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<html><head><meta charset="utf-8"><title>Cubical.Data.Nat.Order</title><link rel="stylesheet" href="Agda.css"></head><body><pre class="Agda"><a id="1" class="Symbol">{-#</a> <a id="5" class="Keyword">OPTIONS</a> <a id="13" class="Pragma">--no-exact-split</a> <a id="30" class="Pragma">--safe</a> <a id="37" class="Symbol">#-}</a>
<a id="41" class="Keyword">module</a> <a id="48" href="Cubical.Data.Nat.Order.html" class="Module">Cubical.Data.Nat.Order</a> <a id="71" class="Keyword">where</a>
<a id="78" class="Keyword">open</a> <a id="83" class="Keyword">import</a> <a id="90" href="Cubical.Foundations.Prelude.html" class="Module">Cubical.Foundations.Prelude</a>
<a id="118" class="Keyword">open</a> <a id="123" class="Keyword">import</a> <a id="130" href="Cubical.Foundations.Function.html" class="Module">Cubical.Foundations.Function</a>
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<a id="201" class="Keyword">open</a> <a id="206" class="Keyword">import</a> <a id="213" href="Cubical.Data.Empty.html" class="Module">Cubical.Data.Empty</a> <a id="232" class="Symbol">as</a> <a id="235" class="Module">⊥</a>
<a id="237" class="Keyword">open</a> <a id="242" class="Keyword">import</a> <a id="249" href="Cubical.Data.Sigma.html" class="Module">Cubical.Data.Sigma</a>
<a id="268" class="Keyword">open</a> <a id="273" class="Keyword">import</a> <a id="280" href="Cubical.Data.Sum.html" class="Module">Cubical.Data.Sum</a> <a id="297" class="Symbol">as</a> <a id="300" class="Module">⊎</a>
<a id="303" class="Keyword">open</a> <a id="308" class="Keyword">import</a> <a id="315" href="Cubical.Data.Nat.Base.html" class="Module">Cubical.Data.Nat.Base</a>
<a id="337" class="Keyword">open</a> <a id="342" class="Keyword">import</a> <a id="349" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html" class="Module">Cubical.Data.Nat.Properties</a>
<a id="378" class="Keyword">open</a> <a id="383" class="Keyword">import</a> <a id="390" href="Cubical.Induction.WellFounded.html" class="Module">Cubical.Induction.WellFounded</a>
<a id="421" class="Keyword">open</a> <a id="426" class="Keyword">import</a> <a id="433" href="Cubical.Relation.Nullary.html" class="Module">Cubical.Relation.Nullary</a>
<a id="459" class="Keyword">private</a>
<a id="469" class="Keyword">variable</a>
<a id="482" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#482" class="Generalizable">ℓ</a> <a id="484" class="Symbol">:</a> <a id="486" href="Agda.Primitive.html#597" class="Postulate">Level</a>
<a id="493" class="Keyword">infix</a> <a id="499" class="Number">4</a> <a id="501" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">_≤_</a> <a id="505" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<_</a> <a id="509" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#607" class="Function Operator">_≥_</a> <a id="513" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#642" class="Function Operator">_>_</a>
<a id="_≤_"></a><a id="518" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">_≤_</a> <a id="522" class="Symbol">:</a> <a id="524" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="526" class="Symbol">→</a> <a id="528" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="530" class="Symbol">→</a> <a id="532" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type₀</a>
<a id="538" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#538" class="Bound">m</a> <a id="540" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="542" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#542" class="Bound">n</a> <a id="544" class="Symbol">=</a> <a id="546" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">Σ[</a> <a id="549" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#549" class="Bound">k</a> <a id="551" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">∈</a> <a id="553" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="555" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">]</a> <a id="557" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#549" class="Bound">k</a> <a id="559" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="561" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#538" class="Bound">m</a> <a id="563" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="565" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#542" class="Bound">n</a>
<a id="_<_"></a><a id="568" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<_</a> <a id="572" class="Symbol">:</a> <a id="574" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="576" class="Symbol">→</a> <a id="578" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="580" class="Symbol">→</a> <a id="582" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type₀</a>
<a id="588" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#588" class="Bound">m</a> <a id="590" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="592" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#592" class="Bound">n</a> <a id="594" class="Symbol">=</a> <a id="596" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="600" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#588" class="Bound">m</a> <a id="602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="604" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#592" class="Bound">n</a>
<a id="_≥_"></a><a id="607" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#607" class="Function Operator">_≥_</a> <a id="611" class="Symbol">:</a> <a id="613" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="615" class="Symbol">→</a> <a id="617" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="619" class="Symbol">→</a> <a id="621" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type₀</a>
<a id="627" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#627" class="Bound">m</a> <a id="629" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#607" class="Function Operator">≥</a> <a id="631" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#631" class="Bound">n</a> <a id="633" class="Symbol">=</a> <a id="635" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#631" class="Bound">n</a> <a id="637" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="639" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#627" class="Bound">m</a>
<a id="_>_"></a><a id="642" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#642" class="Function Operator">_>_</a> <a id="646" class="Symbol">:</a> <a id="648" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="650" class="Symbol">→</a> <a id="652" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="654" class="Symbol">→</a> <a id="656" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type₀</a>
<a id="662" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#662" class="Bound">m</a> <a id="664" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#642" class="Function Operator">></a> <a id="666" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#666" class="Bound">n</a> <a id="668" class="Symbol">=</a> <a id="670" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#666" class="Bound">n</a> <a id="672" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="674" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#662" class="Bound">m</a>
<a id="677" class="Keyword">data</a> <a id="Trichotomy"></a><a id="682" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="693" class="Symbol">(</a><a id="694" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="696" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a> <a id="698" class="Symbol">:</a> <a id="700" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="701" class="Symbol">)</a> <a id="703" class="Symbol">:</a> <a id="705" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type₀</a> <a id="711" class="Keyword">where</a>
<a id="Trichotomy.lt"></a><a id="719" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="722" class="Symbol">:</a> <a id="724" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="726" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a> <a id="730" class="Symbol">→</a> <a id="732" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="743" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="745" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a>
<a id="Trichotomy.eq"></a><a id="749" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="752" class="Symbol">:</a> <a id="754" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="756" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="758" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a> <a id="760" class="Symbol">→</a> <a id="762" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="773" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="775" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a>
<a id="Trichotomy.gt"></a><a id="779" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="782" class="Symbol">:</a> <a id="784" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a> <a id="786" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="788" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="790" class="Symbol">→</a> <a id="792" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="803" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#694" class="Bound">m</a> <a id="805" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#696" class="Bound">n</a>
<a id="808" class="Keyword">private</a>
<a id="818" class="Keyword">variable</a>
<a id="831" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="833" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="835" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="837" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="839" class="Symbol">:</a> <a id="841" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a>
<a id="844" class="Keyword">private</a>
<a id="witness-prop"></a><a id="854" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#854" class="Function">witness-prop</a> <a id="867" class="Symbol">:</a> <a id="869" class="Symbol">∀</a> <a id="871" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#871" class="Bound">j</a> <a id="873" class="Symbol">→</a> <a id="875" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#14039" class="Function">isProp</a> <a id="882" class="Symbol">(</a><a id="883" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#871" class="Bound">j</a> <a id="885" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="887" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="889" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="891" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="892" class="Symbol">)</a>
<a id="896" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#854" class="Function">witness-prop</a> <a id="909" class="Symbol">{</a><a id="910" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#910" class="Bound">m</a><a id="911" class="Symbol">}</a> <a id="913" class="Symbol">{</a><a id="914" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#914" class="Bound">n</a><a id="915" class="Symbol">}</a> <a id="917" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#917" class="Bound">j</a> <a id="919" class="Symbol">=</a> <a id="921" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3637" class="Function">isSetℕ</a> <a id="928" class="Symbol">(</a><a id="929" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#917" class="Bound">j</a> <a id="931" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="933" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#910" class="Bound">m</a><a id="934" class="Symbol">)</a> <a id="936" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#914" class="Bound">n</a>
<a id="isProp≤"></a><a id="939" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#939" class="Function">isProp≤</a> <a id="947" class="Symbol">:</a> <a id="949" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#14039" class="Function">isProp</a> <a id="956" class="Symbol">(</a><a id="957" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="959" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="961" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="962" class="Symbol">)</a>
<a id="964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#939" class="Function">isProp≤</a> <a id="972" class="Symbol">{</a><a id="973" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#973" class="Bound">m</a><a id="974" class="Symbol">}</a> <a id="976" class="Symbol">{</a><a id="977" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#977" class="Bound">n</a><a id="978" class="Symbol">}</a> <a id="980" class="Symbol">(</a><a id="981" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#981" class="Bound">k</a> <a id="983" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="985" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#985" class="Bound">p</a><a id="986" class="Symbol">)</a> <a id="988" class="Symbol">(</a><a id="989" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#989" class="Bound">l</a> <a id="991" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="993" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#993" class="Bound">q</a><a id="994" class="Symbol">)</a>
<a id="998" class="Symbol">=</a> <a id="1000" href="Cubical.Data.Sigma.Properties.html#13039" class="Function">Σ≡Prop</a> <a id="1007" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#854" class="Function">witness-prop</a> <a id="1020" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1036" class="Function">lemma</a>
<a id="1028" class="Keyword">where</a>
<a id="1036" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1036" class="Function">lemma</a> <a id="1042" class="Symbol">:</a> <a id="1044" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#981" class="Bound">k</a> <a id="1046" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="1048" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#989" class="Bound">l</a>
<a id="1052" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1036" class="Function">lemma</a> <a id="1058" class="Symbol">=</a> <a id="1060" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4395" class="Function">inj-+m</a> <a id="1067" class="Symbol">(</a><a id="1068" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#985" class="Bound">p</a> <a id="1070" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="1072" class="Symbol">(</a><a id="1073" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="1077" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#993" class="Bound">q</a><a id="1078" class="Symbol">))</a>
<a id="zero-≤"></a><a id="1082" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a> <a id="1089" class="Symbol">:</a> <a id="1091" class="Number">0</a> <a id="1093" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1095" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1097" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a> <a id="1104" class="Symbol">{</a><a id="1105" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1105" class="Bound">n</a><a id="1106" class="Symbol">}</a> <a id="1108" class="Symbol">=</a> <a id="1110" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1105" class="Bound">n</a> <a id="1112" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1114" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3859" class="Function">+-zero</a> <a id="1121" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1105" class="Bound">n</a>
<a id="suc-≤-suc"></a><a id="1124" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="1134" class="Symbol">:</a> <a id="1136" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1138" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1140" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1142" class="Symbol">→</a> <a id="1144" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1148" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1150" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1152" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1156" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1158" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="1168" class="Symbol">(</a><a id="1169" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1169" class="Bound">k</a> <a id="1171" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1173" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1173" class="Bound">p</a><a id="1174" class="Symbol">)</a> <a id="1176" class="Symbol">=</a> <a id="1178" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1169" class="Bound">k</a> <a id="1180" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1182" class="Symbol">(</a><a id="1183" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="1189" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1169" class="Bound">k</a> <a id="1191" class="Symbol">_)</a> <a id="1194" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="1196" class="Symbol">(</a><a id="1197" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="1202" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1206" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1173" class="Bound">p</a><a id="1207" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-+k"></a><a id="1210" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="1215" class="Symbol">:</a> <a id="1217" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1219" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1221" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1223" class="Symbol">→</a> <a id="1225" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1227" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1229" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1231" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1233" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1235" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1237" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="1239" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="1244" class="Symbol">{</a><a id="1245" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1245" class="Bound">m</a><a id="1246" class="Symbol">}</a> <a id="1248" class="Symbol">{</a><a id="1249" class="Argument">k</a> <a id="1251" class="Symbol">=</a> <a id="1253" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1253" class="Bound">k</a><a id="1254" class="Symbol">}</a> <a id="1256" class="Symbol">(</a><a id="1257" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1257" class="Bound">i</a> <a id="1259" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1261" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1261" class="Bound">p</a><a id="1262" class="Symbol">)</a>
<a id="1266" class="Symbol">=</a> <a id="1268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1257" class="Bound">i</a> <a id="1270" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1272" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="1280" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1257" class="Bound">i</a> <a id="1282" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1245" class="Bound">m</a> <a id="1284" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1253" class="Bound">k</a> <a id="1286" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="1288" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="1293" class="Symbol">(</a><a id="1294" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">_+</a> <a id="1297" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1253" class="Bound">k</a><a id="1298" class="Symbol">)</a> <a id="1300" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1261" class="Bound">p</a>
<a id="≤SumRight"></a><a id="1303" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1303" class="Function">≤SumRight</a> <a id="1313" class="Symbol">:</a> <a id="1315" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1317" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1319" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1321" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1323" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1325" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1303" class="Function">≤SumRight</a> <a id="1335" class="Symbol">{</a><a id="1336" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1336" class="Bound">n</a><a id="1337" class="Symbol">}</a> <a id="1339" class="Symbol">{</a><a id="1340" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1340" class="Bound">k</a><a id="1341" class="Symbol">}</a> <a id="1343" class="Symbol">=</a> <a id="1345" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="1350" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="≤-k+"></a><a id="1358" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1358" class="Function">≤-k+</a> <a id="1363" class="Symbol">:</a> <a id="1365" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1367" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1369" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1371" class="Symbol">→</a> <a id="1373" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1375" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1377" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1379" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1381" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1383" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1385" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1387" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1358" class="Function">≤-k+</a> <a id="1392" class="Symbol">{</a><a id="1393" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1393" class="Bound">m</a><a id="1394" class="Symbol">}</a> <a id="1396" class="Symbol">{</a><a id="1397" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1397" class="Bound">n</a><a id="1398" class="Symbol">}</a> <a id="1400" class="Symbol">{</a><a id="1401" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1401" class="Bound">k</a><a id="1402" class="Symbol">}</a>
<a id="1406" class="Symbol">=</a> <a id="1408" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="1414" class="Symbol">(</a><a id="1415" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">_≤</a> <a id="1418" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1401" class="Bound">k</a> <a id="1420" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1422" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1397" class="Bound">n</a><a id="1423" class="Symbol">)</a> <a id="1425" class="Symbol">(</a><a id="1426" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="1433" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1393" class="Bound">m</a> <a id="1435" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1401" class="Bound">k</a><a id="1436" class="Symbol">)</a>
<a id="1440" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="1442" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="1448" class="Symbol">(</a><a id="1449" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1393" class="Bound">m</a> <a id="1451" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1453" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1401" class="Bound">k</a> <a id="1455" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤_</a><a id="1457" class="Symbol">)</a> <a id="1459" class="Symbol">(</a><a id="1460" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="1467" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1397" class="Bound">n</a> <a id="1469" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1401" class="Bound">k</a><a id="1470" class="Symbol">)</a>
<a id="1474" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="1476" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a>
<a id="≤SumLeft"></a><a id="1482" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1482" class="Function">≤SumLeft</a> <a id="1491" class="Symbol">:</a> <a id="1493" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1495" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1497" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1499" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="1501" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="1503" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1482" class="Function">≤SumLeft</a> <a id="1512" class="Symbol">{</a><a id="1513" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1513" class="Bound">n</a><a id="1514" class="Symbol">}</a> <a id="1516" class="Symbol">{</a><a id="1517" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1517" class="Bound">k</a><a id="1518" class="Symbol">}</a> <a id="1520" class="Symbol">=</a> <a id="1522" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="1528" class="Symbol">(</a><a id="1529" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1513" class="Bound">n</a> <a id="1531" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤_</a><a id="1533" class="Symbol">)</a> <a id="1535" class="Symbol">(</a><a id="1536" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="1543" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1517" class="Bound">k</a> <a id="1545" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1513" class="Bound">n</a><a id="1546" class="Symbol">)</a> <a id="1548" class="Symbol">(</a><a id="1549" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="1554" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a><a id="1560" class="Symbol">)</a>
<a id="pred-≤-pred"></a><a id="1563" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="1575" class="Symbol">:</a> <a id="1577" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1581" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1583" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1585" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1589" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1591" class="Symbol">→</a> <a id="1593" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1595" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1597" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1599" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="1611" class="Symbol">(</a><a id="1612" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1612" class="Bound">k</a> <a id="1614" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1616" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1616" class="Bound">p</a><a id="1617" class="Symbol">)</a> <a id="1619" class="Symbol">=</a> <a id="1621" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1612" class="Bound">k</a> <a id="1623" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1625" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#1145" class="Function">injSuc</a> <a id="1632" class="Symbol">((</a><a id="1634" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="1638" class="Symbol">(</a><a id="1639" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="1645" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1612" class="Bound">k</a> <a id="1647" class="Symbol">_))</a> <a id="1651" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="1653" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1616" class="Bound">p</a><a id="1654" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-refl"></a><a id="1657" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a> <a id="1664" class="Symbol">:</a> <a id="1666" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1668" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1670" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="1672" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a> <a id="1679" class="Symbol">=</a> <a id="1681" class="Number">0</a> <a id="1683" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1685" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="≤-suc"></a><a id="1691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1691" class="Function">≤-suc</a> <a id="1697" class="Symbol">:</a> <a id="1699" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1701" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1703" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1705" class="Symbol">→</a> <a id="1707" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1709" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1711" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1715" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1717" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1691" class="Function">≤-suc</a> <a id="1723" class="Symbol">(</a><a id="1724" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1724" class="Bound">k</a> <a id="1726" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1728" class="Bound">p</a><a id="1729" class="Symbol">)</a> <a id="1731" class="Symbol">=</a> <a id="1733" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1737" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1724" class="Bound">k</a> <a id="1739" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1741" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="1746" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1750" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1728" class="Bound">p</a>
<a id="suc-<"></a><a id="1753" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1753" class="Function">suc-<</a> <a id="1759" class="Symbol">:</a> <a id="1761" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1765" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1767" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="1769" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1771" class="Symbol">→</a> <a id="1773" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1775" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="1777" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1779" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1753" class="Function">suc-<</a> <a id="1785" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1785" class="Bound">p</a> <a id="1787" class="Symbol">=</a> <a id="1789" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="1801" class="Symbol">(</a><a id="1802" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1691" class="Function">≤-suc</a> <a id="1808" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1785" class="Bound">p</a><a id="1809" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-sucℕ"></a><a id="1812" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1812" class="Function">≤-sucℕ</a> <a id="1819" class="Symbol">:</a> <a id="1821" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1823" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1825" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1829" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1831" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1812" class="Function">≤-sucℕ</a> <a id="1838" class="Symbol">=</a> <a id="1840" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1691" class="Function">≤-suc</a> <a id="1846" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="≤-predℕ"></a><a id="1854" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1854" class="Function">≤-predℕ</a> <a id="1862" class="Symbol">:</a> <a id="1864" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#436" class="Function">predℕ</a> <a id="1870" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1872" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1874" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1876" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1854" class="Function">≤-predℕ</a> <a id="1884" class="Symbol">{</a><a id="1885" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="1889" class="Symbol">}</a> <a id="1891" class="Symbol">=</a> <a id="1893" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="1900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1854" class="Function">≤-predℕ</a> <a id="1908" class="Symbol">{</a><a id="1909" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="1913" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1913" class="Bound">n</a><a id="1914" class="Symbol">}</a> <a id="1916" class="Symbol">=</a> <a id="1918" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1691" class="Function">≤-suc</a> <a id="1924" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="≤-trans"></a><a id="1932" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="1940" class="Symbol">:</a> <a id="1942" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1944" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1946" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1948" class="Symbol">→</a> <a id="1950" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="1952" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1954" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="1956" class="Symbol">→</a> <a id="1958" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="1960" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="1962" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="1964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="1972" class="Symbol">{</a><a id="1973" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a><a id="1974" class="Symbol">}</a> <a id="1976" class="Symbol">{</a><a id="1977" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1977" class="Bound">m</a><a id="1978" class="Symbol">}</a> <a id="1980" class="Symbol">{</a><a id="1981" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1981" class="Bound">n</a><a id="1982" class="Symbol">}</a> <a id="1984" class="Symbol">(</a><a id="1985" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="1987" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1989" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1989" class="Bound">p</a><a id="1990" class="Symbol">)</a> <a id="1992" class="Symbol">(</a><a id="1993" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="1995" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="1997" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1997" class="Bound">q</a><a id="1998" class="Symbol">)</a> <a id="2000" class="Symbol">=</a> <a id="2002" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2004" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2006" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2008" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2010" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2106" class="Function">l2</a> <a id="2013" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2015" class="Symbol">(</a><a id="2016" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2034" class="Function">l1</a> <a id="2019" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2021" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1997" class="Bound">q</a><a id="2022" class="Symbol">)</a>
<a id="2026" class="Keyword">where</a>
<a id="2034" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2034" class="Function">l1</a> <a id="2037" class="Symbol">:</a> <a id="2039" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2041" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2043" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2045" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2047" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a> <a id="2049" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2051" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2053" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1977" class="Bound">m</a>
