15.Calcolo integrale per funzioni a due variabili..md

Calcolo integrale per funzioni a due variabili.

L'integrale di una funzione a 2 variabili lungo una curva r(t) → geometricamente (f che vive in R3) è come se prendessi l'area sottesa alla funzione .. compresa tra l'asse x e la funzione r(t).

$$\int_a^b ! f(r(t))||r(t)|| \mathrm {d}t $$

dove a b sono due punti della r(t).

Le regioni semplici sono porzioni di piano comprese tra due funzioni.

Possiamo calcolare l'area di regioni semplici sia rispetto a y sia rispetto a x con integrali doppi.

$$\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} ! f(x,y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$

il primo integrale che faccio è sempre rispetto al range della rispettiva variabile → devo calcolare la "fettina" tra g1(x) e g2(x) ? bene allora faccio in dy con estremi le due funzioni limitanti

Per gli integrale di funzioni ''verticali'' stessa roba invertita. Prima faccio dx con estremi le due funzioni. Poi ottengo le "fettine" orizzontali in funzione di y. Poi le integro lungo la "pila" verticale

Cambiamento di coordinate nel piano, in particolare le coordinate polari ci permettono di semplificare i conti per quanto riguarda integrali a due dimensioni.

coordinate polari:

$$ z = cos(\theta) \x = sin(\theta)cos(\phi) \y=sin(\theta)sin(\phi)$$

$$J(coordinate \space polari) = r^2 sin(\theta)$$

ricordati che nel jacobiano c'è l'angolo usato per l'asse z !!!

Introduciamo quindi gli integrali doppi per regioni semplici (riconosci se la regione semplice rispetto a x o rispetto a y). Integrali doppi rispetto a regioni sferiche possono essere risolti facendo la sostituzione con le coordinate polari e aggiungendo il jacobiano.

Integrali possono anche essere divisi in subintegrali suddividendo il dominio.

Ci sono anche gli integrali tripli, integrali di funzioni che vivono in R3 e vanno in R4.

Gli integrali tripli li posso risolvere:

• integro per fili, facendo prima un integrale a una dimensione e poi uno doppio.
• integro per strati, facendo prima un integrale doppio e poi uno a una dimensione.

Infine posso fare un integrale triplo usando le coordinate sferiche (1 raggio e 2 angoli).

In quel caso avremo un jacobiano particolare e delle sostituzioni specifiche da ricordare.

MASSA: avendo una funzione dens continua densità, di un solido (definito da una regione REG).

$$M_{(regione)} = \int \int \int _ {regione} dens(x,y,z) dxdydz$$

CENTRO DI MASSA: (baricentro) integrando la singola variabile per la funzione densità (in 3 dimensioni) e normalizzare il tutto per la massa totale.

$$x = \frac {\int \int \int _ {regione} x*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$$

$$y = \frac {\int \int \int _ {regione} y*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$$

$$z = \frac {\int \int \int _ {regione} z*dens(x,y,z) dxdydz} {M(regione)}$$

MOMENTO D'INERZIA: come l'integrale della distanza al quadrato rispetto ad un asse, moltiplicata per la funzione densità.

$$Inertia_{(regione)} = \int \int \int _ {regione} (distanzasse)^2 dens(x,y,z)dxdydz$$

dove distanzasse al quadrato può essere ad esempio: x^2 + y^2 (rispetto all'asse z)

Richiamo ulteriore delle funzioni differenziali