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<!DOCTYPE html> <html lang="it"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <meta name="author" content="Fosco Loregian"> <title>2-Kan - Un minimo teorico</title> <link rel="stylesheet" href="tufte.css"/> <link rel="stylesheet" href="main.css"/> </head> <body> <article> <h1 id="esercizi-di-varia-natura">Esercizi di varia natura</h1> <h2 id="un-po-di-teoria-degli-anelli">Un po’ di teoria degli anelli</h2> <p><strong>Caveat.</strong> Tutti gli anelli hanno un’identità moltiplicativa. Gli omomorfismi di anelli devono mandare l’identità nell’identità.</p> <ol> <li>Dimostrare che in un anello l’identità moltiplicativa è unica.</li> <li>Se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span> è l’anello degli interi, ed <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.021ex 0.0ex; height: 1.563ex; width: 5.21ex;" src="./antex/20e2ee7b13eef21f4780996328897b6e.svg" /></span>, definiamo su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span> la relazione di equivalenza che dice che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 6.375ex;" src="./antex/40fd4d6b3c1f6b82d7ea70806a8959a9.svg" /></span> se e solo se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 4.974ex;" src="./antex/3258175bca1d590dc39f8ad155115cc4.svg" /></span> è un multiplo di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span>. Dimostrare che <ul> <li><span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.054ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.149ex; width: 2.427ex;" src="./antex/d094bf8d87b51c0887fbfdc438a48dfb.svg" /></span> è una relazione di equivalenza su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span> che è compatibile con le operazioni, ossia se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 6.375ex;" src="./antex/40fd4d6b3c1f6b82d7ea70806a8959a9.svg" /></span> allora <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.045ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 13.695ex;" src="./antex/bd5cf38cabdc880268490cbc7a3731b4.svg" /></span>, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.045ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 8.571ex;" src="./antex/f86e1be9455f22023f1b80887c134dbf.svg" /></span> per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 5.119ex;" src="./antex/7faf17bb529e89b29f79fe683dd2e229.svg" /></span>.</li> <li>l’insieme delle classi di equivalenza rispetto a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.054ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.149ex; width: 2.427ex;" src="./antex/d094bf8d87b51c0887fbfdc438a48dfb.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.055ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 4.959ex;" src="./antex/f15b43ae0200907980cc32319816bcfe.svg" /></span>, si chiama <em>anello delle classi di resto modulo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span></em>, e ha (infatti) una struttura di anello: come si definiscono le operazioni di somma e prodotto tra due classi di equivalenza?</li> <li>L’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.055ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 4.959ex;" src="./antex/f15b43ae0200907980cc32319816bcfe.svg" /></span> ha esattamente <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span> elementi, dati dalle classi di equivalenza <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 17.5ex;" src="./antex/159a70affa52e986c1545f1f797432d4.svg" /></span>.</li> </ul> </li> <li>Sia <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> un anello, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.054ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.941ex; width: 7.485ex;" src="./antex/75a7b825ccf4847d3545fe07d7cfb3bb.svg" /></span>; dimostrare che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.054ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.608ex; width: 2.132ex;" src="./antex/5bff2f22baa8e8e5e3fff0fd1c7a4572.svg" /></span> è invertibile, allora <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 1.097ex;" src="./antex/6931637c9edc7bdaa06f5209848ede34.svg" /></span> è invertibile; se il prodotto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 2.404ex;" src="./antex/2ed5785d63685c5297c042e2fa2f3546.svg" /></span> è invertibile, lo sono sia <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 1.097ex;" src="./antex/6931637c9edc7bdaa06f5209848ede34.svg" /></span> che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 1.116ex;" src="./antex/64dc72d1177d8bc2cd7a834778ba66ae.svg" /></span>?</li> <li>Dimostrare che un anello commutativo finito (=con un numero di elementi finito) che sia anche un dominio di integrità, è un campo.