<a id="2059" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2034" class="Function">l1</a> <a id="2062" class="Symbol">=</a> <a id="2064" class="Symbol">(</a><a id="2065" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="2069" class="Symbol">(</a><a id="2070" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="2078" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2080" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2082" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a><a id="2083" class="Symbol">))</a> <a id="2086" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2088" class="Symbol">(</a><a id="2089" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="2094" class="Symbol">(</a><a id="2095" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2097" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+_</a><a id="2099" class="Symbol">)</a> <a id="2101" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1989" class="Bound">p</a><a id="2102" class="Symbol">)</a>
<a id="2106" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2106" class="Function">l2</a> <a id="2109" class="Symbol">:</a> <a id="2111" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2113" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2115" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2117" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2119" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a> <a id="2121" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2123" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a> <a id="2125" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2127" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2129" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2131" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a>
<a id="2135" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2106" class="Function">l2</a> <a id="2138" class="Symbol">=</a> <a id="2140" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="2145" class="Symbol">(</a><a id="2146" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">_+</a> <a id="2149" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1973" class="Bound">k</a><a id="2150" class="Symbol">)</a> <a id="2152" class="Symbol">(</a><a id="2153" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="2160" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1985" class="Bound">i</a> <a id="2162" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1993" class="Bound">j</a><a id="2163" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-antisym"></a><a id="2166" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2166" class="Function">≤-antisym</a> <a id="2176" class="Symbol">:</a> <a id="2178" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2180" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2182" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2184" class="Symbol">→</a> <a id="2186" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2188" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2190" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2192" class="Symbol">→</a> <a id="2194" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2196" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2198" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="2200" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2166" class="Function">≤-antisym</a> <a id="2210" class="Symbol">{</a><a id="2211" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2211" class="Bound">m</a><a id="2212" class="Symbol">}</a> <a id="2214" class="Symbol">(</a><a id="2215" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2215" class="Bound">i</a> <a id="2217" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2219" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2219" class="Bound">p</a><a id="2220" class="Symbol">)</a> <a id="2222" class="Symbol">(</a><a id="2223" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2223" class="Bound">j</a> <a id="2225" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2227" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2227" class="Bound">q</a><a id="2228" class="Symbol">)</a> <a id="2230" class="Symbol">=</a> <a id="2232" class="Symbol">(</a><a id="2233" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="2238" class="Symbol">(</a><a id="2239" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">_+</a> <a id="2242" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2211" class="Bound">m</a><a id="2243" class="Symbol">)</a> <a id="2245" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2374" class="Function">l3</a><a id="2247" class="Symbol">)</a> <a id="2249" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2251" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2219" class="Bound">p</a>
<a id="2255" class="Keyword">where</a>
<a id="2263" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2263" class="Function">l1</a> <a id="2266" class="Symbol">:</a> <a id="2268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2223" class="Bound">j</a> <a id="2270" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2272" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2215" class="Bound">i</a> <a id="2274" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2276" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2211" class="Bound">m</a> <a id="2278" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2280" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2211" class="Bound">m</a>
<a id="2284" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2263" class="Function">l1</a> <a id="2287" class="Symbol">=</a> <a id="2289" class="Symbol">(</a><a id="2290" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="2294" class="Symbol">(</a><a id="2295" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="2303" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2223" class="Bound">j</a> <a id="2305" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2215" class="Bound">i</a> <a id="2307" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2211" class="Bound">m</a><a id="2308" class="Symbol">))</a> <a id="2311" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2313" class="Symbol">((</a><a id="2315" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="2320" class="Symbol">(</a><a id="2321" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2223" class="Bound">j</a> <a id="2323" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+_</a><a id="2325" class="Symbol">)</a> <a id="2327" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2219" class="Bound">p</a><a id="2328" class="Symbol">)</a> <a id="2330" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2332" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2227" class="Bound">q</a><a id="2333" class="Symbol">)</a>
<a id="2337" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2337" class="Function">l2</a> <a id="2340" class="Symbol">:</a> <a id="2342" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2223" class="Bound">j</a> <a id="2344" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2346" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2215" class="Bound">i</a> <a id="2348" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2350" class="Number">0</a>
<a id="2354" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2337" class="Function">l2</a> <a id="2357" class="Symbol">=</a> <a id="2359" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4493" class="Function">m+n≡n→m≡0</a> <a id="2369" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2263" class="Function">l1</a>
<a id="2374" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2374" class="Function">l3</a> <a id="2377" class="Symbol">:</a> <a id="2379" class="Number">0</a> <a id="2381" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2383" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2215" class="Bound">i</a>
<a id="2387" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2374" class="Function">l3</a> <a id="2390" class="Symbol">=</a> <a id="2392" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="2396" class="Symbol">(</a><a id="2397" href="Agda.Builtin.Sigma.html#264" class="Field">snd</a> <a id="2401" class="Symbol">(</a><a id="2402" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4643" class="Function">m+n≡0→m≡0×n≡0</a> <a id="2416" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2337" class="Function">l2</a><a id="2418" class="Symbol">))</a>
<a id="≤-+-≤"></a><a id="2422" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2422" class="Function">≤-+-≤</a> <a id="2428" class="Symbol">:</a> <a id="2430" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2432" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2434" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2436" class="Symbol">→</a> <a id="2438" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="2440" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2442" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2444" class="Symbol">→</a> <a id="2446" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2448" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2450" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="2452" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2454" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2456" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2458" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="2460" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2422" class="Function">≤-+-≤</a> <a id="2466" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2466" class="Bound">p</a> <a id="2468" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2468" class="Bound">q</a> <a id="2470" class="Symbol">=</a> <a id="2472" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="2480" class="Symbol">(</a><a id="2481" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="2486" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2466" class="Bound">p</a><a id="2487" class="Symbol">)</a> <a id="2489" class="Symbol">(</a><a id="2490" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1358" class="Function">≤-k+</a> <a id="2495" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2468" class="Bound">q</a><a id="2496" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-k+-cancel"></a><a id="2499" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2499" class="Function">≤-k+-cancel</a> <a id="2511" class="Symbol">:</a> <a id="2513" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2515" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2517" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2519" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2521" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2523" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2525" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2527" class="Symbol">→</a> <a id="2529" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2531" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2533" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="2535" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2499" class="Function">≤-k+-cancel</a> <a id="2547" class="Symbol">{</a><a id="2548" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2548" class="Bound">k</a><a id="2549" class="Symbol">}</a> <a id="2551" class="Symbol">{</a><a id="2552" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2552" class="Bound">m</a><a id="2553" class="Symbol">}</a> <a id="2555" class="Symbol">(</a><a id="2556" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2558" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2560" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2560" class="Bound">p</a><a id="2561" class="Symbol">)</a> <a id="2563" class="Symbol">=</a> <a id="2565" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2567" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2569" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4306" class="Function">inj-m+</a> <a id="2576" class="Symbol">(</a><a id="2577" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2598" class="Function">sub</a> <a id="2581" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2548" class="Bound">k</a> <a id="2583" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2552" class="Bound">m</a> <a id="2585" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2587" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2560" class="Bound">p</a><a id="2588" class="Symbol">)</a>
<a id="2591" class="Keyword">where</a>
<a id="2598" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2598" class="Function">sub</a> <a id="2602" class="Symbol">:</a> <a id="2604" class="Symbol">∀</a> <a id="2606" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2606" class="Bound">k</a> <a id="2608" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2608" class="Bound">m</a> <a id="2610" class="Symbol">→</a> <a id="2612" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2606" class="Bound">k</a> <a id="2614" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2616" class="Symbol">(</a><a id="2617" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2619" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2621" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2608" class="Bound">m</a><a id="2622" class="Symbol">)</a> <a id="2624" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2626" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2628" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2630" class="Symbol">(</a><a id="2631" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2606" class="Bound">k</a> <a id="2633" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2635" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2608" class="Bound">m</a><a id="2636" class="Symbol">)</a>
<a id="2639" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2598" class="Function">sub</a> <a id="2643" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2643" class="Bound">k</a> <a id="2645" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2645" class="Bound">m</a> <a id="2647" class="Symbol">=</a> <a id="2649" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="2657" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2643" class="Bound">k</a> <a id="2659" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2661" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2645" class="Bound">m</a> <a id="2663" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2665" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="2670" class="Symbol">(</a><a id="2671" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">_+</a> <a id="2674" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2645" class="Bound">m</a><a id="2675" class="Symbol">)</a> <a id="2677" class="Symbol">(</a><a id="2678" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="2685" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2643" class="Bound">k</a> <a id="2687" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a><a id="2688" class="Symbol">)</a> <a id="2690" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2692" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="2696" class="Symbol">(</a><a id="2697" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="2705" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2556" class="Bound">l</a> <a id="2707" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2643" class="Bound">k</a> <a id="2709" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2645" class="Bound">m</a><a id="2710" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-+k-cancel"></a><a id="2713" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2713" class="Function">≤-+k-cancel</a> <a id="2725" class="Symbol">:</a> <a id="2727" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2729" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2731" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2733" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2735" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="2737" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2739" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2741" class="Symbol">→</a> <a id="2743" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2745" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2747" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="2749" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2713" class="Function">≤-+k-cancel</a> <a id="2761" class="Symbol">{</a><a id="2762" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2762" class="Bound">m</a><a id="2763" class="Symbol">}</a> <a id="2765" class="Symbol">{</a><a id="2766" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2766" class="Bound">k</a><a id="2767" class="Symbol">}</a> <a id="2769" class="Symbol">{</a><a id="2770" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2770" class="Bound">n</a><a id="2771" class="Symbol">}</a> <a id="2773" class="Symbol">(</a><a id="2774" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2774" class="Bound">l</a> <a id="2776" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2778" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2778" class="Bound">p</a><a id="2779" class="Symbol">)</a> <a id="2781" class="Symbol">=</a> <a id="2783" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2774" class="Bound">l</a> <a id="2785" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2787" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2805" class="Function">cancelled</a>
<a id="2798" class="Keyword">where</a>
<a id="2805" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2805" class="Function">cancelled</a> <a id="2815" class="Symbol">:</a> <a id="2817" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2774" class="Bound">l</a> <a id="2819" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2821" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2762" class="Bound">m</a> <a id="2823" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="2825" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2770" class="Bound">n</a>
<a id="2828" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2805" class="Function">cancelled</a> <a id="2838" class="Symbol">=</a> <a id="2840" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4395" class="Function">inj-+m</a> <a id="2847" class="Symbol">(</a><a id="2848" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="2852" class="Symbol">(</a><a id="2853" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="2861" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2774" class="Bound">l</a> <a id="2863" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2762" class="Bound">m</a> <a id="2865" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2766" class="Bound">k</a><a id="2866" class="Symbol">)</a> <a id="2868" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="2870" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2778" class="Bound">p</a><a id="2871" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-+k-trans"></a><a id="2874" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2874" class="Function">≤-+k-trans</a> <a id="2885" class="Symbol">:</a> <a id="2887" class="Symbol">(</a><a id="2888" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2890" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2892" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2894" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2896" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="2897" class="Symbol">)</a> <a id="2899" class="Symbol">→</a> <a id="2901" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2903" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2905" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="2907" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2874" class="Function">≤-+k-trans</a> <a id="2918" class="Symbol">{</a><a id="2919" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2919" class="Bound">m</a><a id="2920" class="Symbol">}</a> <a id="2922" class="Symbol">{</a><a id="2923" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2923" class="Bound">k</a><a id="2924" class="Symbol">}</a> <a id="2926" class="Symbol">{</a><a id="2927" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2927" class="Bound">n</a><a id="2928" class="Symbol">}</a> <a id="2930" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2930" class="Bound">p</a> <a id="2932" class="Symbol">=</a> <a id="2934" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="2942" class="Symbol">(</a><a id="2943" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2923" class="Bound">k</a> <a id="2945" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="2947" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="2954" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2923" class="Bound">k</a> <a id="2956" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2919" class="Bound">m</a><a id="2957" class="Symbol">)</a> <a id="2959" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2930" class="Bound">p</a>
<a id="≤-k+-trans"></a><a id="2962" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2962" class="Function">≤-k+-trans</a> <a id="2973" class="Symbol">:</a> <a id="2975" class="Symbol">(</a><a id="2976" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="2978" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="2980" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2982" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2984" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="2985" class="Symbol">)</a> <a id="2987" class="Symbol">→</a> <a id="2989" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="2991" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="2993" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="2995" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2962" class="Function">≤-k+-trans</a> <a id="3006" class="Symbol">{</a><a id="3007" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3007" class="Bound">m</a><a id="3008" class="Symbol">}</a> <a id="3010" class="Symbol">{</a><a id="3011" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3011" class="Bound">k</a><a id="3012" class="Symbol">}</a> <a id="3014" class="Symbol">{</a><a id="3015" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3015" class="Bound">n</a><a id="3016" class="Symbol">}</a> <a id="3018" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3018" class="Bound">p</a> <a id="3020" class="Symbol">=</a> <a id="3022" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="3030" class="Symbol">(</a><a id="3031" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3007" class="Bound">m</a> <a id="3033" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="3035" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="3039" class="Symbol">)</a> <a id="3041" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3018" class="Bound">p</a>
<a id="≤-·k"></a><a id="3044" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3044" class="Function">≤-·k</a> <a id="3049" class="Symbol">:</a> <a id="3051" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3053" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3057" class="Symbol">→</a> <a id="3059" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3061" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3063" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="3065" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3067" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3069" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3071" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="3073" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3044" class="Function">≤-·k</a> <a id="3078" class="Symbol">{</a><a id="3079" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3079" class="Bound">m</a><a id="3080" class="Symbol">}</a> <a id="3082" class="Symbol">{</a><a id="3083" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3083" class="Bound">n</a><a id="3084" class="Symbol">}</a> <a id="3086" class="Symbol">{</a><a id="3087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a><a id="3088" class="Symbol">}</a> <a id="3090" class="Symbol">(</a><a id="3091" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3093" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="3095" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3095" class="Bound">r</a><a id="3096" class="Symbol">)</a> <a id="3098" class="Symbol">=</a> <a id="3100" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3102" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3104" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3106" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="3108" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3123" class="Function">reason</a> <a id="3115" class="Keyword">where</a>
<a id="3123" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3123" class="Function">reason</a> <a id="3130" class="Symbol">:</a> <a id="3132" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3134" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3136" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3138" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3140" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3079" class="Bound">m</a> <a id="3142" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3144" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3146" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="3148" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3083" class="Bound">n</a> <a id="3150" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3152" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a>
<a id="3156" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3123" class="Function">reason</a> <a id="3163" class="Symbol">=</a> <a id="3165" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3167" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3169" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3171" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3173" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3079" class="Bound">m</a> <a id="3175" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3177" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3179" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">≡⟨</a> <a id="3182" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#5288" class="Function">·-distribʳ</a> <a id="3193" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3195" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3079" class="Bound">m</a> <a id="3197" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3199" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">⟩</a>
<a id="3212" class="Symbol">(</a><a id="3213" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3091" class="Bound">d</a> <a id="3215" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3217" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3079" class="Bound">m</a><a id="3218" class="Symbol">)</a> <a id="3220" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3222" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3226" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">≡⟨</a> <a id="3229" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="3234" class="Symbol">(</a><a id="3235" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">_·</a> <a id="3238" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a><a id="3239" class="Symbol">)</a> <a id="3241" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3095" class="Bound">r</a> <a id="3243" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">⟩</a>
<a id="3256" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3083" class="Bound">n</a> <a id="3258" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="3260" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3087" class="Bound">k</a> <a id="3270" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8499" class="Function Operator">∎</a>
<a id="<-k+-cancel"></a><a id="3273" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3273" class="Function"><-k+-cancel</a> <a id="3285" class="Symbol">:</a> <a id="3287" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="3289" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3291" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3295" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="3297" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3299" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3301" class="Symbol">→</a> <a id="3303" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3305" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3307" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="3309" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3273" class="Function"><-k+-cancel</a> <a id="3321" class="Symbol">{</a><a id="3322" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3322" class="Bound">k</a><a id="3323" class="Symbol">}</a> <a id="3325" class="Symbol">{</a><a id="3326" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3326" class="Bound">m</a><a id="3327" class="Symbol">}</a> <a id="3329" class="Symbol">{</a><a id="3330" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3330" class="Bound">n</a><a id="3331" class="Symbol">}</a> <a id="3333" class="Symbol">=</a> <a id="3335" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2499" class="Function">≤-k+-cancel</a> <a id="3347" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="3349" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="3355" class="Symbol">(</a><a id="3356" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">_≤</a> <a id="3359" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3322" class="Bound">k</a> <a id="3361" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3363" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3330" class="Bound">n</a><a id="3364" class="Symbol">)</a> <a id="3366" class="Symbol">(</a><a id="3367" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="3371" class="Symbol">(</a><a id="3372" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="3378" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3322" class="Bound">k</a> <a id="3380" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3326" class="Bound">m</a><a id="3381" class="Symbol">))</a>
<a id="¬-<-zero"></a><a id="3385" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3394" class="Symbol">:</a> <a id="3396" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="3398" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3400" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3402" class="Number">0</a>
<a id="3404" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3413" class="Symbol">(</a><a id="3414" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3414" class="Bound">k</a> <a id="3416" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="3418" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3418" class="Bound">p</a><a id="3419" class="Symbol">)</a> <a id="3421" class="Symbol">=</a> <a id="3423" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#1086" class="Function">snotz</a> <a id="3429" class="Symbol">((</a><a id="3431" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="3435" class="Symbol">(</a><a id="3436" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="3442" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3414" class="Bound">k</a> <a id="3444" class="Symbol">_))</a> <a id="3448" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="3450" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3418" class="Bound">p</a><a id="3451" class="Symbol">)</a>
<a id="¬m<m"></a><a id="3454" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3454" class="Function">¬m<m</a> <a id="3459" class="Symbol">:</a> <a id="3461" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="3463" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3465" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3467" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="3469" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3454" class="Function">¬m<m</a> <a id="3474" class="Symbol">{</a><a id="3475" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3475" class="Bound">m</a><a id="3476" class="Symbol">}</a> <a id="3478" class="Symbol">=</a> <a id="3480" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3489" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="3491" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#2713" class="Function">≤-+k-cancel</a> <a id="3503" class="Symbol">{</a><a id="3504" class="Argument">k</a> <a id="3506" class="Symbol">=</a> <a id="3508" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3475" class="Bound">m</a><a id="3509" class="Symbol">}</a>
<a id="≤0→≡0"></a><a id="3512" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3512" class="Function">≤0→≡0</a> <a id="3518" class="Symbol">:</a> <a id="3520" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3522" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3524" class="Number">0</a> <a id="3526" class="Symbol">→</a> <a id="3528" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3530" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="3532" class="Number">0</a>
<a id="3534" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3512" class="Function">≤0→≡0</a> <a id="3540" class="Symbol">{</a><a id="3541" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="3545" class="Symbol">}</a> <a id="3547" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3547" class="Bound">ineq</a> <a id="3552" class="Symbol">=</a> <a id="3554" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="3559" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3512" class="Function">≤0→≡0</a> <a id="3565" class="Symbol">{</a><a id="3566" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3570" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3570" class="Bound">n</a><a id="3571" class="Symbol">}</a> <a id="3573" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3573" class="Bound">ineq</a> <a id="3578" class="Symbol">=</a> <a id="3580" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="3586" class="Symbol">(</a><a id="3587" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3596" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3573" class="Bound">ineq</a><a id="3600" class="Symbol">)</a>
<a id="predℕ-≤-predℕ"></a><a id="3603" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3603" class="Function">predℕ-≤-predℕ</a> <a id="3617" class="Symbol">:</a> <a id="3619" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3621" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3623" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3625" class="Symbol">→</a> <a id="3627" class="Symbol">(</a><a id="3628" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#436" class="Function">predℕ</a> <a id="3634" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a><a id="3635" class="Symbol">)</a> <a id="3637" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3639" class="Symbol">(</a><a id="3640" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#436" class="Function">predℕ</a> <a id="3646" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="3647" class="Symbol">)</a>
<a id="3649" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3603" class="Function">predℕ-≤-predℕ</a> <a id="3663" class="Symbol">{</a><a id="3664" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="3668" class="Symbol">}</a> <a id="3670" class="Symbol">{</a><a id="3671" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="3675" class="Symbol">}</a> <a id="3679" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3679" class="Bound">ineq</a> <a id="3684" class="Symbol">=</a> <a id="3686" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="3693" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3603" class="Function">predℕ-≤-predℕ</a> <a id="3707" class="Symbol">{</a><a id="3708" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="3712" class="Symbol">}</a> <a id="3714" class="Symbol">{</a><a id="3715" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3719" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3719" class="Bound">n</a><a id="3720" class="Symbol">}</a> <a id="3723" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3723" class="Bound">ineq</a> <a id="3728" class="Symbol">=</a> <a id="3730" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="3737" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3603" class="Function">predℕ-≤-predℕ</a> <a id="3751" class="Symbol">{</a><a id="3752" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3756" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3756" class="Bound">m</a><a id="3757" class="Symbol">}</a> <a id="3759" class="Symbol">{</a><a id="3760" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="3764" class="Symbol">}</a> <a id="3767" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3767" class="Bound">ineq</a> <a id="3772" class="Symbol">=</a> <a id="3774" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="3780" class="Symbol">(</a><a id="3781" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3790" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3767" class="Bound">ineq</a><a id="3794" class="Symbol">)</a>
<a id="3796" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3603" class="Function">predℕ-≤-predℕ</a> <a id="3810" class="Symbol">{</a><a id="3811" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3815" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3815" class="Bound">m</a><a id="3816" class="Symbol">}</a> <a id="3818" class="Symbol">{</a><a id="3819" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3823" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3823" class="Bound">n</a><a id="3824" class="Symbol">}</a> <a id="3826" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3826" class="Bound">ineq</a> <a id="3831" class="Symbol">=</a> <a id="3833" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="3845" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3826" class="Bound">ineq</a>
<a id="¬m+n<m"></a><a id="3851" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3851" class="Function">¬m+n<m</a> <a id="3858" class="Symbol">:</a> <a id="3860" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="3862" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3864" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3866" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3868" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3870" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="3872" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3851" class="Function">¬m+n<m</a> <a id="3879" class="Symbol">{</a><a id="3880" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3880" class="Bound">m</a><a id="3881" class="Symbol">}</a> <a id="3883" class="Symbol">{</a><a id="3884" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3884" class="Bound">n</a><a id="3885" class="Symbol">}</a> <a id="3887" class="Symbol">=</a> <a id="3889" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="3898" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="3900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3273" class="Function"><-k+-cancel</a> <a id="3912" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="3914" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="3920" class="Symbol">(</a><a id="3921" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3880" class="Bound">m</a> <a id="3923" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="3925" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3884" class="Bound">n</a> <a id="3927" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><_</a><a id="3929" class="Symbol">)</a> <a id="3931" class="Symbol">(</a><a id="3932" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="3936" class="Symbol">(</a><a id="3937" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3859" class="Function">+-zero</a> <a id="3944" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3880" class="Bound">m</a><a id="3945" class="Symbol">))</a>
<a id="<-weaken"></a><a id="3949" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="3958" class="Symbol">:</a> <a id="3960" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3962" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="3964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="3966" class="Symbol">→</a> <a id="3968" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="3970" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="3972" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="3974" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="3983" class="Symbol">(</a><a id="3984" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3984" class="Bound">k</a> <a id="3986" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="3988" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3988" class="Bound">p</a><a id="3989" class="Symbol">)</a> <a id="3991" class="Symbol">=</a> <a id="3993" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="3997" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3984" class="Bound">k</a> <a id="3999" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="4001" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="4005" class="Symbol">(</a><a id="4006" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="4012" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3984" class="Bound">k</a> <a id="4014" class="Symbol">_)</a> <a id="4017" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="4019" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3988" class="Bound">p</a>
<a id="≤<-trans"></a><a id="4022" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="4031" class="Symbol">:</a> <a id="4033" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4035" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="4037" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4039" class="Symbol">→</a> <a id="4041" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4043" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4045" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4047" class="Symbol">→</a> <a id="4049" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4051" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4053" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="4064" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4064" class="Bound">p</a> <a id="4066" class="Symbol">=</a> <a id="4068" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="4076" class="Symbol">(</a><a id="4077" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="4087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4064" class="Bound">p</a><a id="4088" class="Symbol">)</a>
<a id="<≤-trans"></a><a id="4091" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4091" class="Function"><≤-trans</a> <a id="4100" class="Symbol">:</a> <a id="4102" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4104" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4106" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4108" class="Symbol">→</a> <a id="4110" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4112" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="4114" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4116" class="Symbol">→</a> <a id="4118" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4120" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4122" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4124" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4091" class="Function"><≤-trans</a> <a id="4133" class="Symbol">=</a> <a id="4135" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a>
<a id="<-trans"></a><a id="4144" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4144" class="Function"><-trans</a> <a id="4152" class="Symbol">:</a> <a id="4154" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4156" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4158" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4160" class="Symbol">→</a> <a id="4162" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4164" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4166" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4168" class="Symbol">→</a> <a id="4170" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4172" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4174" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4176" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4144" class="Function"><-trans</a> <a id="4184" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4184" class="Bound">p</a> <a id="4186" class="Symbol">=</a> <a id="4188" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="4197" class="Symbol">(</a><a id="4198" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="4207" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4184" class="Bound">p</a><a id="4208" class="Symbol">)</a>
<a id="<-asym"></a><a id="4211" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4211" class="Function"><-asym</a> <a id="4218" class="Symbol">:</a> <a id="4220" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4222" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4224" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4226" class="Symbol">→</a> <a id="4228" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="4230" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4232" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="4234" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="4236" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4211" class="Function"><-asym</a> <a id="4243" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4243" class="Bound">m<n</a> <a id="4247" class="Symbol">=</a> <a id="4249" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3454" class="Function">¬m<m</a> <a id="4254" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="4256" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4091" class="Function"><≤-trans</a> <a id="4265" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4243" class="Bound">m<n</a>
<a id="<-+k"></a><a id="4270" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4270" class="Function"><-+k</a> <a id="4275" class="Symbol">:</a> <a id="4277" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4279" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4281" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4283" class="Symbol">→</a> <a id="4285" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4287" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4289" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4291" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4295" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4297" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="4299" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4270" class="Function"><-+k</a> <a id="4304" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4304" class="Bound">p</a> <a id="4306" class="Symbol">=</a> <a id="4308" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1210" class="Function">≤-+k</a> <a id="4313" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4304" class="Bound">p</a>
<a id="<-k+"></a><a id="4316" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4316" class="Function"><-k+</a> <a id="4321" class="Symbol">:</a> <a id="4323" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4325" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4327" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4329" class="Symbol">→</a> <a id="4331" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4333" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4335" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4337" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4339" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4341" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4343" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4345" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4316" class="Function"><-k+</a> <a id="4350" class="Symbol">{</a><a id="4351" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4351" class="Bound">m</a><a id="4352" class="Symbol">}</a> <a id="4354" class="Symbol">{</a><a id="4355" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4355" class="Bound">n</a><a id="4356" class="Symbol">}</a> <a id="4358" class="Symbol">{</a><a id="4359" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4359" class="Bound">k</a><a id="4360" class="Symbol">}</a> <a id="4362" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4362" class="Bound">p</a> <a id="4364" class="Symbol">=</a> <a id="4366" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="4372" class="Symbol">(λ</a> <a id="4375" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4375" class="Bound">km</a> <a id="4378" class="Symbol">→</a> <a id="4380" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4375" class="Bound">km</a> <a id="4383" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="4385" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4359" class="Bound">k</a> <a id="4387" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4389" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4355" class="Bound">n</a><a id="4390" class="Symbol">)</a> <a id="4392" class="Symbol">(</a><a id="4393" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="4399" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4359" class="Bound">k</a> <a id="4401" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4351" class="Bound">m</a><a id="4402" class="Symbol">)</a> <a id="4404" class="Symbol">(</a><a id="4405" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1358" class="Function">≤-k+</a> <a id="4410" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4362" class="Bound">p</a><a id="4411" class="Symbol">)</a>
<a id="<-+k-trans"></a><a id="4414" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4414" class="Function"><-+k-trans</a> <a id="4425" class="Symbol">:</a> <a id="4427" class="Symbol">(</a><a id="4428" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4430" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4432" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4434" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4436" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="4437" class="Symbol">)</a> <a id="4439" class="Symbol">→</a> <a id="4441" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4443" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4445" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4447" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4414" class="Function"><-+k-trans</a> <a id="4458" class="Symbol">{</a><a id="4459" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4459" class="Bound">m</a><a id="4460" class="Symbol">}</a> <a id="4462" class="Symbol">{</a><a id="4463" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4463" class="Bound">k</a><a id="4464" class="Symbol">}</a> <a id="4466" class="Symbol">{</a><a id="4467" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4467" class="Bound">n</a><a id="4468" class="Symbol">}</a> <a id="4470" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4470" class="Bound">p</a> <a id="4472" class="Symbol">=</a> <a id="4474" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="4483" class="Symbol">(</a><a id="4484" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4463" class="Bound">k</a> <a id="4486" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="4488" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="4495" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4463" class="Bound">k</a> <a id="4497" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4459" class="Bound">m</a><a id="4498" class="Symbol">)</a> <a id="4500" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4470" class="Bound">p</a>
<a id="<-k+-trans"></a><a id="4503" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4503" class="Function"><-k+-trans</a> <a id="4514" class="Symbol">:</a> <a id="4516" class="Symbol">(</a><a id="4517" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4519" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4521" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4523" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4525" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="4526" class="Symbol">)</a> <a id="4528" class="Symbol">→</a> <a id="4530" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4532" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4534" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="4536" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4503" class="Function"><-k+-trans</a> <a id="4547" class="Symbol">{</a><a id="4548" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4548" class="Bound">m</a><a id="4549" class="Symbol">}</a> <a id="4551" class="Symbol">{</a><a id="4552" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4552" class="Bound">k</a><a id="4553" class="Symbol">}</a> <a id="4555" class="Symbol">{</a><a id="4556" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4556" class="Bound">n</a><a id="4557" class="Symbol">}</a> <a id="4559" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4559" class="Bound">p</a> <a id="4561" class="Symbol">=</a> <a id="4563" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="4572" class="Symbol">(</a><a id="4573" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4548" class="Bound">m</a> <a id="4575" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="4577" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="4581" class="Symbol">)</a> <a id="4583" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4559" class="Bound">p</a>
<a id="<-+-<"></a><a id="4586" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4586" class="Function"><-+-<</a> <a id="4592" class="Symbol">:</a> <a id="4594" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4596" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4598" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4600" class="Symbol">→</a> <a id="4602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4604" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4606" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4608" class="Symbol">→</a> <a id="4610" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4612" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4614" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4616" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4620" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4622" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a>
<a id="4624" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4586" class="Function"><-+-<</a> <a id="4631" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4631" class="Bound">m<n</a> <a id="4635" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4635" class="Bound">k<l</a> <a id="4639" class="Symbol">=</a> <a id="4641" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4144" class="Function"><-trans</a> <a id="4649" class="Symbol">(</a><a id="4650" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4270" class="Function"><-+k</a> <a id="4655" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4631" class="Bound">m<n</a><a id="4658" class="Symbol">)</a> <a id="4660" class="Symbol">(</a><a id="4661" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4316" class="Function"><-k+</a> <a id="4666" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4635" class="Bound">k<l</a><a id="4669" class="Symbol">)</a>
<a id="<-+-≤"></a><a id="4672" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4672" class="Function"><-+-≤</a> <a id="4678" class="Symbol">:</a> <a id="4680" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4682" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4684" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4686" class="Symbol">→</a> <a id="4688" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4690" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="4692" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="4694" class="Symbol">→</a> <a id="4696" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4698" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4700" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4702" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4704" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4706" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4708" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a>
<a id="4710" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4672" class="Function"><-+-≤</a> <a id="4716" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4716" class="Bound">p</a> <a id="4718" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4718" class="Bound">q</a> <a id="4720" class="Symbol">=</a> <a id="4722" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4091" class="Function"><≤-trans</a> <a id="4731" class="Symbol">(</a><a id="4732" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4270" class="Function"><-+k</a> <a id="4737" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4716" class="Bound">p</a><a id="4738" class="Symbol">)</a> <a id="4740" class="Symbol">(</a><a id="4741" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1358" class="Function">≤-k+</a> <a id="4746" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4718" class="Bound">q</a><a id="4747" class="Symbol">)</a>
<a id="<-·sk"></a><a id="4750" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4750" class="Function"><-·sk</a> <a id="4756" class="Symbol">:</a> <a id="4758" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4760" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4762" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4764" class="Symbol">→</a> <a id="4766" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="4768" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4770" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4774" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="4776" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="4778" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="4780" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4782" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4786" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a>
<a id="4788" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4750" class="Function"><-·sk</a> <a id="4794" class="Symbol">{</a><a id="4795" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a><a id="4796" class="Symbol">}</a> <a id="4798" class="Symbol">{</a><a id="4799" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4799" class="Bound">n</a><a id="4800" class="Symbol">}</a> <a id="4802" class="Symbol">{</a><a id="4803" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4804" class="Symbol">}</a> <a id="4806" class="Symbol">(</a><a id="4807" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4809" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="4811" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4811" class="Bound">r</a><a id="4812" class="Symbol">)</a> <a id="4814" class="Symbol">=</a> <a id="4816" class="Symbol">(</a><a id="4817" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4819" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4821" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4825" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="4827" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4829" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4830" class="Symbol">)</a> <a id="4832" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="4834" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4849" class="Function">reason</a> <a id="4841" class="Keyword">where</a>
<a id="4849" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4849" class="Function">reason</a> <a id="4856" class="Symbol">:</a> <a id="4858" class="Symbol">(</a><a id="4859" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4861" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4863" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4867" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="4869" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4871" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4872" class="Symbol">)</a> <a id="4874" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4876" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4880" class="Symbol">(</a><a id="4881" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a> <a id="4883" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4885" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4889" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4890" class="Symbol">)</a> <a id="4892" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="4894" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4799" class="Bound">n</a> <a id="4896" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4898" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4902" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a>
<a id="4906" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4849" class="Function">reason</a> <a id="4913" class="Symbol">=</a> <a id="4915" class="Symbol">(</a><a id="4916" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4918" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4920" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4924" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="4926" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4928" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4929" class="Symbol">)</a> <a id="4931" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="4933" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4937" class="Symbol">(</a><a id="4938" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a> <a id="4940" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4942" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4946" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4947" class="Symbol">)</a> <a id="4949" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">≡⟨</a> <a id="4952" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="4956" class="Symbol">(</a><a id="4957" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4185" class="Function">+-assoc</a> <a id="4965" class="Symbol">(</a><a id="4966" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4968" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4970" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="4974" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="4975" class="Symbol">)</a> <a id="4977" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="4979" class="Symbol">_)</a> <a id="4982" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">⟩</a>
<a id="4995" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="4997" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="4999" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5003" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5005" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5007" class="Symbol">(</a><a id="5008" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5010" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5012" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5016" class="Symbol">(</a><a id="5017" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a> <a id="5019" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5021" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5025" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="5026" class="Symbol">))</a> <a id="5029" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8050" class="Function">≡[</a> <a id="5032" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5032" class="Bound">i</a> <a id="5034" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8050" class="Function">]⟨</a> <a id="5037" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="5039" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5041" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5045" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5047" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5049" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="5055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5057" class="Symbol">(</a><a id="5058" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a> <a id="5060" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5062" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5066" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="5067" class="Symbol">)</a> <a id="5069" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5032" class="Bound">i</a> <a id="5071" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8050" class="Function">⟩</a>
<a id="5084" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="5086" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5088" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5092" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5094" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5096" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5100" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a> <a id="5102" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5104" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5108" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5118" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">≡⟨</a> <a id="5121" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#5288" class="Function">·-distribʳ</a> <a id="5132" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="5134" class="Symbol">(</a><a id="5135" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5139" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a><a id="5140" class="Symbol">)</a> <a id="5142" class="Symbol">(</a><a id="5143" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5147" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="5148" class="Symbol">)</a> <a id="5150" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">⟩</a>
<a id="5163" class="Symbol">(</a><a id="5164" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4807" class="Bound">d</a> <a id="5166" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5168" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5172" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4795" class="Bound">m</a><a id="5173" class="Symbol">)</a> <a id="5175" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5177" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5181" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5197" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">≡⟨</a> <a id="5200" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="5205" class="Symbol">(</a><a id="5206" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">_·</a> <a id="5209" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5213" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a><a id="5214" class="Symbol">)</a> <a id="5216" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4811" class="Bound">r</a> <a id="5218" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#7981" class="Function Operator">⟩</a>
<a id="5231" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4799" class="Bound">n</a> <a id="5233" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#216" class="Primitive Operator">·</a> <a id="5235" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5239" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4803" class="Bound">k</a> <a id="5265" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8499" class="Function Operator">∎</a>
<a id="∸-≤"></a><a id="5268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5268" class="Function">∸-≤</a> <a id="5272" class="Symbol">:</a> <a id="5274" class="Symbol">∀</a> <a id="5276" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5276" class="Bound">m</a> <a id="5278" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5278" class="Bound">n</a> <a id="5280" class="Symbol">→</a> <a id="5282" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5276" class="Bound">m</a> <a id="5284" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5286" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5278" class="Bound">n</a> <a id="5288" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="5290" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5276" class="Bound">m</a>
<a id="5292" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5268" class="Function">∸-≤</a> <a id="5296" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5296" class="Bound">m</a> <a id="5298" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="5303" class="Symbol">=</a> <a id="5305" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="5312" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5268" class="Function">∸-≤</a> <a id="5316" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="5321" class="Symbol">(</a><a id="5322" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5326" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5326" class="Bound">n</a><a id="5327" class="Symbol">)</a> <a id="5329" class="Symbol">=</a> <a id="5331" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="5338" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5268" class="Function">∸-≤</a> <a id="5342" class="Symbol">(</a><a id="5343" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5347" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5347" class="Bound">m</a><a id="5348" class="Symbol">)</a> <a id="5350" class="Symbol">(</a><a id="5351" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5355" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5355" class="Bound">n</a><a id="5356" class="Symbol">)</a> <a id="5358" class="Symbol">=</a> <a id="5360" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="5368" class="Symbol">(</a><a id="5369" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5268" class="Function">∸-≤</a> <a id="5373" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5347" class="Bound">m</a> <a id="5375" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5355" class="Bound">n</a><a id="5376" class="Symbol">)</a> <a id="5378" class="Symbol">(</a><a id="5379" class="Number">1</a> <a id="5381" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="5383" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="5387" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-∸-+-cancel"></a><a id="5390" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="5403" class="Symbol">:</a> <a id="5405" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5407" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="5409" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5411" class="Symbol">→</a> <a id="5413" class="Symbol">(</a><a id="5414" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5416" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5418" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a><a id="5419" class="Symbol">)</a> <a id="5421" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5423" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5425" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="5427" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="5429" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="5442" class="Symbol">{</a><a id="5443" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5447" class="Symbol">}</a> <a id="5449" class="Symbol">{</a><a id="5450" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5450" class="Bound">n</a><a id="5451" class="Symbol">}</a> <a id="5453" class="Symbol">_</a> <a id="5455" class="Symbol">=</a> <a id="5457" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3859" class="Function">+-zero</a> <a id="5464" class="Symbol">_</a>
