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Energietechnik.tex
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% .:: Laden der LaTeX4EI Formelsammlungsvorlage
\documentclass[fs, footer]{latex4ei}
% Dokumentbeginn
% ======================================================================
\begin{document}
% Aufteilung in Spalten
\begin{multicols}{4}
\fstitle{Energietechnik}
% ---------------------------------------
% | Energietechnik |
% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%=======================================================================
\section{Physikalische Grundlagen}
$P = F \cdot v = M \cdot \omega$ \\
$\omega := \frac{\diff \phi}{\diff t} = 2 \pi n = 2 \pi f = \frac{v}{r}$ \\
\section{Lastganglinien}
$T_n$: Nennbetriebsdauer\\
$T_a$ Ausnutzungsadauer\\
$T_{ben}$: Benutzungsdauer\\
$P_{max}$: Höchstalast\\
$W = \int_0^{T_n} P(t) \diff t = P_{mittel} T_n = P_n T_a = P_{max} T_{ben}$\\
\section{Wechsel-/Drehstromsystem}
\subsection{Wechselstromsystem}
Phasenwinkel $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ \qquad Kreisfrequenz: $\omega = 2\pi f$\\
Physikalische Zeitsignale:\\
$u(t) = \hat u \cos(\omega t + \varphi_u) = U \sqrt{2} \cos(\omega t + \varphi_u)$\\
$i(t) = \hat i \cos(\omega t + \varphi_i) = I \sqrt{2} \cos(\omega t + \varphi_i)$\\
\\
Komplexes Zeitsignal(Drehzeiger): $\vec u(t) = \hat u \exp\big(\i (\omega t + \varphi_u)\big)$,
$u(t) = \Re(\vec u(t))$\\
Scheitelwert $\hat u$, Effektivwert $U = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} u^2(\tau) \diff \tau}$,
bei Sinus $U = \frac{\hat u}{\sqrt{2}}$\\
Effektiver Zeiger: $\vec U = U \exp(\i \varphi_u)$\\
$\vec U \cdot \sqrt{2} \exp(\i \omega t) = \vec u(t)$
\subsection{Komplexe Leistung}
$P = \frac1T \int_0^{T} p(t) \diff t = \frac1T \int_0^{T} u(t) \cdot i(t) \diff t$\\
\begin{tabular}{lll}
Wirkleistung & $P = \Re(\vec S) = U I \cdot \cos(\varphi)$ & [W] \\
Blindleistung & $Q = \Im(\vec S) = U I \cdot \sin(\varphi)$ & [Var] \\
Scheinleistung & $S = U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}$ & [VA] \\
\end{tabular}
\pbox{8.0cm}{
Scheinleistung: $\vec S = \vec U \cdot \vec I^*$ \\ $\norm{\vec S} = S = \sqrt{P^2 + Q^2}$\\ Leistungsfaktor $\lambda = \frac{|P|}{S} = \cos(\varphi)$ } \qquad
\pbox{4cm}{ \includegraphics{./img/leistung.pdf} }\\
Scheinleistung schwingt mit doppelter Netzfrequenz!
