diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex index ffc1172..60dc39d 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе \end{theorem} \begin{proof} - Утверждение теоремы эквивалентно тому, что единичная сфера в пространстве $\ker A_\lambda$ компактна. Это будет доказано, если мы покажем, как выделить из любой последовательности сходящуюся подпоследовательность. Пусть $x_n \in S \subseteq \ker A_\lambda$. Отсюда $\|x_n\| = 1$ и $Ax_n = \lambda x_n$. Более того, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченное множество, а значит $\{Ax_n\}_{n = 1}^\infty$ --- предкомпакт. Стало быть, существует сходящаяся подпоследовательность $\lim_{k \to \infty} Ax_{n_k} = y$. В силу того, что мы можем раскрыть образ через $x_{n_k}$, получим следующее: + Утверждение теоремы эквивалентно тому, что единичная сфера в пространстве $\ker A_\lambda$ компактна. Это будет доказано, если мы покажем, как выделить из любой последовательности сходящуюся подпоследовательность. Пусть $x_n \in S(0, 1) \subseteq \ker A_\lambda$. Отсюда $\|x_n\| = 1$ и $Ax_n = \lambda x_n$. Более того, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченное множество, а значит $\{Ax_n\}_{n = 1}^\infty$ --- предкомпакт. Стало быть, существует сходящаяся подпоследовательность $\lim_{k \to \infty} Ax_{n_k} = y$. В силу того, что мы можем раскрыть образ через $x_{n_k}$, получим следующее: \[ \lim_{k \to \infty} \lambda x_{n_k} = y \Lra \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \frac{1}{\lambda}y \] @@ -54,7 +54,7 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе \end{theorem} \begin{note} - Отметим, что подобную теорему мы уже доказали для самосопряженных операторов --- это теорема \ref{sao_fred_th}. Теперь же, если добавить требование компактности $A$, то мы можем убрать черту над образом $A_\lambda$ + Отметим, что подобную теорему мы уже доказали для самосопряженных операторов --- это теорема \ref{sao_fred_th}. Теперь же, если добавить требование компактности $A$, то мы можем убрать замыкание образа $A_\lambda$ \end{note} \begin{lemma} \label{simple_spectre} @@ -91,9 +91,9 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе \begin{proof} Применим лемму об инвариантности. Заметим, что $M = \ker A_\lambda$ инвариантен относительно $A$, а значит и $M^\bot = \cl(\im A_\lambda)$ инвариантен относительно $A$. Рассмотрим сужение $\wdt{A} = A|_{\cl(\im A_\lambda)}$ (<<понять это невозможно, можно только запомнить>>). Это тоже компактный самосопряжённый оператор, действующий из $\cl(\im A_\lambda)$ в само себя. Если мы покажем, что $\wdt{A}$ сюръективен, то это будет доказательство исходного утверждения. В самом деле, если это так, то $\cl(\im A_\lambda) = A_\lambda(\cl(\im A_\lambda)) \subseteq \im A_\lambda$. Итак, заметим, что у $\wdt{A}$ нет собственных векторов, соответствующих $\lambda$. Это так, ибо \[ - \wdt{A}_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)} + (\wdt{A})_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)} \] - А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные значения $A_\lambda$ лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $\wdt{A}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность. + А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные вектора лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $\wdt{A}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность. \end{proof} \begin{proof} (теоремы) diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/11lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/11lecture.tex index 616132e..ee58036 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/11lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/11lecture.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \[ |\lambda_1| \ge |\lambda_2| \ge |\lambda_3| \ge \ldots \] - Пусть $v_n$ --- нормированный собственный вектор, соответствующий $\lambda_n$ (для $\lambda_n = \lambda_m$, очевидно, берём ортонормированные вектора базиса подпространства). Образуем ортонормированную систему $\{e_n\}_{n = 1}^\infty$, полученную перенумерованием (при необходимости) векторов $v_n$ и добавлением собственных векторов, соответствующих $\lambda = 0$ (в случае, если оно является собственным значением). Так как мы находимся в сепарабельном пространстве, то для того, чтобы эта система была базисом, достаточно доказать её полноту. Обозначим $M = \cl([\{e_n\}_{n = 0}^\infty])$. Коль скоро это подпространство, можно применить