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<!DOCTYPE html> <html lang="it"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <meta name="author" content="Fosco Loregian"> <title>2-Kan - un corso di 2-categorie</title> <link rel="stylesheet" href="tufte.css"/> <link rel="stylesheet" href="main.css"/> </head> <body> <article> <h1 id="2-categorie-un-corso">2-categorie: un corso</h1> <p>Tutto quanto si svolgerà con queste modalità:</p> <ul> <li> <font color="#ff4d4d">17 maggio; 16.30; 2AB40 in Torre Archimede</font> </li> <li> <font color="#ff4d4d">25 maggio; 15.30; 2AB40 in Torre Archimede</font> </li> <li> <font color="#ff4d4d">31 maggio; 16.30; 2AB40 in Torre Archimede</font> </li> <li> <font color="#ff4d4d">???; ???; ??? in Torre Archimede</font> </li> <li> <font color="#ff4d4d">???; ???; ??? in Torre Archimede</font> </li> <li> <font color="#ff4d4d">???; ???; ??? in Torre Archimede</font> </li> <li>???</li> </ul> <h2 id="indice">Indice</h2> <ul> <li><a href="#preliminari">Capitolo 1: categorie monoidali e arricchite</a></li> <li><a href="#cofini-kan">Capitolo 2: calcolo delle cofini, estensioni di Kan, limiti pesati</a></li> <li><a href="#2-categorie">Capitolo 3: 2-categorie</a></li> <li><a href="#profuntori">Capitolo 4: la bicategoria dei profuntori</a></li> <li><a href="#derivatori">Capitolo 5: la 2-categoria dei derivatori</a></li> <li><a href="#2-limiti">Capitolo 6: teoria 2-dimensionale dei limiti</a></li> <li><a href="#monadi">Capitolo 7: teoria formale delle monadi</a></li> <li><a href="#formale">Capitolo 8: teoria delle categorie formale</a></li> </ul> <h2 id="preliminari-categorie-arricchite"><a name="preliminari"></a>Preliminari: categorie arricchite.</h2> <p>La teoria delle categorie arricchite affonda le radici nell’algebra omologica: il primo esempio di tale struttura fu introdotto e studiato da Kelly in [ref] e Eilenberg (per motivi non dissimili da quelli che portarono Grothendieck e Verdier a introdurre le categorie derivate) in [ref]. Scoperto tale interesse comune, Eilenberg e Kelly presero in considerazione strutture con lo stesso comportamento di una categoria, ma dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.806ex;" src="./antex/38eb8db688adae5d2cb04a23c1c5bd38.svg" /></span> non è più solamente un insieme, quanto piuttosto un intero <em>complesso di catene</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.362ex;" src="./antex/101d280054676d4831f7815bceb6a739.svg" /></span> (quindi, in paricolare, un gruppo abeliano graduato) e tale per cui le mappe di composizione</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 30.088ex;" src="./antex/46e199b65e0febde7605c8e7be2bd541.svg" /></span> sono mappe di catene (definendo opportunamente il prodotto tensoriale a dominio, e il grado della mappa secondo le regole dell’algebra omologica).</p> <p>I due si resero però conto piuttosto in fretta che ben pochi dei risultati che saranno poi esposti in [<a href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-99902-4_22">laJolla</a>] dipendono inerentemente dal fatto che gli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.806ex;" src="./antex/38eb8db688adae5d2cb04a23c1c5bd38.svg" /></span> sono complessi di catene; è sufficiente che tali oggetti appartengano a una categoria dove sia definita una operazione di <em>moltiplicazione</em> tra oggetti, in maniera debitamente coerente (si pensi ad esempio agli insiemi, agli spazi vettoriali, agli spazi topologici… dove sono definiti il prodotto cartesiano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.052ex -0.004ex -0.116ex; height: 1.532ex; width: 5.381ex;" src="./antex/90938db8f517b3f6cdb59298765db19b.svg" /></span> -con una opportuna topologia prodotto, se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.327ex -0.117ex; height: 1.856ex; width: 3.775ex;" src="./antex/9e08ccd357a214f11dc9d14e1bef647e.svg" /></span> sono spazi topologici- oppure il prodotto tensoriale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.364ex 0.0ex; height: 1.858ex; width: 7.274ex;" src="./antex/8b1fede416a9dbd4d023c5fd97fab066.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 1.088ex;" src="./antex/cebf9c35f453f2bc57a0de651a73b7c8.svg" /></span>-spazi vettoriali). Chiamiamo le categorie <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> con questa proprietà “categorie monoidali” (o dotate di una “struttura monoidale”), e preleviamo dalla classe degli oggetti di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> una sotto-classe di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.362ex;" src="./antex/101d280054676d4831f7815bceb6a739.svg" /></span> che si comportino in maniera formalmente analoga agli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.806ex;" src="./antex/38eb8db688adae5d2cb04a23c1c5bd38.svg" /></span> di una categoria, otteniamo oggetti che chiamiamo categorie <em>arricchite</em> sulla <em>base</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>.