按订单生产的石英玻璃
学生的任务是寻找多项式的根，而不需要详细了解底层功能架构或关键指标在 X-Y 网格中的位置。我认为，这个数据驱动的时代需要一种更全面的方法，让学生更好地准备设计满足特定要求的功能。
在本文中，我们设计了一个四次多项式来排序，使用底层遗传'大 W' 架构，然后针对指定的拐点、转折点和常数项进行调整，最后在 X-Y 网格中重新定位。
这篇文章假设了高中水平的数学。一如既往，我希望它能鼓励人们更形象地思考数学！
注:贯穿本帖，为简单起见，我们使用系数a = 1*作为它不改变根或 x 坐标和转折点。*
基础大 W
底层典型的四次y=ax⁴+bx+CX+dx+e是我所说的其遗传大 W* 架构， y=Ax⁴+Cx +E 其中没有 Bx 三次或 Dx 线性项，如下图 1 中红色所示。它以 Y 为中心，关于 Y 轴对称，具有等跨 Y 轴的拐点***【Ip(x，Y)】(即在 x=0 )，两个外部转折点【Tp(x，y)*** 彼此水平，并且 ***Tp(0，E)**倾斜度
点 Q (目标为红色)是穿过 Ips ， y= Q， 与 Y 轴相交的地方。我们将看到，这是四次设计中的一个关键转变指标。
图 1 大 W Y 为中心
注意:要产生一个 大 W ， 系数 A 和 C 必须是相反的符号，并且 C 比 A 多几倍或少几倍才能得到最终形状。常数 E 可以是+ve 或-ve。
添加一点渐变Dx**
通过添加渐变 Dx ，形状呈现出更为熟悉的“草书”形式，如下图 2 所示，其中y=ax⁴+cx+dx+e**。**
重要的是， Ip(x 的) 保持不变， Ip(y 的) 不变，并且通过它们截距的线与 Tp 截距具有匹配的梯度，与dy/dx =系数 D* 。这也等于 E 处的梯度，其中 x=0 。*
再次注意；点 Q 是通过各自 Dx 创建的IP的所有线的公共截距。
Diag 2 添加了一点草坡
将 Dx 添加到大 W 可以通过指定 x=0、 处的梯度来完成，这可能有一个应用程序，比如机器人的起飞速率，或者如本文所述，指定实际较低的转折点'**【Tp(y)**坐标，以引入更多的整体功能。
注:所示函数具有+ve 系数 A ，负系数 C 。反过来这些只会简单的生成一个 大 M 而不是大 W* ，(不要和下面的 大 M 混淆)。*
大 M
说到一个大 m，在早先的帖子中， 带有指定转折点的四次多项式使用大 M *，*我做了一个简单的推导，其中每一个四次多项式都有一个遗传的大 M ， y=-3Ax⁴-Cx +E 来追踪转折点，如下图 3 所示，其中 A，b， 和
图 3 大 M 遗传
正如我们将在后面看到的，这使得用指定的设计函数变得简单，因为它避免了生成带有三次和线性项的四次函数！**
X-Y 网格中的大 W 地址
**学生可能熟悉四次函数在移动以消除 Bx 项时在 X-Y 网格中的形状保持性，从而使根更容易找到。我自己的帖子， 压抑的四次多项式-翻译数学简化版 ，以简单的方式做到了这一点，没有多项式乘法，同时保持了对形状保持的关注。
***本帖反其道而行之，我们使用简化的 y 中心函数y=ax⁴+cx+dx+e，然后将其移动到指定的 X-Y 网格坐标点 Q 。*****
通过指定关键度量，我们获得了合成函数的公式，不出所料，它将很可能包含一个三次【bx】，并修改了 D 和 E 项:y=ax⁴+bx+CX+dx+e。****
四次 Y 中心规格
*****这里使用的关键度量是拐点 ***Ip(x，y)***转折点 *Tp(x，y)常数 E、 和 点 Q 。
给定 A=1。 设 Y 轴为中心的函数规格如下:
- Ip(x 的)=-1.625 和+1.625
- 常数 E=20
- 一个转折点=【x，-60】******
从设计的角度来看，这是我们定义功能所需的所有信息。
按订单生产，以 Y 轴为中心
Ip(x) 规格完全取决于常数 C/A 的比值，因此:
y=ax⁴+cx+dx+20和给定 A=+1 。因此:
dy/dx = 4x+2Cx+D
d y/dx = 12x+2C = 0，sub inx =-1.625******
d y/dx = 31.688+2C = 0因此；
C =-15.844
做到了，y=x⁴-15.844x+dx+20我们可以确定由等价于一个指定的【TP(x，-60) 利用遗传大 M 如下:******
大 m:y=-3x⁴+15.844x+20 =-60； 让 u=x 于是:
y =-3u+15.844 u+80 = 0由此得 u=-3.16，+8.44 于是:
x =+-sqrt[8.44]=-2.905sub iny=x⁴-15.844x+dx+20 =-60******
y = 71.234-133.708-2.905d+80 = 0
D=+6.033
指定 y=(0，20)
计算 Q 点
由于点Q(y)= Ip(y)使用大 W 计算如下:****
ip(y)=x⁴-15.844x+20 @ x =+1.625，因此；
Q(y)= 6.973–41.838+20 =-14.865。
方程式移动—横向
由此产生的以 y 为中心的方程，蓝色的y=x⁴-15.844x+6.033 x+20*，准备转移到深蓝色的 Q=(-2，-14.865) 坐标与方程***【y=x⁴+bx+CX+dx+e***。*****
图表 4 横向移动
向量 U、V 和 W 显示向左移动 2 个单位的选定位移坐标。注意形状保持。
新方程式
同样，转换将导致方程的变化，但不会改变其形状。定义横向移动方程有 3 个步骤，最后一个步骤是使用 点 Q 坐标确定常数【E】垂直移动，如下所示:
1)使用 Ip(x) 计算 B 和 C
d y/dx = 12x+6Bx+2C = 0，简化d y/dx = x+0.5 bx+0.167 c = 0*。*****
给定 Ip(x)=-3.625 和 -0.375 遂用和积；0.167 c =-3.625 -0.375 = 1.359和0.5B =-3.625-0.375 =-4，因此；*****
B=8，C=8.137 。给予:
y=x⁴+8x +8.137x +Dx+E
2)计算 Ip 处的 D-梯度(-1.625，y)
****dy/dx = 4x-31.688 x+6.033；*中的sub中的x =-1.625 =-17.164+51.493+6.033 = 40.362中的*******
用 B 和 C 替换为 x=-3.625
y=x⁴+8x+8.137 x+dx+e
dy/dx = 4x+24x+16.274 x+D = 40.362 @ x-3.625因此；
D = 40.362+190.539–315.375+58.993 =-25.481。给予:
y=x⁴+8x+8.137 x-25.481 x+e
3)使用 y=20 @ x=-2 计算 E
y=x⁴+8x+8.137 x-25.481 x+e = 20sub 于 x=-2
y = 16–64+32.548+50.962+E = 20因此；
E = 20–16+64–32.548–50.962 =-15.51。给予:
y=x⁴+8x+8.137 x-25.481 x-15.51
为了满足指定的要求，即 点 Q=(-2，-20) 使用大 W Q(x，y)=Q(0，-14.865) ，进行如下操作，从而调整常数；****
E =-15.51-20+14.865 =-15.51-5.135 =-20.645结果方程如下图 5 中红色所示:
y=x⁴+8x+8.14 x-25.48 x-20.65
图表 5 完成班次
最后，我们将检查关键度量 点 Q 是否确实在指定的 Q(-2，-20) :
y=x⁴+8x+8.14 x-25.48 x-20.65
dy/dx = 4x+24x+16.28 x-25.48
d y/dx = 12x+48x+16.28因此:
Ip(x)=-3.625 和 -3.75 分别根据需要而定。因此；
t29】IP(-3.625，y)=y=x⁴+8x+8.14 x-25.48 x-20.65 = 172.676–381.078+106.965+92.365–20.65 =-29.722t31】
t33】IP(-0.375，y)=y=x⁴+8x+8.14 x-25.48 x-20.65 = 0.020–0.422+1.145+9.555–20.65 =-10.352t35】
按要求取 点以来的平均值 Q(x)=(-3.625-0.375)/2 =-2。遂；
点 Q(-2，y)=(-2，-20.037) Ok 结果。
回顾
这篇文章提供了一个大 W 通用公式和关键指标来支持特定的功能设计，并使用一个大 M* 关联来大大简化特定转折点的合并。*****
因此，将大 W 和大 M* 整合到您的设计中，让数学为您工作，而不是您为它工作！*****