</li> <li>Sia <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/4adf5501900a622d53b3c02bf3255aa6.svg" /></span> un insieme, e consideriamo l’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.528ex; width: 2.931ex;" src="./antex/11908554b90aa22f4e8d10513b41e115.svg" /></span> di tutti i suoi sottoinsiemi; dimostrare che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.528ex; width: 2.931ex;" src="./antex/11908554b90aa22f4e8d10513b41e115.svg" /></span> è un anello se definiamo la somma come la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Differenza_simmetrica">differenza simmetrica</a> di sottoinsiemi, e il prodotto come l’intersezione. Un anello <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> si dice <em>booleano</em> se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.947ex; width: 6.136ex;" src="./antex/2a9f0a292b7ebf3b598c625750c8267a.svg" /></span> per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.518ex; width: 5.242ex;" src="./antex/80d85c6828cb9f485fa730152bcd9367.svg" /></span>; è vero che per ogni anello booleano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> esiste un insieme tale che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.528ex; width: 7.343ex;" src="./antex/e854babd58d9238df1fc377623afcd00.svg" /></span>?</li> <li>Dimostrare che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> è un anello, e un suo elemento <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.518ex; width: 5.242ex;" src="./antex/80d85c6828cb9f485fa730152bcd9367.svg" /></span> ammette due inversi sinistri <em>distinti</em> allora ne ha infiniti.</li> <li>Dimostrare che l’intersezione di un numero arbitrario di ideali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 16.245ex;" src="./antex/d221dc4e96bc3d0d93869d7d5a0b04b1.svg" /></span> è ancora un ideale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>.</li> <li>Dimostrare che dato un sottoinsieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/bce626e320cb833fac8a817ed4813978.svg" /></span> di un anello <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>, l’<em>ideale generato</em> da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/bce626e320cb833fac8a817ed4813978.svg" /></span> coincide con <ul> <li>l’intersezione di tutti gli ideali di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> che contengono <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/bce626e320cb833fac8a817ed4813978.svg" /></span>;</li> <li>l’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.135ex -1.489ex 0.0ex; height: 4.185ex; width: 35.272ex;" src="./antex/1dd3ef62c7d6d7ec9817b23869eb1c8e.svg" /></span> (cioè con le somme finite di elementi della forma <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.083ex -0.033ex 0.0ex; height: 1.632ex; width: 3.639ex;" src="./antex/50fd5e460525aff8e1fd581e9c90d8f2.svg" /></span>). Si denota con <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.022ex -0.381ex -0.018ex; height: 1.875ex; width: 1.742ex;" src="./antex/5b42642f717b6863fdb4d3ec1b12d318.svg" /></span> o con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 2.727ex;" src="./antex/a0ae547df86fd924735194075c16bcd5.svg" /></span>.</li> </ul> </li> <li>Il prodotto di due ideali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.327ex -0.018ex; height: 1.821ex; width: 3.058ex;" src="./antex/53d4c71928af45e6b28f8f25e525f207.svg" /></span> è l’ideale generato dall’insieme dei prodotti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.149ex; width: 15.911ex;" src="./antex/59f11400f01ff0ad5d7004934157d3ea.svg" /></span>. La somma di due ideali è l’ideale generato dall’unione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex -0.018ex; height: 1.538ex; width: 4.745ex;" src="./antex/0a8c5cde1cc3270f86d4ec07dae74512.svg" /></span>. E’ vero che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.105ex -0.456ex -0.018ex; height: 2.132ex; width: 25.714ex;" src="./antex/2173cfaa4c6032cc7dfa30dc3d334644.svg" /></span>?</li> <li>Nell’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span>, descrivere gli ideali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 22.92ex;" src="./antex/2dafb3bc30984df57ab8cd98be191cb9.svg" /></span> (chiamo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 2.621ex;" src="./antex/ab61c60640091927952a774a54b501b7.svg" /></span> l’ideale generato dal singoletto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 3.128ex;" src="./antex/714f5fefbe65058163121a2ade3bd6a3.svg" /></span>); esiste un ideale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span> che non sia della forma <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 2.621ex;" src="./antex/ab61c60640091927952a774a54b501b7.svg" /></span> per qualche <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.021ex 0.0ex; height: 1.563ex; width: 5.21ex;" src="./antex/665cbbb697490696bc7d9351ee938a57.svg" /></span>?