</p> <p><label for="1527246901796807006" class="margin-toggle sidenote-number"></label> <input type="checkbox" id="1527246901796807006" class="margin-toggle" /> <span class="sidenote"> È bene notare che, sebbene il caso in cui gli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.362ex;" src="./antex/101d280054676d4831f7815bceb6a739.svg" /></span> siano <em>insiemi</em> arricchiti di una struttura sia il più frequente nella pratica (e cioè il caso in cui, in particolare, la composizione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 23.04ex;" src="./antex/89054135dc2a8e7a20579a3b640da5e2.svg" /></span> sia un omomorfismo rispetto alla struttura in questione: questo è il caso in cui gli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.362ex;" src="./antex/101d280054676d4831f7815bceb6a739.svg" /></span> sono gruppi abeliani, spazi vettoriali, complessi di catene, spazi topologici, etc.), questo non è <em>necessario</em> alla definizione generale. </span></p> <p>Il lavoro [laJolla] si occuperà di stabilire cosa sopravvive della teoria delle categorie classica (dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 8.067ex;" src="./antex/eec5e3c8429009bbc0115441a954af4c.svg" /></span>) alla luce di questa osservazione; dallo studio di Eilenberg e Kelly (e da molte successive espansioni) emerge che la teoria si recupera pressoché nella sua totalità: esistono <em>funtori</em> arricchiti, trasformazioni naturali arricchite, co/limiti, prefasci, e un “lemma di Yoneda” in una opportuna forma che tiene conto della maggior struttura di un prefascio <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.463ex;" src="./antex/e6a3d9b9c34f1d4b44ec1be459010b1f.svg" /></span>. È, allora, solo un caso molto particolare quello della teoria delle categorie <em>basata su insiemi</em>; molti risultati classici relativi a una categoria, o a una classe specifica di categorie, “vivono” in un mondo dove sugli hom-set è stata posta una struttura addizionale; molti altri sono naturalmente interpretabili in tal senso, piuttosto che come oggetti pertinenti alla teoria degli insiemi.</p> <p>In tal senso, l’esempio di apertura è illuminante: la categoria dei complessi di catene è monoidale, rispetto al prodotto di due complessi che è definito dalla posizione</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.06ex -3.158ex 0.0ex; height: 5.534ex; width: 25.618ex;" src="./antex/0f2fb9b3613828a2f9cd222cd7f25946.svg" /></span> Una categoria arricchita sui complessi di catene si dice una “DG-categoria” (categoria <em>D</em>ifferenziale <em>G</em>raduata), cosicché per specificare una DG-categoria, per ogni terna di oggetti, e ad ogni grado fissato va specificata una famiglia di mappe bilineari <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.698ex 0.0ex; height: 2.226ex; width: 19.248ex;" src="./antex/f4f556daa101d8aa0dcc2be7f5a4e89a.svg" /></span>; ciascuna di queste famiglie va a formare la componente <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/0c1fc8c6ac156efc5557b18b7dd8cb5e.svg" /></span>-esima di una mappa di catene <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.11ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.291ex; width: 17.224ex;" src="./antex/a340d38eed7a15ba0310ff6beb49899a.svg" /></span>; e questa descrizione parla solo delle mappe di grado zero…</p> <p>Appare evidente che una tale interpretazione puramente insiemistica della struttura fortemente annidata delle mappe di composizione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 30.987ex;" src="./antex/6c532462f5000fc2c5df91306563dc10.svg" /></span> è improponibile nel caso delle DG-categorie. Diventa allora fondamentale avere a disposizione un formalismo che incapsuli completamente questa complessità in un approccio formale; la struttura monoidale su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.957ex;" src="./antex/eddb6d773ce1a55abceacd9a36c0e415.svg" /></span>, dimostrata una e una sola volta, permette di trattare l’intera <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.002ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.398ex; width: 4.803ex;" src="./antex/573eafc46d9e9407d008c135d3567767.svg" /></span> come un unico oggetto, e di derivare nuove proprietà da questa descrizione formale.</p> <p>La teoria delle categorie arricchite è piuttosto vasta:</p> <ul> <li>le categorie monoidali sono oggetti molti ricchi di struttura (nella categoria degli spazi vettoriali di dimensione finita ogni oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 1.577ex;" src="./antex/bbcf51ca0323de1c72d8783c3e2779ea.svg" /></span> ammette un “inverso” <span class="antex inline"><img style="margin: 0.007ex 0.105ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.831ex; width: 2.645ex;" src="./antex/34495bfa9e0baf15bcd542851557625d.svg" /></span>, il suo duale, in modo che esistano delle mappe <span class="antex inline"><img style="margin: 0.007ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.895ex; width: 11.967ex;" src="./antex/32f955126d3014c77f23915bb5ae2bfc.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.007ex 0.105ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.895ex; width: 11.709ex;" src="./antex/9462d71dfe3dedd3190f144766344134.svg" /></span> soddisfacenti a opportune proprietà universali: questo si può astrarre a una richiesta analoga per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>). Un resoconto molto utile e pieno di riferimenti che classifica la vasta zoologia di assiomi aggiuntivi da imporre a una categoria monoidale è [ref].</li> <li>le categorie monoidali sono oggetti abbastanza ubiquitari: <ul> <li>le categorie <em>cartesiane</em>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.04ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.405ex; width: 1.445ex;" src="./antex/d907ac09e01abb304b3bab51c7045f65.svg" /></span> è il prodotto cartesiano, sono parecchie; una loro opportuna sotto-categoria (quella delle categorie “chiuse”) è formata dalle categorie dove è possibile interpretare il <span class="antex inline"><img style="margin: -0.004ex -0.183ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.56ex; width: 1.424ex;" src="./antex/eff22bc89a1999b6edeb7bffc3c6beb8.svg" /></span>-calcolo. Per non parlare poi dei topos elementari (particolari categorie cartesiane chiuse), delle varianti di spazi topologici, e spazi puntati…</li> <li>Le categorie <em>compatte</em>, che cioè soddisfano alla proprietà del punto precedente, sono un ambiente naturale per studiare “meccanica quantistica categoriale” [ref,ref,ref] -questa scelta è naturale, dato il ruolo che la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.001ex 0.078ex -0.014ex 0.0ex; height: 1.628ex; width: 4.322ex;" src="./antex/9dab69552af228c77ded7252a8b4dcc8.svg" /></span> degli spazi di Hilbert, gioca nella meccanica quantistica. (In un senso opportuno questi due primi esempi sono complementari tra loro: nessuna categoria di spazi di Hilbert può essere cartesiana chiusa.)</li> <li>Dato un gruppo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/f5c37147919cdbe3b22d88e31891509f.svg" /></span>, la categoria delle sue rappresentazioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 1.088ex;" src="./antex/cebf9c35f453f2bc57a0de651a73b7c8.svg" /></span>-lineari <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.552ex 0.0ex; height: 2.146ex; width: 6.877ex;" src="./antex/1363f22e31135e456fb1b8d4c993206d.svg" /></span> è monoidale, rispetto al prodotto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 19.17ex;" src="./antex/e120f88bf53a2476e9e630f3aea47e42.svg" /></span> (se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex -0.146ex; height: 2.154ex; width: 33.354ex;" src="./antex/6e728cd61520fe59b2b1fee67fe31077.svg" /></span> sono le due rappresentazioni); le proprietà della categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.552ex 0.0ex; height: 2.146ex; width: 6.877ex;" src="./antex/1363f22e31135e456fb1b8d4c993206d.svg" /></span> si traducono in proprietà del gruppo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/f5c37147919cdbe3b22d88e31891509f.svg" /></span>, ed è un’ottima domanda la seguente: quali ipotesi su una categoria monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> assicurano che esiste un gruppo tale per cui <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.552ex 0.0ex; height: 2.146ex; width: 12.007ex;" src="./antex/94dcbfe97f0f050a19de3f07e56f52d7.svg" /></span>?</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="definizioni-di-base">Definizioni di base</h3> <p><em>Definizione.