EMF-Formel-Zusammenfassung.tex

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% FS-Vorlage											Stand: 30.01.12
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% Formelsammlungsvorlage von Emanuel Regnath und Martin Zellner	
% Bietet verschiedene Abkürzungen und Befehle	
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% Dokumenteinstellungen
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\let\vec\oldvec

% Dokumentbeginn
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\begin{document}


% Aufteilung in Spalten
\vspace{-4mm}
%\begin{multicols}{4}
	\vspace{-20mm}{
	\parbox{3cm}{
		\includegraphics[height=3cm]{./img/Logo.pdf}		
	}
	\parbox{8cm}{
		\emph{\large{EMF Formel-Zusammenfassung}}
	}}
\vspace{-4mm} % Man muss optimieren wos nur geht ;)
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% | 		EMF					|
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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\\
\\
Die Zusammenfassung basiert auf der Kurzwiederholung der gesamten Kapitel des Zentralübungsleiters Christoph Weiß.

\section{Klassische Kontinumstheorie}
\subsection{Maxwellsche Gleichungen}
%\setlength{\tabcolsep}{6pt}

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	Gaußsches Gesetz: & Faradaysches ind. Gesetz\\
	\large $\div \vec D = \varrho $ & \large $\rot \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$ \\[1em]
	Quellfreiheit des magn. Feldes & Ampèrsches Gesetz\\
	\large $\div \vec B = 0$ & \large $\rot \vec H = \vec j + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$\\[0.3em]
\end{tabular*} }\\
\\

\subsection{Materialgleichungen}

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	\large $ \vec D = \epsilon \vec E$ & \large $\vec B = \mu \vec H$ & \large $ \vec j = \sigma \vec E + \cdots $\\
\end{tabular*} }\\
\\

\subsection{Energie}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	\large $\delta w_{\ir el} = \vec E \cdot \delta \vec D$& \large$\overset{\epsilon~const}{\ra}$&  \large $w_{\ir el} = \frac{1}{2} \vec E \vec D$ \\
	\large $\delta w_{\ir mag} = \vec H \cdot \delta \vec B$ &  \large$\overset{\mu~const}{\ra}$& \large $ w_{\ir mag} = \frac{1}{2} \vec H \vec B$ \\
\end{tabular*} }\\
\\

\subsection{Bilanzen}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}

	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}c@{}}
	\large $ \frac{\partial x}{\partial t} + \div \vec j_x = \Pi_x$\\
	\large $\ra$ Ladungserhaltung: $ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \div \vec j = 0$
	\end{tabular} 
}
\vspace{0.3em}\\
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	Energiebilanz (Poynting-Vektor): $\vec S = \vec E \times \vec H$
	\end{tabular} 
}\\
\\

\subsection{Potentiale}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}cccc@{}}
	\large $ \phi, \vec A $&\large $\Ra $ & \large $\vec B = \rot \vec A$ & \large $ \vec E = - \vec \nabla \phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}$
	\end{tabular*}}
\vspace{0.1em}\\
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	Eichfreiheit: & \large $\vec A' = \vec A - \vec \nabla \lambda$ & \large $\phi' = \phi +  \frac{\partial \lambda}{\partial t}$
	\end{tabular*} 
}
\vspace{0.1em}\\
\framebox[\columnwidth/2-0.3em]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{(\columnwidth/2)-4em}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	Lorenz-Eichung: & \large $ \div \vec A + \epsilon \mu \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$ 
	\end{tabular*} 
}
\framebox[\columnwidth/2]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{(\columnwidth/2)-4em}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	Coulomb-Eichung: & \large $ \div \vec A = 0$ 
	\end{tabular*} 
}\\
\\

\subsection{Materialgrenzen}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}cc@{}}
	\large $\vec D_2 \vec n - \vec D_1 \vec n = \sigma_{int}$ & \large $\vec E_1 \times \vec n - \vec E_2 \times \vec n = 0$\\
	\large $\vec B_2 \vec n - \vec B_1 \vec n = 0$ & \large $\vec H_2 \times \vec n - \vec H_1 \times \vec n = \vec i $\\
\end{tabular*} }\\
\\

\subsection{RWP der Potentialtheorie}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}cc@{}}
	\large $ \phi$: stetig an Grenzfläche $\Ra \frac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2}= \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$
	\end{tabular} 
}\\
\\

\subsection{RWP}
%\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{itemize}
	\item \large $\Omega$
	\item $\div(\epsilon \vec \nabla \phi) = - \rho$
	\item Randwerte\\
	\end{itemize}
%}

\subsection{Lösungsmethoden}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}c@{}}
	\large $\phi = \phi^{(0)} + \varphi$\\
	\large $ \Ra \varphi(\vec r) = \int_{\Omega}G(\vec r,\vec r') \rho((\vec r') \diff^3 r'$
	\end{tabular} 
}\vspace{0.3em}\\
	Bestimmen der $G(\vec r',\vec r')$:
	\begin{itemize}
	\item Spektralzerlegung
	\item Als Lösung einer Punktladung der Größe 1\\
	\end{itemize}