$p(t) = P + S \cdot \cos(2\omega t + \varphi_u + \varphi_i)$\\
$\tilde {\vec S} = \vec U \cdot \vec I$\\
\begin{tabular}{ll}
Impedanz(Scheinwiderstand) & Admittanz(Scheinleitwert) \\
$\vec Z = R + \i X = \exp(\i \varphi_Z)$ & $\vec Y = G + \i B = \exp(\i \varphi_Y)$ \\
$\underset{\text{Impedanz}}{Z(j\omega)} = \underset{\text{Resistanz}}{R(j\omega)} + \underset{\text{Reaktanz}}{jX(j\omega)}$ & $\underset{\text{Admittanz}}{Y(j\omega)} = \underset{\text{Konduktanz}}{G(j\omega)} + \underset{\text{Suszeptanz}}{jB(j\omega)}$ \\
$\vec U = \vec Z \cdot I $ & $\vec I = \vec Y \cdot \vec U$ \\
\end{tabular}
\subsection{Drehstromsystem}
Drehoperator: $\vec a = \exp\bigl(\i \frac{2}{3} \pi \bigr)$ \qquad $\vec a^0 = \vec a^3 = 1$ \quad $\vec a^* = \vec a^2$\\
% Zeigerdiagramm mit Drehoperatoren
Effektive Leiter-Erdspannungen: $\vec U_1,\vec U_2,\vec U_3$\\
Effektive Außenleiterspannungen: $\vec U_{12},\vec U_{23},\vec U_{31}$\\
symmetrischer Betrieb:\\
$U = |U_1| = |U_2| = |U_3|$\\
Netznennspannung: $U_n = |U_{12}| = |U_{23}| = |U_{32}| = \sqrt{3} U$\\
Gesamte Leistung: $\vec S = \sqrt{3} \cdot \vec U_n \cdot \vec I^\star$\\
bei symmetrischem Betrieb: $\vec S = 3 \cdot \vec U \cdot \vec I$\\
bei unsymmetrischem Betrieb:
\[\vec S = \vec U_1 \cdot \vec I_1^\star + \vec U_2 \cdot \vec I_2^\star + \vec U_3 \cdot \vec I_3^\star\]
Komplexe Wechselleistung:
\[\tilde{\vec S} = \vec U_1 \cdot \vec I_1 + \vec U_2 \cdot \vec I_2 + \vec U_3 \cdot \vec I_3\]
Tatsächlicher Leistungsfluss:
\[p(t) = \operatorname{Re} \left\{ \vec S \right\} + \operatorname{Re} \left\{\tilde{\vec S} e^{j 2 \omega t} \right\}\]
\section{Elektrische Maschinen}
können als Motoren oder Generatoren benutzt werden. ($\eta > 90\%$)\\
Besteht aus Stator(Ständer),Rotor(Läufer), Anker und Welle.\\
$n:$ Drehzahl; $M:$ magn. Moment\\
\subsection{Der Transformator}
\includegraphics[scale=.2]{./img/ersatzschaltbild_transformator.pdf} \\
\begin{tabular}{cl}
ü & Übersetzung \\
$"u_r$ & Bemessungsübersetzung \\
$U_{r1T}$, $U_{r2T}$ & Bemessungsspannungen \\
$S_{rT}$ & Bemessungsleistung \\
$U_{K}$ & Kurzschlussspannung \\
$u_k$ & bezogene Kurzschlussspannung \\
$u_r$ & bezogener Wirkspannungsabfall \\
$P_{Cu}$ & Kupferverluste \\
$P_{Fe}$ & Eisenverluste \\
$Z_k$ & Kurzschlussimpedanz
\end{tabular}
Zur Berechnung wird oft $"u_r$ anstelle von $"u$ eingesetzt, da ersteres meist unbekannt ist. Die Bemessungsübersetzung findet sich aber auf dem Typenschild. \\
$\vec U^b = "u \vec U$ \\
$\vec I^b = \frac{1}{"u} \vec I$ \\
$\vec Z^b = "u^2 \vec Z$ \\
$"u = \frac{W_1}{W_2}$ \\
$"u_r = \frac{U_{r1T}}{U_{r2T}}$ \\
$u_k = \frac{U_{K}}{U_{r1T}}$ \\
$Z_k = \frac{U_{kT}}{\sqrt{3}\cdot I_r} = u_k \frac{U_{r1T}^2}{S_{rT}}$ \\
$u_r = \frac{U_{rT}}{U_{r1T}}$ \\
$R_k = P_{Cu} \left( \frac{U_{r1T}}{S_{rT}} \right)^2$ \\
$R_k = u_r \frac{U_{r1T}^2}{S_{rT}}$ \\
$Z_k = \sqrt{R_k^2 + X_k^2}$ \\
$R_{Fe} = \frac{U_{r1T}^2}{P_{Fe}}$ \\
$I_{W0} = \frac{P_{Fe}}{\sqrt{3} U_{r1T}}$ \\