</em> Una <em>categoria monoidale</em> consta di una tupla <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 14.305ex;" src="./antex/4abc425fa3b79ca4efb286f5e2fefef5.svg" /></span> in cui</p> <ul> <li><span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.969ex; width: 2.676ex;" src="./antex/ff4ddd5f03e2f527ba2d428c31cd97d7.svg" /></span> è una categoria detta la <em>categoria sottostante</em> a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>;</li> <li><span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.969ex; width: 18.217ex;" src="./antex/e9f9b1fc9b3885ca5578d7b2acce5277.svg" /></span> è un funtore detto <em>moltiplicazione monoidale</em>;</li> <li><span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/5db68c47fcf41a849e25b484956041c5.svg" /></span> è un oggetto detto <em>unità monoidale</em>;</li> <li><span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 1.097ex;" src="./antex/cb9241986ad2d8a793de9a953c15140d.svg" /></span> è una famiglia di isomorfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 33.844ex;" src="./antex/6add3e034c50cb907f7f55c6e57ec2b6.svg" /></span> naturale in tutti i suoi argomenti, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 0.659ex;" src="./antex/beaa2e9abc582b8b587bd9d76aa0406c.svg" /></span> è una famiglia di isomorfismi naturali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.962ex; width: 15.032ex;" src="./antex/e6728174fd3bca7f26f7de06d00f08a0.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.017ex; width: 0.95ex;" src="./antex/8692ca74ba0c0263398fb2489d94675b.svg" /></span> è una famiglia di isomorfismi naturali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.842ex; width: 14.922ex;" src="./antex/0b1e6b3a2730c24606709c4ec4c894c9.svg" /></span>.</li> </ul> <p>Questi dati sono soggetti ai seguenti <em>assiomi di coerenza</em>:</p> <ul> <li>Esistono due modi di “spostare tutte le parentesi” da <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.051ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 17.519ex;" src="./antex/7ab2cd0699e7136b1cca15030406fd12.svg" /></span> a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 17.458ex;" src="./antex/7b7b794e83f95ba5ec5750c87a577a7f.svg" /></span>; il primo assioma di coerenza asserisce che questi due modi coincidono.</li> </ul> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.121ex -6.236ex 0.0ex; height: 12.477ex; width: 73.795ex;" src="./antex/81ca7c4ea3b3adb58eb7015d0f05f82d.svg" /></span></p> <ul> <li>Il secondo assioma di coerenza stabilisce che l’oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/5db68c47fcf41a849e25b484956041c5.svg" /></span> si comporta coerentemente con l’intuizione che esso sia l’unità della moltiplicazione monoidale:</li> </ul> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.125ex -5.655ex 0.0ex; height: 11.668ex; width: 48.499ex;" src="./antex/f552bf3cecf18f9717c09b046a30667b.svg" /></span> Diversi di questi esempi sono già noti a chi conosca i rudimenti della teoria delle categorie: idealmente, tutti sono astrazioni successive dal primo esempio paradigmatico, quello della categoria degli insiemi.</p> <p><em>Esempio (la categoria degli insiemi).</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/7428a6177b0832ae9eb31686eb644fa8.svg" /></span> di insiemi e funzioni è monoidale rispetto al funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 19.203ex;" src="./antex/9efe79cd06b41a1bbccb312d2d7b188a.svg" /></span> che manda <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.408ex;" src="./antex/71a8962c5be43bfe267c993ad8d87308.svg" /></span> in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.052ex -0.004ex -0.116ex; height: 1.532ex; width: 5.381ex;" src="./antex/90938db8f517b3f6cdb59298765db19b.svg" /></span>. L’associatività è data dall’isomorfismo canonico <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 25.441ex;" src="./antex/830ad6e28bd211dd64ad88f691ed4004.svg" /></span> (entrambi gli insiemi soddisfano la stessa proprietà universale) e l’oggetto unità è l’(ogni scelta di un) insieme terminale. La struttura monoidale così determinata è <em>simmetrica</em>, ossia <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.107ex -0.004ex -0.116ex; height: 1.532ex; width: 13.83ex;" src="./antex/42db1a2e4dc76cb9dfaddbeac6ef9b08.svg" /></span> con un isomorfismo naturale nei due argomenti.</p> <p><em>Definizione (categoria monoidale simmetrica).