\subsection{Korrespodenzprinzip}
	\begin{itemize}
	\item \large $\div(\kappa \vec \nabla T) = 0$
	\item \large $\div(\sigma \vec \nabla \phi) = 0$\\
	\end{itemize}

\section{Kompaktmodelle}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}c@{}}
	Gebiet $\Omega$ $\ra$ Knoten + Zweige\\
	Vorrausetzung: Quasistationarität\\
	$\Ra$ Knotenregel + Maschenregel\\
	\end{tabular} 
}\\

\subsection{Kapazitätsmatrix ($\rho = 0$)}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	\large $Q_k = \sum\limits_{l=1}^N C_{kl}V_l$ & \large $\vec Q = \ma C \vec V$ & \large $W_{\ir el} = \frac{1}{2} \vec V^\top \ma C \vec V$ \\
	\end{tabular*} 

}\\
Eigenschaft von $\ma C$: symmetrisch, positiv \textbf{semi-}definit, nicht invertierbar, Alle Zeilen-/Spaltensummen = 0

\subsection{Induktivitätsmatrix}
\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}cc@{}}
	\large $u_k(t) = r_k i_k(t) + \sum\limits_{l=1}^N L_{kl}\frac{\mathrm d i_l}{\mathrm d t}$ (Trafo) & \large $W_{\ir mag} = \frac{1}{2} \vec I^\top \ma L \vec I$ \\
	\end{tabular*} 
}\\
Eigenschaft von $\ma L$: symmetrisch, positiv definit (Unterschiede zu Kapazitätsmatrix!)

\subsection{Wechselstrom}
\framebox[\columnwidth/2-0.3em]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{(\columnwidth/2)-4em}{@{\extracolsep\fill}l@{}}
	\large $u(t) = \hat U \sin(\omega t+ \varphi_m) = Im[\boldsymbol{\hat U} e^{j\omega t}]$\\
	\large $\Ra$ Zeiger $\boldsymbol{\hat U} \in \mathbb C$\\
	\large $\boldsymbol{\hat U} = \boldsymbol{Z} \boldsymbol{\hat I}$
	\end{tabular*} 
}
\framebox[\columnwidth/2]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{(\columnwidth/2)-4em}{@{\extracolsep\fill}l@{}}
	\large $i(t) = \hat I \sin(\omega t+ \varphi_m) = Im[\boldsymbol{\hat I} e^{j\omega t}]$\\
	\large $\Ra$ Zeiger $\boldsymbol{\hat I} \in \mathbb C$\\
	\large $\boldsymbol{\hat I} = \boldsymbol{Y} \boldsymbol{\hat U}$
	\end{tabular*} 
} 
\\

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	Widerstand: $\boldsymbol{ Z} = R$ & Kondensator: $\boldsymbol{ Z} = \frac{1}{j\omega C}$ & Spule: $\boldsymbol{Z} = j\omega L$\\
	\end{tabular*} 
}

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}
	Leistung: $\boldsymbol{P} =  \frac{1}{2} \boldsymbol{\hat U} \boldsymbol{\hat I^*}  = P_w + j P_B$ & $P_S = \abs{\boldsymbol{P}}$\\
	\end{tabular} 
}\\

\section{Harmonische EM-Wellen ($\sigma = 0$)}
$\Ra \vec E(\vec r,t) = \vec E_0 \cos(\vec k \vec r - \omega t -\varphi_0)$\\
\\ Richtung von $\vec k$: Ausbreitungsrichtung der Welle\\

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}cc@{}}		
	\large$ \vec H(\vec r,t) = \frac{1}{\mu \omega} \vec k \times \vec E$ & $ \vec E(\vec r,t) = -\frac{1}{\epsilon \omega} \vec k \times \vec H $ \\
	\end{tabular*}
}\\

\framebox[\columnwidth]{\vspace{0.3em}
	\begin{tabular*}{\columnwidth-4em}{@{\extracolsep\fill}ccc@{}}		
	\large $\vec H \perp \vec E$ & $ \vec H \perp \vec k$ & $ \vec E \perp \vec k$ \\
	\end{tabular*}
}\\


Erfüllt die Wellengleichungen, wenn gilt: $\omega = c \abs{\vec k}$\\
Wellenlänge: $\lambda = \frac{2 \pi}{\abs{\vec k}}$ mit $\epsilon \mu  c^2 = 1$\\
\\
Allgemeiner:\\
$\vec E(\vec r, t) = E_{01} \cos(\vec k \vec r - \omega t - \varphi_1) \vec e_1 +   E_{02} \cos(\vec k \vec r - \omega t - \varphi_2) \vec e_2$\\
mit $\vec e_1 \perp \vec e_2 \Ra$ Polarisation\\


% Dokumentende
% ======================================================================
\end{document}

% ToDos: