来源: Unsplash
**作者:**普拉蒂克·舒克拉，罗伯特·伊里翁多
最后更新，2021 年 1 月 7 日
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在这一系列教程中，我们将详细探究概率分布。我们将不仅仅展示公式，相反，我们将看到每个公式是如何从它们的基本定义中推导出来的(因为理解推导背后的数学是很重要的)，我们将通过使用 Python 中的一些例子来展示这一点。
本教程的代码可在Github上获得，其完整实现也可在Google Colab上获得。
- 什么是随机变量？
- 离散随机变量。
- 连续随机变量。
- 概率分布。
- 伯努利分布。
- 概率质量函数(PMF)。
- 伯努利分布的平均值。
- 伯努利分布的方差。
- 伯努利分布的标准差。
- 伯努利分布的平均偏差。
- 伯努利分布的矩母函数。
- 伯努利分布的累积密度函数。
- Python 实现。
- 伯努利分布概述。
- 资源。
- 参考文献。
📚查看我们用 Python 编写的力矩生成函数教程。📚
在深入研究概率分布之前，让我们先了解一些关于随机变量的基本术语。
图 1:数据的基本类型
如果一个变量的值是未知的，则称它为随机变量。换句话说，如果我们不能用任何函数得到相同的变量，那么这个变量就是随机变量。
随机变量的可能值是随机现象的数字结果。
随机变量的性质:
- 我们用大写字母表示随机变量。
- 随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
例子:
- 抛一枚公平的硬币:
图 2:随机投掷一枚硬币。
在图 1 中，我们展示了结果不依赖于任何其他变量。所以抛硬币的输出是随机的。
2.掷骰子:
图 3:滚动骰子。
在图 2 中，我们可以注意到，芯片的产量无法预先预测，也不依赖于任何其他变量。所以我们可以说输出是随机的。
现在让我们简单看一下非随机变量。
图 4:非随机事件。
在上面的例子中，我们可以看到，在例 1 中，通过两边各减一，可以快速得到变量 x 的值。所以 x 的值不是随机的，而是固定的。在第二个例子中，我们可以看到变量 y 的值依赖于变量 x 的值，这里我们可以注意到，y 的值根据 x 的值而变化。当我们插入 x 的相同值时，我们可以生成相同的输出变量 y。所以变量 y 根本不是随机的。在概率分布中，我们将研究随机变量。
如果一个随机变量的值可以通过计数得到，则称该随机变量为离散随机变量。离散变量可以在有限时间内计数。这里需要注意的关键点是，离散变量不必是整数。我们可以有有限浮点值的离散随机变量。
例子:
- 校车上的学生人数。
- 盘子里饼干的数量。
- 抛硬币时的人头数。
- 一颗恒星周围行星的数量。
- 家庭成员的净收入。
如果一个随机变量的值可以通过测量得到，则称该随机变量为连续随机变量。我们无法在有限的时间内计算连续变量。换句话说，我们可以说计算连续变量需要无限长的时间。
示例:
- 宇宙中任意一种动物的确切重量。
- 随机选择的学生的准确身高。
- 一小时内走过的确切距离。
- 昨天吃的食物的确切数量。
- 运动员准确的获胜时间。
需要注意的重要一点是，我们在这里提到了单词**“Exact”**。这意味着我们进行的所有测量都达到了绝对的精度。
图 5:一场比赛的完成时间。
例如，如果我们为一名运动员测量一场比赛的完成时间，我们可以说他在 9.5 秒内完成了比赛。更确切地说，我们可以说他以 9.52 秒跑完了全程。更确切地说，我们可以说这位运动员以 9.523 秒跑完了全程。为了增加时间的精确性，我们也可以说他以 9.5238 秒完成了比赛。如果我们继续这样做，我们可以把这个东西提高到无限精确的水平，这将花费我们无限的时间来测量它。这就是为什么它被称为连续变量。
例子:你现在的年龄是多少？
对此你怎么看？是连续变量还是离散变量？请花点时间考虑一下。
这个例子被归入连续变量组。如上所述，关于你的年龄，我们可以说如下:
图 6:精确的当前年龄。
