diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/1pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/1pic.png new file mode 100644 index 00000000..cc71344d Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/1pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/2pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/2pic.png new file mode 100644 index 00000000..6ff02765 Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/2pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/3pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/3pic.png new file mode 100644 index 00000000..ee4639f1 Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/3pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/4pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/4pic.png new file mode 100644 index 00000000..316ea4f4 Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/4pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/5pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/5pic.png new file mode 100644 index 00000000..8ec261d0 Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/5pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/6pic.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/6pic.png new file mode 100644 index 00000000..03838aba Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/6pic.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/logo_ltc.png b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/logo_ltc.png new file mode 100644 index 00000000..3938067a Binary files /dev/null and b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/images/logo_ltc.png differ diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/info.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/info.tex new file mode 100644 index 00000000..d5c2b16f --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/info.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +\section*{Предупреждение} + +Единственный, кто несёт ответственность материал в этом конспекте --- его автор. Он не может гарантировать верность ни утверждений, ни приведённых доказательств, однако старается исправлять все поступающие замечания по мере сил. + +Если вы увидели несостыковки либо ошибки, то смело сообщайте (имя автора на титульной странице кликабельно). + +\section*{Обозначения} + +Всюду в конспекте приняты однозначные обозначения и соглашения следующего толку: + +\begin{itemize} + \item $S_1 \subset S_2$ означает строгое вложение множеств (у лектора $\subsetneq$) + + \item $S_1 \subseteq S_2$ означает нестрогое вложение множеств (у лектора $\subset$) + + \item $\cl S$, $\ole{S}$ --- замыкание множества $S$ (у лектора только $\ole{S}$) + + \item $[S]$ --- линейная оболочка множества $S$ (у лектора то же самое) +\end{itemize} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..47d75117 --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex @@ -0,0 +1,166 @@ +\setcounter{section}{6} +\section{Слабая сходимость} + +\begin{definition} + Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq E$. Последовательность $x_n$ \textit{слабо сходится к} $x$, если + \[ + \forall f \in E^*\ \ f(x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x) + \] + Обозначется как $x_n \wto x$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + В гильбертовом пространстве $H$ есть эквивалентное определение: + \[ + x_n \wto x \Lra \forall y \in H\ \ (x_n, y) \xrightarrow[n \to \infty]{} (x, y) + \] +\end{proposition} + +\begin{proof} + Тривиально по теореме Рисса-Фреше. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Если последовательность $x_n$ слабо сходится, то предел единственен. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть $x', x''$ --- два предела по слабой сходимости последовательности $x_n$. По условию: + \[ + \forall f \in E^*\ \ f(x') = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x'') + \] + По следствию 3 теоремы Хана-Банаха такое возможно только в том случае, когда $x' = x''$. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Из сходимости $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ следует слабая сходимость $x_n \wto x$. Обратное неверно только в том случае, когда $\dim E = \infty$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item[$\Ra$] Рассмотрим $f \in E^*$. Тогда: + \[ + |f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \le \|f\| \cdot \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 + \] + + \item[$\La$] Теперь $\dim E < \infty$. Тогда, существует базис $e$. Заметим, что функционалы координат (то есть такие функционалы, которые на вход $x$ выдают координату по соответствующему вектору базиса) лежат в $E^*$. Стало быть, есть покоординатная сходимость, а она соответствует норме $l_\infty$, которая эквивалентна (в силу конечной размерности) исходной норме $E$. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{example} + Покажем случай $\dim E = \infty$, когда утверждение выше не работает. Рассмотрим пространство $l_2$, за последовательность возьмём просто базис: + \[ + e_n = (\underbrace{0, \ldots, 0}_{n}, 1, 0, \ldots) + \] + Тогда очевидно, что эта последовательность никуда не сходится: попарное расстояние между элементами всегда равно $\sqrt{2}$. При этом, воспользуемся тем фактом, что $l_2$ гильбертово, и посмотрим слабую сходимость: + \[ + \forall y \in l_2\ \ (e_n, y) = y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 = (0, y) + \] + Предельный переход работает, коль скоро верно равенство Парсеваля. Стало быть, есть слабая сходимость к нулю, но нет сходимости по норме. +\end{example} + +\begin{problem} + Пусть $x_n \in \ole{B}(0, R)$, причём $x_n \wto x$. Тогда $x \in \ole{B}(0, R)$. +\end{problem} + +\begin{proof} + Разберём две разные ситуации + \begin{itemize} + \item $E = H$ --- гильбертово пространство. Тогда, в силу эквивалентного определения + \[ + \forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y) \Ra \lim_{n \to \infty} |(x_n, y)| = |(x, y)| + \] + Если мы сможем оценить $|(x_n, y)|$, то такая же оценка верна и для предела в силу предельного перехода: + \[ + |(x_n, y)| \le \|x_n\| \cdot \|y\| \le R\|y\| \Ra |(x, y)| \le R\|y\| + \] + Так как неравенство КБШ достигается, то должно быть верно неравенство $|(x, y)| \le \|x\| \cdot \|y\| \le R\|y\|$, то есть $\|x\| \le R$. + + \item $E$ --- произвольное линейное нормированное пространство. Здесь у нас нет права пользоваться теоремой Рисса-Фреше, но, тем не менее, есть теорема Хана-Банаха и её следствия. Согласно второму следствию: + \[ + \forall x \in E \bs \{0\}\ \exists f_0 \in E^* \such \|f_0\| = 1 \wedge f_0(x) = \|x\| + \] + В силу слабой сходимости: + \[ + \forall f \in E^*\ \ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x) \Ra \lim_{n \to \infty} |f(x_n)| = |f(x)| \Ra \lim_{n \to \infty} |f_0(x_n)| = |f_0(x)| = \|x\| + \] + При этом $|f_0(x_n)| \le \|f_0\| \cdot \|x_n\| \le 1 \cdot R$, а отсюда уже тривиально по предельному переходу в неравенстве. + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theorem} (Мазура, 1933г., без доказательства) + Пусть $S \subseteq E$ --- выпуклое замкнутое множество, $x_n \wto x$, причём $x_n \in S$. Тогда $x \in S$. +\end{theorem} + +\begin{proposition} (Связь сходимости по норме и слабой сходимости) + Последовательность $x_n$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда она слабо сходится к $x$ и есть сходимость норм $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. +\end{proposition} + +\begin{proof}~ + \begin{itemize} + \item[$\Ra$] Повторим уже известные рассуждения: + \begin{itemize} + \item Для слабой сходимости всё есть из того факта, что рассматриваются $f \in E^*$: + \[ + \forall f \in E^*\ \ \|f(x_n) - f(x)\| = \|f(x_n - x)\| \le \|f\| \cdot \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 + \] + + \item Для сходимости норм вспомним неравенство: + \[ + \big|\|x_n\| - \|x\|\big| \le \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 + \] + \end{itemize} + + \item[$\La$] \textcolor{red}{Проведём доказательство в случае гильбертова пространства $E = H$.