<a id="5466" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="5479" class="Symbol">{</a><a id="5480" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5484" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5484" class="Bound">m</a><a id="5485" class="Symbol">}</a> <a id="5487" class="Symbol">{</a><a id="5488" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5492" class="Symbol">}</a> <a id="5494" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5494" class="Bound">m≤n</a> <a id="5498" class="Symbol">=</a> <a id="5500" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="5506" class="Symbol">(</a><a id="5507" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="5516" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5494" class="Bound">m≤n</a><a id="5519" class="Symbol">)</a>
<a id="5521" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="5534" class="Symbol">{</a><a id="5535" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5539" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5539" class="Bound">m</a><a id="5540" class="Symbol">}</a> <a id="5542" class="Symbol">{</a><a id="5543" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5547" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5547" class="Bound">n</a><a id="5548" class="Symbol">}</a> <a id="5550" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5550" class="Bound">m+1≤n+1</a> <a id="5558" class="Symbol">=</a> <a id="5560" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="5566" class="Symbol">_</a> <a id="5568" class="Symbol">_</a> <a id="5570" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="5572" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="5577" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5581" class="Symbol">(</a><a id="5582" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="5595" class="Symbol">(</a><a id="5596" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="5608" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5550" class="Bound">m+1≤n+1</a><a id="5615" class="Symbol">))</a>
<a id="≤-∸-suc"></a><a id="5619" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5627" class="Symbol">:</a> <a id="5629" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5631" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="5633" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5635" class="Symbol">→</a> <a id="5637" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5641" class="Symbol">(</a><a id="5642" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5644" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5646" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a><a id="5647" class="Symbol">)</a> <a id="5649" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="5651" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5655" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5657" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5659" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="5661" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5669" class="Symbol">{</a><a id="5670" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5674" class="Symbol">}</a> <a id="5676" class="Symbol">{</a><a id="5677" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5677" class="Bound">n</a><a id="5678" class="Symbol">}</a> <a id="5680" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5680" class="Bound">m≤n</a> <a id="5684" class="Symbol">=</a> <a id="5686" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="5691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5699" class="Symbol">{</a><a id="5700" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5704" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5704" class="Bound">m</a><a id="5705" class="Symbol">}</a> <a id="5707" class="Symbol">{</a><a id="5708" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5712" class="Symbol">}</a> <a id="5714" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5714" class="Bound">m≤n</a> <a id="5718" class="Symbol">=</a> <a id="5720" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="5726" class="Symbol">(</a><a id="5727" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="5736" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5714" class="Bound">m≤n</a><a id="5739" class="Symbol">)</a>
<a id="5741" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5749" class="Symbol">{</a><a id="5750" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5754" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5754" class="Bound">m</a><a id="5755" class="Symbol">}</a> <a id="5757" class="Symbol">{</a><a id="5758" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5762" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5762" class="Bound">n</a><a id="5763" class="Symbol">}</a> <a id="5765" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5765" class="Bound">m+1≤n+1</a> <a id="5773" class="Symbol">=</a> <a id="5775" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5783" class="Symbol">(</a><a id="5784" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="5796" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5765" class="Bound">m+1≤n+1</a><a id="5803" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-∸-k"></a><a id="5806" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5806" class="Function">≤-∸-k</a> <a id="5812" class="Symbol">:</a> <a id="5814" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5816" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="5818" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5820" class="Symbol">→</a> <a id="5822" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="5824" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5826" class="Symbol">(</a><a id="5827" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="5829" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5831" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a><a id="5832" class="Symbol">)</a> <a id="5834" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="5836" class="Symbol">(</a><a id="5837" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#831" class="Generalizable">k</a> <a id="5839" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="5841" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="5842" class="Symbol">)</a> <a id="5844" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="5846" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="5848" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5806" class="Function">≤-∸-k</a> <a id="5854" class="Symbol">{</a><a id="5855" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5855" class="Bound">m</a><a id="5856" class="Symbol">}</a> <a id="5858" class="Symbol">{</a><a id="5859" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5859" class="Bound">n</a><a id="5860" class="Symbol">}</a> <a id="5862" class="Symbol">{</a><a id="5863" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5867" class="Symbol">}</a> <a id="5869" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5869" class="Bound">r</a> <a id="5871" class="Symbol">=</a> <a id="5873" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="5878" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5806" class="Function">≤-∸-k</a> <a id="5884" class="Symbol">{</a><a id="5885" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5885" class="Bound">m</a><a id="5886" class="Symbol">}</a> <a id="5888" class="Symbol">{</a><a id="5889" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5889" class="Bound">n</a><a id="5890" class="Symbol">}</a> <a id="5892" class="Symbol">{</a><a id="5893" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5897" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5897" class="Bound">k</a><a id="5898" class="Symbol">}</a> <a id="5900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5900" class="Bound">r</a> <a id="5902" class="Symbol">=</a> <a id="5904" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="5909" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="5913" class="Symbol">(</a><a id="5914" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5806" class="Function">≤-∸-k</a> <a id="5920" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5900" class="Bound">r</a><a id="5921" class="Symbol">)</a> <a id="5923" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="5925" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5619" class="Function">≤-∸-suc</a> <a id="5933" class="Symbol">(</a><a id="5934" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="5942" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5900" class="Bound">r</a> <a id="5944" class="Symbol">(</a><a id="5945" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5897" class="Bound">k</a> <a id="5947" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="5949" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="5953" class="Symbol">))</a>
<a id="left-≤-max"></a><a id="5957" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5957" class="Function">left-≤-max</a> <a id="5968" class="Symbol">:</a> <a id="5970" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5972" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="5974" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#763" class="Function">max</a> <a id="5978" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="5980" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="5982" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5957" class="Function">left-≤-max</a> <a id="5993" class="Symbol">{</a><a id="5994" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="5998" class="Symbol">}</a> <a id="6000" class="Symbol">{</a><a id="6001" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6001" class="Bound">n</a><a id="6002" class="Symbol">}</a> <a id="6004" class="Symbol">=</a> <a id="6006" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="6013" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5957" class="Function">left-≤-max</a> <a id="6024" class="Symbol">{</a><a id="6025" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6029" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6029" class="Bound">m</a><a id="6030" class="Symbol">}</a> <a id="6032" class="Symbol">{</a><a id="6033" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6037" class="Symbol">}</a> <a id="6039" class="Symbol">=</a> <a id="6041" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="6048" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5957" class="Function">left-≤-max</a> <a id="6059" class="Symbol">{</a><a id="6060" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6064" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6064" class="Bound">m</a><a id="6065" class="Symbol">}</a> <a id="6067" class="Symbol">{</a><a id="6068" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6072" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6072" class="Bound">n</a><a id="6073" class="Symbol">}</a> <a id="6075" class="Symbol">=</a> <a id="6077" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5957" class="Function">left-≤-max</a>
<a id="right-≤-max"></a><a id="6099" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6099" class="Function">right-≤-max</a> <a id="6111" class="Symbol">:</a> <a id="6113" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="6115" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="6117" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#763" class="Function">max</a> <a id="6121" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="6123" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="6125" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6099" class="Function">right-≤-max</a> <a id="6137" class="Symbol">{</a><a id="6138" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6142" class="Symbol">}</a> <a id="6144" class="Symbol">{</a><a id="6145" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6145" class="Bound">m</a><a id="6146" class="Symbol">}</a> <a id="6148" class="Symbol">=</a> <a id="6150" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="6157" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6099" class="Function">right-≤-max</a> <a id="6169" class="Symbol">{</a><a id="6170" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6174" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6174" class="Bound">n</a><a id="6175" class="Symbol">}</a> <a id="6177" class="Symbol">{</a><a id="6178" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6182" class="Symbol">}</a> <a id="6184" class="Symbol">=</a> <a id="6186" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="6193" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6099" class="Function">right-≤-max</a> <a id="6205" class="Symbol">{</a><a id="6206" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6210" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6210" class="Bound">n</a><a id="6211" class="Symbol">}</a> <a id="6213" class="Symbol">{</a><a id="6214" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6218" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6218" class="Bound">m</a><a id="6219" class="Symbol">}</a> <a id="6221" class="Symbol">=</a> <a id="6223" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6233" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6099" class="Function">right-≤-max</a>
<a id="min-≤-left"></a><a id="6246" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6246" class="Function">min-≤-left</a> <a id="6257" class="Symbol">:</a> <a id="6259" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#497" class="Function">min</a> <a id="6263" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="6265" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="6267" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="6269" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="6271" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6246" class="Function">min-≤-left</a> <a id="6282" class="Symbol">{</a><a id="6283" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6287" class="Symbol">}</a> <a id="6289" class="Symbol">{</a><a id="6290" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6290" class="Bound">n</a><a id="6291" class="Symbol">}</a> <a id="6293" class="Symbol">=</a> <a id="6295" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="6302" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6246" class="Function">min-≤-left</a> <a id="6313" class="Symbol">{</a><a id="6314" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6318" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6318" class="Bound">m</a><a id="6319" class="Symbol">}</a> <a id="6321" class="Symbol">{</a><a id="6322" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6326" class="Symbol">}</a> <a id="6328" class="Symbol">=</a> <a id="6330" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="6337" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6246" class="Function">min-≤-left</a> <a id="6348" class="Symbol">{</a><a id="6349" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6353" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6353" class="Bound">m</a><a id="6354" class="Symbol">}</a> <a id="6356" class="Symbol">{</a><a id="6357" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6361" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6361" class="Bound">n</a><a id="6362" class="Symbol">}</a> <a id="6364" class="Symbol">=</a> <a id="6366" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6376" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6246" class="Function">min-≤-left</a>
<a id="min-≤-right"></a><a id="6388" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6388" class="Function">min-≤-right</a> <a id="6400" class="Symbol">:</a> <a id="6402" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#497" class="Function">min</a> <a id="6406" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="6408" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="6410" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="6412" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="6414" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6388" class="Function">min-≤-right</a> <a id="6426" class="Symbol">{</a><a id="6427" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6431" class="Symbol">}</a> <a id="6433" class="Symbol">{</a><a id="6434" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6434" class="Bound">n</a><a id="6435" class="Symbol">}</a> <a id="6437" class="Symbol">=</a> <a id="6439" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="6446" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6388" class="Function">min-≤-right</a> <a id="6458" class="Symbol">{</a><a id="6459" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6463" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6463" class="Bound">m</a><a id="6464" class="Symbol">}</a> <a id="6466" class="Symbol">{</a><a id="6467" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="6471" class="Symbol">}</a> <a id="6473" class="Symbol">=</a> <a id="6475" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="6482" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6388" class="Function">min-≤-right</a> <a id="6494" class="Symbol">{</a><a id="6495" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6499" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6499" class="Bound">m</a><a id="6500" class="Symbol">}</a> <a id="6502" class="Symbol">{</a><a id="6503" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6507" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6507" class="Bound">n</a><a id="6508" class="Symbol">}</a> <a id="6510" class="Symbol">=</a> <a id="6512" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6522" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6388" class="Function">min-≤-right</a>
<a id="≤Dec"></a><a id="6535" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6540" class="Symbol">:</a> <a id="6542" class="Symbol">∀</a> <a id="6544" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6544" class="Bound">m</a> <a id="6546" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6546" class="Bound">n</a> <a id="6548" class="Symbol">→</a> <a id="6550" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#444" class="Datatype">Dec</a> <a id="6554" class="Symbol">(</a><a id="6555" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6544" class="Bound">m</a> <a id="6557" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="6559" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6546" class="Bound">n</a><a id="6560" class="Symbol">)</a>
<a id="6562" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6567" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="6572" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6572" class="Bound">n</a> <a id="6574" class="Symbol">=</a> <a id="6576" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="6580" class="Symbol">(</a><a id="6581" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6572" class="Bound">n</a> <a id="6583" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="6585" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3859" class="Function">+-zero</a> <a id="6592" class="Symbol">_)</a>
<a id="6595" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6600" class="Symbol">(</a><a id="6601" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6605" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6605" class="Bound">m</a><a id="6606" class="Symbol">)</a> <a id="6608" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="6613" class="Symbol">=</a> <a id="6615" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="6618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a>
<a id="6627" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6632" class="Symbol">(</a><a id="6633" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6637" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6637" class="Bound">m</a><a id="6638" class="Symbol">)</a> <a id="6640" class="Symbol">(</a><a id="6641" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6645" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6645" class="Bound">n</a><a id="6646" class="Symbol">)</a> <a id="6648" class="Keyword">with</a> <a id="6653" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6658" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6637" class="Bound">m</a> <a id="6660" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6645" class="Bound">n</a>
<a id="6662" class="Symbol">...</a> <a id="6666" class="Symbol">|</a> <a id="6668" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="6672" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6672" class="Bound">m≤n</a> <a id="6676" class="Symbol">=</a> <a id="6678" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="6682" class="Symbol">(</a><a id="6683" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6693" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6672" class="Bound">m≤n</a><a id="6696" class="Symbol">)</a>
<a id="6698" class="Symbol">...</a> <a id="6702" class="Symbol">|</a> <a id="6704" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="6707" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6707" class="Bound">m≰n</a> <a id="6711" class="Symbol">=</a> <a id="6713" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="6716" class="Symbol">λ</a> <a id="6718" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6718" class="Bound">m+1≤n+1</a> <a id="6726" class="Symbol">→</a> <a id="6728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6707" class="Bound">m≰n</a> <a id="6732" class="Symbol">(</a><a id="6733" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="6745" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6718" class="Bound">m+1≤n+1</a> <a id="6753" class="Symbol">)</a>
<a id="<Dec"></a><a id="6756" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6756" class="Function"><Dec</a> <a id="6761" class="Symbol">:</a> <a id="6763" class="Symbol">∀</a> <a id="6765" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6765" class="Bound">m</a> <a id="6767" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6767" class="Bound">n</a> <a id="6769" class="Symbol">→</a> <a id="6771" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#444" class="Datatype">Dec</a> <a id="6775" class="Symbol">(</a><a id="6776" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6765" class="Bound">m</a> <a id="6778" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="6780" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6767" class="Bound">n</a><a id="6781" class="Symbol">)</a>
<a id="6783" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6756" class="Function"><Dec</a> <a id="6788" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6788" class="Bound">m</a> <a id="6790" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6790" class="Bound">n</a> <a id="6792" class="Symbol">=</a> <a id="6794" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6535" class="Function">≤Dec</a> <a id="6799" class="Symbol">(</a><a id="6800" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6804" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6788" class="Bound">m</a><a id="6805" class="Symbol">)</a> <a id="6807" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6790" class="Bound">n</a>
<a id="Trichotomy-suc"></a><a id="6810" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6810" class="Function">Trichotomy-suc</a> <a id="6825" class="Symbol">:</a> <a id="6827" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="6838" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="6840" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="6842" class="Symbol">→</a> <a id="6844" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="6855" class="Symbol">(</a><a id="6856" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6860" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a><a id="6861" class="Symbol">)</a> <a id="6863" class="Symbol">(</a><a id="6864" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6868" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="6869" class="Symbol">)</a>
<a id="6871" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6810" class="Function">Trichotomy-suc</a> <a id="6886" class="Symbol">(</a><a id="6887" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="6890" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6890" class="Bound">m<n</a><a id="6893" class="Symbol">)</a> <a id="6895" class="Symbol">=</a> <a id="6897" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="6900" class="Symbol">(</a><a id="6901" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="6911" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6890" class="Bound">m<n</a><a id="6914" class="Symbol">)</a>
<a id="6916" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6810" class="Function">Trichotomy-suc</a> <a id="6931" class="Symbol">(</a><a id="6932" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="6935" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6935" class="Bound">m=n</a><a id="6938" class="Symbol">)</a> <a id="6940" class="Symbol">=</a> <a id="6942" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="6945" class="Symbol">(</a><a id="6946" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="6951" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="6955" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6935" class="Bound">m=n</a><a id="6958" class="Symbol">)</a>
<a id="6960" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6810" class="Function">Trichotomy-suc</a> <a id="6975" class="Symbol">(</a><a id="6976" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="6979" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6979" class="Bound">n<m</a><a id="6982" class="Symbol">)</a> <a id="6984" class="Symbol">=</a> <a id="6986" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="6989" class="Symbol">(</a><a id="6990" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="7000" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6979" class="Bound">n<m</a><a id="7003" class="Symbol">)</a>
<a id="_≟_"></a><a id="7006" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">_≟_</a> <a id="7010" class="Symbol">:</a> <a id="7012" class="Symbol">∀</a> <a id="7014" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7014" class="Bound">m</a> <a id="7016" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7016" class="Bound">n</a> <a id="7018" class="Symbol">→</a> <a id="7020" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="7031" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7014" class="Bound">m</a> <a id="7033" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7016" class="Bound">n</a>
<a id="7035" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="7040" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7042" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="7047" class="Symbol">=</a> <a id="7049" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="7052" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="7057" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="7062" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7064" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7068" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7068" class="Bound">n</a> <a id="7070" class="Symbol">=</a> <a id="7072" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="7075" class="Symbol">(</a><a id="7076" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7068" class="Bound">n</a> <a id="7078" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="7080" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="7087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7068" class="Bound">n</a> <a id="7089" class="Number">1</a><a id="7090" class="Symbol">)</a>
<a id="7092" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7096" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7096" class="Bound">m</a> <a id="7098" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7100" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="7105" class="Symbol">=</a> <a id="7107" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="7110" class="Symbol">(</a><a id="7111" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7096" class="Bound">m</a> <a id="7113" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="7115" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="7122" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7096" class="Bound">m</a> <a id="7124" class="Number">1</a><a id="7125" class="Symbol">)</a>
<a id="7127" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7131" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7131" class="Bound">m</a> <a id="7133" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7135" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7139" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7139" class="Bound">n</a> <a id="7141" class="Symbol">=</a> <a id="7143" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#6810" class="Function">Trichotomy-suc</a> <a id="7158" class="Symbol">(</a><a id="7159" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7131" class="Bound">m</a> <a id="7161" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7163" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7139" class="Bound">n</a><a id="7164" class="Symbol">)</a>
<a id="splitℕ-≤"></a><a id="7167" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7167" class="Function">splitℕ-≤</a> <a id="7176" class="Symbol">:</a> <a id="7178" class="Symbol">(</a><a id="7179" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7179" class="Bound">m</a> <a id="7181" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7181" class="Bound">n</a> <a id="7183" class="Symbol">:</a> <a id="7185" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="7186" class="Symbol">)</a> <a id="7188" class="Symbol">→</a> <a id="7190" class="Symbol">(</a><a id="7191" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7179" class="Bound">m</a> <a id="7193" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="7195" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7181" class="Bound">n</a><a id="7196" class="Symbol">)</a> <a id="7198" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="7200" class="Symbol">(</a><a id="7201" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7181" class="Bound">n</a> <a id="7203" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="7205" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7179" class="Bound">m</a><a id="7206" class="Symbol">)</a>
<a id="7208" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7167" class="Function">splitℕ-≤</a> <a id="7217" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7217" class="Bound">m</a> <a id="7219" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7219" class="Bound">n</a> <a id="7221" class="Keyword">with</a> <a id="7226" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7217" class="Bound">m</a> <a id="7228" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7230" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7219" class="Bound">n</a>
<a id="7232" class="Symbol">...</a> <a id="7236" class="Symbol">|</a> <a id="7238" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="7241" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7241" class="Bound">x</a> <a id="7243" class="Symbol">=</a> <a id="7245" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="7249" class="Symbol">(</a><a id="7250" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="7259" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7241" class="Bound">x</a><a id="7260" class="Symbol">)</a>
<a id="7262" class="Symbol">...</a> <a id="7266" class="Symbol">|</a> <a id="7268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="7271" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7271" class="Bound">x</a> <a id="7273" class="Symbol">=</a> <a id="7275" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="7279" class="Symbol">(</a><a id="7280" class="Number">0</a> <a id="7282" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="7284" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7271" class="Bound">x</a><a id="7285" class="Symbol">)</a>
<a id="7287" class="Symbol">...</a> <a id="7291" class="Symbol">|</a> <a id="7293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="7296" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7296" class="Bound">x</a> <a id="7298" class="Symbol">=</a> <a id="7300" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="7304" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7296" class="Bound">x</a>
<a id="splitℕ-<"></a><a id="7307" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7307" class="Function">splitℕ-<</a> <a id="7316" class="Symbol">:</a> <a id="7318" class="Symbol">(</a><a id="7319" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7319" class="Bound">m</a> <a id="7321" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7321" class="Bound">n</a> <a id="7323" class="Symbol">:</a> <a id="7325" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="7326" class="Symbol">)</a> <a id="7328" class="Symbol">→</a> <a id="7330" class="Symbol">(</a><a id="7331" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7319" class="Bound">m</a> <a id="7333" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="7335" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7321" class="Bound">n</a><a id="7336" class="Symbol">)</a> <a id="7338" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="7340" class="Symbol">(</a><a id="7341" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7321" class="Bound">n</a> <a id="7343" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="7345" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7319" class="Bound">m</a><a id="7346" class="Symbol">)</a>