</li> <li>Sia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 14.468ex;" src="./antex/d59bd9f6a5f63d38c4fba4a36bad1a8d.svg" /></span> la mappa che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span> nella matrice <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -0.714ex 0.0ex; height: 2.614ex; width: 4.713ex;" src="./antex/70c4ad0f9164533ce2cf715e350c2d9c.svg" /></span>. E’ un omomorfismo di anelli?</li> <li>Aprire un libro di algebra lineare, e leggere la dimostrazione che ogni spazio vettoriale ammette una base; dove si sta usando l’ipotesi che lo spazio vettoriale sia definito su un campo?</li> <li>Dimostrare il primo teorema di omomorfismo per anelli: se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 9.954ex;" src="./antex/61deef945254d420b54fcbf0cc5ada38.svg" /></span> è un omomorfismo di anelli, esiste un isomorfismo tra l’<em>anello quoziente</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 3.561ex;" src="./antex/c357cd7b32faa54716cb9ad6244fbbb0.svg" /></span> (leggere la definizione da un libro di algebra) e l’immagine di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>.</li> <li>Dimostrare che esiste una biiezione tra l’insieme degli ideali di un anello che contengono un ideale fissato <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/fe1865ec21de424766c43baa77be9401.svg" /></span>, e l’insieme degli ideali dell’anello quoziente <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 3.561ex;" src="./antex/c357cd7b32faa54716cb9ad6244fbbb0.svg" /></span>.</li> <li>Un elemento di un anello si dice <em>nilpotente</em> se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.093ex -0.05ex 0.0ex; height: 1.633ex; width: 6.144ex;" src="./antex/4f3b5dc292258f656e710513b2c224af.svg" /></span> per qualche <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span>, <em>idempotente</em> se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.947ex; width: 6.136ex;" src="./antex/2a9f0a292b7ebf3b598c625750c8267a.svg" /></span>, e <em>centrale</em> se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 7.181ex;" src="./antex/31349da2f0559f0b988ad8267f3f62b8.svg" /></span> per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 5.124ex;" src="./antex/a4e22323cefe37d88351bd84a54d8d64.svg" /></span>. Mostrare che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.004ex; width: 9.614ex;" src="./antex/03f61290196574b607873ec8374d4da4.svg" /></span> è un omomorfismo suriettivo di anelli, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.058ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.942ex; width: 1.218ex;" src="./antex/8accadca0ed5c423f611504a9cf18200.svg" /></span> manda elementi idempotenti in idempotenti, nilpotenti in nilpotenti, e centrali in centrali. Dove si sta usando l’ipotesi di suriettività?</li> <li>Sia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 8.829ex;" src="./antex/0a62cdd6d5662951aead50336aa4aa1f.svg" /></span> l’anello dei polinomi a coefficienti interi; sia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.042ex; height: 2.132ex; width: 11.095ex;" src="./antex/2eafdc5de54b85daf6033167a81ddcac.svg" /></span> l’anello delle matrici <span class="antex inline"><img style="margin: -0.05ex 0.118ex -0.004ex 0.0ex; height: 1.55ex; width: 4.688ex;" src="./antex/a4e83305f10b8d254c9d85b8ef560035.svg" /></span> a coefficienti in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>. Dimostrare che per ogni ideale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/fe1865ec21de424766c43baa77be9401.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>, il sottoinsieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.655ex;" src="./antex/947e9a6e3cfe77dce7dd9c5fe1a1d29c.svg" /></span> delle matrici a coefficienti in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/fe1865ec21de424766c43baa77be9401.svg" /></span> è un ideale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.041ex; height: 1.494ex; width: 2.038ex;" src="./antex/c124cb279978741d5e5c86c8ae57a77f.svg" /></span>; dimostrare che ogni ideale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.041ex; height: 1.494ex; width: 2.038ex;" src="./antex/c124cb279978741d5e5c86c8ae57a77f.svg" /></span> è di questa forma. Dimostrare che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 24.301ex;" src="./antex/a37364485854e179e0fcf42a83a203b5.svg" /></span>.