请注意，我们可以越来越精确地写出年龄。因此，我们无法在有限的时间内计算一个人的确切年龄。这就是为什么它是一个连续变量。
另一方面，如果问题是，你现在的年龄是多少岁？".那么，在这种情况下，变量可以被分类到离散变量组中。因为我们已经知道我现在的年龄是“X 年”。"
接下来，让我们讨论概率分布。概率分布基于数据类型，可以是离散的，也可以是连续的。
概率分布是一种数学函数，它给出了实验中不同可能结果出现的概率。【1】
图 7:概率分布的类型。
- 必须只有一次审判。
- 试验的结果肯定只有两种可能，一种叫做成功，一种叫做失败。
- p(成功)= p
- p(故障)= 1 — p = q
- 通常，我们将值 1 分配给概率为 p 的事件，将值 0 分配给概率为 1 — p 的事件
- 按照惯例，我们有 p>1 — p。另一种方法是，我们把成功的概率(1)作为 P，把失败的概率(0)作为 1 — p，这样 P(成功)> P(失败)。
- 我们必须有其中一个事件的概率(成功或失败)或一些表明实验概率的过去数据。
如果我们的数据满足上述条件，那么:
图 8:
离散随机变量 X 遵循伯努利分布，成功概率=p. 伯努利分布的直观表示:
图 9:伯努利分布的可视化表示。
例子:
图 10:伯努利分布的例子。
例如:
一次选举只有两个候选人:帕特里克和加里，我们可以投帕特里克或加里的票。
- P(成功)= P(1) =投帕特里克一票= 0.7
- P(失败)= P(0) =投 Gary = 0.3
这里我们只有一个试验和两种可能的结果。所以我们可以说数据遵循伯努利分布。为了形象化它:
图 11:伯努利分布示例图。
离散随机变量 X 的概率质量函数为随机变量的每个可能值分配概率。通过使用 PMF，我们可以得到每个随机变量的概率。【6】
设 X 是一个离散随机变量，它的可能值用 x1，x2，x3，…，xn 表示。概率质量函数(PMF)必须满足以下条件:
PMF 的属性:
- 给定 PMF 中所有概率的总和必须为 1。
图 12:PMF 的概率总和。
2.所有可能的概率值必须大于或等于 0。
图 13:随机变量的概率。
图 14:概率质量函数(PMF)。
让我们想象一下这个函数:
图 15:伯努利分布可视化。
离散随机变量 X 的均值是它的加权平均值。它的概率对随机变量 X 的每一个值进行加权，在伯努利分布中，随机变量 X 只能取两个值:0 和 1，我们可以利用概率质量函数(PMF)快速得到权重。
均值:概率分布的均值是具有该分布的随机变量的长期算术平均值。
期望值 E[X]表示有利事件的可能性。
图 16:期望值 E[X}。
伯努利分布的期望值或均值由下式给出:
图 17:伯努利分布的平均值。
伯努利分布的平均值:
图 18:伯努利分布的均值证明。
方差(σ2)是随机数集合中的每个数字与平均值的距离。方差的平方根叫做标准差。
根据其定义:
图 19:方差公式。
离散概率分布的方差:
图 20；离散概率分布的方差。
在我们的例子中，变量 x 只能取两个值:0 和 1。
图 21:伯努利分布的方差。
伯努利分布的方差:
图 22:伯努利分布方差的证明。
有一种更流行的形式来计算统计中的方差:
图 23:方差公式的流行形式。
让我们看看这是如何产生的。
基本上，方差是每个值与分布均值之间的平方差的期望值。【7
根据方差的定义，我们可以得出:
图 24:方差公式的证明。
使用以下公式计算方差:
图 25:伯努利分布的方差证明。
在图 25 中，我们可以看到，无论我们使用哪个公式，伯努利分布方差都是相同的。
标准偏差是一个数字，用于说明一组的测量值如何从平均值(平均值或期望值)中分散出来[8]。
低标准差意味着大多数数字接近平均值，而高标准差意味着数字更加分散。
图 26:伯努利分布的标准偏差。
平均偏差是数据集相对于数据平均值的绝对偏差的平均值。
根据定义:
图 27:平均偏差公式。
对于离散概率分布:
图 28:概率分布的平均偏差。
求伯努利分布的平均偏差:
图 29:伯努利分布的平均偏差。
图 30；中心矩和原始矩之间关系的总结。