<a id="7348" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7307" class="Function">splitℕ-<</a> <a id="7357" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7357" class="Bound">m</a> <a id="7359" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7359" class="Bound">n</a> <a id="7361" class="Keyword">with</a> <a id="7366" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7357" class="Bound">m</a> <a id="7368" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7370" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7359" class="Bound">n</a>
<a id="7372" class="Symbol">...</a> <a id="7376" class="Symbol">|</a> <a id="7378" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="7381" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7381" class="Bound">x</a> <a id="7383" class="Symbol">=</a> <a id="7385" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="7389" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7381" class="Bound">x</a>
<a id="7391" class="Symbol">...</a> <a id="7395" class="Symbol">|</a> <a id="7397" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="7400" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7400" class="Bound">x</a> <a id="7402" class="Symbol">=</a> <a id="7404" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="7408" class="Symbol">(</a><a id="7409" class="Number">0</a> <a id="7411" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="7413" class="Symbol">(</a><a id="7414" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="7418" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7400" class="Bound">x</a><a id="7419" class="Symbol">))</a>
<a id="7422" class="Symbol">...</a> <a id="7426" class="Symbol">|</a> <a id="7428" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="7431" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7431" class="Bound">x</a> <a id="7433" class="Symbol">=</a> <a id="7435" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="7439" class="Symbol">(</a><a id="7440" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="7449" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7431" class="Bound">x</a><a id="7450" class="Symbol">)</a>
<a id="≤CaseInduction"></a><a id="7453" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7453" class="Function">≤CaseInduction</a> <a id="7468" class="Symbol">:</a> <a id="7470" class="Symbol">{</a><a id="7471" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7471" class="Bound">P</a> <a id="7473" class="Symbol">:</a> <a id="7475" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="7477" class="Symbol">→</a> <a id="7479" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="7481" class="Symbol">→</a> <a id="7483" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type</a> <a id="7488" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#482" class="Generalizable">ℓ</a><a id="7489" class="Symbol">}</a> <a id="7491" class="Symbol">{</a><a id="7492" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7494" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a> <a id="7496" class="Symbol">:</a> <a id="7498" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="7499" class="Symbol">}</a>
<a id="7503" class="Symbol">→</a> <a id="7505" class="Symbol">(</a><a id="7506" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7508" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="7510" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a> <a id="7512" class="Symbol">→</a> <a id="7514" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7471" class="Bound">P</a> <a id="7516" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7518" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a><a id="7519" class="Symbol">)</a> <a id="7521" class="Symbol">→</a> <a id="7523" class="Symbol">(</a><a id="7524" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a> <a id="7526" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="7528" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7530" class="Symbol">→</a> <a id="7532" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7471" class="Bound">P</a> <a id="7534" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7536" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a><a id="7537" class="Symbol">)</a>
<a id="7541" class="Symbol">→</a> <a id="7543" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7471" class="Bound">P</a> <a id="7545" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7492" class="Bound">n</a> <a id="7547" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7494" class="Bound">m</a>
<a id="7549" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7453" class="Function">≤CaseInduction</a> <a id="7564" class="Symbol">{</a><a id="7565" class="Argument">n</a> <a id="7567" class="Symbol">=</a> <a id="7569" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7569" class="Bound">n</a><a id="7570" class="Symbol">}</a> <a id="7572" class="Symbol">{</a><a id="7573" class="Argument">m</a> <a id="7575" class="Symbol">=</a> <a id="7577" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7577" class="Bound">m</a><a id="7578" class="Symbol">}</a> <a id="7580" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7580" class="Bound">p</a> <a id="7582" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7582" class="Bound">q</a> <a id="7584" class="Keyword">with</a> <a id="7589" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7569" class="Bound">n</a> <a id="7591" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="7593" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7577" class="Bound">m</a>
<a id="7595" class="Symbol">...</a> <a id="7599" class="Symbol">|</a> <a id="7601" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="7604" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7604" class="Bound">x</a> <a id="7606" class="Symbol">=</a> <a id="7608" class="Bound">p</a> <a id="7610" class="Symbol">(</a><a id="7611" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="7620" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7604" class="Bound">x</a><a id="7621" class="Symbol">)</a>
<a id="7623" class="Symbol">...</a> <a id="7627" class="Symbol">|</a> <a id="7629" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="7632" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7632" class="Bound">x</a> <a id="7634" class="Symbol">=</a> <a id="7636" class="Bound">p</a> <a id="7638" class="Symbol">(</a><a id="7639" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="7645" class="Symbol">(</a><a id="7646" class="Bound">n</a> <a id="7648" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤_</a><a id="7650" class="Symbol">)</a> <a id="7652" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7632" class="Bound">x</a> <a id="7654" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a><a id="7660" class="Symbol">)</a>
<a id="7662" class="Symbol">...</a> <a id="7666" class="Symbol">|</a> <a id="7668" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="7671" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7671" class="Bound">x</a> <a id="7673" class="Symbol">=</a> <a id="7675" class="Bound">q</a> <a id="7677" class="Symbol">(</a><a id="7678" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="7687" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7671" class="Bound">x</a><a id="7688" class="Symbol">)</a>
<a id="<-split"></a><a id="7691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7699" class="Symbol">:</a> <a id="7701" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7703" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="7705" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7709" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="7711" class="Symbol">→</a> <a id="7713" class="Symbol">(</a><a id="7714" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7716" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="7718" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="7719" class="Symbol">)</a> <a id="7721" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="7723" class="Symbol">(</a><a id="7724" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7726" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="7728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="7729" class="Symbol">)</a>
<a id="7731" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7739" class="Symbol">{</a><a id="7740" class="Argument">n</a> <a id="7742" class="Symbol">=</a> <a id="7744" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="7748" class="Symbol">}</a> <a id="7750" class="Symbol">=</a> <a id="7752" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="7756" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7758" href="Agda.Builtin.Sigma.html#264" class="Field">snd</a> <a id="7762" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7764" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4643" class="Function">m+n≡0→m≡0×n≡0</a> <a id="7778" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7780" href="Agda.Builtin.Sigma.html#264" class="Field">snd</a> <a id="7784" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7786" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a>
<a id="7798" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7806" class="Symbol">{</a><a id="7807" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="7811" class="Symbol">}</a> <a id="7813" class="Symbol">{</a><a id="7814" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7818" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7818" class="Bound">n</a><a id="7819" class="Symbol">}</a> <a id="7821" class="Symbol">=</a> <a id="7823" class="Symbol">λ</a> <a id="7825" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7825" class="Bound">_</a> <a id="7827" class="Symbol">→</a> <a id="7829" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="7833" class="Symbol">(</a><a id="7834" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="7844" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a><a id="7850" class="Symbol">)</a>
<a id="7852" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7860" class="Symbol">{</a><a id="7861" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7865" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7865" class="Bound">m</a><a id="7866" class="Symbol">}</a> <a id="7868" class="Symbol">{</a><a id="7869" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="7873" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7873" class="Bound">n</a><a id="7874" class="Symbol">}</a> <a id="7876" class="Symbol">=</a> <a id="7878" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#543" class="Function">⊎.map</a> <a id="7884" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="7894" class="Symbol">(</a><a id="7895" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="7900" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a><a id="7903" class="Symbol">)</a> <a id="7905" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7907" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7915" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="7917" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a>
<a id="≤-split"></a><a id="7930" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7930" class="Function">≤-split</a> <a id="7938" class="Symbol">:</a> <a id="7940" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7942" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="7944" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="7946" class="Symbol">→</a> <a id="7948" class="Symbol">(</a><a id="7949" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7951" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="7953" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="7954" class="Symbol">)</a> <a id="7956" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="7958" class="Symbol">(</a><a id="7959" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="7961" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="7963" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="7964" class="Symbol">)</a>
<a id="7966" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7930" class="Function">≤-split</a> <a id="7974" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7974" class="Bound">p</a> <a id="7976" class="Symbol">=</a> <a id="7978" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="7986" class="Symbol">(</a><a id="7987" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="7997" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7974" class="Bound">p</a><a id="7998" class="Symbol">)</a>
<a id="≤→<"></a><a id="8001" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8001" class="Function">≤→<</a> <a id="8005" class="Symbol">:</a> <a id="8007" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8009" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8011" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8013" class="Symbol">→</a> <a id="8015" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="8017" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8019" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="8021" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8023" class="Symbol">→</a> <a id="8025" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8027" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="8029" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="8031" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8001" class="Function">≤→<</a> <a id="8035" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8035" class="Bound">p</a> <a id="8037" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8037" class="Bound">q</a> <a id="8039" class="Symbol">=</a>
<a id="8043" href="Cubical.Foundations.Function.html#1217" class="Function Operator">case</a> <a id="8048" class="Symbol">(</a><a id="8049" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7930" class="Function">≤-split</a> <a id="8057" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8035" class="Bound">p</a><a id="8058" class="Symbol">)</a> <a id="8060" href="Cubical.Foundations.Function.html#1217" class="Function Operator">of</a>
<a id="8067" class="Symbol">λ</a> <a id="8069" class="Symbol">{</a> <a id="8071" class="Symbol">(</a><a id="8072" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="8076" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8076" class="Bound">r</a><a id="8077" class="Symbol">)</a> <a id="8079" class="Symbol">→</a> <a id="8081" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8076" class="Bound">r</a>
<a id="8089" class="Symbol">;</a> <a id="8091" class="Symbol">(</a><a id="8092" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="8096" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8096" class="Bound">r</a><a id="8097" class="Symbol">)</a> <a id="8099" class="Symbol">→</a> <a id="8101" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="8107" class="Symbol">(</a><a id="8108" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8037" class="Bound">q</a> <a id="8110" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8096" class="Bound">r</a><a id="8111" class="Symbol">)</a> <a id="8113" class="Symbol">}</a>
<a id="≤-suc-≢"></a><a id="8116" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8116" class="Function">≤-suc-≢</a> <a id="8124" class="Symbol">:</a> <a id="8126" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8128" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8130" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="8134" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8136" class="Symbol">→</a> <a id="8138" class="Symbol">(</a><a id="8139" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8141" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="8143" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="8147" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8149" class="Symbol">→</a> <a id="8151" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#145" class="Datatype">⊥</a> <a id="8153" class="Symbol">)</a> <a id="8155" class="Symbol">→</a> <a id="8157" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8159" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8161" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a>
<a id="8163" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8116" class="Function">≤-suc-≢</a> <a id="8171" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8171" class="Bound">p</a> <a id="8173" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8173" class="Bound">¬q</a> <a id="8176" class="Symbol">=</a> <a id="8178" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="8190" class="Symbol">(</a><a id="8191" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8001" class="Function">≤→<</a> <a id="8195" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8171" class="Bound">p</a> <a id="8197" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8173" class="Bound">¬q</a><a id="8199" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-+-split"></a><a id="8202" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8202" class="Function">≤-+-split</a> <a id="8212" class="Symbol">:</a> <a id="8214" class="Symbol">∀</a> <a id="8216" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8216" class="Bound">n</a> <a id="8218" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8218" class="Bound">m</a> <a id="8220" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8220" class="Bound">k</a> <a id="8222" class="Symbol">→</a> <a id="8224" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8220" class="Bound">k</a> <a id="8226" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8228" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8216" class="Bound">n</a> <a id="8230" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="8232" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8218" class="Bound">m</a> <a id="8234" class="Symbol">→</a> <a id="8236" class="Symbol">(</a><a id="8237" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8216" class="Bound">n</a> <a id="8239" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8241" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8220" class="Bound">k</a><a id="8242" class="Symbol">)</a> <a id="8244" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="8246" class="Symbol">(</a><a id="8247" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8218" class="Bound">m</a> <a id="8249" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8251" class="Symbol">(</a><a id="8252" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8216" class="Bound">n</a> <a id="8254" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="8256" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8218" class="Bound">m</a><a id="8257" class="Symbol">)</a> <a id="8259" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="8261" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8220" class="Bound">k</a><a id="8262" class="Symbol">)</a>
<a id="8264" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8202" class="Function">≤-+-split</a> <a id="8274" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8274" class="Bound">n</a> <a id="8276" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8276" class="Bound">m</a> <a id="8278" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8278" class="Bound">k</a> <a id="8280" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8280" class="Bound">k≤n+m</a> <a id="8286" class="Keyword">with</a> <a id="8291" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8274" class="Bound">n</a> <a id="8293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="8295" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8278" class="Bound">k</a>
<a id="8297" class="Symbol">...</a> <a id="8301" class="Symbol">|</a> <a id="8303" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="8306" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8306" class="Bound">p</a> <a id="8308" class="Symbol">=</a> <a id="8310" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="8314" class="Symbol">(</a><a id="8315" class="Number">0</a> <a id="8317" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="8319" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8306" class="Bound">p</a><a id="8320" class="Symbol">)</a>
<a id="8322" class="Symbol">...</a> <a id="8326" class="Symbol">|</a> <a id="8328" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="8331" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8331" class="Bound">n<k</a> <a id="8335" class="Symbol">=</a> <a id="8337" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="8341" class="Symbol">(</a><a id="8342" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="8351" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8331" class="Bound">n<k</a><a id="8354" class="Symbol">)</a>
<a id="8356" class="Symbol">...</a> <a id="8360" class="Symbol">|</a> <a id="8362" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="8365" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8365" class="Bound">k<n</a> <a id="8369" class="Keyword">with</a> <a id="8374" class="Bound">m</a> <a id="8376" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="8378" class="Symbol">((</a><a id="8380" class="Bound">n</a> <a id="8382" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="8384" class="Bound">m</a><a id="8385" class="Symbol">)</a> <a id="8387" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="8389" class="Bound">k</a><a id="8390" class="Symbol">)</a>
<a id="8392" class="Symbol">...</a> <a id="8396" class="Symbol">|</a> <a id="8398" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="8401" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8401" class="Bound">p</a> <a id="8403" class="Symbol">=</a> <a id="8405" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="8409" class="Symbol">(</a><a id="8410" class="Number">0</a> <a id="8412" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="8414" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8401" class="Bound">p</a><a id="8415" class="Symbol">)</a>
<a id="8417" class="Symbol">...</a> <a id="8421" class="Symbol">|</a> <a id="8423" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="8426" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8426" class="Bound">m<n+m∸k</a> <a id="8434" class="Symbol">=</a> <a id="8436" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="8440" class="Symbol">(</a><a id="8441" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="8450" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8426" class="Bound">m<n+m∸k</a><a id="8457" class="Symbol">)</a>
<a id="8459" class="Symbol">...</a> <a id="8463" class="Symbol">|</a> <a id="8465" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="8468" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8468" class="Bound">n+m∸k<m</a> <a id="8476" class="Symbol">=</a>
<a id="8484" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="8490" class="Symbol">(</a><a id="8491" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3454" class="Function">¬m<m</a> <a id="8496" class="Symbol">(</a><a id="8497" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8597" class="Function">transport</a> <a id="8507" class="Symbol">(λ</a> <a id="8510" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8510" class="Bound">i</a> <a id="8512" class="Symbol">→</a> <a id="8514" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#5390" class="Function">≤-∸-+-cancel</a> <a id="8527" class="Bound">k≤n+m</a> <a id="8533" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8510" class="Bound">i</a> <a id="8535" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="8537" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="8544" class="Bound">m</a> <a id="8546" class="Bound">n</a> <a id="8548" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8510" class="Bound">i</a><a id="8549" class="Symbol">)</a> <a id="8551" class="Symbol">(</a><a id="8552" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4586" class="Function"><-+-<</a> <a id="8558" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8468" class="Bound">n+m∸k<m</a> <a id="8566" class="Bound">k<n</a><a id="8569" class="Symbol">)))</a>
<a id="<-asym'-case"></a><a id="8574" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8574" class="Function"><-asym'-case</a> <a id="8587" class="Symbol">:</a> <a id="8589" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="8600" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8604" class="Symbol">→</a> <a id="8606" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="8608" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8610" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="8612" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8614" class="Symbol">→</a> <a id="8616" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8620" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="8622" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8574" class="Function"><-asym'-case</a> <a id="8635" class="Symbol">(</a><a id="8636" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="8639" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8639" class="Bound">p</a><a id="8640" class="Symbol">)</a> <a id="8642" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8642" class="Bound">q</a> <a id="8644" class="Symbol">=</a> <a id="8646" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="8652" class="Symbol">(</a><a id="8653" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8642" class="Bound">q</a> <a id="8655" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8639" class="Bound">p</a><a id="8656" class="Symbol">)</a>
<a id="8658" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8574" class="Function"><-asym'-case</a> <a id="8671" class="Symbol">(</a><a id="8672" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="8675" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8675" class="Bound">p</a><a id="8676" class="Symbol">)</a> <a id="8678" class="Symbol">_</a> <a id="8680" class="Symbol">=</a> <a id="8682" class="Symbol">_</a> <a id="8684" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="8686" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="8690" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8675" class="Bound">p</a>
<a id="8692" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8574" class="Function"><-asym'-case</a> <a id="8705" class="Symbol">(</a><a id="8706" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="8709" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8709" class="Bound">p</a><a id="8710" class="Symbol">)</a> <a id="8712" class="Symbol">_</a> <a id="8714" class="Symbol">=</a> <a id="8716" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="8725" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8709" class="Bound">p</a>
<a id="<-asym'"></a><a id="8728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8728" class="Function"><-asym'</a> <a id="8736" class="Symbol">:</a> <a id="8738" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="8740" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="8742" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="8744" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8746" class="Symbol">→</a> <a id="8748" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8750" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="8752" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="8754" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8728" class="Function"><-asym'</a> <a id="8762" class="Symbol">=</a> <a id="8764" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8574" class="Function"><-asym'-case</a> <a id="8777" class="Symbol">(</a><a id="8778" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">_≟_</a> <a id="8782" class="Symbol">_</a> <a id="8784" class="Symbol">_)</a>
<a id="8788" class="Keyword">private</a>
<a id="acc-suc"></a><a id="8798" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8798" class="Function">acc-suc</a> <a id="8806" class="Symbol">:</a> <a id="8808" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#318" class="Datatype">Acc</a> <a id="8812" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<_</a> <a id="8816" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="8818" class="Symbol">→</a> <a id="8820" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#318" class="Datatype">Acc</a> <a id="8824" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<_</a> <a id="8828" class="Symbol">(</a><a id="8829" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="8833" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a><a id="8834" class="Symbol">)</a>
<a id="8838" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8798" class="Function">acc-suc</a> <a id="8846" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8846" class="Bound">a</a>
<a id="8852" class="Symbol">=</a> <a id="8854" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#360" class="InductiveConstructor">acc</a> <a id="8858" class="Symbol">λ</a> <a id="8860" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8860" class="Bound">y</a> <a id="8862" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8862" class="Bound">y<sn</a>
<a id="8871" class="Symbol">→</a> <a id="8873" href="Cubical.Foundations.Function.html#1217" class="Function Operator">case</a> <a id="8878" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7691" class="Function"><-split</a> <a id="8886" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8862" class="Bound">y<sn</a> <a id="8891" href="Cubical.Foundations.Function.html#1217" class="Function Operator">of</a> <a id="8894" class="Symbol">λ</a>
<a id="8900" class="Symbol">{</a> <a id="8902" class="Symbol">(</a><a id="8903" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="8907" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8907" class="Bound">y<n</a><a id="8910" class="Symbol">)</a> <a id="8912" class="Symbol">→</a> <a id="8914" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#633" class="Function">access</a> <a id="8921" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8846" class="Bound">a</a> <a id="8923" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8860" class="Bound">y</a> <a id="8925" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8907" class="Bound">y<n</a>
<a id="8933" class="Symbol">;</a> <a id="8935" class="Symbol">(</a><a id="8936" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="8940" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8940" class="Bound">y≡n</a><a id="8943" class="Symbol">)</a> <a id="8945" class="Symbol">→</a> <a id="8947" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="8953" class="Symbol">_</a> <a id="8955" class="Symbol">(</a><a id="8956" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="8960" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8940" class="Bound">y≡n</a><a id="8963" class="Symbol">)</a> <a id="8965" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8846" class="Bound">a</a>
<a id="8971" class="Symbol">}</a>
<a id="<-wellfounded"></a><a id="8974" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8974" class="Function"><-wellfounded</a> <a id="8988" class="Symbol">:</a> <a id="8990" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#389" class="Function">WellFounded</a> <a id="9002" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<_</a>
<a id="9006" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8974" class="Function"><-wellfounded</a> <a id="9020" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="9025" class="Symbol">=</a> <a id="9027" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#360" class="InductiveConstructor">acc</a> <a id="9031" class="Symbol">λ</a> <a id="9033" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9033" class="Bound">_</a> <a id="9035" class="Symbol">→</a> <a id="9037" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="9043" href="Cubical.Foundations.Function.html#526" class="Function Operator">∘</a> <a id="9045" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a>
<a id="9054" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8974" class="Function"><-wellfounded</a> <a id="9068" class="Symbol">(</a><a id="9069" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="9073" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9073" class="Bound">n</a><a id="9074" class="Symbol">)</a> <a id="9076" class="Symbol">=</a> <a id="9078" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8798" class="Function">acc-suc</a> <a id="9086" class="Symbol">(</a><a id="9087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8974" class="Function"><-wellfounded</a> <a id="9101" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9073" class="Bound">n</a><a id="9102" class="Symbol">)</a>
<a id="<→≢"></a><a id="9105" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9105" class="Function"><→≢</a> <a id="9109" class="Symbol">:</a> <a id="9111" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="9113" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="9115" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="9117" class="Symbol">→</a> <a id="9119" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="9121" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="9123" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="9125" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="9127" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9105" class="Function"><→≢</a> <a id="9131" class="Symbol">{</a><a id="9132" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9132" class="Bound">n</a><a id="9133" class="Symbol">}</a> <a id="9135" class="Symbol">{</a><a id="9136" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9136" class="Bound">m</a><a id="9137" class="Symbol">}</a> <a id="9139" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9139" class="Bound">p</a> <a id="9141" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9141" class="Bound">q</a> <a id="9143" class="Symbol">=</a> <a id="9145" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3454" class="Function">¬m<m</a> <a id="9150" class="Symbol">(</a><a id="9151" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="9157" class="Symbol">(</a><a id="9158" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator">_<</a> <a id="9161" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9136" class="Bound">m</a><a id="9162" class="Symbol">)</a> <a id="9164" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9141" class="Bound">q</a> <a id="9166" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9139" class="Bound">p</a><a id="9167" class="Symbol">)</a>
<a id="9170" class="Keyword">module</a> <a id="9177" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9177" class="Module">_</a>
