03. Medie e varianze notevoli.md

Medie e varianze notevoli

Variabile Aleatoria Uniforme su $\alpha$ e $\beta$

$$\mathbb{E}[x] =\frac{ \alpha + \beta}{2}$$ $$Var[x] =\frac{ (\beta - \alpha)^2}{12}$$

Variabile Aleatoria Gaussiana

$$\mathbb{E}[x] = \mu$$ $$Var[x] = \sigma ^ 2$$

Variabile Aleatoria Esponenziale

$$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}$$ $$var[x]=\frac{1}{\lambda ^2}$$

Variabile Aleatoria Binomiale

$$\mathbb{E}[X]=np$$ $$var[x]=np(1-p)$$

Variabile Aleatoria Poissoniana

$$\mathbb{E}[X]=\lambda$$ $$var[x]=\lambda$$

Variabile Aleatoria Geometrica

$$\frac{1}{p}$$ $$\frac{(1-p)}{p^2}$$

In alcune situazioni può succedere di avere a disposizione il valore atteso e/o la varianza di una var. ale. , ma di non averne la funzione di probabilità. Le disuguaglianze di Markov e Chebychev fanno comodo in queste situazioni, perchè ci permettono di 'stimare' / ' maggiorare' p(x) .

Disuguaglianza di Markov

$$P(X>c)\le \frac{\mathbb{E}[x]}{c}$$

Disuguaglianza di Chebychev

$$P(|X-\mathbb{E}[X]|>r)\le \frac{var[x]}{r^2}$$