estatica.tex

\documentclass{formulario}

\begin{document}

\titulo{Estática}


\begin{multicols*}{2}

    % ==========================================
    \section{Mecánica}
    % ==========================================

    \eqn{Cantidad de movimiento}{
        \vec{p} = m\vec{v}
    }

    \eqn{Segunda ley de Newton}{
        \vec{F} = m\vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\frac{d\vec{v}}{dt}
    }

    \eqn{Ley de Hooke}{
        F = k \triangle x = k(l - l_o)
    }

    \eqn{Ventaja mecánica}{ Ventaja = \frac{Q}{P} }

    \eqn{Eficiencia}{ \frac{Salida}{Entrada} \times 100\% }

    % ==========================================
    \section{Álgebra vectorial}
    % ==========================================

    \eqn{Suma}{
        \vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ... , a_N + b_N)
    }

    \eqn{Multiplicación escalar por un vector}{
        \lambda\vec{A} = (\lambda a_1, \lambda a_2, ... , \lambda a_N)
    }

    \eqn{Producto escalar}{
        \vec{A}\bullet\vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos{\theta_{AB}} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
    }

    \eqn{Proyección de un vector a lo largo de otro}{
        | Proy_{\vec{A}}\vec{B} | = \frac{\vec{A}\bullet\vec{B}}{|\vec{A}|}&&
        Proy_{\vec{A}}\vec{B} = \frac{\vec{A}\bullet\vec{B}}{|\vec{A}|} \hat{A}&&
    }

    \eqn{Producto vectorial}{
        \vec{A} \times \vec{B} = | \vec{A} | | \vec{B} | \sin{\theta_{AB}} \hat{n} =
        \begin{bmatrix}
            \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
            A_x & A_y & A_z \\
            B_x & B_y & B_z
        \end{bmatrix}
    }

    \eqn{Triple producto escalar}{
        \vec{A} \bullet \vec{B} \times \vec{C} = | \vec{A} | | \vec{B} \times \vec{C} | \cos{\varphi} =
        \begin{bmatrix}
            A_x & A_y & A_z \\
            B_x & B_y & B_z \\
            C_x & C_y & C_z
        \end{bmatrix}
    }

    \columnbreak

    % ==========================================
    \section{Vectores 2D}
    % ==========================================

    \eqn{Magnitud y dirección}{
        | \vec{F} | &= \sqrt{F_x^2 + F_y^2}&&
        \tan{\theta_x} = \frac{F_y}{F_x}&&
    }
    
    \eqn{Componentes}{
        F_x = | \vec{F} | \cos{\theta_x}&&
        F_y = | \vec{F} | \sin{\theta_x}&&
    }

    \eqn{Equilibrio}{
        \Sigma F = 0 && \Sigma F_x = 0 && \Sigma F_y = 0&&
    }

    % ==========================================
    \section{Vectores 3D}
    % ==========================================
    
    \eqn{Vector posición absoluta (forma cartesiana)}{
        \vec{r}_A = \vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}
    }

    \eqn{Vector posición relativa}{
        \vec{r}_{B/A} = (B_x - A_x)\hat{i} + (B_y - A_y)\hat{j} + (B_z - A_z)\hat{k}     
    }

    \eqn{Magnitud}{
        |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} 
    }

    \eqn{Vector unitario}{
        \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}}{|\vec{A}|}
    }

    \eqn{Ángulos directores}{
        \cos{\theta_x} = \frac{A_x}{|\vec{A}|} &&
        \cos{\theta_y} = \frac{A_y}{|\vec{A}|} &&
        \cos{\theta_z} = \frac{A_z}{|\vec{A}|} &&
    }

    \eqn{Forma de ángulo de elevación}{
        &A_z = | \vec{A} | \sin{\varphi} &&
        A_{xy} = | \vec{A} | \cos{\varphi}& \\
        &A_x = A_{xy}\cos{\theta_{xy}} &&
        A_y = A_{xy}\sin{\theta_{xy}}&
    }

    \eqn{Forma dos puntos}{
        \vec{F}_{CD} = | \vec{F}_{CD} | \hat{r}_{D/C}
    }

    \eqn{Equilibrio}{
        \Sigma F = 0 && \Sigma F_x = 0 && \Sigma F_y = 0 && \Sigma F_z = 0 
    }

    % ==========================================
    \section{Fricción}
    % ==========================================

    \eqn{Fricción disponible}{
        f_d = \mu N
    }

    \eqn{Fricción necesaria (inclinación respecto a superficie)}{
        \mu = \cot{\theta}
    }

    \eqn{Bandas planas}{
        ln\frac{T_2}{T_1} &= \mu \beta \\
        T_2 &= T_1 e^{\mu \beta}
    }
                    
