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费马大定理 (FLT)陈述没有正整数 x 、 y 、 z 满足下面的丢番图方程
等式 1: FLT 指出，如果 n 是大于 2 的整数，则不存在满足该等式的正整数 x 、 y 和 z 。
对于任何这样的 T21
等式 2:在 FLT，n 必须遵守的条件。
其中 Z 表示整数的集合。法国律师兼数学家皮耶·德·费玛于 1637 年在《算术》一书的页边空白处提出了这个猜想，这是一部古希腊数学著作，由公元 3 世纪亚历山大的丢番图撰写。
图 1:左边是丢番图《算术》拉丁文原版的扉页( 来源 )。右边是亚历山大的丢番图雕像(来源)。
费马有一个著名的猜想，他有一个情商的证明。但是它太大了，放不进书的页边空白处。经过历史上一些最伟大的数学家 350 多年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯于 1995 年发表了该猜想的第一个成功证明。
图 2:法国律师兼数学家皮耶·德·费玛(左)(来源)。1670 年版的丢番图算术(由费马之子身后出版)，其中包括费马猜想，被称为他的“最后定理”(在红盒子里)(来源)。
我们将证明 n =4 的特殊情况，这是最简单的一种。不过在此之前，我们需要证明下面这个更简单的关于勾股三元组 ( x ， y ， z )的辅助定理。
所有服从勾股定理的三元组
等式 3:著名的勾股定理。
由下式给出:
方程 4:方程的通解。3.
随着
其中 u 和 v 为奇数， N 为自然数的集合。注意，我们总是可以互换 x 和 *y，*自，如果( x ， y ， z )是解，那么( y ， x ， z )也是。
图 3:这个动画展示了一个毕达哥拉斯三元组的例子(来自维基百科)。
证据如下。
第一部分
首先，证明等式中的三元组是微不足道的。4 满足 Eq。3.只要把第一个代入后者，经过几行代数，我们就获得了想要的结果。
第二部分
我们现在要证明所有满足等式的三元组。3 由等式给出。4.我们首先不失一般性地假设( x ， y ， z )是一个本原三元组，也就是说它们没有公因数 y 是偶数(它们是互素或者互质)。这暗示了两个因素 y
等式 5:等式的另一种写法。3.
没有公因数，它们中的每一个都是一个平方数，我们称之为 u 和 v (如果不清楚，请查看链接，第 6 页)。因此:
等式 6:等式中的解。4 是这些(x，y，z)的倍数。
这就结束了我们的辅助定理的证明。
图 4:法国超现实主义画家伊夫·唐吉的作品《不确定的可分性》(来源)。
在我们的最终证明之前，我们还需要一个更重要的概念:无限下降法。
根据维基百科，“通过无限下降的证明是通过矛盾的证明”用于表明一个陈述不可能对任何数字成立，通过表明如果该陈述对一个数字成立，那么对一个更小的数字同样成立，导致无限下降并最终矛盾。"
图 5:无限下降法的符号说明(来源)。
我们现在准备处理 FLT 的特殊情况 n T21 = 4。
根据 FLT 的 n =4 案例，不存在互质三元组( x 、 y 、 z ) ∈ N )这样的情况
等式 7:FLT 陈述没有( x ， y ，z)∑N服从这个关系。
该策略将是上述无限下降方法的应用。
我们首先表明三元组( x ， y ， z )的存在，它服从:
暗示着另一个三元组的存在
等式 8:如果有一个三元组服从 x⁴+y⁴ = z，那么就有一个三元组服从这两个关系。
(注意 z 的指数)。根据我们的辅助定理，我们知道存在这样的相对素数:
等式 9:根据我们的辅助定理，我们知道存在相对素数 m，并且使得上面的(x，y，z)满足等式。3.
现在注意，三元组( n ， y ， m )是互素毕达哥拉斯式的自:
等式 10:三元组( n ， y ， m )互质勾股。
因此，我们可以写，引入新的相对素数:
等式 11:由于( n ， y ， m )是互质毕达哥拉斯三元组，所以存在服从上述等式的相对素数。
现在既然( m，n /2)和( r，s) 是相对质数和的对
等式 12:对( m，n /2)和( r，s) 是互质数对。
我们断定 m 、 n /2、 *r、*s 都是正方形。因此，我们可以写:
等式 13:由于( m，n /2)和( r，s) 是互质数对，我们得出结论: m ， n /2， *r，*s 都是平方数。
方程式中三元组的第三个元素。11 然后给我们:
等式 14:等式中定义的结果。11 和 Eq。13.
但是我们知道，通过构造:
等式 15:这个不等式暗示我们有一个三元组(u，v，w ),其中 w 小于我们之前的 w。
这个过程的重复将会给我们无限多的解，并且这些解中的每一个都有一个新的坐标 w 小于上一个w因此，使用无限下降的方法我们结束我们的证明。
图 6:左边是皮耶·德·费玛的埋葬地。右边是费马在 1660 年 3 月 4 日手写的全息遗嘱(来源)。
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