Dato un vincolo Z, un punto si dice massimo/minimo vincolato solo se esso è maggiore/minore rispetto a TUTTI i punti appartenenti al vincolo della funzione.
Per trovare un massimo vincolato ho due metodologie:
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SOSTITUZIONE= è particolarmente semplice e facile sostituire una delle due variabili con il vincolo: quindi trovo una funzione ad una sola variabile. Pongo la derivata = 0 e trovo quindi i punti critici.
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MOLTIPLICATORI LAGRANGIANI= faccio un sistema a 3 incognite con il vincolo e il gradiente della funzione uguale al gradiente del vincolo moltiplicato per un parametro. Se il parametro è uguale a 0 per un punto, sappiamo che quel punto è un punto stazionario.
NB: il metodo dei moltiplicatori funziona solo dove il gradiente del vincolo ≠ 0.
NB: se sto studiando una ragione delimitata da un vincolo (e quindi devo cercare i punti non solo sul vincolo ma nel vincolo), devo:
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ottimizzazione libera e cercare i punti critici globali, a quel punto se li trovo, controllo che siano dentro la regione delimitata dal vincolo.
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li vado a cercare proprio sul vincolo.