$I_h = \sqrt{I_{10}^2 - I_{W0}^2}$ \\
$X_h = \frac{U_{r1T}}{\sqrt{3} I_h}$
\includegraphics{./img/LeitungTrafo.pdf}
\subsection{Gleichstrommaschine}
\begin{tabular}{cl}
$p$ & Polpaarzahl \\
$z$ & Anzahl der Schaltstufen \\
$\lambda$ & Schaltverhältnis \\
$U$ & Ankerklemmenspannung \\
$U_i$ & Im Anker induzierte Spannung \\
$K_1$, $K_2$ & Maschinenkonstanten \\
$\Phi$ & magnetischer Fluss durch den Anker \\
$I_A$ & Ankerstrom \\
$R_A$ & Widerstand der Ankerwicklungen \\
$I_E$ & Erregerstrom
\end{tabular}
\subsubsection{Grundgleichungen}
$U_A = U_i + (R_A + R_v) I_A = U_i + RI$\\
$U_i = K_1 \Phi n$\\
$M = K_2 \Phi I_A$\\
$\Phi = f(I_E)$\\
falls verlustfrei: $K_1 = 2 \pi K_2$ \\
falls im linearen Bereich: $\Phi = K_3 I_E$ \\
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{./img/ersatzschaltbild_gleichstrommaschine.pdf}
\end{center}
\subsubsection{Anlaufen mit Vorwiderständen}
$R_{A_,z-1} = R_A + R_{V1}$, $R_{A_,z-1} = R_A + R_{V1} + R_{V2}$, ..., $R_{A,0} = R_A + R_{V1} + \hdots + R_{Vz}$ \\
$\lambda = \frac{M_{max}}{M_{min}} = \frac{R_{A,Z-1}}{R_{A,Z}}$ \\
$ z = \log_\lambda \frac{R_{A0}}{R_A}$
% Bild der Vorwiderstände
\subsubsection{Fremderregt}
$n = \frac{U}{ K_1 \cdot \Phi} - \frac{R}{K_1 \cdot K_2 \cdot \phi^2}M$\\
mit Abkürzungen: \\
$n_0 = \frac{U}{K_1 \Phi}$ \\
$M_A = \frac{U K_2 \Phi}{R}$ \\
$n = n_0 - n_0 \frac{M}{M_A}$
% Ersatzschaltbild
\subsubsection{Reihenschluss}
$M = \frac{K_2}{K_3} \Phi^2$ \\
$n = \frac{U}{\sqrt{2 \pi K_1 K_3}} \frac{1}{\sqrt{M}} - \frac{R}{K_1 K_3}$
% Ersatzschaltbild
\subsection{Synchronmaschine}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{./img/ersatzschaltbild_synchronmaschine.pdf}
\end{center}
Synchrone Reaktanz $X_d = \omega \cdot (L_h + L_\sigma)$\\
$X_d \cdot I_w = U_p \sin(\vartheta_M)$\\
$X_d = x_d \frac{U_r^2}{S_r}$ \\
\begin{tabular}{ll}
Übereregung & Untereregung \\ \mrule
SMA wirkt wie Kapazität & SMA wirkt wie Induktivität \\
gibt induktive Blindleistung ab & nimmt induktive Blindleistung auf \\
\end{tabular}
Kippmoment $M_k$; Betrieb bei ca. $\frac{2}{3} M_k \Rightarrow \vartheta_M < 42^\circ$\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{./img/synchronmaschine_betriebsbereiche.jpg}
\end{center}
\subsection{Asynchronmaschine}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{./img/ersatzschaltbild_asynchronmaschine.pdf}
\end{center}
$s = \frac{n_0 - n}{n_0}$ \\
$M = \frac{3}{2 \pi n_0} \frac{I^2 R_l}{s}$ \\
$n_0 = \frac{f}{p}$ \\
$M = \frac{2 M_k}{\frac{s}{s_k} + \frac{s_k}{s}}$
Anlauf nur möglich falls $M_A < M_{an}$\\
$U$ kann nicht beliebig erhöht werden $\Ra$ Fluss wird kleiner $\Ra$ Moment wird kleiner.\\
$\eta = 1 - s$ \\
$s_k = \frac{R_L}{X_\sigma}$ \\
$M_k = \frac{3}{2 \pi n_0} \frac{U^2}{2 X_\sigma}$
\section{Elektrische Energieübertragung}
\subsection{Leitungsmatrizen}
% einphasiges ESB für den symmetrischen Betrieb
