这一章节总结了线性代数的一些基础知识，包括向量、矩阵及其属性和计算方法。
- 线性代数 Linear Algebra
- r + s = s + r
- r · s = s · r
- r · (s + t)=r · s + r · t
(r - s)2 = r2 + s2 - 2r · s · cosθ
r · s =|r| × |s| × cosθ
可以通过向量点乘的原理的来理解这一点，假设 r 是在坐标系 i 上的向量（ rj=0 ）。那么 r · s = risi + rjsj = risi = |r|si ，其中 si = |s| · cosθ ，所以 r · s =|r| · |s| · cosθ
s 往 r 上的投影向量如下，同样可以用上图来0解释
对于在坐标系 (e1, e2) 上的向量 r，把它的坐标点映射到 (b1,b2) ，r 在新的坐标系中的坐标点是
在上面的例子中，$r = \begin{bmatrix} 2 \ 0.5 \end{bmatrix}$.
import numpy as np;
def change_basis(v, b1, b2):
return [np.dot(v, b1)/np.inner(b1,b1), (np.dot(v, b2)/np.inner(b2,b2))]
v, b1, b2 = np.array([1, 1]), np.array([1, 0]), np.array([0, 2])
change_basis(v, b1, b2)如果 r 和 s 是线性无关的，对于任何 α， r ≠ α · s。
矩阵 E=[e1 e2] 和一个向量 v 相乘可以理解为把 v 在 e1, e2 的坐标系上重新投影
转换矩阵为
矩阵 A 的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。其列秩和行秩总是相等的，称作矩阵 A 的秩。通常表示为 r(A)或rank(A)。
矩阵 A 的行列式表示为 det(A) 或 |A| .
对于矩阵 |A|=a d-c d
一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边对应着对应矩阵的列。 ------ 俄国数学家阿诺尔德（Vladimir Arnold）《论数学教育》
行列式 det(A) = 0 的方阵一定是不可逆的。
对于矩阵 A 和 B , A · B 可以认为是把 B 的坐标系变换到 A 中。
Transform (rotate) R in B's coordinates: B-1RB
正交矩阵是一个方块矩阵 A，其元素为实数，而且行向量与列向量皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。
如果 A 是正交矩阵，那么 AAT=I ， AT=A-1 。
如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。
经过上述过程后，对于任何 i, j ， βi βj = 0 。
Where
λ 为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 λ 为其特征值。
在上面这个图像变换的例子中，红色箭头改变方向，但蓝色箭头不改变方向。蓝色箭头是此剪切映射的特征向量，因为它不会改变方向，并且由于其长度不变，因此其特征值为1。
根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵 A 的行列式 det(A - λI)=0 必须是零。
例如，矩阵 A 为，那么
λ2-(a+d)λ+ad-bc=0 ，得到 λ 并计算特征向量。
一个例子：
如 λ 为 A 的特征值， x 是 A 的属于 λ 的特征向量：
- λ 也是 AT 的特征值；
- λm 也是 Am 的特征值（m是任意常数）；
- A 可逆时，λ-1 是 A-1 的特征值；