теорему о проекции: + Пусть $v_n$ --- нормированный собственный вектор, соответствующий $\lambda_n$ (для $\lambda_n = \lambda_m$ берём ортонормированные вектора базиса подпространства). Образуем ортонормированную систему $\{e_n\}_{n = 1}^\infty$, полученную перенумерованием (при необходимости) векторов $v_n$ и добавлением собственных векторов, соответствующих $\lambda = 0$ (в случае, если оно является собственным значением). Так как мы находимся в сепарабельном пространстве, то для того, чтобы эта система была базисом, достаточно доказать её полноту. Обозначим $M = \cl([\{e_n\}_{n = 0}^\infty])$. Коль скоро это подпространство, можно применить теорему о проекции: \[ M \oplus M^\bot = H \] @@ -34,14 +34,14 @@ \begin{itemize} \item $\lambda \neq 0$. Тогда $A_\lambda x = 0$ имеет конечный базис решений. Чтобы получить общее решение $A_\lambda x = y$, нужно найти частное решение и сложить его с комбинацией этой системы (формула координат из предыдущего пункта верна, но при $\lambda_n = \lambda$ просто имеется неоднозначность, которую закрывает базис решений однородной части). - \item $\lambda = 0$ + \item $\lambda = 0$. Либо $0 \in \sigma_p(A)$ и тогда может быть базис решений любой размерности, либо $0 \in \sigma_c(A)$ и мы можем бесконечно близко приближаться решением к $y$. \end{itemize} \item Структура $\sigma(A)$: $0 \in \sigma(A)$. Возможно только 2 случая: \begin{enumerate} \item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- бесконечное число собственных ненулевых значений. Тогда либо $0 \in \sigma_p(A)$, либо $0 \in \sigma_c(A)$ - \item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- конечное число собственных ненулевых значений. Тогда $0 \in \sigma_p(A)$, причём это собственное значение бесконечной кратности + \item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- конечное число собственных ненулевых значений. Тогда $0 \in \sigma_p(A)$, причём это собственное значение бесконечной кратности (в силу теоремы Гильберта-Шмидта) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{note} diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex index e102354..152a9ad 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex @@ -90,7 +90,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа} \begin{proof} \textcolor{red}{(не по лектору)} Достаточно расписать разность, чтобы увидеть, как $F$ появится в нужном слагаемом: \[ - F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h) + F[x_0 + h] - F[x_0] = F[h] \] \end{proof} @@ -144,7 +144,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа} \] Аналогично запишем для $G$: \[ - G(y_0 + t) - G(y_0) = \Delta G = G'(y_0)\Delta y + \underbrace{\eps_2(\Delta y)}_{\in Z}\|\Delta y\| + G(y_0 + t) - G(y_0) = \Delta G = G'(y_0)\Delta y + \underbrace{\eps_2(\Delta y)}_{\in Z}\|\Delta y\|,\ \lim_{\Delta y} \eps_2(\Delta y) = 0 \] В силу непрерывности, мы можем рассмотреть $t = F(x_0 + h) - F(x_0)$. Тогда $t \to 0$ при $h \to 0$. Более того, мы можем подставить первую формулу во вторую: \[ @@ -152,7 +152,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа} \] Если мы покажем, что $G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)\|\Delta x\|] + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\| = o(\|\Delta x\|)$, то всё будет доказано. А это действительно так, разберёмся с каждым слагаемым отдельно. Для первого квадратные скобки (конкретно тут) говорят нам о том, что оператор $G'(y_0)$ линеен, и даже непрерывен. Отсюда \[ - \Delta G = G'(y_0)F'(x_0)\Delta x + G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)]\|\Delta x\| + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\|, h \to 0 + \Delta G = G'(y_0)F'(x_0)\Delta x + \underbrace{G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)]\|\Delta x\|}_{o(\|\Delta x\|)} + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\|, h \to 0 \] Для второго --- распишем $\|\Delta y\|$: \[ @@ -204,7 +204,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа} \end{note} \begin{theorem} (о среднем) - Пусть $D \subseteq E_1$ --- линейно связанное открытое множество, $F$ --- дифференцируема по Фреше на $D$. Тогда верно неравенство: + Пусть $D \subseteq E_1$ --- выпуклое открытое множество, $F$ --- дифференцируема по Фреше на $D$. Тогда верно неравенство: \[ \forall x_0, x_1 \in D\ \ \|F(x_1) - F(x_0)\| \le \sup_{y \in s(x_0, x_1)} \|F'(y)\| \cdot \|x_1 - x_0\| \] diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex index 174276c..c8eb027 