</li> <li>Il centro di un anello è l’insieme di tutti i suoi elementi centrali. Dimostrare che il centro di un anello semplice (un anello senza ideali bilateri diversi da <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.053ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.03ex;" src="./antex/d040bc9d43f688a2349515789ecb2ff8.svg" /></span>) è un campo.</li> <li>Dimostrare che un omomorfismo di anelli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 9.954ex;" src="./antex/61deef945254d420b54fcbf0cc5ada38.svg" /></span> tra anelli semplici è iniettivo (deve mandare 1 in 1…).</li> <li>L’insieme degli elementi invertibili di un anello è un gruppo (per definizione…); quali sono gli elementi invertibili dell’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 6.275ex;" src="./antex/0b81d63847014690f03d5b83d28479a0.svg" /></span>? Quali sono gli elementi invertibili dell’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.1ex;" src="./antex/0d65662b9579946378cb708341155c3f.svg" /></span>? C’è un motivo per cui quando <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span> è primo tutti gli elementi non nulli di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.12ex;" src="./antex/44ee078323c14c3f58a737ce5ee9fbfc.svg" /></span> sono invertibili?</li> <li>La <em>caratteristica</em> di un anello commutativo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> è il minimo intero <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span> tale che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.05ex 0.093ex -0.05ex 0.0ex; height: 1.597ex; width: 24.245ex;" src="./antex/1277599adc440c51f209d3ab8d5c041e.svg" /></span>, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.05ex 0.093ex -0.051ex 0.0ex; height: 1.598ex; width: 1.068ex;" src="./antex/f32cc5f311da3e362d345e40a61ad41d.svg" /></span> se tale minimo non esiste. Mostrare che non esiste un omomorfismo di anelli tra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 9.388ex;" src="./antex/f383a3909fd19619892b040252d39ec7.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 10.329ex;" src="./antex/f7716f9980757d46c6fc95a3d004795f.svg" /></span>. Mostrare che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> è un dominio di integrità, allora la sua caratteristica è un numero primo.</li> <li>Un anello si dice <em>noetheriano</em> se ogni catena di ideali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.158ex -0.383ex -0.018ex; height: 1.876ex; width: 29.266ex;" src="./antex/dcff2ab797193e0c84c0bacd5a561e51.svg" /></span> è <em>stazionaria</em>, ossia esiste un indice <span class="antex inline"><img style="margin: -0.052ex 0.146ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.415ex; width: 1.092ex;" src="./antex/859d21dcefe4e3957b469718635adc1e.svg" /></span> tale che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.156ex -0.365ex -0.018ex; height: 1.859ex; width: 8.345ex;" src="./antex/5811abc118afcdf90022731a433a15b8.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.156ex -0.364ex -0.018ex; height: 1.858ex; width: 8.242ex;" src="./antex/411ce0860e99ac97f5c55f96af87cc76.svg" /></span> per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.149ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 5.291ex;" src="./antex/e1fb30f9b6d5524c521a0059ab8f5815.svg" /></span>. Dimostrare che <ul> <li>Un anello è noetheriano se e solo se ogni suo ideale è finitamente generato;</li> <li>Un anello è noetheriano se e solo se ogni famiglia di ideali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 11.746ex;" src="./antex/fcd79e362efe56c88184c225629ec19e.svg" /></span> indicizzata da un insieme non vuoto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/4adf5501900a622d53b3c02bf3255aa6.svg" /></span> ammette un elemento <em>massimale</em> (ossia esiste un <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.029ex -0.363ex -0.018ex; height: 1.857ex; width: 1.879ex;" src="./antex/31b7860ae06574929e66ce7c4697650e.svg" /></span> tale che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.002ex -0.698ex -0.018ex; height: 2.192ex; width: 6.767ex;" src="./antex/c64f8b0c2d39fd1822e0cced0b66120f.svg" /></span>, allora <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.029ex -0.698ex -0.018ex; height: 2.192ex; width: 6.658ex;" src="./antex/e30405e95816d8692ae71eb98c9fe4ef.svg" /></span>).</li> </ul> </li> <li>L’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.408ex;" src="./antex/6fb28864d8de016957115a10a5a21001.svg" /></span> è noetheriano? L’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.021ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.12ex;" src="./antex/44ee078323c14c3f58a737ce5ee9fbfc.svg" /></span> è noetheriano?