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Variabili aleatorie discrete

Da adesso in poi non parliamo più di eventi ma di variabili aleatorie, cioè passiamo dalla descrizione di eventi (ad esempio, il lancio di un dado e l'evento "ottenere un 4") alla descrizione di quantità numeriche (ad esempio, la variabile aleatoria associata al lancio del dado e il valore numerico 4 che essa può assumere).

Questo passaggio è utile in quanto permette di formalizzare il concetto di probabilità: concetto semplice ma di difficile e sottile comprensione, fondamentale per il resto del corso.

Una variabile aleatoria è una funzione da $\Omega$ a $\mathbb{R}$, dove $\Omega$ è lo spazio degli eventi.

Con l'introduzione di variabili aleatorie possiamo quindi parlare di Funzioni:

• funzione di ripartizione discreta $F_x(X) =P(X<x)$
  • monotona
  • $\lim_{x\to-\infty} F(X) = 0$
  • $\lim_{x\to+\infty} F(X) = 1$
  • continuità da destra $\lim_{y\to x+} F(Y) = F(X)$
• funzione di densità discreta $f(X) = P(X=x)$
  • detta anche di massa, talvolta indicata con p(x)
  • $p(x) = F(X) - F(X^-)$

Media, Valore Atteso o Speranza Matematica

$$E(X) = \sum_{i=1} x_if(x)$$

Si commenta da solo, profanamente la si può vedere come 'media pesata delle probabilità' e corrisponde ad appunto il valore che ci si aspetta. Con un po' di fantasia può essere visto come il 'baricentro' di un.. stronzate varie.. La cosa più importante che ti devi portare a casa del valore atteso è la sua linearità , è la svolta.

Legge di Bernoulli

$X$ ha legge bernoulliana di parametro $p$ , se è una var. aleatoria con densità discreta definita da:

$$f(x) = \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x} \space se \space x=0,1 \ 0 \space \space \space \space \space \space altrimenti\end{cases}$$

Legge di Poisson

La legge di Poisson è molto importante in statistica e in particolare in analisi dei dati quando ci si occupa di eventi rari, cioè eventi che hanno una bassa probabilità di accadere es: le telefonate in arrivo ad un call center, gli errori in un processo di produzione, gli incidenti stradali in una determinata zona, etc.

X var. aleatoria si dice che rispetta la legge di Poisson se ha distribuzione che rispetta la relazione:

$$P(X) = \frac{\lambda ^x}{n!}e^{-\lambda}$$

Sta roba risulta rilevante poichè essa può approssimare asintoticamente la distribuzione binomiale. Prende infatti il nome di 'distribuzione degli eventi rari' poichè tale approssimazione è giustificata nei casi in cui i parametri n e p siano rispettivamente molto grande e molto piccolo.

Distribuzione binomiale

Dato un processo di Bernoulli, esso può essere definito binomiale. La sua distribuzione viene definita da:

$$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Da interpretare come la probabilità di k successi con n tentativi.

NB: Processo di Bernoulli ci dice proprio che noi stiamo valutando una variabile che è o ''positiva'' o ''negativa'' o ''1'' o ''0'' ... ''successo'' ''fallimento'' . Quindi il successo ha un certa probabilità p, il fallimento 1-p.

Approssimazione binomiale con Normale

Per $np \ge 5$ e $np(1-p) \ge 5$ la binomiale si puó approssimare a una normale. $$ Z = \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

Approssimazione binomiale con Poisson

Se $n$ è grande e $p$ è piccolo, la distribuzione binomiale può essere invece approssimata con quella di Poisson con parametro $\lambda = np$ .

Indicatrice evento

L'indicatrice è quindi una variabile aleatoria discreta che assume valori 0 o 1 a seconda che l'evento si verifichi o meno.

$$I(A) = \begin{cases} 0 \space \space \text{ quando } \omega \not\in A \ 1 \space \text{ quando } \omega \in A \end{cases}$$

Distribuzione Geometrica

domanda: "qual è la probabilità di avere il PRIMO successo in una serie di $n$ tentativi al $k$-esimo tentativo?"

risposta:

$$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$$

Distribuzione Ipergeometrica

domanda:"qual è la probabilità di trovare k volte con n tentativi (senza reinserimento) solo r elementi in un insieme fatto di r+b elementi?"

risposta:

$$P(X=k)=\frac{\binom{r}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{r+b}{n}}$$

Ese: Io voglio estrarre k=3 palline di tipo r=rosse. ci sono 7 di tipo b=bianco e ho un totale di n tentivi.. r+b sono le palline iniziali ma ricorda che a ogni tentativo non reinserisco la pallina presa.