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex @@ -53,7 +53,7 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$} \] \end{proposition} -\begin{reminder} (следствие) +\begin{reminder} (следствие теоремы Фубини) Пусть $f \colon \R \to \R$ --- измеримая функция, причём конечен хотя бы один из интегралов \[ \int_\R \int_\R |f(x, y)|d\mu(y)d\mu(x) < \infty \vee \int_\R \int_\R |f(x, y)|d\mu(x)d\mu(y) < \infty @@ -68,7 +68,7 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$} \] Покажем, что мы можем переставить интегралы (по следствию теоремы Фубини). Для этого оценим повторный интеграл: \begin{multline*} - \int_Y \int_\R |f(y)g(x)e^{-xy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_Y \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le + \int_Y \int_\R |f(y)g(x)e^{-ixy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_Y \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le \\ \|g\|_1\int_Y |f(y)|d\mu(y) \le \|f\|_1\|g\|_1 \end{multline*} diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex index 03c610b..3e20aaa 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex @@ -45,7 +45,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$} \end{reminder} \begin{proposition} - Преобразование Фурье продолжается на $L_2$. Более того, $F[L_1] \subseteq S$. + Преобразование Фурье продолжается на $L_2(\R)$. Более того, \\ $F[L_2(\R)] \subseteq S$. \end{proposition} \begin{proof} @@ -69,12 +69,16 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$} \item Распишем скалярное произведение с использованием \textit{формулы обращения} (она идёт без доказательства): \begin{multline*} - (f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) = + (f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) = \\ - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g}) + \int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g}) \end{multline*} - \item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. \textcolor{red}{Доказать?} + \item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. Заметим связь между прямым и обратным преобразованием Фурье: + \[ + F[f]y = \wdh{f}(y) = \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = \int_\R f(x)e^{ix(-y)}d\mu(x) = \check{f}(-y) + \] + Так как преобразование Фурье биективно, можно применить его к полученному равенству и получить требуемое. \end{enumerate} \end{proof} @@ -94,12 +98,11 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$} \item Если бы это было так, то у преобразования Фурье точечный спектр лежал бы на вещественной прямой. Однако из уравнения следует, что $\sigma_p(F) \supseteq \{\pm 1, \pm i\}$. \end{enumerate} - Тривиальное следствие из $F^4 = I$. \end{proof} \begin{proposition} (Теорема Планшереля, 1910г.) \begin{enumerate} - \item Преобразовние Фурье осуществляет биекцию на $L_2(\R)$ и даже изометрию. В частности, $\|f\|_2^2 = \|\wdh{f}\|_2^2$ + \item Преобразование Фурье осуществляет биекцию на $L_2(\R)$ и даже изометрию. В частности, $\|f\|_2^2 = \|\wdh{f}\|_2^2$ \item Определим $g_N(y)$ как своего рода \textit{срезку преобразования Фурье}: \[ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex index 8ea9482..ec2da4b 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex @@ -140,7 +140,7 @@ \section{Слабая сходимость} \end{proof} \begin{anote} - В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $c$ --- сходящиеся последовательности, сходящиеся к нулю. Известно, что $c^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>: + В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $\ell_\infty$ --- ограниченные последовательности. Известно, что $\ell_\infty^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>: \[ x_n \wto x \Lolra \forall y \in \ell_1\ \ \phi_y(x_n) = \sum_{k = 1}^\infty x_n^ky_k \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum_{k = 1}^\infty x^ky_k = \phi_y(x) \] @@ -159,11 +159,9 @@ \section{Слабая сходимость} \[ x_n \xrightarrow[n \to \infty]{h} x \Lra \forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y) \] - Тогда эта сходимость не является метризуемой. \textcolor{red}{Нужно дать определение метризуемости, если этого не сделает лектор} + Тогда эта сходимость не является метризуемой. \end{theorem} -\textcolor{red}{Наверное, надо какое-то введение к дальнейшему тут оформить} - \begin{theorem} Между пространствами $E$ и $E^{**}$ существует изометрия $\pi$, чей вид явно записывается так: \[ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex index ae76a2f..5e01f79 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex @@ -1,15 +1,17 @@ \begin{theorem} (Критерий слабой сходимости) Пусть $x_n, x \in E$. Тогда $x_n \wto x$ тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия: \begin{itemize} - \item Нормы последовательности $\|x_n\|$ ограниничены + \item Нормы последовательности $\|x_n\|$ ограничены \item Существует множество $S \subseteq E^*$ такое, что $\cl [S] = E^*$ и есть поточечная сходимость $\forall f \in S\ f(x_n) \to f(x)$ \end{itemize} \end{theorem} \begin{proof} - Перейдём к рассмотрению операторов $F_{x_n}, F_x \in E^*$. Тогда слабая сходимость $x_n \wto x$ по определению является поточечной сходимостью $F_{x_n}(f) \to F_x(f)$. Из условия: + Перейдём к рассмотрению операторов $F_{x_n}, F_x \in E^{**}$. Тогда слабая сходимость $x_n \wto x$ по определению является поточечной сходимостью $F_{x_n}(f) \to F_x(f)$. Из условия: \begin{itemize} + \item $E^{**} = \cL(E^*, \K)$ + \item Пространство $E^*$ полно \item Нормы $\|F_{x_n}\| = \|x_n\|$ ограничены @@ -26,11 +28,11 @@ \item Определим поточечный предел $F(f) = \lim_{n \to \infty} F_{x_n}(f)$ на $S$ (этим же он сразу задан на $[S]$). - \item Докажем, что $F \in [S]*$. Это делается аналогично тому, как это производилось в серии теорем о сходимости операторов + \item Докажем, что $F \in [S]^*$. Это делается аналогично тому, как это производилось в серии теорем о сходимости операторов - \item Воспользуемся теоремой 5.3 и продлим $F$ на всё пространство $E^*$, коль скоро $\cl [S] = E^*$. + \item Воспользуемся теоремой 5.3 и продлим $F$ на всё пространство $E^*$, коль скоро $\cl [S]^* = E^*$. - \item В силу того, что теперь $\forall f \in E^*\ \ F_{x_n}(f) \to F(f)$, причём $F \in E^**$ и пространство $E$ рефлексивно, то $F$ однозначно сопоставлен некоторый элемент $x \in E$, который и является искомым слабым пределом. + \item В силу того, что теперь $\forall f \in E^*\ \ F_{x_n}(f) \to F(f)$, причём $F \in E^{**}$ и пространство $E$ рефлексивно, то $F$ однозначно сопоставлен некоторый элемент $x \in E$, который и является искомым слабым пределом. \end{enumerate} \end{anote} diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/4lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/4lecture.tex index 8b2aedc..d596523 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/4lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/4lecture.tex @@ -103,7 +103,7 @@ \section{Сопряжённые операторы} \end{proof} \begin{definition} - Пусть $E_1 = H_1, E_2 = H_2$ --- гильбертовы пространства, $A \in \cL(H_1, H_2)$. Тогда \textit{эрмитово сопряжённым оператором} $A^* \in E_2^* \to E_1^*$ называется оператор, удовлетворяющий условию: + Пусть $E_1 = H_1, E_2 = H_2$ --- гильбертовы пространства, $A \in \cL(H_1, H_2)$. Тогда \textit{эрмитово сопряжённым оператором} $A^* \in E_2 \to E_1$ называется оператор, удовлетворяющий условию: \[ \forall x \in E_1, y \in E_2\ \ (Ax, y)_{H_2} = (x, A^*y)_{H_1} \] diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/5lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/5lecture.tex index 6c4358d..0a4d76e 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/5lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/5lecture.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \begin{theorem} \label{conj_decomp_th} Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $A \in \cL(H)$. Тогда \[ - H = \cl(\im A) \oplus \ker A^* + H = \cl(\im A) \oplus_\bot \ker A^* \] \end{theorem} @@ -11,7 +11,7 @@ \[ \forall y \in (\im A)^\bot\ \forall x \in H\ (Ax, y) = 0 \] - Стало быть, для любых $x, y$ выше будет $(x, A^*y) = 0$, а в силу гильбертовости пространства это означает, что $A^*y = 0$, при этом $A^*$ биективен. Это возможно тогда и только тогда, когда $y = 0$. + Стало быть, для любых $x, y$ выше будет $(x, A^*y) = 0$, а в силу гильбертовости пространства это означает, что $A^*y = 0$, что означает $y \in \ker A^*$. \item Заметим, что $(\im A)^\bot = (\cl(\im A))^\bot$. Так как последнее является подпространством, то по теореме о проекции получаем требуемое разложение: \[ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex index e8f56d5..5b4100c 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Спектр. Резольвента} \begin{note} - В этой главе, если не сказано иного, мы живём в банаховом пространстве $E$ над комл4ексным полем $\Cm$. Также оператор $A$ всегда из класса $\cL(E)$, если не сказано иного. + В этой главе, если не сказано иного, мы живём в банаховом пространстве $E$ над комплексным полем $\Cm$. Также оператор $A$ всегда из класса $\cL(E)$, если не сказано иного. \end{note} \textcolor{red}{Добавить затравку из конечномерного случая?