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# 动态规划： 给我个机会，我再兑换一次零钱给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1： 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出：3 解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2： 输入：coins = [2], amount = 3 输出：-1
示例 3： 输入：coins = [1], amount = 0 输出：0
示例 4： 输入：coins = [1], amount = 1 输出：1
示例 5： 输入：coins = [1], amount = 2 输出：2
提示：
- 1 <= coins.length <= 12
- 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
- 0 <= amount <= 10^4
在动态规划：518.零钱兑换II中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 确定递推公式
得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
代码如下：
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
- 举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
dp[amount]为最终结果。
以上分析完毕，C++ 代码如下：
// 版本一
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};对于遍历方式遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环也是可以的，我就直接给出代码了
// 版本二
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};细心的同学看网上的题解，可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了，到底两个for循环应该是什么先后关系。
能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到！
这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在，有的时候递推公式很简单，难在遍历顺序上！
但最终又可以稀里糊涂的把题目过了，也不知道为什么这样可以过，反正就是过了，哈哈
那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。
动态规划：518.零钱兑换II中求的是组合数，动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中求的是排列数。
而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！
这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即：322.零钱兑换，这是Carl的良苦用心那。
相信大家看完之后，对背包问题中的遍历顺序有更深的理解了。
Java：
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组为最大值
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
dp[j] = max;
}
//当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
if (dp[j - coins[i]] != max) {
//选择硬币数目最小的情况
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
}Python：
class Solution:
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
'''版本一'''
# 初始化
dp = [amount + 1]*(amount + 1)
dp[0] = 0
# 遍历物品
for coin in coins:
# 遍历背包
for j in range(coin, amount + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1
def coinChange1(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
'''版本二'''
# 初始化
dp = [amount + 1]*(amount + 1)
dp[0] = 0
# 遍历物品
for j in range(1, amount + 1):
# 遍历背包
for coin in coins:
if j >= coin:
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1Go：
// 版本一, 先遍历物品,再遍历背包
func coinChange1(coins []int, amount int) int {
dp := make([]int, amount+1)
// 初始化dp[0]
dp[0] = 0
// 初始化为math.MaxInt32
for j := 1; j <= amount; j++ {
dp[j] = math.MaxInt32
}
// 遍历物品
for i := 0; i < len(coins); i++ {
// 遍历背包
for j := coins[i]; j <= amount; j++ {
if dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
// 推导公式
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
//fmt.Println(dp,j,i)
}
}
}
// 没找到能装满背包的, 就返回-1
if dp[amount] == math.MaxInt32 {
return -1
}
return dp[amount]
}
// 版本二,先遍历背包,再遍历物品
func coinChange2(coins []int, amount int) int {
dp := make([]int, amount+1)
// 初始化dp[0]
dp[0] = 0
// 遍历背包,从1开始
for j := 1; j <= amount; j++ {
// 初始化为math.MaxInt32
dp[j] = math.MaxInt32
// 遍历物品
for i := 0; i < len(coins); i++ {
if j >= coins[i] && dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
// 推导公式
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
//fmt.Println(dp)
}
}
}
// 没找到能装满背包的, 就返回-1
if dp[amount] == math.MaxInt32 {
return -1
}
return dp[amount]
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}Javascript：
const coinChange = (coins, amount) => {
if(!amount) {
return 0;
}
let dp = Array(amount + 1).fill(Infinity);
dp[0] = 0;
for(let i =0; i < coins.length; i++) {
for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
}