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在回溯算法:求组合问题!中,我们通过回溯搜索法,解决了n个数中求k个数的组合问题。
可以直接看我的B栈视频讲解:带你学透回溯算法-组合问题的剪枝操作
文中的回溯法是可以剪枝优化的,本篇我们继续来看一下题目77. 组合。
链接:https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
看本篇之前,需要先看回溯算法:求组合问题!。
大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码:
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归
path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
result.clear(); // 可以不写
path.clear(); // 可以不写
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
我们说过,回溯法虽然是暴力搜索,但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码:
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i);
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back();
}
这个遍历的范围是可以剪枝优化的,怎么优化呢?
来举一个例子,n = 4,k = 4的话,那么第一层for循环的时候,从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环,从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象,如图所示:
图中每一个节点(图中为矩形),就代表本层的一个for循环,那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话,都没有意义,都是无效遍历。
所以,可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了,那么就没有必要搜索了。
注意代码中i,就是for循环里选择的起始位置。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
接下来看一下优化过程如下:
-
已经选择的元素个数:path.size();
-
还需要的元素个数为: k - path.size();
-
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1,开始遍历
为什么有个+1呢,因为包括起始位置,我们要是一个左闭的集合。
举个例子,n = 4,k = 3, 目前已经选取的元素为0(path.size为0),n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的,可以是组合[2, 3, 4]。
这里大家想不懂的话,建议也举一个例子,就知道是不是要+1了。
所以优化之后的for循环是:
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
优化后整体代码如下:
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化,这个优化如果不画图的话,其实不好理解,也不好讲清楚。
所以我依然是把整个回溯过程抽象为一颗树形结构,然后可以直观的看出,剪枝究竟是剪的哪里。
就酱,学到了就帮Carl转发一下吧,让更多的同学知道这里!
Java:
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
combineHelper(n, k, 1);
return result;
}
/**
* 每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围,就是要靠startIndex
* @param startIndex 用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。
*/
private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
//终止条件
if (path.size() == k){
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.add(i);
combineHelper(n, k, i + 1);
path.removeLast();
}
}
}
Python:
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
res=[] #存放符合条件结果的集合
path=[] #用来存放符合条件结果
def backtrack(n,k,startIndex):
if len(path) == k:
res.append(path[:])
return
for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2): #优化的地方
path.append(i) #处理节点
backtrack(n,k,i+1) #递归
path.pop() #回溯,撤销处理的节点
backtrack(n,k,1)
return res
Go:
var res [][]int
func combine(n int, k int) [][]int {
res=[][]int{}
if n <= 0 || k <= 0 || k > n {
return res
}
backtrack(n, k, 1, []int{})
return res
}
func backtrack(n,k,start int,track []int){
if len(track)==k{
temp:=make([]int,k)
copy(temp,track)
res=append(res,temp)
}
if len(track)+n-start+1 < k {
return
}
for i:=start;i<=n;i++{
track=append(track,i)
backtrack(n,k,i+1,track)
track=track[:len(track)-1]
}
}
javaScript:
var combine = function(n, k) {
const res = [], path = [];
backtracking(n, k, 1);
return res;
function backtracking (n, k, i){
const len = path.length;
if(len === k) {
res.push(Array.from(path));
return;
}
for(let a = i; a <= n + len - k + 1; a++) {
path.push(a);
backtracking(n, k, a + 1);
path.pop();
}
}
};
C:
int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
//当path中元素个数为k个时,我们需要将path数组放入ans二维数组中
if(pathTop == k) {
//path数组为我们动态申请,若直接将其地址放入二维数组,path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
//因此创建新的数组存储path中的值
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
int i;
for(i = 0; i < k; i++) {
temp[i] = path[i];
}
ans[ansTop++] = temp;
return ;
}
int j;
for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
//将当前结点放入path数组
path[pathTop++] = j;
//进行递归
backtracking(n, k, j + 1);
//进行回溯,将数组最上层结点弹出
pathTop--;
}
}
int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
//path数组存储符合条件的结果
path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
//ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。(数组足够大,避免极端情况)
ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
pathTop = ansTop = 0;
//回溯算法
backtracking(n, k, 1);
//最后的返回大小为ans数组大小
*returnSize = ansTop;
//returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度(都为k)
*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
int i;
for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
(*returnColumnSizes)[i] = k;
}
//返回ans二维数组
return ans;
}
Swift:
func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
var path = [Int]()
var result = [[Int]]()
func backtracking(_ n: Int, _ k: Int, _ startIndex: Int) {
// 结束条件,并收集结果
if path.count == k {
result.append(path)
return
}
// 单层逻辑
// let end = n
// 剪枝优化
let end = n - (k - path.count) + 1
guard startIndex <= end else { return }
for i in startIndex ... end {
path.append(i) // 处理结点
backtracking(n, k, i + 1) // 递归
path.removeLast() // 回溯
}
}
backtracking(n, k, 1)
return result
}