11.Iperpiano tangente.md

Iperpiano tangente

Iperpiano tangente è quel piano su cui giace la retta tangente alla funzione. L'iperpiano è uguale alla prima parte della funzione di approssimazione. L'iperpiano in dimensione 1 è la retta tangente, in dimensione 2 è un piano tangente.

Condizione necessaria di differenziabilità.

Equazione iperpiano:

$$I(x,y) = f(x_o,y_o) + <\nabla f(x,y),(x - x_o , y - y_o)>$$

Teo (dimostrazione con Schwartz)... che ci dice che se è differenziabile, allora f è continua.

quindi:

differenziabile → continua

differenziabile → derivabile

derivabile → continua per quella variabile (continua in generale se per tutte le variabili)

derivabile → non per forza differenziabile

29/10/20

Derivazione di funzioni composte ... la posso fare se le funzioni sono rispettivamente f differenziabile e r(t) parametrizzazione di curva regolare. Inoltre:

$$F'(t) = < \nabla(r(t)) , r'(t) > $$

Derivata direzionale come derivata della funzione composta (? dim)

Ortogonalità tra gradiente e insieme di livello k, con r(t) sostegno di una curva regolare (che rappresenta il nostro insieme di livello).

$$< \nabla(r(t)) , r'(t) > \ = 0$$

Calcolo differenziali per funzioni di più variabili a valori vettoriali. (?)

Matrice Jacobiana come matrice le cui componenti sono derivate parziali di una funzione a più variabili.

Il Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana (nel caso fosse quadrata) e rappresenta la migliore approssimazione di una funzione a più variabili in un punto.

Introdotte le derivate parziali seconde.

E quindi anche della matrice Hassiana , matrici i cui elementi sono le derivate parziali seconde di una funzione a più variabili.

Se si calcola la Hessiana in punto ... si ha una matrice di numeri se si calcola con x e y variabili si ha una matrice di funzioni.

Per il teorema di Schwartz , la Hassiana è simmetrica. Dunque ci sono componenti che (nonostante vengono da ordini di esecuzione di derivate diversi) sono uguali.

FORMULA DI TAYLOR II ORDINE con peano

$$P_{taylor}(x_o + h, y_o + k) = f(x_0 + h, y_0 + k) \space + <\nabla(x_0,y_0), (h,k) > + \frac{1}{2} (h,k) * H(x_o,y_o) * ({h},{k}) + o(h^2 + k^2)$$

con H(x0,y0) hessiana e(h k) * H(x0,y0) * (h,k) forma quadratica.

Le forme quadratiche possono essere:

definite positive autovalori positivi , determinante positivo

definite negative autovalori negativi , determinante positivio

semidefinite positive autovalore = 0, gli altri positivi , determinante nullo

semidefinite negative autovalore = 0 , gli altri negativi , determinante nullo

indefinite a cazzoo , determinante negativo