06.CURVE IN Rn.md

CURVE IN $R^n$

Parametrizzazione di una curva .. é la scrittura di una curva con un solo parametro per semplificare calcoli. Gli esampi canonici sono la sostituzione con sen e cos nelle circonferenze e elissi ... in generale vale che: x = t , y = f(t) ;

Curva regolare se ammette una parametrizzazione la cui derivata é continua e che non si annulla mai (completamente, nell'intervallo aperto).

Curva semplice se non assume mai due volte lo stesso valore.

Il sostegno di una curva é l'immagine della curva stessa.

Versore tangente a una curva dato dalla derivata della parametrizzazione fratto la sua norma.(normalizzato).

La lunghezza di una curva é l'integrale della norma della derivata della curva.

Integrale di una funzione lungo una curva:

Parametrizzi con la curva la funzione, la moltiplichi per la norma della derivata (lunghezza).

Curva regolare a tratti ... curva regolare ad eccezione di un numero finito di valori.

La lunghezza di una curva regolare a tratti non é un problema e si puó fare.. separi gli integrali per gli intervallini in cui é continua... l'integrale uccide la discontinuitá .

Riparametrizzazione della curva: Riparametrizzando la curva si conserva la lunghezza della curva. La lunghezza di una curva é l'integrale della norma di una derivata ... utilizzando la nozione di riparametrizzazione possiamo fare la composizione di derivata per dimostrarlo (dimostrazione 10).

Limite di funzione a due variabili. Definizione che rimane invariata. Ma ci si puó avvicinare lungo la curva da piú direzioni ... quindi si aprono scenari nuovi (infiniti modi per avvicinarsi a un punto).

Le coordinate polari (cioé x = r cos (x) e y = r sin (x))si puó fare la verifica delle rette. Cioé si ottiene una funzione che dipende da r e dall'angolo. Facendo il limite di r → 0 si puó risolvere il limite.

Se il limite L é finito si puó quindi verificare la formula del limite $|g(r,\alpha) - L| \le h(r)$ con h(r) una funzione che converge a 0 (perchè si facciamo sempre il limite in coordinate polari che converge a zero, altrimenti le dobbiamo fare traslate).

Se invece si vuole dimostrare la falsitá di un limite.. basta trovare due curve che vanno a due limiti diversi, facendo quindi due limiti di due funzioni in una sola variabile.

Con l'introduzione dei limiti possiamo parlare anche di continuitá delle funzioni a due variabili ... nozione che rimane la stessa all'analoga in R ... cioé che il limite tenda proprio a f(x) per ogni punto appartenente a f(x).