对于下面的推导，我们将使用我们在之前的教程中推导出的公式。所以我们建议你去看看我们的矩母函数教程。
图 31:力矩生成函数的定义。
力矩生成函数:
图 32:伯努利分布的矩母函数。
a .第一个原始力矩:
图 33:第一个原始时刻。
a .第二个原始力矩:
图 34:第二个原始时刻。
b .第二中心矩(方差):
图 35:第二个中心矩。
a .第三个原始时刻:
图 36:第三个原始时刻。
b .第三中心矩:
图 37:第三中心矩。
c .第三标准化矩:(偏斜度)
图 38:第三个标准化矩(偏斜度)。
a .第四生时刻:
图 39；第四个原始时刻。
b .第四居中时刻:
图 40:第四个居中的力矩。
c .第四标准化矩:(峰度):
图 41:第四个标准化矩(峰度)。
图 42:第四个标准化矩(过度峰度)。
图 43:累积密度函数定义。
基于概率质量函数(PMF)，我们可以将伯努利分布的累积分布函数(CDF)写成如下:
图 44:伯努利分布的累积密度函数。
接下来有趣的部分，让我们继续它在 Python 中的实现。
- 导入所需的库:
图 45:导入所需的库。
2.寻找瞬间:
图 46:寻找 p 值为 0.7 的伯努利分布的矩。
3.获取平均值:
图 47:p = 0.7 时的平均值。
4.获取中值:
图 48:p = 0.7 时的中值。
5.获取方差值:
图 49:p = 0.7 时的方差。
6.获取标准偏差值:
图 50:p = 0.7 的标准偏差。
7.概率质量函数(PMF):
图 51:p = 0.7 的概率质量函数。
8.策划着 PMF:
图 52:p = 0.7 时的 PMF 散点图。
9.累积密度函数(CDF):
图 53:p = 0.7 时的累积密度函数。
10.绘制 CDF:
图 54:p = 0.7 时的 CDF 散点图。
11.绘制 PMF 的条形图:
图 55:p 值为 0.7 的 PMF 的条形图。
12.绘制 CDF 的条形图:
图 56:p 值为 0.7 时的 CDF 条形图。
13.不同实验的输出:
图 57:为不同的伯努利实验生成输出。
图 58:伯努利分布总结。
这就是伯努利分布教程。我们希望你喜欢阅读它，并学到一些新的东西。我们将尝试在未来更深入地涵盖概率分布。任何建议或反馈对于继续改进都至关重要。如果你有任何问题，请在评论中告诉我们。
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*[1]概率分布，维基百科，【https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution *
[2]伯努利分布，Statlect，https://www . stat lect . com/probability-distributions/伯努利分布
[3]方差，维基，https://en.wikipedia.org/wiki/Variance
[4]伯努利分布，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_distribution
[5]伯努利分布，scipy.org，https://docs . scipy . org/doc/scipy-0 . 14 . 0/reference/generated/scipy . stats . Bernoulli . html
[6]概率质量函数，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_mass_function
[7]概率分布的均值和方差，概率世界，https://www . Probabilistic World . com/Mean-Variance-Probability-Distributions/
[8]标准差，维基百科，https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation