Mathe-Aufgaben.tex

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  bold-style=ISO,
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  nabla=upright,
  partial=upright,
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%Einstellungen hier, z.b. Fonts

\newcommand{\be}{\begin{equation}} %Kurzbefehl für \begin{equation}
\newcommand{\ee}{\end{equation}} %Kurzbefehl für \end{equation}
%Befehle eingefügt um Zeichen zu sparen


\begin{document}
\section{Biot-Savart-Gesetz}
Das Magnetfeld $\vec{B}$ am Ort $\vec{r}$
eines stromdurchlossenen Leiters ergibt sich zu
 \be
    \vec{B}
    (\vec{r})
    =
    \frac{\mu_o}{4\pi}
    \int_V
    \vec{\jmath}
    (\vec{x}')
    \times \frac{\vec{r}-\vec{r}'}
    {\lvert\vec{r}-\vec{r}'\rvert^3} \symup{d}V'. %\lvert liefert Betragsstrich links
      \ee
  Hierbei bezeichnet $\vec{\jmath}$ die Stromdichte am Ort $\vec{r}'$
  und ${\mu_0}$ die magnetische Feldkonstante.

  \section{Fehlerfortpflanzung}
  \begin{equation}
    \sigma_k =
    \sqrt{\sum_{i=1}^N
    \Biggl(\frac{\partial f}{\partial{x_i}} \sigma_i \Biggr)^2}
  \end{equation}
  \section{Maxwell-Gleichungen}
  \begin{align}
    \nabla\cdot\vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}  &  \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \\
    \nabla\times\vec{E} &= -\partial_t\vec{B} & \nabla\times\vec{B} &= \mu_0\vec{\jmath}
    +\mu_0\epsilon_0\partial_t\vec{E}
\end{align}
\section{Wellengleichung}
Im Vakuum gelten $\rho=0$ und $\vec{\jmath}=0$,
womit sich die Maxwellgleichungen
zu
\begin{align}
  \nabla\cdot\vec{E}&=0 \label{eqn:max1} \\
  \nabla\cdot\vec{B}&=0 \label{eqn:max2} \\
  \nabla\times\vec{E}&=-\partial_t\vec{B} \label{eqn:max3} \\
  \nabla\times\vec{B}&=\mu_0\epsilon_0\partial_t\vec{E} \label{eqn:max4}
\end{align}
reduzieren. Nach erneuter Rotation auf \eqref{eqn:max3} ergibt sich
\be
\nabla\times\bigl(\nabla\times\vec{E}\bigr)=\nabla\times\bigl(-\partial_t\vec{B}\bigr)
\label{eqn:rot}
\ee
Nach dem Satz von Schwarz lassen sich die partiellen Ableitungen vertauschen, was zu
\be
\nabla\times\bigl(\nabla\times\vec{E}\bigr)=-\partial_t\bigl(\nabla\times\vec{B}\bigr)
\label{eqn:schwarz}
\ee
führt. Wir setzen auf der rechten Seite \eqref{eqn:max4} ein:
\be
\nabla\times\bigl(\nabla\vec{E}\bigr)=-\mu_0\epsilon_0\symup{\partial_t^2}\vec{E}\label{eqn:ein}
\ee
aus der linken Seite wird mit
\be
\nabla\times\bigl(\nabla\vec{E}\bigr)=\nabla\cdot\bigl(\nabla\vec{E}\bigr)-\Delta
\vec{E} \label{eqn:2}
\ee
\newpage
und ausnutzen von \eqref{eqn:max1}
\be
-\Delta\vec{E}=-\mu_0\epsilon_0\symup{\partial_t^2}\vec{E}.
\label{eqn:13}
\ee
Dies ist die Wellengleichung für das elektrische Feld,
in der sich die Lichgeschwindigkeit
\be
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\label{eqn:14}
\ee
identifizieren lässt. Damit können wir
\be
\Bigl(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\symup{\partial^2}}{\symup{\partial}t^2}\Bigr)
\vec{E}=0 \label{eqn:15}
\ee
schreiben.
\section{Wellengleichung}
Ebene Welle:
\be
\nabla^2 A -\frac{1}{c^2}\frac{\symup{\partial^2}}{\symup{\partial}t^2}A=0
\label{eqn:16}
\ee
eine Lösung:
\be
A=A_0\exp(\bigl(\symup{i}\bigl(\symbf{k} \symbf{x}-\omega t\bigr)\bigr)) \label{eqn:17}
\ee
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit:
\begin{align}
  v_{Gr}&=\frac{\symup{\partial}\omega}{\symup{\partial}k} &
  v_{Ph}&=\frac{\omega}{k}
\end{align}
\section{Multipolentwicklung}
\be
\symup{\symbf{\phi}}\bigl(\symbf{r}\bigr)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\biggl(\frac{Q}{r}+\frac{\symbf{r\cdot p}}{r^3}+\frac{1}{2}
\sum_{k,l}Q_{kl}\frac{r_k r_l}{r^5}+...\biggr) \label{eqn:19},
\ee
wobei
\begin{equation*} %* liefert unnummerierte Formeln
  Q_{k l}=
  \sum_{i=1}^N %Standard für Summen
  q_i\bigl(3r_i k r_i l -r^2_i \delta_{kl} \bigr)
\sum_{k,l}Q_{k l} \frac{r_k r_l}{r^5}+...\biggr) \label{eqn:19},
\end{equation*}
wobei
\begin{equation*} % * steht dafür, dass es nicht nummeriert wird
  Q_{k l}=
  \sum_{i=1}^N % Summe
   q_i \bigl(3r_ik r_il -r^2_i \delta_{kl} \bigr)%Argument der Summe
\end{equation*}
\section{Jacobi-Matrix}
\begin{equation}
  \symbf{J}=
  \begin{pmatrix}
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}
    \\ %Zeilenumbruch
    \vdots & %vertikale punkte
    \ddots & %Diagonale punkte
    \vdots \\
    \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots %Horizontale Punkte
    & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
  \end{pmatrix}
\end{equation}
\newpage
\section{Harmonischer Oszillator}
\begin{equation}
  % \ddot{x} - 2. Zeitliche Ableitung von x
  % Anzahl der 'd' gibt an um welche  Ableitung es sich handelt
  \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2 x=0 \label{eqn:osz}
\end{equation}
Reelle Lösung:
\be
x(t)=e^{-\gamma t} (A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))
\label{eqn:reel}
\ee
mit
\be
\omega=\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}. \label{eqn:omg}
\ee
\end{document}

%das hast du sehr gut gemacht!