在这一系列文章中，标准普尔 500 市场指数使用流行的统计模型进行分析: SARIMA (季节性自回归综合移动平均线)，和 GARCH (广义自回归条件异方差)。
在第一部分中，该系列从 python 中的yfinance API 中废弃。它被清理并用于计算标准普尔 500 的回报率(连续价格的百分比变化)和波动性(回报率的大小)。在第二部分中，使用了一些时间序列探索技术来从数据中获得关于趋势、季节性、平稳性等特征的见解。有了这些认识，在第三部分中，探索了 SARIMA 模型类。
在本文中，GARCH 模型被用来模拟标准普尔 500 收益的波动性。本文中使用的代码来自这个资源库中的Volatility Models/GARCH for SPX Volatility . ipynb笔记本
- 导入数据
- 列车测试分离
- GARCH 模型
- 标准普尔 500 回报的波动性
- GARCH 的参数估计
- 拟合 GARCH 对标准普尔 500 回报
- 预测波动性
- 评估绩效
- 结论
- 链接到本系列的其他部分
- 参考
这里，我们导入在本系列的第 1 部分中被废弃和预处理的数据集。参考第 1 部分准备好数据，或者从这个库下载 data.csv 文件。
从本系列的第 1 部分导入标准包和预处理数据集的代码
显示数据集前 5 行的前一个代码单元格的输出
因为这与本系列前面部分中使用的代码相同，所以为了简洁起见，这里不再详细解释每一行。
我们现在将数据分为训练集和测试集。这里所有来自于2019–01–01的观测值构成了测试集，之前的所有观测值就是训练集。
将数据分成训练集和测试集的代码
显示训练集和测试集形状的前一个代码单元的输出
GARCH 代表**广义自回归条件异方差。**条件异方差相当于时间序列中的条件方差(或条件波动率)。GARCH 模型使用波动性聚类的概念对一个序列的波动性进行建模。波动率聚类本质上意味着今天的波动率，取决于最近时间步的波动率。使用两个参数来指定 GARCH 模型: GARCH(p，q) 。GARCH 模型的公式如下所示。
GARCH 如何模拟波动性的数学公式
上面的等式显示了 GARCH 如何对波动性建模。某个时间步长的波动率平方表示为某个常数、一组过去残差项和一组过去波动率项的线性组合。参数 p 和 q 分别用于控制上述等式中这些滞后残差和波动项的数量。
在这篇文章中，标准普尔 500 收益的波动性是用 GARCH 建模的。为了测试预测的波动性是否与未来收益的波动性匹配，我们计算了标准普尔 500 收益的大小，并将其存储在序列spx_vol中。
因此，模型适合于spx_ret序列，预测的波动率与spx_vol进行比较。
PACF(部分自相关函数)图用于获得 GARCH 模型的参数 p 和 q 的初始估计。该图中显著滞后的数量被用作初始参数。然后使用模型汇总表(在拟合模型后显示)来了解模型中的哪些系数是重要的。在此基础上，对模型进行微调。
现在，标准普尔 500 收益的 PACF 图产生了:
为标准普尔 500 回报生成 PACF 图的代码
标准普尔 500 回归的 PACF 情节
使用statsmodels.graphics.tsaplots包中的plot_pacf()功能，为spx_ret系列生成 PACF 图。在检查该图时，前两个滞后是显著的。因此，GARCH(2，2)模型适用于初始起点。
现在，GARCH(2，2)模型适合标准普尔 500 收益序列。
导入并拟合标准普尔 500 收益的 GARCH(2，2)模型的代码
拟合标准普尔 500 收益的 GARCH(2，2)模型简表
arch包中的arch_model()函数用于实现 GARCH 模型。这里提到的实现是受官方文档这里中提到的启发。在拟合模型之前，准备一个新的数据框架。该数据帧由原始数据集中的所有时间步长组成(在训练测试分割之前)。训练时间步长被 S & P 500 的返回占用。这些实际上用于训练 GARCH 模型。测试周期被之前一个时间步观察到的回报所占据。这相当于说，该模型将使用今天观察到的回报来预测明天的回报波动。
使用arch_model()方法，定义了模型。该函数将上述数据集作为输入，参数:p=2和q=2。vol= “GARCH”参数指定要使用的模型是 GARCH。模型定义存储在变量model中，并对其调用fit()方法来训练模型。last_obs参数用于确保模型仅根据训练数据进行训练。拟合模型存储在model_results变量中，通过调用拟合模型上的summary()显示其摘要。
输出图像中汇总表前的前几行显示了通过fit()函数每次迭代后显示的拟合信息。fit()函数中的update_freq=5参数限制该信息在每 5 次迭代后显示。接下来，在汇总表中有 3 个部分:**恒定均值— GARCH 模型结果、均值模型、和波动模型。**在波动率模型部分， P < |Z| 栏明确表示所有系数在 5%的置信水平下显著。
这里，拟合的模型用于预测测试集中标准普尔 500 收益的波动性。
生成 GARCH 模型对标准普尔 500 回报的波动性预测的代码，并根据回报的大小(假设为波动性)绘制预测
显示模型预测的波动率与标准普尔 500 回报时间序列的假设波动率(回报幅度)的关系图。
forecast()方法用于拟合模型:model_results。这将输出一个ARCHModelForecast对象，其中包含均值模型和波动性模型的预测。接下来，调用residual_variance属性来获得对波动性的预测。预测存储在数据帧中，周期数与data中的相同。对模型进行训练的所有期间都有NaN值，并且实际上只填充模型应该生成预测的期间。在这种情况下，测试集的所有周期都有实数值，而训练集的周期有NaN。然后根据启发式计算的波动性(回报率的大小)绘制预测。
上图显示，每当模型的预测波动率剧烈飙升时，回报的幅度(启发式计算的波动率)也会大幅波动。另一方面，当预测的波动率稳定时，那么收益的大小也相对稳定。因此，我们的模型显然能够识别标准普尔 500 回报的高波动期和低波动期。
该模型的主要目的是识别市场稳定的时期和市场波动的时期，并且该模型成功地捕获了这些信息。因此，没有理由根据像 RMSE (均方根误差)这样的误差度量来评估模型
本文利用 GARCH 模型对标准普尔 500 收益率的波动性进行了分析和预测。在下一篇文章中，首先，将使用 ARIMA 模型来拟合标准普尔 500 收益。然后，GARCH 模型将用于模拟 ARIMA 的残差。这将允许我们生成比 ARIMA 模型单独生成的置信区间更可靠的置信区间。
- 时间序列数据的统计建模第 1 部分:预处理
- 时间序列数据的统计建模第二部分:探索性数据分析
- 时间序列数据的统计建模第三部分:利用 SARIMA 预测平稳时间序列
- 时间序列数据的统计建模第 4 部分:用 GARCH 预测波动性
- 时间序列数据的统计建模第五部分:时间序列预测的 ARMA+GARCH 模型。
- 时间序列数据的统计建模第六部分:用 ARMA 预测非平稳时间序列
[1]365 数据科学时间序列分析课程
[2] 机器学习掌握关于时间序列分析的博客
[3] 维基百科关于 GARCH 的文章
[4]ritvikmathGARCH 模型上的 YouTube 视频。
[5] arch 使用 GARCH 模型进行预测的文档。