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<a id="9252" class="Symbol">(</a><a id="9253" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9253" class="Bound">step</a> <a id="9258" class="Symbol">:</a> <a id="9260" class="Symbol">∀</a> <a id="9262" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9262" class="Bound">n</a> <a id="9264" class="Symbol">→</a> <a id="9266" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="9268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9262" class="Bound">n</a> <a id="9270" class="Symbol">→</a> <a id="9272" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="9274" class="Symbol">(</a><a id="9275" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="9279" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9184" class="Bound">b₀</a> <a id="9282" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="9284" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9262" class="Bound">n</a><a id="9285" class="Symbol">))</a>
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<a id="9298" class="Keyword">open</a> <a id="9303" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#906" class="Module">WFI</a> <a id="9307" class="Symbol">(</a><a id="9308" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#8974" class="Function"><-wellfounded</a><a id="9321" class="Symbol">)</a>
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<a id="9338" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="9348" class="Symbol">:</a> <a id="9350" class="Symbol">∀</a> <a id="9352" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9352" class="Bound">b</a> <a id="9354" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9354" class="Bound">n</a> <a id="9356" class="Symbol">→</a> <a id="9358" class="Symbol">(</a><a id="9359" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9354" class="Bound">n</a> <a id="9361" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="9363" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9352" class="Bound">b</a><a id="9364" class="Symbol">)</a> <a id="9366" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="9368" class="Symbol">(</a><a id="9369" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">Σ[</a> <a id="9372" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9372" class="Bound">m</a> <a id="9374" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">∈</a> <a id="9376" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="9378" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">]</a> <a id="9380" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9354" class="Bound">n</a> <a id="9382" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="9384" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9352" class="Bound">b</a> <a id="9386" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="9388" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9372" class="Bound">m</a><a id="9389" class="Symbol">)</a>
<a id="9395" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="9405" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9405" class="Bound">b</a> <a id="9407" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9407" class="Bound">n</a>
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<a id="9729" class="Symbol">=</a> <a id="9731" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">case</a> <a id="9736" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="9746" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9715" class="Bound">b</a> <a id="9748" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9717" class="Bound">n</a> <a id="9750" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">return</a> <a id="9757" class="Symbol">(λ</a> <a id="9760" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9760" class="Bound">d</a> <a id="9762" class="Symbol">→</a> <a id="9764" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9760" class="Bound">d</a> <a id="9766" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="9768" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="9772" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9719" class="Bound">n<b</a><a id="9775" class="Symbol">)</a> <a id="9777" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">of</a> <a id="9780" class="Symbol">λ</a>
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<a id="9831" class="Symbol">;</a> <a id="9833" class="Symbol">(</a><a id="9834" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="9838" class="Symbol">(</a><a id="9839" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9839" class="Bound">m</a> <a id="9841" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="9843" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9843" class="Bound">p</a><a id="9844" class="Symbol">))</a> <a id="9847" class="Symbol">→</a> <a id="9849" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="9855" class="Symbol">(</a><a id="9856" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4211" class="Function"><-asym</a> <a id="9863" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9719" class="Bound">n<b</a> <a id="9867" class="Symbol">(</a><a id="9868" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9839" class="Bound">m</a> <a id="9870" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="9872" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="9876" class="Symbol">(</a><a id="9877" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9843" class="Bound">p</a> <a id="9879" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="9881" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="9888" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9715" class="Bound">b</a> <a id="9890" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9839" class="Bound">m</a><a id="9891" class="Symbol">)))</a>
<a id="9901" class="Symbol">}</a>
<a id="9908" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9908" class="Function">dichotomy+≡</a> <a id="9920" class="Symbol">:</a> <a id="9922" class="Symbol">∀</a> <a id="9924" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9924" class="Bound">b</a> <a id="9926" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9926" class="Bound">m</a> <a id="9928" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9928" class="Bound">n</a> <a id="9930" class="Symbol">→</a> <a id="9932" class="Symbol">(</a><a id="9933" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9933" class="Bound">p</a> <a id="9935" class="Symbol">:</a> <a id="9937" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9928" class="Bound">n</a> <a id="9939" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="9941" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9924" class="Bound">b</a> <a id="9943" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="9945" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9926" class="Bound">m</a><a id="9946" class="Symbol">)</a> <a id="9948" class="Symbol">→</a> <a id="9950" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="9960" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9924" class="Bound">b</a> <a id="9962" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9928" class="Bound">n</a> <a id="9964" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="9966" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="9970" class="Symbol">(</a><a id="9971" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9926" class="Bound">m</a> <a id="9973" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="9975" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9933" class="Bound">p</a><a id="9976" class="Symbol">)</a>
<a id="9982" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9908" class="Function">dichotomy+≡</a> <a id="9994" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9994" class="Bound">b</a> <a id="9996" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9996" class="Bound">m</a> <a id="9998" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9998" class="Bound">n</a> <a id="10000" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10000" class="Bound">p</a>
<a id="10008" class="Symbol">=</a> <a id="10010" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">case</a> <a id="10015" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="10025" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9994" class="Bound">b</a> <a id="10027" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9998" class="Bound">n</a> <a id="10029" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">return</a> <a id="10036" class="Symbol">(λ</a> <a id="10039" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10039" class="Bound">d</a> <a id="10041" class="Symbol">→</a> <a id="10043" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10039" class="Bound">d</a> <a id="10045" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="10047" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="10051" class="Symbol">(</a><a id="10052" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9996" class="Bound">m</a> <a id="10054" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="10056" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10000" class="Bound">p</a><a id="10057" class="Symbol">))</a> <a id="10060" href="Cubical.Foundations.Function.html#1341" class="Function Operator">of</a> <a id="10063" class="Symbol">λ</a>
<a id="10071" class="Symbol">{</a> <a id="10073" class="Symbol">(</a><a id="10074" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="10078" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10078" class="Bound">n<b</a><a id="10081" class="Symbol">)</a> <a id="10083" class="Symbol">→</a> <a id="10085" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="10091" class="Symbol">(</a><a id="10092" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4211" class="Function"><-asym</a> <a id="10099" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10078" class="Bound">n<b</a> <a id="10103" class="Symbol">(</a><a id="10104" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9996" class="Bound">m</a> <a id="10106" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="10108" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4044" class="Function">+-comm</a> <a id="10115" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9996" class="Bound">m</a> <a id="10117" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9994" class="Bound">b</a> <a id="10119" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="10121" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="10125" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10000" class="Bound">p</a><a id="10126" class="Symbol">))</a>
<a id="10135" class="Symbol">;</a> <a id="10137" class="Symbol">(</a><a id="10138" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="10142" class="Symbol">(</a><a id="10143" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10143" class="Bound">m'</a> <a id="10146" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="10148" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10148" class="Bound">q</a><a id="10149" class="Symbol">))</a>
<a id="10158" class="Symbol">→</a> <a id="10160" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="10165" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="10169" class="Symbol">(</a><a id="10170" href="Cubical.Data.Sigma.Properties.html#13039" class="Function">Σ≡Prop</a> <a id="10177" class="Symbol">(λ</a> <a id="10180" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10180" class="Bound">x</a> <a id="10182" class="Symbol">→</a> <a id="10184" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3637" class="Function">isSetℕ</a> <a id="10191" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9998" class="Bound">n</a> <a id="10193" class="Symbol">(</a><a id="10194" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9994" class="Bound">b</a> <a id="10196" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10198" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10180" class="Bound">x</a><a id="10199" class="Symbol">))</a> <a id="10202" class="Symbol">(</a><a id="10203" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#4306" class="Function">inj-m+</a> <a id="10210" class="Symbol">{</a><a id="10211" class="Argument">m</a> <a id="10213" class="Symbol">=</a> <a id="10215" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9994" class="Bound">b</a><a id="10216" class="Symbol">}</a> <a id="10218" class="Symbol">(</a><a id="10219" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="10223" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10148" class="Bound">q</a> <a id="10225" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="10227" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10000" class="Bound">p</a><a id="10228" class="Symbol">)))</a>
<a id="10238" class="Symbol">}</a>
<a id="10245" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10247" class="Symbol">=</a> <a id="10249" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="10253" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9184" class="Bound">b₀</a>
<a id="10261" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10261" class="Function">lemma₁</a> <a id="10268" class="Symbol">:</a> <a id="10270" class="Symbol">∀{</a><a id="10272" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10272" class="Bound">x</a> <a id="10274" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10274" class="Bound">y</a> <a id="10276" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10276" class="Bound">z</a><a id="10277" class="Symbol">}</a> <a id="10279" class="Symbol">→</a> <a id="10281" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10272" class="Bound">x</a> <a id="10283" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="10285" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="10289" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10276" class="Bound">z</a> <a id="10291" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10274" class="Bound">y</a> <a id="10295" class="Symbol">→</a> <a id="10297" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10274" class="Bound">y</a> <a id="10299" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="10301" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10272" class="Bound">x</a>
<a id="10307" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10261" class="Function">lemma₁</a> <a id="10314" class="Symbol">{</a><a id="10315" class="Argument">y</a> <a id="10317" class="Symbol">=</a> <a id="10319" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10319" class="Bound">y</a><a id="10320" class="Symbol">}</a> <a id="10322" class="Symbol">{</a><a id="10323" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10323" class="Bound">z</a><a id="10324" class="Symbol">}</a> <a id="10326" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10326" class="Bound">p</a> <a id="10328" class="Symbol">=</a> <a id="10330" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10323" class="Bound">z</a> <a id="10332" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="10334" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3941" class="Function">+-suc</a> <a id="10340" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10323" class="Bound">z</a> <a id="10342" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10319" class="Bound">y</a> <a id="10344" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="10346" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="10350" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10326" class="Bound">p</a>
<a id="10357" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10365" class="Symbol">:</a> <a id="10367" class="Symbol">(</a><a id="10368" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10368" class="Bound">n</a> <a id="10370" class="Symbol">:</a> <a id="10372" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="10373" class="Symbol">)</a> <a id="10375" class="Symbol">→</a> <a id="10377" class="Symbol">(∀</a> <a id="10380" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10380" class="Bound">m</a> <a id="10382" class="Symbol">→</a> <a id="10384" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10380" class="Bound">m</a> <a id="10386" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="10388" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10368" class="Bound">n</a> <a id="10390" class="Symbol">→</a> <a id="10392" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="10394" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10380" class="Bound">m</a><a id="10395" class="Symbol">)</a> <a id="10397" class="Symbol">→</a> <a id="10399" class="Symbol">(</a><a id="10400" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10368" class="Bound">n</a> <a id="10402" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="10404" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a><a id="10405" class="Symbol">)</a> <a id="10407" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#203" class="Datatype Operator">⊎</a> <a id="10409" class="Symbol">(</a><a id="10410" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">Σ[</a> <a id="10413" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10413" class="Bound">m</a> <a id="10415" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">∈</a> <a id="10417" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="10419" href="Cubical.Core.Primitives.html#6306" class="Function">]</a> <a id="10421" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10368" class="Bound">n</a> <a id="10423" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="10425" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10427" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10429" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10413" class="Bound">m</a><a id="10430" class="Symbol">)</a> <a id="10432" class="Symbol">→</a> <a id="10434" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="10436" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10368" class="Bound">n</a>
<a id="10442" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10450" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10450" class="Bound">n</a> <a id="10452" class="Symbol">_</a> <a id="10456" class="Symbol">(</a><a id="10457" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#261" class="InductiveConstructor">inl</a> <a id="10461" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10461" class="Bound">l</a><a id="10462" class="Symbol">)</a> <a id="10464" class="Symbol">=</a> <a id="10466" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9217" class="Bound">base</a> <a id="10471" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10450" class="Bound">n</a> <a id="10473" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10461" class="Bound">l</a>
<a id="10479" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10487" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10487" class="Bound">n</a> <a id="10489" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10489" class="Bound">rec</a> <a id="10493" class="Symbol">(</a><a id="10494" href="Cubical.Data.Sum.Base.html#279" class="InductiveConstructor">inr</a> <a id="10498" class="Symbol">(</a><a id="10499" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10499" class="Bound">m</a> <a id="10501" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="10503" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10503" class="Bound">p</a><a id="10504" class="Symbol">))</a>
<a id="10513" class="Symbol">=</a> <a id="10515" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8597" class="Function">transport</a> <a id="10525" class="Symbol">(</a><a id="10526" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="10531" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="10533" class="Symbol">(</a><a id="10534" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="10538" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10503" class="Bound">p</a><a id="10539" class="Symbol">))</a> <a id="10542" class="Symbol">(</a><a id="10543" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9253" class="Bound">step</a> <a id="10548" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10499" class="Bound">m</a> <a id="10550" class="Symbol">(</a><a id="10551" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10489" class="Bound">rec</a> <a id="10555" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10499" class="Bound">m</a> <a id="10557" class="Symbol">(</a><a id="10558" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10261" class="Function">lemma₁</a> <a id="10565" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10503" class="Bound">p</a><a id="10566" class="Symbol">)))</a>
<a id="10575" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="10582" class="Symbol">:</a> <a id="10584" class="Symbol">(</a><a id="10585" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10585" class="Bound">n</a> <a id="10587" class="Symbol">:</a> <a id="10589" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="10590" class="Symbol">)</a> <a id="10592" class="Symbol">→</a> <a id="10594" class="Symbol">(∀</a> <a id="10597" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10597" class="Bound">m</a> <a id="10599" class="Symbol">→</a> <a id="10601" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10597" class="Bound">m</a> <a id="10603" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="10605" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10585" class="Bound">n</a> <a id="10607" class="Symbol">→</a> <a id="10609" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="10611" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10597" class="Bound">m</a><a id="10612" class="Symbol">)</a> <a id="10614" class="Symbol">→</a> <a id="10616" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="10618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10585" class="Bound">n</a>
<a id="10624" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="10631" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10631" class="Bound">n</a> <a id="10633" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10633" class="Bound">rec</a> <a id="10637" class="Symbol">=</a> <a id="10639" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10647" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10631" class="Bound">n</a> <a id="10649" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10633" class="Bound">rec</a> <a id="10653" class="Symbol">(</a><a id="10654" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9338" class="Function">dichotomy</a> <a id="10664" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10666" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10631" class="Bound">n</a><a id="10667" class="Symbol">)</a>
<a id="10674" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10674" class="Function">wfStepLemma₀</a> <a id="10687" class="Symbol">:</a> <a id="10689" class="Symbol">∀</a> <a id="10691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10691" class="Bound">n</a> <a id="10693" class="Symbol">(</a><a id="10694" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10694" class="Bound">n<b</a> <a id="10698" class="Symbol">:</a> <a id="10700" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10691" class="Bound">n</a> <a id="10702" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="10704" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a><a id="10705" class="Symbol">)</a> <a id="10707" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10707" class="Bound">rec</a> <a id="10711" class="Symbol">→</a> <a id="10713" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="10720" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10691" class="Bound">n</a> <a id="10722" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10707" class="Bound">rec</a> <a id="10726" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="10728" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9217" class="Bound">base</a> <a id="10733" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10691" class="Bound">n</a> <a id="10735" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10694" class="Bound">n<b</a>
<a id="10743" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10674" class="Function">wfStepLemma₀</a> <a id="10756" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10756" class="Bound">n</a> <a id="10758" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10758" class="Bound">n<b</a> <a id="10762" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10762" class="Bound">rec</a> <a id="10766" class="Symbol">=</a> <a id="10768" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="10773" class="Symbol">(</a><a id="10774" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10782" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10756" class="Bound">n</a> <a id="10784" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10762" class="Bound">rec</a><a id="10787" class="Symbol">)</a> <a id="10789" class="Symbol">(</a><a id="10790" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9637" class="Function">dichotomy<≡</a> <a id="10802" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10804" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10756" class="Bound">n</a> <a id="10806" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10758" class="Bound">n<b</a><a id="10809" class="Symbol">)</a>
<a id="10816" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10816" class="Function">wfStepLemma₁</a> <a id="10829" class="Symbol">:</a> <a id="10831" class="Symbol">∀</a> <a id="10833" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10833" class="Bound">n</a> <a id="10835" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10835" class="Bound">rec</a> <a id="10839" class="Symbol">→</a> <a id="10841" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="10848" class="Symbol">(</a><a id="10849" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10851" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10853" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10833" class="Bound">n</a><a id="10854" class="Symbol">)</a> <a id="10856" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10835" class="Bound">rec</a> <a id="10860" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="10862" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9253" class="Bound">step</a> <a id="10867" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10833" class="Bound">n</a> <a id="10869" class="Symbol">(</a><a id="10870" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10835" class="Bound">rec</a> <a id="10874" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10833" class="Bound">n</a> <a id="10876" class="Symbol">(</a><a id="10877" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10261" class="Function">lemma₁</a> <a id="10884" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="10888" class="Symbol">))</a>
<a id="10895" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10816" class="Function">wfStepLemma₁</a> <a id="10908" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10908" class="Bound">n</a> <a id="10910" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10910" class="Bound">rec</a>
<a id="10920" class="Symbol">=</a> <a id="10922" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="10927" class="Symbol">(</a><a id="10928" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10357" class="Function">subStep</a> <a id="10936" class="Symbol">(</a><a id="10937" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10939" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10941" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10908" class="Bound">n</a><a id="10942" class="Symbol">)</a> <a id="10944" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10910" class="Bound">rec</a><a id="10947" class="Symbol">)</a> <a id="10949" class="Symbol">(</a><a id="10950" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9908" class="Function">dichotomy+≡</a> <a id="10962" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10908" class="Bound">n</a> <a id="10966" class="Symbol">(</a><a id="10967" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="10969" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="10971" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10908" class="Bound">n</a><a id="10972" class="Symbol">)</a> <a id="10974" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a><a id="10978" class="Symbol">)</a>
<a id="10986" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="10988" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#8818" class="Function">transportRefl</a> <a id="11002" class="Symbol">_</a>
<a id="11007" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11007" class="Function">+induction</a> <a id="11018" class="Symbol">:</a> <a id="11020" class="Symbol">∀</a> <a id="11022" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11022" class="Bound">n</a> <a id="11024" class="Symbol">→</a> <a id="11026" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9197" class="Bound">P</a> <a id="11028" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11022" class="Bound">n</a>
<a id="11032" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11007" class="Function">+induction</a> <a id="11043" class="Symbol">=</a> <a id="11045" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#1220" class="Function">induction</a> <a id="11055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a>
<a id="11065" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11065" class="Function">+inductionBase</a> <a id="11080" class="Symbol">:</a> <a id="11082" class="Symbol">∀</a> <a id="11084" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11084" class="Bound">n</a> <a id="11086" class="Symbol">→</a> <a id="11088" class="Symbol">(</a><a id="11089" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11089" class="Bound">l</a> <a id="11091" class="Symbol">:</a> <a id="11093" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11084" class="Bound">n</a> <a id="11095" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11097" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a><a id="11098" class="Symbol">)</a> <a id="11100" class="Symbol">→</a> <a id="11102" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11007" class="Function">+induction</a> <a id="11113" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11084" class="Bound">n</a> <a id="11115" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="11117" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9217" class="Bound">base</a> <a id="11122" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11084" class="Bound">n</a> <a id="11124" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11089" class="Bound">l</a>
<a id="11128" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11065" class="Function">+inductionBase</a> <a id="11143" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11143" class="Bound">n</a> <a id="11145" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11145" class="Bound">l</a> <a id="11147" class="Symbol">=</a> <a id="11149" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#1285" class="Function">induction-compute</a> <a id="11167" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="11174" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11143" class="Bound">n</a> <a id="11176" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="11178" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10674" class="Function">wfStepLemma₀</a> <a id="11191" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11143" class="Bound">n</a> <a id="11193" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11145" class="Bound">l</a> <a id="11195" class="Symbol">_</a>
<a id="11200" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11200" class="Function">+inductionStep</a> <a id="11215" class="Symbol">:</a> <a id="11217" class="Symbol">∀</a> <a id="11219" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11219" class="Bound">n</a> <a id="11221" class="Symbol">→</a> <a id="11223" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11007" class="Function">+induction</a> <a id="11234" class="Symbol">(</a><a id="11235" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="11237" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="11239" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11219" class="Bound">n</a><a id="11240" class="Symbol">)</a> <a id="11242" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="11244" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#9253" class="Bound">step</a> <a id="11249" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11219" class="Bound">n</a> <a id="11251" class="Symbol">(</a><a id="11252" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11007" class="Function">+induction</a> <a id="11263" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11219" class="Bound">n</a><a id="11264" class="Symbol">)</a>
<a id="11268" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11200" class="Function">+inductionStep</a> <a id="11283" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11283" class="Bound">n</a> <a id="11285" class="Symbol">=</a> <a id="11287" href="Cubical.Induction.WellFounded.html#1285" class="Function">induction-compute</a> <a id="11305" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10575" class="Function">wfStep</a> <a id="11312" class="Symbol">(</a><a id="11313" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10245" class="Function">b</a> <a id="11315" href="Agda.Builtin.Nat.html#325" class="Primitive Operator">+</a> <a id="11317" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11283" class="Bound">n</a><a id="11318" class="Symbol">)</a> <a id="11320" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#4447" class="Function Operator">∙</a> <a id="11322" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#10816" class="Function">wfStepLemma₁</a> <a id="11335" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11283" class="Bound">n</a> <a id="11337" class="Symbol">_</a>
<a id="11340" class="Keyword">module</a> <a id="<-Reasoning"></a><a id="11347" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11347" class="Module"><-Reasoning</a> <a id="11359" class="Keyword">where</a>
<a id="11367" class="Comment">-- TODO: would it be better to mirror the way it is done in the agda-stdlib?</a>
<a id="11446" class="Keyword">infixr</a> <a id="11453" class="Number">2</a> <a id="11455" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11519" class="Function Operator">_<⟨_⟩_</a> <a id="11462" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11586" class="Function Operator">_≤<⟨_⟩_</a> <a id="11470" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11656" class="Function Operator">_≤⟨_⟩_</a> <a id="11477" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11723" class="Function Operator">_<≤⟨_⟩_</a> <a id="11485" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11880" class="Function Operator">_≡<⟨_⟩_</a> <a id="11493" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">_≡≤⟨_⟩_</a> <a id="11501" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12039" class="Function Operator">_<≡⟨_⟩_</a> <a id="11509" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">_≤≡⟨_⟩_</a>