} @@ -46,16 +46,6 @@ \section{Спектр. Резольвента} \] \end{definition} - -\begin{theorem} - Верно 2 факта: - \begin{enumerate} - \item $\sigma(A)$ --- непустое замкнутое множество - - \item $r(A) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}$ - \end{enumerate} -\end{theorem} - \begin{proposition} На пространстве функций $\Cm \to \cL(E)$ можно построить ТФКП. \end{proposition} @@ -180,6 +170,6 @@ \section{Спектр. Резольвента} \[ \|R(\lambda)\| \le \frac{1}{|\lambda|} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{|\lambda|}\|A\|} \xrightarrow[\lambda \to \infty]{} 0 \] - Коль скоро есть предел $\lim_{\lambda \to \infty} \|R(\lambda)\|$, то норма $R(\lambda)$ ограничена. Стало быть, по теореме Лиувилля $R(\lambda) = const$. Более того, из-за найденного выше предела $R(\lambda) = 0$. Это противоречит обратимости $A_\lambda$ при каком-либо $\lambda \neq 0$. + Коль скоро есть предел $\lim_{\lambda \to \infty} \|R(\lambda)\|$, то норма $R(\lambda)$ ограничена. Стало быть, по теореме Лиувилля $R(\lambda) = const$. Более того, из-за найденного выше предела $R(\lambda) = 0$. Это противоречит обратимости $A_\lambda$ при каком-либо $\lambda$. \end{proof} diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex index bf9ef11..7586f7a 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex @@ -41,6 +41,12 @@ В конечномерном случае, $\sigma(A) = \sigma_p(A)$, причём $\exists \lambda \in \sigma_p(A) \Lra \ker A_\lambda \neq \{0\}$. В бесконечномерном случае этим уже не ограничиться. \end{note} +\begin{note} + Если $\ker A_\lambda = \{0\}$ и $\im A_\lambda = E$, то $A_\lambda \in \cL(E)$ является биекцией, а значит по теореме Банаха $A_\lambda^{-1} \in \cL(E)$, то есть $\lambda \in \rho(A) = \Cm \bs \sigma(A)$. + + Это также значит, что можно классифицировать спектр, исходя из того, какая часть биективности ломается у $A_\lambda$. +\end{note} + \begin{definition} Рассмотрим оператор $A \in \cL(E)$. Тогда \begin{itemize} @@ -51,10 +57,6 @@ \item $\sigma_r(A) := \{\lambda \in \sigma(A) \colon \ker A_\lambda = \{0\} \wedge \cl (\im A_\lambda) \neq E\}$ --- \textit{остаточный спектр} \end{itemize} \end{definition} - -\begin{note} - Если $\ker A_\lambda = \{0\}$ и $\im A_\lambda = E$, то $A_\lambda \in \cL(E)$ является биекцией, а значит по теореме Банаха $A_\lambda^{-1} \in \cL(E)$, то есть $\lambda \in \rho(A) = \Cm \bs \sigma(A)$. -\end{note} \begin{exercise} Пусть дано пространство $\ell_2(\Cm)$, $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченная последовательность, $(Ax)_n = \lambda_nx_n$. Доказать, что diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/8lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/8lecture.tex index 7f98ee7..16f937c 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/8lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/8lecture.tex @@ -68,7 +68,7 @@ \] Также из определения $m_+$ следует, что $A_{m_+}$ --- отрицательно полуопределенный оператор. Так как неравенство КБШ справедливо для скалярных произведений, порождённых положительными полуопределёнными операторами, то перейдём к $B = -A_{m_+}$. Чтобы получить требуемое, нам достаточно показать предел $\lim_{n \to \infty} Bx_n = 0$. Запишем четвёртую степень нормы следующим образом: \[ - \|Bx_n\|^4 = |(x_n, Bx_n)_B|^2 \le |(x_n, x_n)_B| \cdot |(Bx_n, Bx_n)_B| = |(Bx_n, x_n)| \cdot |(B^2x_n, Bx_n)| + \|Bx_n\|^2 = |(x_n, Bx_n)_B|^2 \le |(x_n, x_n)_B| \cdot |(Bx_n, Bx_n)_B| = |(Bx_n, x_n)| \cdot |(B^2x_n, Bx_n)| \] Первый сомножитель стремится к нулю, а второй ограничен: \[ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/9lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/9lecture.tex index 47bfbd9..df97e0b 100644 --- a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/9lecture.tex +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/9lecture.tex @@ -47,7 +47,7 @@ \end{task} \begin{theorem} \label{compact_approx_th} - Пусть $E_2$ --- банахово пространство, $A_n \in K(E_1, E_2)$, $A \in \cL(E)$, причём $\lim_{n \to \infty} A_n = A$. Тогда $A \in K(E_1, E_2)$. + Пусть $E_2$ --- банахово пространство, $A_n \in K(E_1, E_2)$, $A \in \cL(E_1, E_2)$, причём $\lim_{n \to \infty} A_n = A$. Тогда $A \in K(E_1, E_2)$. \end{theorem} \begin{proof}