} По определению, нужно показать следующее: + \[ + \forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|x_n - x\| < \eps + \] + Распишем $\|x_n - x\|^2$ через скалярное произведение: + \[ + \|x_n - x\|^2 = \|x_n\|^2 + \|x\|^2 - (x_n, x) - (x, x_n) + \] + Так как оценка КБШ точная, а скалярное произведение $f(x_n) = (x_n, x)$ является линейной непрерывной функцией, то есть сходимость $\lim_{n \to \infty} (x_n, x) = \|x\|^2$. Стало быть + \[ + \|x_n - x\|^2 \xrightarrow[n \to \infty]{} 2\|x\|^2 - 2\|x\|^2 = 0 + \] + \end{itemize} +\end{proof} + +\textcolor{red}{Тут должна быть картинка с нормами и сходимостями, 1 лекция 1:04:00} + +\begin{theorem} (фон Неймана, без доказательства) + Пусть $H$ --- гильбертово пространство, причём $\dim H = \infty$. Рассмотрим сходимость $x_n \xrightarrow{h} x$ \textcolor{red}{(лектор не давал обозначения, просто я ввёл для формулировки)} следующего вида: + \[ + x_n \xrightarrow[n \to \infty]{h} x \Lra \forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y) + \] + Тогда эта сходимость не является метризуемой. \textcolor{red}{Нужно дать определение метризуемости, если этого не сделает лектор} +\end{theorem} + +\textcolor{red}{Наверное, надо какое-то введение к дальнейшему тут оформить} + +\begin{theorem} + Между пространствами $E$ и $E^{**}$ существует изометрия $\pi$, чей вид явно записывается так: + \[ + \forall x \in E, f \in E^*\ \ \pi(x)(f) := f(x) + \] +\end{theorem} + +\begin{anote} + В курсе Алгебры и Геометрии мы установили, что в конечномерном случае отображение выше задаёт \textit{канонический изоморфизм}. +\end{anote} + +\begin{proof} + Определим элемент $\pi(x)$ поточечно, согласно утверждению теоремы. Тогда мы тривиально получим линейное отображение, для которого остаётся лишь установить равенство норм: + \[ + \|\pi(x)\| = \sup_{\|f\| = 1} |\pi(x)(f)| = \sup_{\|f\| = 1} |f(x)| = \|x\| + \] + Последний переход сделан по следствию 4 теоремы Хана-Банаха +\end{proof} + +\begin{note} + Далее для обозначения $\pi(x)$ мы будем использовать более лаконичное $F_x$. +\end{note} + +\begin{definition} + Если $E = E^{**}$ (в смысле наличия изоморфизма), то пространство $E$ называется \textit{рефлексивным}. +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..77e66d19 --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +\begin{theorem} (Критерий слабой сходимости) + Пусть $x_n, x \in E$. Тогда $x_n \wto x$ тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия: + \begin{itemize} + \item Нормы последовательности $\|x_n\|$ ограниничены + + \item Существует множество $S \subseteq E^*$ такое, что $\cl [S] = E^*$ и есть поточечная сходимость $\forall f \in S\ f(x_n) \to f(x)$ + \end{itemize} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Перейдём к рассмотрению операторов $F_{x_n}, F_x \in E^*$. Тогда слабая сходимость $x_n \wto x$ по определению является поточечной сходимостью $F_{x_n}(f) \to F_x(f)$. Из условия: + \begin{itemize} + \item Нормы $\|F_{x_n}\| = \|x_n\|$ ограничены + + \item $\exists S \subseteq E^* \such \cl [S] = E^* \wedge \forall f \in S\ \ F_{x_n}(f) \to F_x(f)$ + \end{itemize} + Эти условия не могут не напомнить о критерии поточечной сходимости для линейных ограниченных операторов. А поточечная сходимость наших операторов во всём пространстве соответствует $x_n \wto x$. +\end{proof} + +\begin{note} + Условия для слабой сходимости можно ослабить. Достаточно потребовать не $f(x_n) \to f(x)$ (и соответственно знания конкретного $x$), а существования предела $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$. В предыдущем семестре мы доказали теорему о полноте относительно поточечной сходимости (её нужно применить к $F_{x_n}$ и $F_x$) +\end{note} + +\begin{theorem} + Пусть $E_1, E_2$ --- нормированные пространства, $x_n, x \in E_1$, причём $x_n \wto x$, а также $A \in \cL(E_1, E_2)$. Тогда, есть слабая сходимость образов $Ax_n \wto Ax$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + По определению слабой сходимости + \[ + \forall f \in E_1^*\ \ f(x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x) + \] + В частности, можно рассмотреть функционал $f = g \circ A$ для любого $g \in E_2^*$. Тогда + \[ + \forall g \in E_2^*\ \ g(Ax_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} g(Ax) + \] + Это утверждение в точности совпадает с определением слабой сходимости $Ax_n \wto Ax$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Множество $S \subseteq E$ называется \textit{слабо ограниченным}, если + \[ + \forall f \in E^*\ \ f(S) \text{ --- ограниченное множество в $\K$} + \] +\end{definition} + +\begin{proposition} + Пусть $S \subseteq E$ --- ограниченное множество. Тогда $S$ слабо ограничено. +\end{proposition} + +\begin{proof} + По определению, если $f \in E^*$, то это линейный ограниченный функционал. Ограниченный функционал переводит ограниченные множества в ограниченные, по определению. Поэтому слабая ограниченность $S$ тривиальна. +\end{proof} + +\begin{theorem} (Хана, 1922г.) + Пусть $S \subseteq E$ --- слабо ограниченное множество. Тогда $S$ ограничено. