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Serie di potenze

Una serie di potenze reale é una serie di funzioni nella forma

$$an(x-x_0)^n $$

Ogni serie di potenze, ha raggio di convergenza (nullo, infinito o (x-x0) < R )

dimostrazione convergenza:

Abbiamo due modi per calcolare il raggio di convergenza. L'inverso del metodo del rapporto e l'inverso del metodo della radice. Il limite dá direttamente R.

La serie converge sempre per ogni intervallo dentro il raggio di convergenza MA non sappiamo nulla nei loro estremi. Infatti nel caso volessi esprimere l'intervallo di convergenza, per capire se é aperto o chiuso, dovrei valutare singolarmente gli estremi. Se gli estremi sono una serie convergente, allora posso dire che l'intervallo é chiuso.

Una serie di potenze é estremamente regolare, derivabile e integrabile.

Derivata e primitiva (tra x0 e x) corrispondono alla rispettiva derivata e primitiva (tra x0 e x) della somma.

POLINOMIO DI TAYLOR : successione delle derivate per potenza.

Ottenibile con la serie troncata e un resto, ad esempio Peano (o piccolo della potenza a cui si é arrivati).

SERIE DI TAYLOR : serie di potenze reale vera e propria.

La serie di taylor puó avere raggio di convergenza nullo o infinito o finito.

IN GENERALE LA SERIE DI TAYLOR NON CONVERGE A f(x) per ogni x appartente al raggio di convergenza.

serie esponenziale é la serie di taylor di e^x

$$e^x → \frac{x^n}{n!}$$

serie logaritmica é la serie di taylor di -ln(1-x)

$$ln(1-x) → \frac{x^n}{n}$$

Esistono anche serie di potenze in campo complesso, possiamo sempre studiare il raggio di convergenza con i soliti metodi.

Esistono dei polinomi trigonometrici .. cioé polinomi composti dalle sommatorie di seni e coseni.

Utilizzando il polinomio di taylor possiamo dismostrare che nella serie esponenziale ci sono i polinomi di taylor del seno e del coseno e dimostrare cosí la FORMULA DI EULERO.

$$e^{ix} = cos(x) + i sin(x) $$

Serie di Fourier, é una serie utilizzata per approssimare funzioni periodiche. Le funzioni non per forza devono essere regolari ... possono addirittura essere discontinue!

La serie di Fourier ci restituisce un polinomio trigonometrico.

Note particolari per integrali di sin e cos moltiplicati tra loro tra -pi e + pi :

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(nx)sin(kx) = 0 $$

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(nx)cos(nx) = \pi$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)sin(nx) = \pi $$

Come si calcono i coefficienti di una serie di Fourier? (formule)

Dimostrazione supponendo di poter scambiare integrale con la serie (non sempre si puó fare).

Ricorda che puoi semplificare i conti ..

se é dispari solo seni

se é pari solo coseni

Convergenza puntuale della serie di Fourier (basta che la funzione sia regolare a tratti, e che sia continua e derivabile, con definiti i limiti sx e dx sia della f che della derivata). NB: definiti i limiti sx e dx ... non per forza uguali.

Se i limiti sx e dx della f non sono uguali (cioè non è continua), allora la serie di Fourier convergerà alla media aritmetica tra i due limiti.

Ad ogni modo risulta corretto dire che nel caso di una funzione periodica con periodo 2pigreco la sua serie di fourier converge puntualmente. Se la f è continua in tutto il periodo, allora la serie convergerà puntualmente a f in ogni punto.

Teorema regolaritá somma di Fourier: Se la serie con termine la somma dei valori assoluti di Ak e Bk é convergente .. allora anche la serie di Fourier converge.

Inoltre se la serie con termine generale la somma dei valori assoluti moltiplicata per n é convergente ... allora é anche derivabile ed é possibile derivare termine a termine.

Quest'ultimo punto può essere iterato, infatti se converge la serie con termine generale la somma di n^2 per la somma dei valori assoluti

Teorema convergenza in norma quadratica: (la distanza tra f(x) e F di fourier elevata al quadrato e integrata tra -pigreco e pigreco) = 0

Disuguaglianza di Bessel = Uguaglianza di Parseval :

$$\frac{1}{\pi} \int _{-\pi} ^\pi f(x) ^2 \geq 2a_o^2 + \sum _{n=1} ^\infty (a_k^2 + b_k^2)$$

Volendo puoi portare una serie di Fourier in forma esponenziale. Usando le equivalenze che derivano dalla formula di eulero.