\[\begin{pmatrix} \vec U_1 \\ \vec U_2 \\ \vec U_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec Z_d & \vec Z_k & \vec Z_k \\ \vec Z_k & \vec Z_d & \vec Z_k \\ \vec Z_k & \vec Z_k & \vec Z_d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec I_1 \\ \vec I_2 \\ \vec I_3 \end{pmatrix}\]
Im symmetrischen Betrieb kann im einphasigen ESB $Z_b$ als Leitungsimpedanz eingesetzt werden: $\vec Z_b = \vec Z_d - \vec Z_k$
\subsection{Leitungsbetrachtungen}
Leitungswinkel: $\vartheta = \varphi_{u1} - \varphi_{u2}$
\subsection{Vereinfachte Leitungsbetrachtung}
% einphasiges ESB
Vernachlässigung von Queradmittanzen $\Ra$ $I_{in} = I_{out}$\\
Längsspannungsabfall: $\Delta U = \begin{cases} R \cdot I_w + \omega L_b I_b & \text{ohmsch induktive Last} \\ R \cdot I_w - \omega L_b I_b & \text{ohmsch kapazitive Last} \end{cases} $\\
Querspannungsabfall: $\delta U = \begin{cases} \omega L_b I_w - R I_b & \text{ohmsch induktive Last} \\ \omega L_b I_w + R I_b & \text{ohmsch kapazitive Last} \end{cases}$\\
$P_V = P_1 - P_2 = 3 I^2 R$ \\
$Q_V = Q_1 - Q_2 = 3 I^2 \omega L_b$ \\
$\vec U_1 = \vec U_2 + \Delta U + j \delta U$ \\
falls $R << \omega L_b$ \quad $\Ra \vec U_{12} = j \omega L_b (I_w + j I_b)$
\subsection{Verlustfreie Hochspannungsfernleitung}
% einphasiges ESB
$Z_W = \sqrt{\frac{\omega L'_b}{\omega C'_b}}$ \\
$\beta = \sqrt{\omega L'_b \omega C'_b}$ \\
$\vec U_1 = \vec U_2 \cos (\beta l) + j Z_W \sin (\beta l) \vec I_2$ \\
$\vec I_1 = j \frac{\vec U_2}{Z_W} \sin (\beta l) + \vec I_2 \cos (\beta l)$ \\
$P_{nat} = \frac{U_n^2}{Z_W}$ \\
\begin{tabular}{lcc}
& elektrisch kurz \\
Freileitung & $\le 200$ km \\
Kabel & $\le 100$ km
\end{tabular}
\begin{tabular}{lll}
& $\vec Z_l$ & $\frac{\vec Y_q}{2}$ \\[0.5em] \mrule
el. lange Leitung & $\i Z_w \sin(\beta l)$ & $\frac{\cos(\beta l) -1}{\i Z_w \sin(\beta l)}$ \\[0.5em]
el. kurze Leitung & $\i \omega L'_b I$ & $\frac{\i \omega C'_b l}{2}$ \\[0.5em]
\end{tabular}
Bei Übertragung der natürlichen Leistung: \\
$\vec U_1 = \vec U_2 e^{j \beta l}$ \\
$\vec I_1 = \vec I_2 e^{j \beta l}$ \\
\section{Hochspannungstechnik}
\subsection{Gasdurchschlag}
$p = \frac{r + d}{r}$ \\
$r$: Radius des stärker gekrümmten Betriebsmittels \\
$\eta = \frac{E_{mittel}}{E_{max}} = \frac{U/s}{E_{max}}$ \\
$U_i = E_{dh} \cdot s \cdot \eta$ \\
$U_s = E_s \cdot s$ \\
$U_d = \max\{U_i, U_s\}$ \\
$E_{dh,Luft} = 25 \hdots 50 \frac{kV}{cm}$ \\
\begin{tabular}{l|c}
& $E_s / \frac{kV}{cm}$ \\ \hline
positive Gleichspannung & $4,5$ \\ \hline
negative Gleichspannung & $5 \hdots 10$ \\ \hline
Wechselspannung & $4,5$
\end{tabular}
\subsection{Lichtbogen}
\includegraphics{./img/Lichtbogen.pdf}\\
Ayrton-Gleichung: $U_B = U_0 - R \cdot I_B = a + bl + \frac{c+dl}{I_B}$\\
Determinante = 0 \quad $\Longrightarrow$ \quad $R \ra \text{max};\ U_{B} \ra \text{min}$\\
\\
Löschblechabstand von wenigen mm: $U_B = 20$V:\\
$n \cdot U_B > U_0$
% Ende der Spalten
\end{multicols}
% Dokumentende
% ======================================================================
\end{document}