</li> <li>Dimostrare che se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/fe1865ec21de424766c43baa77be9401.svg" /></span> è un ideale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span>, se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> è noetheriano lo è il quoziente <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 3.561ex;" src="./antex/c357cd7b32faa54716cb9ad6244fbbb0.svg" /></span>.</li> <li>Un ideale di un anello si dice <em>massimale</em> se non è contenuto in nessun altro ideale proprio; dimostrare che ogni anello ha un ideale massimale (usare l’“assioma della scelta”: se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/e1f847ee3d86919702a6dbea7b637fe1.svg" /></span> è un insieme parzialmente ordinato, tale che ogni <em>catena</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.158ex -0.383ex 0.0ex; height: 1.909ex; width: 28.4ex;" src="./antex/5647377fe2d5922aed1f4bacaf8e4638.svg" /></span> ammette un elemento massimale, allora <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/e1f847ee3d86919702a6dbea7b637fe1.svg" /></span> ammette un elemento massimale).</li> <li>Nell’anello <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.03ex; height: 2.379ex; width: 15.287ex;" src="./antex/603a74c0429a18c00cc627c2d89a2dd5.svg" /></span> delle funzioni continue <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 17.7ex;" src="./antex/7dda91868d7ae0cba0102ac1784f5b7b.svg" /></span> (con le operazioni di somma e prodotto definite da <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.479ex 0.0ex; height: 2.155ex; width: 22.539ex;" src="./antex/a44e75bb1cf6d2e5e2c30d3beaa7c8ad.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.479ex 0.0ex; height: 2.155ex; width: 20.824ex;" src="./antex/7ff449ef1b90b263bf5c6bc26e8a2a89.svg" /></span>) mostrare che <ul> <li>L’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.105ex -0.712ex -0.018ex; height: 2.205ex; width: 3.296ex;" src="./antex/87eb0418115bc1512452026d7cf42adf.svg" /></span> delle funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 30.076ex;" src="./antex/ddb9ab2ed98c9237432eac99809a74cd.svg" /></span> è un ideale massimale.</li> <li><span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.002ex -0.371ex -0.018ex; height: 1.865ex; width: 1.335ex;" src="./antex/612e2ef690073f974d787dc4834a17b2.svg" /></span>, definito analogamente come <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 27.435ex;" src="./antex/3ea309c48c55b4690015f71a639227e8.svg" /></span> per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 10.343ex;" src="./antex/5e0ecc1ca19e1e9bb01c33926eaddcb3.svg" /></span>, è ancora un ideale massimale. E’ vero che per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.156ex;" src="./antex/e8206929f27ee2ec147a2a153854130c.svg" /></span> gli ideali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.002ex -0.371ex -0.018ex; height: 1.865ex; width: 3.989ex;" src="./antex/4fe7dbd366124ed9e2da6565de8b2b4d.svg" /></span> sono isomorfi? Chi è il quoziente <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.068ex -0.454ex -0.03ex; height: 2.107ex; width: 4.158ex;" src="./antex/b7022a85f405dd15df68e1215f0b1583.svg" /></span>? C’è relazione tra la somma di ideali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.002ex -0.371ex -0.018ex; height: 1.865ex; width: 5.637ex;" src="./antex/1288d37701ca45dc8b0468da7e4c12f5.svg" /></span> e l’ideale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.002ex -0.371ex -0.018ex; height: 1.865ex; width: 3.248ex;" src="./antex/d6b10b0361df30bcdf622cde3de15ccc.svg" /></span>? E per quanto riguarda il prodotto? <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/7b96dcdafddf3b31b49a6ec4124fe44a.svg" /></span> è noetheriano?</li> </ul> </li> <li>Sull’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/bce626e320cb833fac8a817ed4813978.svg" /></span> delle funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.014ex -0.022ex 0.0ex; height: 1.564ex; width: 6.855ex;" src="./antex/1519a2cd2f4945f3b182e8faafd05372.svg" /></span> dotato della somma puntuale e dell prodotto di <em>convoluzione</em>: <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -3.254ex 0.0ex; height: 5.631ex; width: 25.307ex;" src="./antex/9f20c19a5bbbe3547ae5d37e101baf54.svg" /></span> c’è o no una struttura di anello? Se sì, rispondere a tutte le domande precedenti per questo anello: <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.019ex; height: 2.156ex; width: 27.231ex;" src="./antex/d48ed5aba02ef66ac0fe4511bbb195ec.svg" /></span> è un ideale? Gli <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.054ex -0.365ex -0.018ex; height: 1.859ex; width: 1.707ex;" src="./antex/01f8736ec5a1400d7fe95448cf5554c2.svg" /></span> sono tutti isomorfi? E chi è il quoziente <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.055ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 4.148ex;" src="./antex/f557db8493db7fda8afd32d2a2526d9d.svg" /></span>? <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/bce626e320cb833fac8a817ed4813978.svg" /></span> è noetheriano?