<a id="<-Reasoning._<⟨_⟩_"></a><a id="11519" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11519" class="Function Operator">_<⟨_⟩_</a> <a id="11526" class="Symbol">:</a> <a id="11528" class="Symbol">∀</a> <a id="11530" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11530" class="Bound">k</a> <a id="11532" class="Symbol">→</a> <a id="11534" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11530" class="Bound">k</a> <a id="11536" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11538" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11540" class="Symbol">→</a> <a id="11542" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11544" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11546" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11548" class="Symbol">→</a> <a id="11550" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11530" class="Bound">k</a> <a id="11552" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11554" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11558" class="Symbol">_</a> <a id="11560" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11519" class="Function Operator"><⟨</a> <a id="11563" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11563" class="Bound">p</a> <a id="11565" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11519" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11567" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11567" class="Bound">q</a> <a id="11569" class="Symbol">=</a> <a id="11571" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4144" class="Function"><-trans</a> <a id="11579" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11563" class="Bound">p</a> <a id="11581" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11567" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._≤<⟨_⟩_"></a><a id="11586" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11586" class="Function Operator">_≤<⟨_⟩_</a> <a id="11594" class="Symbol">:</a> <a id="11596" class="Symbol">∀</a> <a id="11598" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11598" class="Bound">k</a> <a id="11600" class="Symbol">→</a> <a id="11602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11598" class="Bound">k</a> <a id="11604" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11606" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11608" class="Symbol">→</a> <a id="11610" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11612" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11614" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11616" class="Symbol">→</a> <a id="11618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11598" class="Bound">k</a> <a id="11620" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11622" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11626" class="Symbol">_</a> <a id="11628" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11586" class="Function Operator">≤<⟨</a> <a id="11632" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11632" class="Bound">p</a> <a id="11634" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11586" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11636" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11636" class="Bound">q</a> <a id="11638" class="Symbol">=</a> <a id="11640" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4022" class="Function">≤<-trans</a> <a id="11649" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11632" class="Bound">p</a> <a id="11651" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11636" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._≤⟨_⟩_"></a><a id="11656" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11656" class="Function Operator">_≤⟨_⟩_</a> <a id="11663" class="Symbol">:</a> <a id="11665" class="Symbol">∀</a> <a id="11667" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11667" class="Bound">k</a> <a id="11669" class="Symbol">→</a> <a id="11671" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11667" class="Bound">k</a> <a id="11673" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11675" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11677" class="Symbol">→</a> <a id="11679" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11681" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11683" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11685" class="Symbol">→</a> <a id="11687" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11667" class="Bound">k</a> <a id="11689" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11695" class="Symbol">_</a> <a id="11697" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11656" class="Function Operator">≤⟨</a> <a id="11700" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11700" class="Bound">p</a> <a id="11702" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11656" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11704" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11704" class="Bound">q</a> <a id="11706" class="Symbol">=</a> <a id="11708" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1932" class="Function">≤-trans</a> <a id="11716" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11700" class="Bound">p</a> <a id="11718" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11704" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._<≤⟨_⟩_"></a><a id="11723" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11723" class="Function Operator">_<≤⟨_⟩_</a> <a id="11731" class="Symbol">:</a> <a id="11733" class="Symbol">∀</a> <a id="11735" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11735" class="Bound">k</a> <a id="11737" class="Symbol">→</a> <a id="11739" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11735" class="Bound">k</a> <a id="11741" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11743" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11745" class="Symbol">→</a> <a id="11747" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#837" class="Generalizable">n</a> <a id="11749" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11751" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11753" class="Symbol">→</a> <a id="11755" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11735" class="Bound">k</a> <a id="11757" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11759" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11763" class="Symbol">_</a> <a id="11765" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11723" class="Function Operator"><≤⟨</a> <a id="11769" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11769" class="Bound">p</a> <a id="11771" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11723" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11773" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11773" class="Bound">q</a> <a id="11775" class="Symbol">=</a> <a id="11777" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#4091" class="Function"><≤-trans</a> <a id="11786" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11769" class="Bound">p</a> <a id="11788" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11773" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._≡≤⟨_⟩_"></a><a id="11793" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">_≡≤⟨_⟩_</a> <a id="11801" class="Symbol">:</a> <a id="11803" class="Symbol">∀</a> <a id="11805" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11805" class="Bound">k</a> <a id="11807" class="Symbol">→</a> <a id="11809" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11805" class="Bound">k</a> <a id="11811" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="11813" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11815" class="Symbol">→</a> <a id="11817" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11819" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11821" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11823" class="Symbol">→</a> <a id="11825" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11805" class="Bound">k</a> <a id="11827" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11829" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11833" class="Symbol">_</a> <a id="11835" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">≡≤⟨</a> <a id="11839" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11839" class="Bound">p</a> <a id="11841" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11843" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11843" class="Bound">q</a> <a id="11845" class="Symbol">=</a> <a id="11847" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="11853" class="Symbol">(λ</a> <a id="11856" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11856" class="Bound">k</a> <a id="11858" class="Symbol">→</a> <a id="11860" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11856" class="Bound">k</a> <a id="11862" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11864" class="Symbol">_)</a> <a id="11867" class="Symbol">(</a><a id="11868" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#968" class="Function">sym</a> <a id="11872" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11839" class="Bound">p</a><a id="11873" class="Symbol">)</a> <a id="11875" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11843" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._≡<⟨_⟩_"></a><a id="11880" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11880" class="Function Operator">_≡<⟨_⟩_</a> <a id="11888" class="Symbol">:</a> <a id="11890" class="Symbol">∀</a> <a id="11892" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11892" class="Bound">k</a> <a id="11894" class="Symbol">→</a> <a id="11896" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11892" class="Bound">k</a> <a id="11898" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="11900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11902" class="Symbol">→</a> <a id="11904" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11906" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11908" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11910" class="Symbol">→</a> <a id="11912" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11892" class="Bound">k</a> <a id="11914" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="11916" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11920" class="Symbol">_</a> <a id="11922" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11880" class="Function Operator">≡<⟨</a> <a id="11926" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11926" class="Bound">p</a> <a id="11928" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11880" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11930" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11930" class="Bound">q</a> <a id="11932" class="Symbol">=</a> <a id="11934" class="Symbol">_</a> <a id="11936" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">≡≤⟨</a> <a id="11940" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="11945" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="11949" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11926" class="Bound">p</a> <a id="11951" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11793" class="Function Operator">⟩</a> <a id="11953" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11930" class="Bound">q</a>
<a id="<-Reasoning._≤≡⟨_⟩_"></a><a id="11958" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">_≤≡⟨_⟩_</a> <a id="11966" class="Symbol">:</a> <a id="11968" class="Symbol">∀</a> <a id="11970" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11970" class="Bound">k</a> <a id="11972" class="Symbol">→</a> <a id="11974" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11970" class="Bound">k</a> <a id="11976" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11978" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11980" class="Symbol">→</a> <a id="11982" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="11984" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="11986" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="11988" class="Symbol">→</a> <a id="11990" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11970" class="Bound">k</a> <a id="11992" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="11994" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="11998" class="Symbol">_</a> <a id="12000" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">≤≡⟨</a> <a id="12004" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12004" class="Bound">p</a> <a id="12006" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">⟩</a> <a id="12008" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12008" class="Bound">q</a> <a id="12010" class="Symbol">=</a> <a id="12012" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#9128" class="Function">subst</a> <a id="12018" class="Symbol">(λ</a> <a id="12021" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12021" class="Bound">l</a> <a id="12023" class="Symbol">→</a> <a id="12025" class="Symbol">_</a> <a id="12027" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="12029" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12021" class="Bound">l</a><a id="12030" class="Symbol">)</a> <a id="12032" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12008" class="Bound">q</a> <a id="12034" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12004" class="Bound">p</a>
<a id="<-Reasoning._<≡⟨_⟩_"></a><a id="12039" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12039" class="Function Operator">_<≡⟨_⟩_</a> <a id="12047" class="Symbol">:</a> <a id="12049" class="Symbol">∀</a> <a id="12051" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12051" class="Bound">k</a> <a id="12053" class="Symbol">→</a> <a id="12055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12051" class="Bound">k</a> <a id="12057" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="12059" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="12061" class="Symbol">→</a> <a id="12063" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#833" class="Generalizable">l</a> <a id="12065" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="12067" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="12069" class="Symbol">→</a> <a id="12071" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12051" class="Bound">k</a> <a id="12073" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="12075" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a>
<a id="12079" class="Symbol">_</a> <a id="12081" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12039" class="Function Operator"><≡⟨</a> <a id="12085" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12085" class="Bound">p</a> <a id="12087" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12039" class="Function Operator">⟩</a> <a id="12089" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12089" class="Bound">q</a> <a id="12091" class="Symbol">=</a> <a id="12093" class="Symbol">_</a> <a id="12095" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">≤≡⟨</a> <a id="12099" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12085" class="Bound">p</a> <a id="12101" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#11958" class="Function Operator">⟩</a> <a id="12103" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12089" class="Bound">q</a>
<a id="12107" class="Comment">-- Some lemmas about ∸</a>
<a id="suc∸-fst"></a><a id="12130" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12139" class="Symbol">:</a> <a id="12141" class="Symbol">(</a><a id="12142" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12142" class="Bound">n</a> <a id="12144" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12144" class="Bound">m</a> <a id="12146" class="Symbol">:</a> <a id="12148" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="12149" class="Symbol">)</a> <a id="12151" class="Symbol">→</a> <a id="12153" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12144" class="Bound">m</a> <a id="12155" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="12157" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12142" class="Bound">n</a> <a id="12159" class="Symbol">→</a> <a id="12161" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12165" class="Symbol">(</a><a id="12166" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12142" class="Bound">n</a> <a id="12168" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="12170" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12144" class="Bound">m</a><a id="12171" class="Symbol">)</a> <a id="12173" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="12175" class="Symbol">(</a><a id="12176" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12180" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12142" class="Bound">n</a><a id="12181" class="Symbol">)</a> <a id="12183" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="12185" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12144" class="Bound">m</a>
<a id="12187" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12196" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12201" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12206" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12206" class="Bound">p</a> <a id="12208" class="Symbol">=</a> <a id="12210" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="12215" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12224" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12229" class="Symbol">(</a><a id="12230" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12234" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12234" class="Bound">m</a><a id="12235" class="Symbol">)</a> <a id="12237" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12237" class="Bound">p</a> <a id="12239" class="Symbol">=</a> <a id="12241" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="12247" class="Symbol">(</a><a id="12248" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="12257" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12237" class="Bound">p</a><a id="12258" class="Symbol">)</a>
<a id="12260" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12269" class="Symbol">(</a><a id="12270" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12274" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12274" class="Bound">n</a><a id="12275" class="Symbol">)</a> <a id="12277" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12282" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12282" class="Bound">p</a> <a id="12284" class="Symbol">=</a> <a id="12286" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="12291" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12300" class="Symbol">(</a><a id="12301" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12305" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12305" class="Bound">n</a><a id="12306" class="Symbol">)</a> <a id="12308" class="Symbol">(</a><a id="12309" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12313" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12313" class="Bound">m</a><a id="12314" class="Symbol">)</a> <a id="12316" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12316" class="Bound">p</a> <a id="12318" class="Symbol">=</a> <a id="12320" class="Symbol">(</a><a id="12321" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12130" class="Function">suc∸-fst</a> <a id="12330" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12305" class="Bound">n</a> <a id="12332" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12313" class="Bound">m</a> <a id="12334" class="Symbol">(</a><a id="12335" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="12347" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12316" class="Bound">p</a><a id="12348" class="Symbol">))</a>
<a id="n∸m≡0"></a><a id="12352" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12358" class="Symbol">:</a> <a id="12360" class="Symbol">(</a><a id="12361" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12361" class="Bound">n</a> <a id="12363" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12363" class="Bound">m</a> <a id="12365" class="Symbol">:</a> <a id="12367" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="12368" class="Symbol">)</a> <a id="12370" class="Symbol">→</a> <a id="12372" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12361" class="Bound">n</a> <a id="12374" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="12376" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12363" class="Bound">m</a> <a id="12378" class="Symbol">→</a> <a id="12380" class="Symbol">(</a><a id="12381" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12361" class="Bound">n</a> <a id="12383" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="12385" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12363" class="Bound">m</a><a id="12386" class="Symbol">)</a> <a id="12388" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="12390" class="Number">0</a>
<a id="12392" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12398" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12403" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12408" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12408" class="Bound">p</a> <a id="12410" class="Symbol">=</a> <a id="12412" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="12417" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12423" class="Symbol">(</a><a id="12424" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12428" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12428" class="Bound">n</a><a id="12429" class="Symbol">)</a> <a id="12431" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12436" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12436" class="Bound">p</a> <a id="12438" class="Symbol">=</a> <a id="12440" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="12446" class="Symbol">(</a><a id="12447" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="12456" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12436" class="Bound">p</a><a id="12457" class="Symbol">)</a>
<a id="12459" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12465" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12470" class="Symbol">(</a><a id="12471" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12475" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12475" class="Bound">m</a><a id="12476" class="Symbol">)</a> <a id="12478" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12478" class="Bound">p</a> <a id="12480" class="Symbol">=</a> <a id="12482" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="12487" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12493" class="Symbol">(</a><a id="12494" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12498" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12498" class="Bound">n</a><a id="12499" class="Symbol">)</a> <a id="12501" class="Symbol">(</a><a id="12502" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12506" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12506" class="Bound">m</a><a id="12507" class="Symbol">)</a> <a id="12509" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12509" class="Bound">p</a> <a id="12511" class="Symbol">=</a> <a id="12513" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12352" class="Function">n∸m≡0</a> <a id="12519" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12498" class="Bound">n</a> <a id="12521" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12506" class="Bound">m</a> <a id="12523" class="Symbol">(</a><a id="12524" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="12536" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12509" class="Bound">p</a><a id="12537" class="Symbol">)</a>
<a id="n∸n≡0"></a><a id="12540" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12540" class="Function">n∸n≡0</a> <a id="12546" class="Symbol">:</a> <a id="12548" class="Symbol">(</a><a id="12549" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12549" class="Bound">n</a> <a id="12551" class="Symbol">:</a> <a id="12553" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="12554" class="Symbol">)</a> <a id="12556" class="Symbol">→</a> <a id="12558" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12549" class="Bound">n</a> <a id="12560" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="12562" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12549" class="Bound">n</a> <a id="12564" href="Agda.Builtin.Cubical.Path.html#388" class="Function Operator">≡</a> <a id="12566" class="Number">0</a>
<a id="12568" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12540" class="Function">n∸n≡0</a> <a id="12574" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12579" class="Symbol">=</a> <a id="12581" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="12586" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12540" class="Function">n∸n≡0</a> <a id="12592" class="Symbol">(</a><a id="12593" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12597" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12597" class="Bound">n</a><a id="12598" class="Symbol">)</a> <a id="12600" class="Symbol">=</a> <a id="12602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12540" class="Function">n∸n≡0</a> <a id="12608" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12597" class="Bound">n</a>
<a id="n∸l>0"></a><a id="12611" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12617" class="Symbol">:</a> <a id="12619" class="Symbol">(</a><a id="12620" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12620" class="Bound">n</a> <a id="12622" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12622" class="Bound">l</a> <a id="12624" class="Symbol">:</a> <a id="12626" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="12627" class="Symbol">)</a> <a id="12629" class="Symbol">→</a> <a id="12631" class="Symbol">(</a><a id="12632" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12622" class="Bound">l</a> <a id="12634" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="12636" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12620" class="Bound">n</a><a id="12637" class="Symbol">)</a> <a id="12639" class="Symbol">→</a> <a id="12641" class="Number">0</a> <a id="12643" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="12645" class="Symbol">(</a><a id="12646" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12620" class="Bound">n</a> <a id="12648" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="12650" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12622" class="Bound">l</a><a id="12651" class="Symbol">)</a>
<a id="12653" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12660" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12668" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12675" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12675" class="Bound">r</a> <a id="12677" class="Symbol">=</a> <a id="12679" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="12685" class="Symbol">(</a><a id="12686" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="12695" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12675" class="Bound">r</a><a id="12696" class="Symbol">)</a>
<a id="12698" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12705" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12712" class="Symbol">(</a><a id="12713" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12717" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12717" class="Bound">l</a><a id="12718" class="Symbol">)</a> <a id="12720" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12720" class="Bound">r</a> <a id="12722" class="Symbol">=</a> <a id="12724" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="12730" class="Symbol">(</a><a id="12731" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="12740" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12720" class="Bound">r</a><a id="12741" class="Symbol">)</a>
<a id="12743" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12749" class="Symbol">(</a><a id="12750" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12754" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12754" class="Bound">n</a><a id="12755" class="Symbol">)</a> <a id="12758" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="12765" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12765" class="Bound">r</a> <a id="12767" class="Symbol">=</a> <a id="12769" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1124" class="Function">suc-≤-suc</a> <a id="12779" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1082" class="Function">zero-≤</a>
<a id="12786" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12792" class="Symbol">(</a><a id="12793" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12797" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12797" class="Bound">n</a><a id="12798" class="Symbol">)</a> <a id="12800" class="Symbol">(</a><a id="12801" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="12805" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12805" class="Bound">l</a><a id="12806" class="Symbol">)</a> <a id="12808" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12808" class="Bound">r</a> <a id="12810" class="Symbol">=</a> <a id="12812" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="12818" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12797" class="Bound">n</a> <a id="12820" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12805" class="Bound">l</a> <a id="12822" class="Symbol">(</a><a id="12823" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="12835" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12808" class="Bound">r</a><a id="12836" class="Symbol">)</a>
<a id="12839" class="Comment">-- automation</a>
<a id="≤-solver-type"></a><a id="12854" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="12868" class="Symbol">:</a> <a id="12870" class="Symbol">(</a><a id="12871" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12871" class="Bound">m</a> <a id="12873" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12873" class="Bound">n</a> <a id="12875" class="Symbol">:</a> <a id="12877" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="12878" class="Symbol">)</a> <a id="12880" class="Symbol">→</a> <a id="12882" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="12893" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12871" class="Bound">m</a> <a id="12895" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12873" class="Bound">n</a> <a id="12897" class="Symbol">→</a> <a id="12899" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type</a>
<a id="12904" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="12918" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12918" class="Bound">m</a> <a id="12920" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12920" class="Bound">n</a> <a id="12922" class="Symbol">(</a><a id="12923" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="12926" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12926" class="Bound">p</a><a id="12927" class="Symbol">)</a> <a id="12929" class="Symbol">=</a> <a id="12931" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12918" class="Bound">m</a> <a id="12933" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="12935" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12920" class="Bound">n</a>
<a id="12937" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="12951" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12951" class="Bound">m</a> <a id="12953" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12953" class="Bound">n</a> <a id="12955" class="Symbol">(</a><a id="12956" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="12959" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12959" class="Bound">p</a><a id="12960" class="Symbol">)</a> <a id="12962" class="Symbol">=</a> <a id="12964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12951" class="Bound">m</a> <a id="12966" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="12968" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12953" class="Bound">n</a>
<a id="12970" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="12984" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12984" class="Bound">m</a> <a id="12986" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12986" class="Bound">n</a> <a id="12988" class="Symbol">(</a><a id="12989" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="12992" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12992" class="Bound">p</a><a id="12993" class="Symbol">)</a> <a id="12995" class="Symbol">=</a> <a id="12997" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12986" class="Bound">n</a> <a id="12999" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="13001" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12984" class="Bound">m</a>
<a id="≤-solver-case"></a><a id="13004" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13004" class="Function">≤-solver-case</a> <a id="13018" class="Symbol">:</a> <a id="13020" class="Symbol">(</a><a id="13021" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13021" class="Bound">m</a> <a id="13023" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13023" class="Bound">n</a> <a id="13025" class="Symbol">:</a> <a id="13027" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="13028" class="Symbol">)</a> <a id="13030" class="Symbol">→</a> <a id="13032" class="Symbol">(</a><a id="13033" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13033" class="Bound">p</a> <a id="13035" class="Symbol">:</a> <a id="13037" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#682" class="Datatype">Trichotomy</a> <a id="13048" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13021" class="Bound">m</a> <a id="13050" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13023" class="Bound">n</a><a id="13051" class="Symbol">)</a> <a id="13053" class="Symbol">→</a> <a id="13055" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="13069" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13021" class="Bound">m</a> <a id="13071" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13023" class="Bound">n</a> <a id="13073" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13033" class="Bound">p</a>
<a id="13075" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13004" class="Function">≤-solver-case</a> <a id="13089" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13089" class="Bound">m</a> <a id="13091" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13091" class="Bound">n</a> <a id="13093" class="Symbol">(</a><a id="13094" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#719" class="InductiveConstructor">lt</a> <a id="13097" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13097" class="Bound">p</a><a id="13098" class="Symbol">)</a> <a id="13100" class="Symbol">=</a> <a id="13102" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3949" class="Function"><-weaken</a> <a id="13111" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13097" class="Bound">p</a>
<a id="13113" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13004" class="Function">≤-solver-case</a> <a id="13127" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13127" class="Bound">m</a> <a id="13129" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13129" class="Bound">n</a> <a id="13131" class="Symbol">(</a><a id="13132" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#749" class="InductiveConstructor">eq</a> <a id="13135" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13135" class="Bound">p</a><a id="13136" class="Symbol">)</a> <a id="13138" class="Symbol">=</a> <a id="13140" class="Symbol">_</a> <a id="13142" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="13144" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13135" class="Bound">p</a>