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Предположим противное, то есть $S$ неограничено. Тогда + \[ + \forall n \in \N\ \ \exists x_n \in S \such \|x_n\| \ge n^2 + \] + Рассмотрим последовательность $y_n = \frac{x_n}{n}$. В силу слабой ограниченности, мы можем сделать следующую оценку на образ $f(y_n)$, $f \in E^*$ (где $K_f$ --- константа, ограничивающая образ $f(S)$): + \[ + \forall f \in E^*\ \ |f(y_n)| = \frac{|f(x_n)|}{n} \le \frac{K_f}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 + \] + Стало быть, $y_n \wto 0$. В силу критерия слабой сходимости, $\|y_n\| \le M$ --- есть ограниченность норм. Стало быть + \[ + \forall n \in \N\ \ M \ge \|y_n\| = \frac{\|x_n\|}{n} \ge \frac{n^2}{n} = n + \] + Получили противоречие. +\end{proof} + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq E$ называется \textit{слабо фундаментальной}, если + \[ + \forall f \in E^*\ \ \{f(x_n)\}_{n = 1}^\infty \subset \K \text{ --- фундаментальная последовательность} + \] +\end{definition} + +\begin{proposition} + Слабо сходящаяся последовательность всегда является слабо фундаментальной +\end{proposition} + +\begin{proof} + Раз последовательность слабо сходящаяся, то + \[ + \forall f \in E^*\ \exists \lim_{n \to \infty} f(x_n) + \] + При этом $f(x_n) \subseteq \K$ и поле $\K$ полно, а значит последовательность $\{f(x_n)\}_{n = 1}^\infty$ фундаментальна при любом $f$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пространство $E$ называется \textit{слабо полным}, если любая слабо фундамантальная последовательность в нём является слабо сходящейся. +\end{definition} + +\begin{definition} + Множество $S \subseteq E$ называется \textit{слабо секвенциально компактным (или секвенциально слабо компактным)}, если из любой ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. +\end{definition} + +\begin{theorem} (Банаха, 1932г.) + Пусть $H$ --- гильбертово пространство. Тогда $\ole{B}(0, R)$ --- слабо секвенциально компактное множество. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Мы будем действовать согласно следующему плану: + \begin{enumerate} + \item Рассмотрим любую последовательность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \ole{B}(0, R)$. Хотим показать, что в ней выделяется слабо сходящаяся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$ + + \item Рассмотрим $L = \cl [\{x_n\}_{n = 1}^\infty]$. В силу гильбертовости пространства $H$, мы можем воспользоваться теоремой о проекции. Тогда $H = L \oplus L^\bot$ + + \item Выделить такую подпоследовательность $\{y_k\}_{k = 1}^\infty \subseteq \{x_n\}_{n = 1}^\infty$, что есть сходимость для любого скалярного произведения с $x_m$: + \[ + \forall m \in \N\ \exists \lim_{k \to \infty} (x_m, y_k) + \] + Тогда, в силу критерия слабой сходимости, $y_k$ будет слабо сходящейся последовательностью в $L$ + + \item Заметим, что из имеющейся сходимости следует слабая сходимость и во всём пространстве $H$: + \[ + H = L \oplus L^\bot \Ra \forall h = l + l^\bot\ \ (y_k, h) = (y_k, l) + (y_k, l^\bot) = (y_k, l) + \] + А $(y_k, l)$ сходится в силу результата предыдущего пункта. + \end{enumerate} + Единственное нестрогое место в плане --- пункт 3, выделение слабо сходящейся последовательности. Воспользуемся диагональным методом Кантора: + \begin{enumerate} + \item Зафиксируем $x_m$. Тогда $(x_m, x_n) \le R^2$ и, получается, $\{(x_m, x_n)\}_{n = 1}^\infty$ является ограниченной последовательностью чисел. По теореме Больцано-Вейерштрасса, из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}$ + + \item Итерируемся по $m \in \N$ (с началом $m = 1$ и последовательностью $x_n$) и выделяем новую подпоследовательность из той, что была получена на предыдущем шаге. Обозначим их как $x_{m, n}$ ($x_{1, n} = x_n$) + + \item Получили искомую последовательность $y_k = x_{k, k}$ + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/3lecture.