</li> <li>Stesse domande dei due esercizi precedenti, fatte però per un sottoinsieme finito <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 9.856ex;" src="./antex/19e2e81dabb775e81427a42de6f45c1f.svg" /></span> con più di un elemento, e per l’ideale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.019ex; height: 2.156ex; width: 30.548ex;" src="./antex/f3d34fa9aeb1feeb37d039259a9ff231.svg" /></span> (mostrare che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.089ex -0.348ex -0.018ex; height: 1.842ex; width: 1.984ex;" src="./antex/ba676909090a187fbb78073933c483e8.svg" /></span> non è massimale: in quale ideale proprio è propriamente contenuto?). Stesse domande per gli ideali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.348ex -0.018ex; height: 1.874ex; width: 6.224ex;" src="./antex/c30683d80ddc67799c8f268154826f2d.svg" /></span>, definiti per un sottoinsieme finito <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/4adf5501900a622d53b3c02bf3255aa6.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.03ex -0.022ex 0.0ex; height: 1.564ex; width: 1.636ex;" src="./antex/413c93f7b564964903b3b6f24081ad45.svg" /></span>. Dati due sottoinsiemi finiti <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.327ex -0.117ex; height: 1.856ex; width: 3.775ex;" src="./antex/e6e02ce6695c46f819c3821a28faa60c.svg" /></span>, che relazione esiste tra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.071ex -0.348ex -0.018ex; height: 1.842ex; width: 15.877ex;" src="./antex/b84d66a756d27c42aea7cf3d26ef95bc.svg" /></span>? E’ chiaro che questo suggerisce una relazione tra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.049ex -0.616ex -0.018ex; height: 2.11ex; width: 18.706ex;" src="./antex/50c9abf598c1620f87a34528b09c6cd3.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.089ex -0.348ex -0.018ex; height: 1.842ex; width: 1.984ex;" src="./antex/ba676909090a187fbb78073933c483e8.svg" /></span> se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex -0.119ex; height: 2.135ex; width: 15.804ex;" src="./antex/65b118a85b6c32fe000beb40ea92a4d3.svg" /></span> ha <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/df3b7f14f826ba9eb25355cc3188e803.svg" /></span> elementi… :-) qui comincia la geometria algebrica.</li> <li>Esiste un campo con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.05ex 0.093ex -0.051ex 0.0ex; height: 1.598ex; width: 2.23ex;" src="./antex/e11de49de7756deb889dd5b9adbd57ed.svg" /></span> elementi?</li> <li>Sia <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span> un campo; una <em>estensione</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span> è un altro campo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> che contiene una copia isomorfa di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span>. Dimostrare che un’estensione di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span> equivale al dato di un omomorfismo di anelli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.524ex;" src="./antex/15647b4f589753d9724298d2c3b8c7ce.svg" /></span>. Si indica un’estensione con la notazione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 3.965ex;" src="./antex/085f9905ae1e59555f400135e45bd5bb.svg" /></span>.</li> <li>Data un’estensione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 3.965ex;" src="./antex/085f9905ae1e59555f400135e45bd5bb.svg" /></span>, il <em>gruppo di Galois</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> su <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span>, denotato <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.274ex;" src="./antex/b7fe03abc4fa1fdb88dc7d54659f87fa.svg" /></span>, è il gruppo degli automorfismi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> che, ristretti a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span>, sono l’identità: <span class="antex display"><img style="margin: 0.011ex 0.121ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.781ex; width: 48.463ex;" src="./antex/91c5c4d9ab5ecd189f9acb5fc0a3df2a.svg" /></span> le estensioni intermedie