这种解决方案就会在中呈指数衰减。由于这种衰减,“均匀”方程(右侧为零)的解被称为瞬态解。因此,我们将注意力集中在稳态解决方案上,这种解决方案会持续存在,因为强制函数仍然存在。
这些解决方案将具有与强制函数相同的频率和周期性,因此我们查看形式的解决方案。我们发现
从这些我们推断出这里的两个系数都必须消失,这告诉我们:
和
导致
and