图 1:蒙特卡罗模拟方法被用于许多行业，从股票市场到金融、能源、银行和其他预测模型。|来源:像素
最后更新于 2021 年 1 月 8 日
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蒙特卡罗方法是一种使用随机数和概率来解决复杂问题的技术。蒙特卡洛模拟，或称概率模拟，是一种用于理解金融部门、项目管理、成本和其他预测 机器学习 模型中风险和不确定性影响的技术。
风险分析几乎是我们做出的每一个决定的一部分，因为我们在生活中不断面临不确定性、模糊性和可变性。此外，即使我们获得了前所未有的信息，我们也无法准确预测未来。
蒙特卡洛模拟使我们能够看到决策的所有可能结果，并评估风险影响，从而在不确定的情况下做出更好的决策。
在本文中，我们将通过五个不同的例子来理解蒙特卡罗模拟方法。本教程的代码可在Github上获得，其完整实现也可在 Google Colab 上获得。
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- 金融。
- 项目管理。
- 能量。
- 制造业。
- 工程。
- 研发。
- 保险。
- 石油和天然气。
- 运输。
- 环境。
- 和其他人。
正面对公平硬币的概率是 1/2。但是，有什么方法可以通过实验证明呢？在这个例子中，我们将使用蒙特卡罗方法反复模拟 5000 次抛硬币，以找出为什么正面或反面的概率总是 1/2。如果我们重复抛硬币很多很多次，那么我们可以获得更高的概率值的精确答案。
图 2:正面和反面，数学表示。
抛硬币时:
图 3:正面和反面硬币的公式示例。
接下来，我们将使用蒙特卡罗方法通过实验证明这个公式。
- 导入所需的库:
图 4:为我们的抛硬币示例导入所需的库。
2。硬币翻转功能:
图 5:一个在 0 和 1 之间随机化结果的简单函数，0 表示正面，1 表示反面。
3。检查函数的输出:
图 6:运行 coin_flip()函数
4。主要功能:
图 7:计算概率并将概率值附加到结果中。
5。调用主函数:
图 8:调用蒙特卡罗主函数，并绘制最终值。
如图 8 所示，我们表明在 5000 次迭代之后，得到尾部的概率是 0.502。因此，这就是我们如何使用蒙特卡罗模拟来通过实验找到概率。
图 9:圆形和正方形的简单面积。
图 10:分别计算圆和正方形的面积。
为了估计圆周率的值，我们需要正方形的面积和圆形的面积。为了找到这些区域，我们将在表面上随机放置点，并计算落在圆圈内的点和落在正方形内的点。这将为我们提供它们的估计面积。因此，我们将使用点数作为面积，而不是使用实际面积。
在下面的代码中，我们使用 Python 的 turtle 模块来查看点的随机放置。
- 导入所需的库:
图 10:为我们的π例子导入所需的库。
2。为了可视化这些点:
图 11:绘制图形。
3。初始化一些需要的数据:
图 12:初始化数据值。
4。主要功能:
图 13:实现 main 函数。
5。绘制数据:
图 14:绘制数据值。
6。输出:
图 15:使用蒙特卡罗方法的π近似值。
图 16:值的数据可视化。
图 17:值的数据可视化。
如图 17 所示，我们可以看到，经过 5000 次迭代，我们可以得到圆周率的近似值。此外，请注意，随着迭代次数的增加，估计误差也呈指数下降。
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假设你在参加一个游戏节目，你可以选择三扇门中的一扇门:一扇门后是一辆汽车；在另一扇门后面，山羊。你选了一扇门，比如 1 号门，主人知道门后有什么，他打开了另一扇门，比如 3 号门，里面有一只山羊。主持人接着问你:你是坚持自己的选择还是选择另一个门？【1】**
改变你选择的门对你有利吗？
根据概率，事实证明开关门对我们有利。让我们来看看如何:
最初，对于所有三个门，获得汽车的概率(P)是相同的(P = 1/3)。
图 18:我们游戏展示的三个大门的模拟，展示了每一个可能的结果。
现在假设参赛者选择 1 号门。接下来，主人打开第三扇门，里面有一只山羊。接下来，主持人问参赛者他/她是否想换门？
我们将了解为什么对门更有利:
图 19:门游戏的形象化结果。
在图 19 中我们可以看到，主机打开 3 号门后，后两个门有车的概率增加到 2/3。现在我们知道第三扇门有一只山羊，第二扇门有一辆汽车的概率增加到 2/3。因此，对门进行切换更为有利。
现在我们将使用蒙特卡罗方法多次执行这个测试用例，并以实验的方式找出它的概率。
- 导入所需的库:
图 20:为我们的游戏展示示例导入所需的库。
2。初始化一些数据:
图 21:初始化门和空列表来存储概率值。
3。主要功能:
图 22:用蒙特卡罗模拟方法实现主函数。
4。调用主函数:
图 23:调用我们游戏 show 示例的主函数，并且有趣 1000 次。
5。输出:
图 24:坚持你的选择或换门的大概获胜概率。
在图 24 中，我们显示了在 1000 次迭代之后，如果我们对门，获胜概率是 0.669。因此，我们确信在这个例子中对门进行切换对我们有利。
一位法国贵族乔治-路易·莱克勒克，孔德·德·布丰，在 1777 年发表了以下问题[ 2 ] [ 3 ]。
假设我们将一根短针落在一张画纸上，这根针落在与其中一条线相交的位置上的概率是多少？