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/3lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..0a8776a2 --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/3lecture.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +\textcolor{red}{Определение квадратичной формы?} + +\textcolor{red}{Дописать таблицу} + +\section{Обратный оператор} + +\textcolor{red}{Картинка и некоторое предисловие} + +\begin{note} + Далее мы фиксируем обозначения $E_1, E_2$ для линейных нормированных пространств. +\end{note} + +\begin{definition} + Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{обратимым} на $\im A$, если + \[ + \forall y \in \im A\ \ \exists ! x \in E_1 \such Ax = y + \] +\end{definition} + +\begin{anote} + Фактически, оператор обратим, если он осуществляет биекцию $E_1 \to \im A \subseteq E_2$. +\end{anote} + +\begin{example} + Самый простой пример необратимого оператора --- это $A = 0$. Также подойдёт любой оператор, чьё ядро нетривиально (в силу критерия инъективности). +\end{example} + +\begin{example} + Естественно, далеко не всегда обратный оператор ограничен. Рассмотрим $E_1 = C[0; 1]$ и определим оператор $A$: + \[ + (Af)(x) = \int_0^x f(t)dt =: g(x) + \] + Тогда $E_2 = \{g \in C[0; 1] \colon g(0) = 0\}$. Понятно, что $A^{-1} = \frac{d}{dx}$, но, как уже было показано в 5 семестре, этот оператор неограничен. +\end{example} + +\begin{theorem} (Банаха, об обратном операторе) + Пусть $E$ --- банахово пространство, $A \in \cL(E)$, причём $A$ биективен. Тогда $A^{-1}$ непрерывен. +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/main.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/main.tex new file mode 100644 index 00000000..e2725cbe --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/main.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\input{preamble/preamble} + +%\includeonly{lectures/lect05,lectures/lect06} % Скомпилировать только часть лекций + +\begin{document} + \input{preamble/title_page} + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + \input{info} + + \newpage + % In videos it's the 2nd lecture + \input{lectures/1lecture} + \input{lectures/2lecture} + \input{lectures/3lecture} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/preamble.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/preamble.tex new file mode 100644 index 00000000..09c1b7e8 --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/preamble.tex @@ -0,0 +1,273 @@ +\documentclass[a4paper,12pt]{article} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды для математики +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы +\usepackage[e]{esvect} % Нормальные векторы по команде \vv + +\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}} +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\ke}{Ker} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} +\DeclareMathOperator{\Int}{int} +\DeclareMathOperator{\cl}{cl} +\DeclareMathOperator{\Deg}{deg} +\DeclareMathOperator{\grad}{grad} +\DeclareMathOperator{\rot}{rot} +\DeclareMathOperator{\Div}{div} +\DeclareMathOperator{\upjm}{\mu^*_\mathfrak{J}} +\DeclareMathOperator{\downjm}{\mu^\mathfrak{J}_*} +\DeclareMathOperator{\upjlm}{\mu^*_{(\mathfrak{J})}} +\DeclareMathOperator{\downjlm}{\mu^{(\mathfrak{J})}_*} +\DeclareMathOperator{\jlm}{\mu_{(\mathfrak{J})}} +\DeclareMathOperator{\jm}{\mu_\gJ} +\DeclareMathOperator{\sym}{sym} +\DeclareMathOperator{\asym}{asym} +\DeclareMathOperator{\vol}{vol} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} +\DeclareMathOperator{\Ran}{Ran} +\DeclareMathOperator{\Lin}{Lin} + +\newcommand{\K}{\mathbb{K}} +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\sxR}{\ole{\R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\cL}{\mathcal{L}} +\newcommand{\cP}{\mathcal{P}} +\newcommand{\Tau}{\mathcal{T}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand{\goth}{\mathfrak} +\newcommand{\gj}{\goth{j}} +\newcommand{\gA}{\goth{A}} +\newcommand{\gM}{\goth{M}} +\newcommand{\gN}{\goth{N}} +\newcommand{\gJ}{\goth{J}} +\newcommand{\gZ}{\goth{Z}} +\newcommand{\mc}{\mathring} +\newcommand{\eps}{\varepsilon} +\newcommand{\veps}{\epsilon} +\newcommand{\vdelta}{\partial} +\newcommand{\tr}{\triangle} +\newcommand{\bscup}{\bigsqcup} +\newcommand{\such}{\ \big|\ } +\newcommand{\range}[2]{\{#1, \ldots, #2\}} +\newcommand{\ole}[1]{\overline{#1}} +\newcommand{\ule}[1]{\underline{#1}} +\newcommand{\comR}{{(R)}} +\newcommand{\wto}{\xrightarrow{w}} + +\newcommand{\imp}[2]{ + (#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\, +} +\newcommand{\System}[1]{ + \left\{ + \begin{aligned} + #1 + \end{aligned} + \right. +} +\newcommand{\Matrix}[1]{ + \left( + \begin{aligned} + #1 + \end{aligned} + \right) +} +\newcommand{\Det}[1]{ + \left| + \begin{aligned} + #1 + \end{aligned} + \right| +} +\newcommand{\Root}[2]{ + \left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\} +} +\newcommand{\pd}[2]{ + \frac{\vdelta #1}{\vdelta #2} +} +\newcommand{\ps}[1]{ + \left(#1\right) +} +\newcommand{\md}[1]{ + \left|#1\right| +} +\newcommand{\set}[1]{ + \left\{#1\right\} +} +\newcommand{\sbr}[1]{ + \left[#1\right] +} +\newcommand{\lsi}[1]{ + \left[#1\right) +} +\newcommand{\rsi}[1]{ + \left(#1\right] +} +\newcommand{\br}[1]{ + \left\{#1\right\} +} +\newcommand{\tbr}[1]{ + \left\langle#1\right\rangle +} +\newcommand{\ntbr}[1]{ + \langle#1\rangle +} +\newcommand{\no}[1]{ + \left\|#1\right\| +} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\Lra\Leftrightarrow +\let\Lolra\Longleftrightarrow +\let\lra\leftrightarrow +\let\Ra\Rightarrow +\let\Lora\Longrightarrow +\let\ra\rightarrow +\let\La\Leftarrow +\let\Lola\Longleftarrow +\let\la\leftarrow +\let\rra\rightrightarrows +\let\emb\hookrightarrow +\let\wdt\widetilde +\let\wdh\widehat + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\usepackage{caption} +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} +\newtheorem*{problem}{Проблема} +\newtheorem*{task}{Задача} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[section] +\newtheorem*{designation}{Обозначение} +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{anote}{Замечание автора} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания + +%%% Содержаниие +\usepackage{tocloft} +\tocloftpagestyle{main} +%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em} +%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1} +%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill} +%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad} + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{Функциональный анализ} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{VI} +\newcommand{\LecturerInitials}{Сергей Петрович Коновалов} +\newcommand{\CourseDate}{весна 2024} +\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/id1} +\newcommand{\TelegramLink}{https://t.me/wolfawi} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/daniild71r/lectures_tex_club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs=false} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках +\usetikzlibrary{angles, babel, quotes} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/title_page.tex b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..69cce96a --- /dev/null +++ b/Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/preamble/title_page.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + Автор: \href{\TelegramLink}{Максимов Даниил} + \\ + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage} diff --git a/config.json b/config.json index 35147cbb..1b5895c4 100644 --- a/config.json +++ b/config.json @@ -25,8 +25,9 @@ "!l/4/Discrete_Analysis/2023_Raigorodsky", "!l/4/Calculus/2023_Lukashov", "!l/4/Probability_Theory/2023_Shabanov", - "l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov", - "!l/5/Statistics/2023_Savelov" + "!l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov", + "l/5/Statistics/2023_Savelov", + "l/6/Functional_Analysis/2024_Konovalov" ], "66golden": [ "l/1/Calculus/2022_Redkozubov",