T3.md

Расстояние Минковского и Махаланобиса

Расстояние Минковского - семейство метрик, определяемых между точками в векторном пространстве. В общем случае (то есть, при $p \in \mathbb{R}_{+}$) расстояние Минковского выглядит следующим образом:

$$ \rho(a, ~ b) = \left(\sum_{i}{\left|a_i - b_i\right|^{p}}\right)^{\dfrac{1}{p}} $$

Есть некоторые известные частные случаи это метрики:

• при $p = 1$ это Манхеттенское расстояние:

  $$ \rho(a, ~ b) = \sum_{i}{\left|a_i - b_i\right|} $$

• при $p = 2$ это Евклидово расстояние:

  $$ \rho(a, ~ b) = \sqrt{\sum_{i}{\left(a_i - b_i\right)^2}} $$

• изощрённый случай, $p = \infty$ это расстояние Чебышёва:

  $$ \rho(a, ~ b) = \max_{i}{\left|a_i - b_i\right|} $$

Расстояние Махаланобиса - это метрика, которая измеряет расстояние между точками в многомерном пространстве. Оно учитывает как разницу между точками, так и корреляцию между переменными.

$$ \rho(a, ~ b) = \sqrt{\left(a - b\right)^{\mathrm{T}} S^{-1} \left(a - b\right)}, $$

где $S$ - это матрица ковариации пространства $X$ (это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов двух случайных векторов $a, b \in X$). Данная матрица имеет встроенную нормализацию.