概率取决于划线纸的线之间的距离(d ),取决于我们放下的针的长度(l)——或者更确切地说，取决于比率l/d。对于这个例子，我们可以把针解释为l ≤ d。简而言之，我们的目的是针不能同时穿过两条不同的线。令人惊讶的是，布冯针问题的答案涉及圆周率。
这里我们将使用布丰针问题的解决方案，使用蒙特卡罗方法实验性地估计圆周率的值。然而，在此之前，我们将展示解决方案是如何产生的，使它更有趣。
如果一根长度为 l 的短针落在一张纸上，纸上划有距离 d ≥ l 的等距线，那么针落在穿过其中一条线的位置的概率为:
图 25:布冯的针问题定理。
图 26:可视化布冯的针问题。
接下来，我们需要计算穿过任何垂直线的针数。对于针与其中一条线相交，对于特定的θ值，以下是针与垂直线相交的最大和最小可能值。
- 最大可能值:
图 27:最大可能值。
2。最小可能值:
图 28:最小可能值。
因此，对于特定的θ值，针位于垂直线上的概率为:
图 29:针落在垂直线公式上的概率。
上面的概率公式只限于θ的一个值；在我们的实验中，θ值的范围是从 0 到π/2。接下来，我们将通过对θ的所有值进行积分来找到实际的概率。
图 30:整合θ所有可能值的概率公式。
图 31: PI 估计。
接下来我们要用上面的公式，通过实验求出圆周率的值。
图 32:求圆周率的值。
现在，注意我们有了 l 和 d 的值，我们的目标是先找到 P 的值，这样我们就可以得到 PI 的值。为了求出概率 P，我们必须知道击中的针数和总针数。因为我们已经有了总针数，我们现在唯一需要的是命中针数。
下面是我们如何计算击中针数的直观表示。
图 33:计算针数的直观表示。
- 导入所需的库:
图 34:为我们的问题导入所需的库。
2。主要功能:
图 35:对我们的布丰问题实施蒙特卡罗模拟方法。
3。调用主函数:
图 36:调用蒙特卡罗方法的主函数来解决我们的布丰问题。
4。输出:
图 37:使用蒙特卡罗方法 100 次迭代的数据可视化。
如图 37 所示，经过 100 次迭代后，我们能够使用蒙特卡罗方法*获得非常接近的 PI 值。*****
来源:像素
赌场是怎么挣钱的？诀窍很简单——“你玩得越多，他们赚得越多。”让我们用一个简单的蒙特卡罗模拟例子 来看看这是如何工作的。
考虑一个假想的游戏，玩家必须从一袋筹码中选择一个筹码。
- 一个袋子里有从 1 到 100 不等的数字。
- 用户可以赌偶数或奇数筹码。
- 在这个游戏中，10 和 11 是特殊数字。如果我们赌偶数，那么 10 会算奇数，如果我们赌奇数，那么 11 会算偶数。
- 如果我们赌偶数，我们得到 10，那我们就输了。
- 如果我们赌奇数，我们得到 11，那么我们就输了。
如果我们赌赔率，我们赢的概率是 49/100。这家赢的概率是 51/100。因此，对于奇数下注，房子边缘为= 51/100–49/100 = 200/10000 = 0.02 =2%
如果我们赌偶数，用户赢的概率是 49/100。这家赢的概率是 51/100。因此，对于一个奇数赌注，房子边缘是= 51/100–49/100 = 200/10000 = 0.02 =2%
总之，每赌 1 美元，就有 0.02 美元进了赌场。相比之下，轮盘赌上单个 0 的最低房子边缘是 2.5%。因此，我们确信，在我们想象的游戏中，你会比在轮盘赌中有更大的胜算。
- 导入所需的库:
图 38:导入赌场问题所需的库。
2。玩家下注:
图 39:为奇数和偶数下注。
3。主要功能:
图 40:将蒙特卡洛方法应用于我们的赌场问题。
4。最终输出:
图 41:计算和显示最终值。
5。运行 1000 次迭代:
图 42:运行我们的函数 1000 次。
6。赌注数= 5:
图 43:下注数等于 5 时结果的数据可视化。
7。赌注数= 10:
图 44:下注数等于 10 时结果的数据可视化。
8。下注数= 1000:
图 45:下注数等于 1000 时结果的数据可视化。
9。下注数= 5000:
图 46:下注数等于 5000 时结果的数据可视化。
10。下注数= 10000:
图 47:下注数等于 10000 时结果的数据可视化。
从上面的实验中，我们可以看到，如果玩家在这些游戏上下注较少，他们就有更大的机会获利。在某些情况下，我们会得到负数，这意味着玩家失去了所有的钱，积累了债务，而不是盈利。
请记住，这些百分比是我们的比喻游戏，他们可以修改。
就像任何预测模型一样，模拟的好坏取决于我们所做的估计。重要的是要记住，蒙特卡洛模拟只代表概率，而不是确定性。然而，蒙特卡洛模拟在预测未知的未来时是一个有价值的工具。
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****免责声明:本文表达的观点为作者个人观点，不代表卡内基梅隆大学的观点。这些文章并不打算成为最终产品，而是当前思想的反映，同时也是讨论和改进的催化剂。
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[1]概率问题语录，21 部电影，https://www . IMDB . com/title/TT 0478087/characters/nm 0000228 #语录
[2]乔治-路易·莱克勒克，布丰伯爵，维基百科，https://en . Wikipedia . org/wiki/乔治-路易 _ 莱克勒克，_ 布丰伯爵
**[3]布冯的针头问题，维基百科，【https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle_problem **