-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathcircles.tex
114 lines (77 loc) · 3.58 KB
/
circles.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
% Author: Till Tantau
% Source: The PGF/TikZ manual
\documentclass{minimal}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tikz}
%\usetikzlibrary{trees,snakes}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{systeme}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\textbf{Пересечение двух окружностей}
\begin{tikzpicture}[scale=3,cap=round]
% Local definitions
\def\costhirty{0.8660256}
% Colors
\colorlet{anglecolor}{green!50!black}
\colorlet{color1}{red}
\colorlet{color2}{blue}
\colorlet{sincolor}{red}
\colorlet{tancolor}{orange!80!black}
\colorlet{coscolor}{blue}
% Styles
\tikzstyle{axes}=[]
\tikzstyle{important line}=[very thick]
\tikzstyle{information text}=[rounded corners,fill=red!10,inner sep=1ex]
% The graphic
\draw[style=help lines,step=0.5cm] (-1.4,-1.4) grid (1.4,1.4);
\draw[style=important line,color1] (0,0) circle (1.2cm);
\draw[style=important line,color2] (0.8, 0.4) circle (0.7cm);
\begin{scope}[style=axes]
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {$y$};
\foreach \x/\xtext in {-1, -.5/-\frac{1}{2}, 1}
\draw[xshift=\x cm] (0pt,1pt) -- (0pt,-1pt) node[below,fill=white]
{$\xtext$};
\foreach \y/\ytext in {-1, -.5/-\frac{1}{2}, .5/\frac{1}{2}, 1}
\draw[yshift=\y cm] (1pt,0pt) -- (-1pt,0pt) node[left,fill=white]
{$\ytext$};
\end{scope}
\draw (0.8,0) -- (intersection of 0,0--30:1cm and 0.8,0--0.8,1) coordinate (t);
\draw (0,0) -- node [above left]
{
$\displaystyle \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$
} (t);
\draw[xshift=1.85cm] node [right,text width=6cm,style=information text]
{
\textbf{Геометрия}
1. Геометрические объекты (понимаем, что они там есть: точки, прямые, отрезки, окружности)
2. Рисунок (упрощаем: перемещаем в начало координат, выкидываем лишнее)
3. Уравнения + неравенства (вид уравнения - вид объекта, параметы - конкретный объект)
4. Решаем уравнения + проверяем неравенства (+ точность вычислений)
5. Частные случаи => Интерпретации.
};
\end{tikzpicture}
\systeme{
x^2 + y^2 = {R_1^2},
(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = {R_2^2}
}
Раскрываем скобки во втором уравнении:
$$x^2 - 2x{x_2} + x_2^2 + y^2 - 2y{y_2} + y_2^2 = {R_2^2}$$
Вычитаем из второго уравнение первое и получаем уравнение прямой $ax + bx + c = 0$:
$$\cancel{x^2} - 2x{x_2} + x_2^2 + \cancel{y^2} - 2y{y_2} + y_2^2 - \cancel{x^2} - \cancel{y^2} = {R_2^2} - {R_1^2}$$
$$\underbrace{-2{x_2}}_{= a}x + \underbrace{- 2{y_2}}_{= b}y + \underbrace{x_2^2 + y_2^2 + {R_1^2} - {R_2^2}}_{= c} = 0$$
Из $ax + by + c = 0$ выражаем $y = \frac{-c-ax}{b}$:
$x^2 + (\frac{-c-ax}{b})^2 y^2 = R_1^2$
Раскрываем скобки и домножаем на $b^2$
$$\underline{\underline{{b^2}{x^2}}} + c^2 + \underline{2cax} + \underline{\underline{{a^2}{x^2}}} = {R_1^2}{b^2}$$
Квадратное уравнение относительно $x$:
$$\underbrace{(a^2+b^2)}_{A}x^2 + \underbrace{2ca}_{B}x + \underbrace{(c^2 - {R_1^2}{b^2})}_{C} = 0$$
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: $D = B^2 - 4AC$
$$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$$
\end{document}