tra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span> sono tutti i campi <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.773ex;" src="./antex/6c00647b06a995ffc9c6dd6259834a82.svg" /></span> tali che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.115ex 0.0ex; height: 1.609ex; width: 10.748ex;" src="./antex/34b6efdc1331c1b2cb4ff7b3cdea3a01.svg" /></span>. <ul> <li>Dimostrare che esiste una coppia di funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.002ex 0.026ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.895ex; width: 4.313ex;" src="./antex/f87cfe03e4013c32409c78d2a072921e.svg" /></span>, definite come segue: <span class="antex inline"><img style="margin: -0.001ex 0.081ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.525ex; width: 1.603ex;" src="./antex/9349d8a40e1840cf80ddc71020aeb41c.svg" /></span> manda un’estensione intermedia tra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/835c8f41b04277800102647b6b5dfd2d.svg" /></span> nel sottogruppo di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.274ex;" src="./antex/b7fe03abc4fa1fdb88dc7d54659f87fa.svg" /></span> i cui elementi sono i <span class="antex inline"><img style="margin: 0.011ex 0.0ex -0.028ex 0.0ex; height: 2.352ex; width: 11.626ex;" src="./antex/a598086f803b20ddedbd176491942738.svg" /></span> tali che ristretti a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.773ex;" src="./antex/6c00647b06a995ffc9c6dd6259834a82.svg" /></span> sono l’identità; <span class="antex inline"><img style="margin: -0.002ex 0.026ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.701ex;" src="./antex/d887913fceacef4eadc852486e8bbbce.svg" /></span> manda un sottogruppo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/2c42b24198a34ade4cb2aacedb1dd557.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.274ex;" src="./antex/b7fe03abc4fa1fdb88dc7d54659f87fa.svg" /></span> nell’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.299ex;" src="./antex/cc4181a08371cdb19c0c52e6a899102f.svg" /></span> degli elementi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/0729166885a590162df5a366aca1e5a7.svg" /></span> che sono fissati da tutti gli elementi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/2c42b24198a34ade4cb2aacedb1dd557.svg" /></span>.</li> <li>Dimostrare che per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/2c42b24198a34ade4cb2aacedb1dd557.svg" /></span> si ha <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.872ex;" src="./antex/5c9714928769dd4a201f78dda254a43a.svg" /></span> e per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.773ex;" src="./antex/6c00647b06a995ffc9c6dd6259834a82.svg" /></span> si ha <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.018ex; height: 2.132ex; width: 13.096ex;" src="./antex/7eb1905fd63b8f7ad3e49694dd780902.svg" /></span>.</li> <li>Dimostrare che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.099ex;" src="./antex/529770b2aa0aa0e69283e2c715978075.svg" /></span> è il gruppo banale; dedurne che in generale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.001ex 0.081ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.525ex; width: 1.603ex;" src="./antex/9349d8a40e1840cf80ddc71020aeb41c.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.002ex 0.026ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.701ex;" src="./antex/d887913fceacef4eadc852486e8bbbce.svg" /></span> non sono biiettive.</li> <li>Determinare <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 8.971ex;" src="./antex/ce3b6f1da39db1977531b2340524283c.svg" /></span>; in questo caso <span class="antex inline"><img style="margin: -0.002ex 0.026ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.895ex; width: 4.313ex;" src="./antex/f87cfe03e4013c32409c78d2a072921e.svg" /></span> sono biiettive?</li> </ul> </li> </ol> <!-- ## Algebra multilineare e tensori ### Algebre esterne ### Algebre di Clifford ## Fatti di base sui moduli ## Estensioni di moduli: costruire <span class='antex inline'><img style='margin: -0.032ex 0.157ex -0.026ex 0.0ex; height: 2.038ex; width: 4.479ex;' src='./antex/b5d37b266168286278b82b043d9920d2.svg' /></span> con le mani ## Algebra omologica: definizioni ### de Rham, singolare, gruppi ## Briciole di teoria delle categorie ## Topologia Algebrica ### Complessi di celle (CW e simpliciali) ### Sospensioni e loop ### Richiami sul gruppo fondamentale e conti con Van Kampen ### teoria di Galois dei rivestimenti ### Gruppi di omotopia superiori ## Omologia delle varietà ### Coomologia di de Rham, in dettaglio ### Legami con l'omologia singolare ### Ostruzioni e fibrati (classi caratteristiche) --> </article> </body> </html>