05. Distribuzioni in Statistica.md

Distribuzioni in Statistica

Principali distribuzioni utilizzate in statistica:

Gamma

$$\Gamma(\alpha,\lambda) := \frac{\lambda ^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x} \mathbb{I}_{(0,+\infty)}(x)$$ dove $\Gamma$ è la Gamma di Eulero. La distribuzione Gamma è utilizzata per modellare il tempo di attesa di un certo numero di eventi rari.

Chi quadrato

$$X^2(n) := Z_1^2 + ... + Z_n^2$$ con $Z_i \sim N(0,1)$ Inoltre $X^2(n)$ può essere scritto come $\Gamma(n/2,1/2)$ . Chi quadrato viene utilizzata per il test di ipotesi sulle varianze.

T di student

La distribuzione T di Student viene utilizzata per il test di ipotesi sulla media di una popolazione quando la deviazione standard della popolazione non è nota.

Con $Z\sim N(0,1)$ e $X^2_n=X^2(n)$ è: $$T_n := \frac{Z}{\sqrt{\frac{X^2_n}{n}}}$$ $$\frac{\bar X - u}{\frac{S_n}{\sqrt n}}\sim t(n-1)$$ Belle storielle fantasy del perchè si chiama '..di student'

F di fisher

La distribuzione F di Fisher viene utilizzata per il test di ipotesi sulla differenza tra le varianze di due popolazioni.$$F_{n,m} := \frac{X_n^2/n}{X_m^2/m}$$

Somma di variabili Gamma indipendenti

Se $X_1 \sim \Gamma [\alpha _1 , \lambda]$ e $X_2 \sim \Gamma [\alpha _1 , \lambda]$ v.a. indipendenti. Allora $$X_1 + X_2 \sim \Gamma (\alpha_1 + \alpha_2 , \lambda)$$

Somma di Chi Quadrato

Se $X_1=X^2(n)$ e $X_2=X^2(m)$ e sono indipendenti allora $$X_1 + X_2 = X^2(n+m)$$

Quantili della F di Fisher

$$f_{1-\alpha,m,n}=\frac{1}{f_{\alpha,n,m}}$$ Questa formula è importante, ad esempio, nella costruzione di intervalli di confidenza per la varianza di due popolazioni normali.