<a id="13146" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13004" class="Function">≤-solver-case</a> <a id="13160" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13160" class="Bound">m</a> <a id="13162" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13162" class="Bound">n</a> <a id="13164" class="Symbol">(</a><a id="13165" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#779" class="InductiveConstructor">gt</a> <a id="13168" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13168" class="Bound">p</a><a id="13169" class="Symbol">)</a> <a id="13171" class="Symbol">=</a> <a id="13173" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13168" class="Bound">p</a>
<a id="≤-solver"></a><a id="13176" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13176" class="Function">≤-solver</a> <a id="13185" class="Symbol">:</a> <a id="13187" class="Symbol">(</a><a id="13188" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13188" class="Bound">m</a> <a id="13190" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13190" class="Bound">n</a> <a id="13192" class="Symbol">:</a> <a id="13194" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a><a id="13195" class="Symbol">)</a> <a id="13197" class="Symbol">→</a> <a id="13199" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12854" class="Function">≤-solver-type</a> <a id="13213" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13188" class="Bound">m</a> <a id="13215" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13190" class="Bound">n</a> <a id="13217" class="Symbol">(</a><a id="13218" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13188" class="Bound">m</a> <a id="13220" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="13222" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13190" class="Bound">n</a><a id="13223" class="Symbol">)</a>
<a id="13225" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13176" class="Function">≤-solver</a> <a id="13234" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13234" class="Bound">m</a> <a id="13236" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13236" class="Bound">n</a> <a id="13238" class="Symbol">=</a> <a id="13240" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13004" class="Function">≤-solver-case</a> <a id="13254" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13234" class="Bound">m</a> <a id="13256" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13236" class="Bound">n</a> <a id="13258" class="Symbol">(</a><a id="13259" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13234" class="Bound">m</a> <a id="13261" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#7006" class="Function Operator">≟</a> <a id="13263" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13236" class="Bound">n</a><a id="13264" class="Symbol">)</a>
<a id="13269" class="Comment">-- inductive order relation taken from agda-stdlib</a>
<a id="13320" class="Keyword">data</a> <a id="_≤'_"></a><a id="13325" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">_≤'_</a> <a id="13330" class="Symbol">:</a> <a id="13332" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="13334" class="Symbol">→</a> <a id="13336" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="13338" class="Symbol">→</a> <a id="13340" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type</a> <a id="13345" class="Keyword">where</a>
<a id="_≤'_.z≤"></a><a id="13353" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13353" class="InductiveConstructor">z≤</a> <a id="13356" class="Symbol">:</a> <a id="13358" class="Symbol">∀</a> <a id="13360" class="Symbol">{</a><a id="13361" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13361" class="Bound">n</a><a id="13362" class="Symbol">}</a> <a id="13364" class="Symbol">→</a> <a id="13366" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="13371" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13374" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13361" class="Bound">n</a>
<a id="_≤'_.s≤s"></a><a id="13378" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13382" class="Symbol">:</a> <a id="13384" class="Symbol">∀</a> <a id="13386" class="Symbol">{</a><a id="13387" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13387" class="Bound">m</a> <a id="13389" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13389" class="Bound">n</a><a id="13390" class="Symbol">}</a> <a id="13392" class="Symbol">→</a> <a id="13394" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13387" class="Bound">m</a> <a id="13396" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13399" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13389" class="Bound">n</a> <a id="13401" class="Symbol">→</a> <a id="13403" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13407" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13387" class="Bound">m</a> <a id="13409" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13412" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13416" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13389" class="Bound">n</a>
<a id="_<'_"></a><a id="13419" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13419" class="Function Operator">_<'_</a> <a id="13424" class="Symbol">:</a> <a id="13426" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="13428" class="Symbol">→</a> <a id="13430" href="Agda.Builtin.Nat.html#192" class="Datatype">ℕ</a> <a id="13432" class="Symbol">→</a> <a id="13434" href="Agda.Primitive.html#326" class="Primitive">Type</a>
<a id="13439" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13439" class="Bound">m</a> <a id="13441" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13419" class="Function Operator"><'</a> <a id="13444" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13444" class="Bound">n</a> <a id="13446" class="Symbol">=</a> <a id="13448" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13452" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13439" class="Bound">m</a> <a id="13454" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13457" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13444" class="Bound">n</a>
<a id="13460" class="Comment">-- Smart constructors of _<_</a>
<a id="13489" class="Keyword">pattern</a> <a id="z<s"></a><a id="13497" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13497" class="InductiveConstructor">z<s</a> <a id="13501" class="Symbol">{</a><a id="13502" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13524" class="Bound">n</a><a id="13503" class="Symbol">}</a> <a id="13513" class="Symbol">=</a> <a id="13515" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13519" class="Symbol">(</a><a id="13520" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13353" class="InductiveConstructor">z≤</a> <a id="13523" class="Symbol">{</a><a id="13524" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13524" class="Bound">n</a><a id="13525" class="Symbol">})</a>
<a id="13528" class="Keyword">pattern</a> <a id="s<s"></a><a id="13536" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13536" class="InductiveConstructor">s<s</a> <a id="13540" class="Symbol">{</a><a id="13541" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13559" class="Bound">m</a><a id="13542" class="Symbol">}</a> <a id="13544" class="Symbol">{</a><a id="13545" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13563" class="Bound">n</a><a id="13546" class="Symbol">}</a> <a id="13548" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13566" class="Bound">m<n</a> <a id="13552" class="Symbol">=</a> <a id="13554" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13558" class="Symbol">{</a><a id="13559" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13559" class="Bound">m</a><a id="13560" class="Symbol">}</a> <a id="13562" class="Symbol">{</a><a id="13563" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13563" class="Bound">n</a><a id="13564" class="Symbol">}</a> <a id="13566" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13566" class="Bound">m<n</a>
<a id="¬-<'-zero"></a><a id="13571" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13571" class="Function">¬-<'-zero</a> <a id="13581" class="Symbol">:</a> <a id="13583" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#355" class="Function Operator">¬</a> <a id="13585" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#835" class="Generalizable">m</a> <a id="13587" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13419" class="Function Operator"><'</a> <a id="13590" class="Number">0</a>
<a id="13592" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13571" class="Function">¬-<'-zero</a> <a id="13602" class="Symbol">{</a><a id="13603" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a><a id="13607" class="Symbol">}</a> <a id="13609" class="Symbol">()</a>
<a id="13612" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13571" class="Function">¬-<'-zero</a> <a id="13622" class="Symbol">{</a><a id="13623" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13627" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13627" class="Bound">m</a><a id="13628" class="Symbol">}</a> <a id="13630" class="Symbol">()</a>
<a id="≤'Dec"></a><a id="13634" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13634" class="Function">≤'Dec</a> <a id="13640" class="Symbol">:</a> <a id="13642" class="Symbol">∀</a> <a id="13644" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13644" class="Bound">m</a> <a id="13646" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13646" class="Bound">n</a> <a id="13648" class="Symbol">→</a> <a id="13650" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#444" class="Datatype">Dec</a> <a id="13654" class="Symbol">(</a><a id="13655" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13644" class="Bound">m</a> <a id="13657" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13660" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13646" class="Bound">n</a><a id="13661" class="Symbol">)</a>
<a id="13663" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13634" class="Function">≤'Dec</a> <a id="13669" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="13674" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13674" class="Bound">n</a> <a id="13676" class="Symbol">=</a> <a id="13678" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="13682" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13353" class="InductiveConstructor">z≤</a>
<a id="13685" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13634" class="Function">≤'Dec</a> <a id="13691" class="Symbol">(</a><a id="13692" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13696" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13696" class="Bound">m</a><a id="13697" class="Symbol">)</a> <a id="13699" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="13704" class="Symbol">=</a> <a id="13706" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="13709" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13571" class="Function">¬-<'-zero</a>
<a id="13719" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13634" class="Function">≤'Dec</a> <a id="13725" class="Symbol">(</a><a id="13726" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13730" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13730" class="Bound">m</a><a id="13731" class="Symbol">)</a> <a id="13733" class="Symbol">(</a><a id="13734" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13738" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13738" class="Bound">n</a><a id="13739" class="Symbol">)</a> <a id="13741" class="Keyword">with</a> <a id="13746" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13634" class="Function">≤'Dec</a> <a id="13752" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13730" class="Bound">m</a> <a id="13754" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13738" class="Bound">n</a>
<a id="13756" class="Symbol">...</a> <a id="13760" class="Symbol">|</a> <a id="13762" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="13766" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13766" class="Bound">m≤'n</a> <a id="13771" class="Symbol">=</a> <a id="13773" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#478" class="InductiveConstructor">yes</a> <a id="13777" class="Symbol">(</a><a id="13778" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13782" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13766" class="Bound">m≤'n</a><a id="13786" class="Symbol">)</a>
<a id="13788" class="Symbol">...</a> <a id="13792" class="Symbol">|</a> <a id="13794" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="13797" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13797" class="Bound">m≰'n</a> <a id="13802" class="Symbol">=</a> <a id="13804" href="Cubical.Relation.Nullary.Base.html#505" class="InductiveConstructor">no</a> <a id="13807" class="Symbol">λ</a> <a id="13809" class="Symbol">{</a> <a id="13811" class="Symbol">(</a><a id="13812" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13816" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13816" class="Bound">m≤'n</a><a id="13820" class="Symbol">)</a> <a id="13822" class="Symbol">→</a> <a id="13824" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13797" class="Bound">m≰'n</a> <a id="13829" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13816" class="Bound">m≤'n</a> <a id="13834" class="Symbol">}</a>
<a id="≤'IsPropValued"></a><a id="13837" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13837" class="Function">≤'IsPropValued</a> <a id="13852" class="Symbol">:</a> <a id="13854" class="Symbol">∀</a> <a id="13856" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13856" class="Bound">m</a> <a id="13858" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13858" class="Bound">n</a> <a id="13860" class="Symbol">→</a> <a id="13862" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#14039" class="Function">isProp</a> <a id="13869" class="Symbol">(</a><a id="13870" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13856" class="Bound">m</a> <a id="13872" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13325" class="Datatype Operator">≤'</a> <a id="13875" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13858" class="Bound">n</a><a id="13876" class="Symbol">)</a>
<a id="13878" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13837" class="Function">≤'IsPropValued</a> <a id="13893" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="13898" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13898" class="Bound">n</a> <a id="13900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13353" class="InductiveConstructor">z≤</a> <a id="13903" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13353" class="InductiveConstructor">z≤</a> <a id="13906" class="Symbol">=</a> <a id="13908" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#915" class="Function">refl</a>
<a id="13913" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13837" class="Function">≤'IsPropValued</a> <a id="13928" class="Symbol">(</a><a id="13929" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13933" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13933" class="Bound">m</a><a id="13934" class="Symbol">)</a> <a id="13936" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="13941" class="Symbol">()</a>
<a id="13944" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13837" class="Function">≤'IsPropValued</a> <a id="13959" class="Symbol">(</a><a id="13960" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13964" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13964" class="Bound">m</a><a id="13965" class="Symbol">)</a> <a id="13967" class="Symbol">(</a><a id="13968" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="13972" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13972" class="Bound">n</a><a id="13973" class="Symbol">)</a> <a id="13975" class="Symbol">(</a><a id="13976" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13980" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13980" class="Bound">x</a><a id="13981" class="Symbol">)</a> <a id="13983" class="Symbol">(</a><a id="13984" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="13988" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13988" class="Bound">y</a><a id="13989" class="Symbol">)</a> <a id="13991" class="Symbol">=</a> <a id="13993" href="Cubical.Foundations.Prelude.html#1430" class="Function">cong</a> <a id="13998" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13378" class="InductiveConstructor">s≤s</a> <a id="14002" class="Symbol">(</a><a id="14003" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13837" class="Function">≤'IsPropValued</a> <a id="14018" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13964" class="Bound">m</a> <a id="14020" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13972" class="Bound">n</a> <a id="14022" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13980" class="Bound">x</a> <a id="14024" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#13988" class="Bound">y</a><a id="14025" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-∸-≤"></a><a id="14028" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14034" class="Symbol">:</a> <a id="14036" class="Symbol">∀</a> <a id="14038" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14038" class="Bound">m</a> <a id="14040" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14040" class="Bound">n</a> <a id="14042" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14042" class="Bound">l</a> <a id="14044" class="Symbol">→</a> <a id="14046" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14038" class="Bound">m</a> <a id="14048" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="14050" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14040" class="Bound">n</a> <a id="14052" class="Symbol">→</a> <a id="14054" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14038" class="Bound">m</a> <a id="14056" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14058" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14042" class="Bound">l</a> <a id="14060" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="14062" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14040" class="Bound">n</a> <a id="14064" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14066" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14042" class="Bound">l</a>
<a id="14068" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14075" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14075" class="Bound">m</a> <a id="14083" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14083" class="Bound">n</a> <a id="14091" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14098" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14098" class="Bound">r</a> <a id="14100" class="Symbol">=</a> <a id="14102" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14098" class="Bound">r</a>
<a id="14104" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14111" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14119" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14126" class="Symbol">(</a><a id="14127" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14131" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14131" class="Bound">l</a><a id="14132" class="Symbol">)</a> <a id="14134" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14134" class="Bound">r</a> <a id="14136" class="Symbol">=</a> <a id="14138" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="14145" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14152" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14159" class="Symbol">(</a><a id="14160" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14164" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14164" class="Bound">n</a><a id="14165" class="Symbol">)</a> <a id="14167" class="Symbol">(</a><a id="14168" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14172" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14172" class="Bound">l</a><a id="14173" class="Symbol">)</a> <a id="14175" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14175" class="Bound">r</a> <a id="14177" class="Symbol">=</a> <a id="14179" class="Symbol">(</a><a id="14180" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14164" class="Bound">n</a> <a id="14182" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14184" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14172" class="Bound">l</a><a id="14185" class="Symbol">)</a> <a id="14187" href="Agda.Builtin.Sigma.html#236" class="InductiveConstructor Operator">,</a> <a id="14189" class="Symbol">(</a><a id="14190" href="Cubical.Data.Nat.Properties.html#3859" class="Function">+-zero</a> <a id="14197" class="Symbol">_)</a>
<a id="14200" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14206" class="Symbol">(</a><a id="14207" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14211" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14211" class="Bound">m</a><a id="14212" class="Symbol">)</a> <a id="14215" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14222" class="Symbol">(</a><a id="14223" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14227" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14227" class="Bound">l</a><a id="14228" class="Symbol">)</a> <a id="14230" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14230" class="Bound">r</a> <a id="14232" class="Symbol">=</a> <a id="14234" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="14240" class="Symbol">(</a><a id="14241" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="14250" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14230" class="Bound">r</a><a id="14251" class="Symbol">)</a>
<a id="14253" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14259" class="Symbol">(</a><a id="14260" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14264" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14264" class="Bound">m</a><a id="14265" class="Symbol">)</a> <a id="14267" class="Symbol">(</a><a id="14268" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14272" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14272" class="Bound">n</a><a id="14273" class="Symbol">)</a> <a id="14275" class="Symbol">(</a><a id="14276" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14280" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14280" class="Bound">l</a><a id="14281" class="Symbol">)</a> <a id="14283" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14283" class="Bound">r</a> <a id="14285" class="Symbol">=</a> <a id="14287" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14028" class="Function">≤-∸-≤</a> <a id="14293" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14264" class="Bound">m</a> <a id="14295" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14272" class="Bound">n</a> <a id="14297" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14280" class="Bound">l</a> <a id="14299" class="Symbol">(</a><a id="14300" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="14312" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14283" class="Bound">r</a><a id="14313" class="Symbol">)</a>
<a id="<-∸-<"></a><a id="14316" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14322" class="Symbol">:</a> <a id="14324" class="Symbol">∀</a> <a id="14326" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14326" class="Bound">m</a> <a id="14328" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14328" class="Bound">n</a> <a id="14330" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14330" class="Bound">l</a> <a id="14332" class="Symbol">→</a> <a id="14334" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14326" class="Bound">m</a> <a id="14336" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="14338" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14328" class="Bound">n</a> <a id="14340" class="Symbol">→</a> <a id="14342" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14330" class="Bound">l</a> <a id="14344" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="14346" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14328" class="Bound">n</a> <a id="14348" class="Symbol">→</a> <a id="14350" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14326" class="Bound">m</a> <a id="14352" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14354" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14330" class="Bound">l</a> <a id="14356" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#568" class="Function Operator"><</a> <a id="14358" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14328" class="Bound">n</a> <a id="14360" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14362" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14330" class="Bound">l</a>
<a id="14364" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14371" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14371" class="Bound">m</a> <a id="14379" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14379" class="Bound">n</a> <a id="14387" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14394" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14394" class="Bound">r</a> <a id="14396" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14396" class="Bound">q</a> <a id="14398" class="Symbol">=</a> <a id="14400" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14394" class="Bound">r</a>
<a id="14402" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14409" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14417" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14424" class="Symbol">(</a><a id="14425" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14429" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14429" class="Bound">l</a><a id="14430" class="Symbol">)</a> <a id="14432" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14432" class="Bound">r</a> <a id="14434" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14434" class="Bound">q</a> <a id="14436" class="Symbol">=</a> <a id="14438" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="14444" class="Symbol">(</a><a id="14445" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="14454" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14432" class="Bound">r</a><a id="14455" class="Symbol">)</a>
<a id="14457" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14464" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14471" class="Symbol">(</a><a id="14472" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14476" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14476" class="Bound">n</a><a id="14477" class="Symbol">)</a> <a id="14479" class="Symbol">(</a><a id="14480" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14484" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14484" class="Bound">l</a><a id="14485" class="Symbol">)</a> <a id="14487" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14487" class="Bound">r</a> <a id="14489" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14489" class="Bound">q</a> <a id="14491" class="Symbol">=</a> <a id="14493" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#12611" class="Function">n∸l>0</a> <a id="14499" class="Symbol">(</a><a id="14500" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14504" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14476" class="Bound">n</a><a id="14505" class="Symbol">)</a> <a id="14507" class="Symbol">(</a><a id="14508" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14512" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14484" class="Bound">l</a><a id="14513" class="Symbol">)</a> <a id="14515" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14489" class="Bound">q</a>
<a id="14517" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14523" class="Symbol">(</a><a id="14524" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14528" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14528" class="Bound">m</a><a id="14529" class="Symbol">)</a> <a id="14532" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14539" class="Symbol">(</a><a id="14540" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14544" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14544" class="Bound">l</a><a id="14545" class="Symbol">)</a> <a id="14547" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14547" class="Bound">r</a> <a id="14549" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14549" class="Bound">q</a> <a id="14551" class="Symbol">=</a> <a id="14553" href="Cubical.Data.Empty.Base.html#187" class="Function">⊥.rec</a> <a id="14559" class="Symbol">(</a><a id="14560" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#3385" class="Function">¬-<-zero</a> <a id="14569" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14547" class="Bound">r</a><a id="14570" class="Symbol">)</a>
<a id="14572" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14578" class="Symbol">(</a><a id="14579" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14583" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14583" class="Bound">m</a><a id="14584" class="Symbol">)</a> <a id="14586" class="Symbol">(</a><a id="14587" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14591" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14591" class="Bound">n</a><a id="14592" class="Symbol">)</a> <a id="14594" class="Symbol">(</a><a id="14595" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14599" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14599" class="Bound">l</a><a id="14600" class="Symbol">)</a> <a id="14602" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14602" class="Bound">r</a> <a id="14604" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14604" class="Bound">q</a> <a id="14606" class="Symbol">=</a> <a id="14608" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14316" class="Function"><-∸-<</a> <a id="14614" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14583" class="Bound">m</a> <a id="14616" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14591" class="Bound">n</a> <a id="14618" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14599" class="Bound">l</a> <a id="14620" class="Symbol">(</a><a id="14621" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="14633" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14602" class="Bound">r</a><a id="14634" class="Symbol">)</a> <a id="14636" class="Symbol">(</a><a id="14637" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="14649" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14604" class="Bound">q</a><a id="14650" class="Symbol">)</a>
<a id="≤-∸-≥"></a><a id="14653" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14653" class="Function">≤-∸-≥</a> <a id="14659" class="Symbol">:</a> <a id="14661" class="Symbol">∀</a> <a id="14663" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14663" class="Bound">n</a> <a id="14665" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14665" class="Bound">l</a> <a id="14667" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14667" class="Bound">k</a> <a id="14669" class="Symbol">→</a> <a id="14671" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14665" class="Bound">l</a> <a id="14673" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="14675" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14667" class="Bound">k</a> <a id="14677" class="Symbol">→</a> <a id="14679" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14663" class="Bound">n</a> <a id="14681" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14683" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14667" class="Bound">k</a> <a id="14685" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#518" class="Function Operator">≤</a> <a id="14687" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14663" class="Bound">n</a> <a id="14689" href="Cubical.Data.Nat.Base.html#204" class="Primitive Operator">∸</a> <a id="14691" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14665" class="Bound">l</a>
<a id="14693" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14653" class="Function">≤-∸-≥</a> <a id="14699" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14699" class="Bound">n</a> <a id="14702" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14710" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14717" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14717" class="Bound">r</a> <a id="14719" class="Symbol">=</a> <a id="14721" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
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<a id="14817" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14653" class="Function">≤-∸-≥</a> <a id="14824" href="Agda.Builtin.Nat.html#210" class="InductiveConstructor">zero</a> <a id="14831" class="Symbol">(</a><a id="14832" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14836" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14836" class="Bound">l</a><a id="14837" class="Symbol">)</a> <a id="14839" class="Symbol">(</a><a id="14840" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14844" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14844" class="Bound">k</a><a id="14845" class="Symbol">)</a> <a id="14847" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14847" class="Bound">r</a> <a id="14849" class="Symbol">=</a> <a id="14851" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1657" class="Function">≤-refl</a>
<a id="14858" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14653" class="Function">≤-∸-≥</a> <a id="14864" class="Symbol">(</a><a id="14865" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14869" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14869" class="Bound">n</a><a id="14870" class="Symbol">)</a> <a id="14872" class="Symbol">(</a><a id="14873" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14877" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14877" class="Bound">l</a><a id="14878" class="Symbol">)</a> <a id="14880" class="Symbol">(</a><a id="14881" href="Agda.Builtin.Nat.html#223" class="InductiveConstructor">suc</a> <a id="14885" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14885" class="Bound">k</a><a id="14886" class="Symbol">)</a> <a id="14888" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14888" class="Bound">r</a> <a id="14890" class="Symbol">=</a> <a id="14892" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14653" class="Function">≤-∸-≥</a> <a id="14898" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14869" class="Bound">n</a> <a id="14900" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14877" class="Bound">l</a> <a id="14902" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14885" class="Bound">k</a> <a id="14904" class="Symbol">(</a><a id="14905" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#1563" class="Function">pred-≤-pred</a> <a id="14917" href="Cubical.Data.Nat.Order.html#14888" class="Bound">r</a><a id="14918" class="Symbol">)</a>
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