    \eqn{Torque motriz}{
        M = (T_2 - T_1) r
    }


    % ==========================================
\end{multicols*}

    \newpage
    \titulo{Estática}

\begin{multicols*}{2}

    % ==========================================
    \section{Movimiento angular}
    % ==========================================

    \eqn{Velocidad lineal}{
        \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}
    }

    \eqn{Cantidad de movimiento angular}{
        \vec{L} &= \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v} \\
        \vec{L}_{tot} &= \vec{\omega}\Sigma r^2_i m_i = I_{CM}\vec{\omega} = I_{CM}\omega\hat{\omega}
    }

    \eqn{Aceleración angular}{
        \vec{M} = I\vec{\alpha} = I\frac{d\vec{\omega}}{dt}
    }
    
    \eqn{Momento de inercia}{
        I_{CM} = \int r^2 dm
    }

    \eqn{Momento de inercia fuera del eje}{
        I' = I_{CM} + Md^2
    }
    
    % ==========================================
    \section{Momento de fuerzas}
    % ==========================================
    
    \eqn{Momento de una fuerza}{
        \vec{M}_Q^{\vec{F}_A} &= \vec{\tau} = \vec{r}_{A/Q} \times \vec{F}_A
        = | F_A | | r_{A/Q} | \sin{\theta} \hat{n}
    }

    \eqn{Sistema fuerza par equivalente}{
        \vec{M}_Q = (\Sigma \vec{r}_{i/Q} \times \vec{F}_i) + (\Sigma \vec{M}_{par_i})
    }

    \eqn{Llave de torsión}{
        \Sigma\vec{M}_{\perp \vec{F}_Q} &= \vec{r}_{Q'/Q} \times \Sigma\vec{F}_Q 
        = \Sigma\vec{M}_Q - \vec{M}_{\parallel \vec{F}_Q} \\
        \Sigma\vec{M}_{\parallel\vec{F}_Q} &= \left( \frac{
            \Sigma\vec{F}_Q \bullet \Sigma\vec{M}_Q
        }{|\Sigma\vec{F}_Q|^2} \right) \Sigma\vec{F}_Q
    }

    \eqn{Momento respecto a un eje}{
        \left| M^{\vec{F}_A}_{Q\parallel QP} \right| &= \hat{r}_{P/Q} \bullet \vec{M}_Q^{\vec{F}_A}
        = \hat{r}_{P/Q} \bullet \vec{r}_{A/Q} \times \vec{F}_A \\
        \vec{M}^{\vec{F}_A}_{Q\parallel QP} &= \left|  M^{\vec{F}_A}_{Q\parallel QP} \right| \hat{r}_{Q/P}
    }
    
    % ==========================================
    \section{Centroides}
    % ==========================================

    \eqn{Centroide}{
        \vec{r}_X = (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) = \frac{\Sigma \vec{r}_i X_i}{\Sigma X_i} 
            = \frac{\int \vec{r} dX}{\int dX} 
    }

    \eqn{Pappus-Guldinius}{
        A_x &= 2\pi \bar{y} L \\
        V_x &= 2\pi \bar{y} A
    }

    \eqn{Centroide en rectángulos y círculos}{
        \bar{y} = \frac{1}{2} h
    }

    \eqn{Centroide en triángulos (desde base)}{
        \bar{y} = \frac{1}{3} h
    }

    \columnbreak

    % ==========================================
    \section{Momentos de inercia}
    % ==========================================

    \eqn{Esfera maciza}{ I = \frac{2}{5} Mr^2 }
    \eqn{Esfera delgada}{ I = \frac{2}{3} Mr^2 }

    \eqn{Punto}{ I = Mr^2 }

    \eqn{Varilla de un extremo}{ I = \frac{1}{3} Ml^2 }
    \eqn{Varilla del centro}{ I = \frac{1}{12} Ml^2 }

    \eqn{Lámina a través de un lado b}{ I = \frac{1}{3} Ma^2 }
    \eqn{Lámina del centro}{ I = \frac{1}{12} M(a^2 + b^2) }

    \eqn{Cilindro macizo}{ I = \frac{1}{2} Mr^2 }
    \eqn{Cilindro delgado}{ I =  Mr^2 }
    \eqn{Cilindro hueco}{ I = \frac{1}{2} M(R^2 + r^2) }
    \eqn{Cilindro a través del diámetro central}{ I = \frac{1}{4} Mr^2 + \frac{1}{12} Ml^2 }

    \eqn{Anillo perpendicular al eje}{ I = Mr^2 }
    \eqn{Anillo delgado a través del diámetro}{ I = \frac{1}{2} Mr^2 }
    \eqn{Anillo ancho a través del diámetro}{ I = \frac{1}{2} Mr^2 + \frac{1}{12} Mw^2 }


    % ==========================================

\end{multicols*}

\end{document}