作者: 普拉蒂克·舒克拉
在这一系列文章中，我们要了解希腊数学家欧几里德对一些著名定理和命题的证明。这里我们要去理解欧几里德本人在他那个时代所提供的证明。还有其他方法可以证明一个定理，但我们认为最好是从头开始。这些命题在他的著作《欧几里得的几何原本》中有所提及。
在进入命题的证明之前，我们先了解一些与之相关的基本术语。
每个正数不是合数就是质数或者单位数(1)。
图 1:数字的分类
- 自然数是那些用于计数的数字。
- 它包含了所有的正整数。
- 例子:1，2，3，…
- 质数是大于一的自然数，而不是两个较小自然数的乘积。
- 一个素数是一个只有两个约数的正整数:1 和它自己。
- 请注意， 质数是⊂自然数。
- 例子:2，3，5，7，…
- 合数是一个可以由两个较小的正整数相乘得到的正整数。
- 合数是一个正整数，它至少有一个除数不是 1 和它本身。
- 请注意⊂自然数的合成数。**
- 例子:4，6，8，…
当我们说 b 测度 a 时，那么就意味着 a 能被 b 整除，换句话说，我们可以说 a/b 的结果是一个整数。换一种说法，我们也可以说，如果用 b 来度量 a，那么 a 可以被 b 整除。
例子:
- 2 措施 6。
- 3 措施 9。
- 16 措施 64。
合数是由某个数来度量的数。
任何递减的数列都是有限的。
现在，让我们开始讨论这个命题及其证明。
任何合数都是由某个质数来度量的。
我们的目标是证明这样一个命题，即任何合数都由某个质数来度量。
- 在这个证明中，我们将每个数字表示为一条直线。线的长度代表它的价值。线越长，数字越高。
- 设 A 是一个合数。
图 2:合成数字 A
- 目标是证明 A 是由某个质数度量的。
- 根据定义，我们可以说，既然 A 是一个合数，那么某个数 B 可以度量它。由于 B 在测量 A，很明显 B≤A。现在，忽略 B=A 的情况。因此，留给我们条件 B < A。
- 在这个证明中，我们忽略了 B=A 的情况，背后的原因是如果 B=A 那么 A/B 会给我们 1。但是，在这一点上，1 在命题的推导中对我们没有任何用处，因为它既不是合数，也不是质数。
- 简而言之，对于下一个数字，我们只考虑严格小于当前数字的数字。
图 3:自然数 B
- 现在，如果 B 是一个质数，那么我们的命题被证明。
- 但是，如果 B 是一个合数，那么某个数 C 测量它。这里，C < B < A。
图 4:自然数 C
图 5:自然数 D
- 现在，这个研究继续这样下去，然后会发现一些素数，它测量它之前的数，这也将测量 a。
- 如果找不到质数，那么一个无穷数列测量出数字 A， 中的每一个都小于另一个 rs ，这在数字中是不可能的，因为任何递减的数列总是有限的。这里我们有一个自然数的递减序列(1，2，3，…)。
- 另外，请注意，质数的最小可能值(2)小于合数的最小可能值(4)。所以，当我们继续减少这个数字时，我们总会找到一个度量合数的质数。例如，如果我们得到一个合数(4)，那么就有一个素数(2)来度量它。
整个过程可以通过下图来理解。
图 6:证明的简单解释
我们希望你喜欢阅读这个证明，并从中学习一些新的东西。如果您有任何建议或问题，请随时添加评论。快乐学习！