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最长公共子序列

对于两个子序列 S1 和 S2，找出它们最长的公共子序列。

定义一个二维数组 dp 用来存储最长公共子序列的长度，其中 dp[i][j] 表示 S1 的前 i 个字符与 S2 的前 j 个字符最长公共子序列的长度。考虑 S1i 与 S2j 值是否相等，分为两种情况：

• 当 S1i==S2j 时，那么就能在 S1 的前 i-1 个字符与 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列的基础上再加上 S1i 这个值，最长公共子序列长度加 1，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 当 S1i != S2j 时，此时最长公共子序列为 S1 的前 i-1 个字符和 S2 的前 j 个字符最长公共子序列，或者 S1 的前 i 个字符和 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列，取它们的最大者，即 dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。

综上，最长公共子序列的状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  当 S1i == S2j
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 当 S1i != S2j

对于长度为 N 的序列 S1 和长度为 M 的序列 S2，dp[N][M] 就是序列 S1 和序列 S2 的最长公共子序列长度。

与最长递增子序列相比，最长公共子序列有以下不同点：

• 针对的是两个序列，求它们的最长公共子序列。
• 在最长递增子序列中，dp[i] 表示以 Si 为结尾的最长递增子序列长度，子序列必须包含 Si ；在最长公共子序列中，dp[i][j] 表示 S1 中前 i 个字符与 S2 中前 j 个字符的最长公共子序列长度，不一定包含 S1i 和 S2j。
• 在求最终解时，最长公共子序列中 dp[N][M] 就是最终解，而最长递增子序列中 dp[N] 不是最终解，因为以 SN 为结尾的最长递增子序列不一定是整个序列最长递增子序列，需要遍历一遍 dp 数组找到最大者。

class LCS {
    public int lengthOfLCS(int[] nums1, int[] nums2){
        int n1 = nums1.length;
        int n2 = nums2.length;
        int[][] dp = new int[n1+1][n2+1];
        
        for (int i=1; i<=n1; ++i){
            for (int j=1; j<=n2; ++j){
                if (nums1[i-1] == num2[j-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        
        return dp[n1][n2];
    }
}