</em> Una categoria monoidale si dice <em>simmetrica</em> quando oltre alla struttura monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.395ex;" src="./antex/aa18d12e60353504b93bf32c2f87d77e.svg" /></span> essa è dotata di una famiglia di <em>intrecciamenti</em> <span class="antex display"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.593ex -0.018ex; height: 2.086ex; width: 21.195ex;" src="./antex/98e53659369e1e6558d5a375043e38a1.svg" /></span> uno per ogni coppia di oggetti, che soddisfa al seguente <em>assioma esagonale</em> di coerenza:</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.001ex -6.593ex -0.02ex; height: 13.194ex; width: 55.518ex;" src="./antex/98a485031107b4536431f1a9edd49490.svg" /></span> e tale per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.187ex -0.593ex -0.018ex; height: 2.128ex; width: 14.315ex;" src="./antex/bdddd1dc6c5f000249dac86866be7aba.svg" /></span>.</p> <p><em>Esempio (la categoria degli spazi topologici).</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.026ex 0.078ex -0.451ex 0.0ex; height: 2.018ex; width: 3.793ex;" src="./antex/31d88feea4fcb0d532b4bcb2b804d701.svg" /></span> di spazi topologici e funzioni continue è monoidale rispetto al funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.026ex 0.078ex -0.451ex 0.0ex; height: 2.018ex; width: 21.126ex;" src="./antex/a5d08b1bb5a0769b5902fb818a9ffc10.svg" /></span> che manda <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 15.007ex;" src="./antex/fc1f13552c0d8f4cb897032bc2ec1510.svg" /></span> nell’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.052ex -0.004ex -0.116ex; height: 1.532ex; width: 5.381ex;" src="./antex/90938db8f517b3f6cdb59298765db19b.svg" /></span> dotato della <em>topologia prodotto</em> che ha per base la collezione dei sottoinsiemi <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.052ex -0.115ex 0.0ex; height: 1.643ex; width: 14.036ex;" src="./antex/f52f06231433e282a7d4e6ca9af4130a.svg" /></span> al variare di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.071ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.842ex; width: 13.932ex;" src="./antex/77b479bc752561e9193e29f814ab9a0d.svg" /></span>. L’associatività è data dall’isomorfismo canonico <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 25.441ex;" src="./antex/830ad6e28bd211dd64ad88f691ed4004.svg" /></span> (entrambi gli oggetti soddisfano la stessa proprietà universale) e l’oggetto unità è l’(ogni scelta di un) insieme terminale, con l’unica topologia possibile.</p> <p><em>Esempio (la categoria degli insiemi puntati).</em> La categoria degli insiemi puntati ha per oggetti le coppie <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.083ex;" src="./antex/a74d27605cf8455da8f291bdbf17e5c9.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.107ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.553ex; width: 5.261ex;" src="./antex/533e464bdd079a14db54c5c739bc1d96.svg" /></span> è un elemento, e per morfismi quelle funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 17.366ex;" src="./antex/c70fbb0adbb184315e42983b9c72fcf7.svg" /></span> tali che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.063ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 8.16ex;" src="./antex/0ce6813376d03cfa20328c099f678181.svg" /></span>. Definiamo in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.105ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 3.972ex;" src="./antex/aaafb82af8a3740956369c65f903fe09.svg" /></span> l’operazione di <em>somma puntata</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 5.451ex;" src="./antex/ebbe69f0dc9868c79c752d3fae8f2cbb.svg" /></span> come il pushout</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.061ex -5.319ex 0.0ex; height: 10.677ex; width: 17.734ex;" src="./antex/c37ba5dfec572faa92a4056f41d44ae1.svg" /></span> Questa posizione definisce una struttura monoidale il cui oggetto unità è l’(ogni scelta di un)oggetto terminale. La proprietà universale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 11.242ex;" src="./antex/e6e2fd2abd6ac480f47088473a97057a.svg" /></span> è ora la stessa di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.074ex;" src="./antex/386db4be2fd76308ee721ae259f83d09.svg" /></span>, ciò che implica che i due oggetti sono tra loro isomorfi.</p> <p><em>Esempio (ogni categoria co/cartesiana).</em> Risulta chiaro come estendere questo esempio ad ogni categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> con limiti finiti, dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 14.729ex;" src="./antex/87c222a5daea3d99080491860c10549e.svg" /></span> è l’aggiunto destro al funtore diagonale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 11.197ex;" src="./antex/2518ffed1e9d5bcf3020f5307e18e6e1.svg" /></span> che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.579ex;" src="./antex/6d586bd998b9a69966061f56bfd04e1a.svg" /></span> in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 5.552ex;" src="./antex/58b9935149a3caf193eecc167003579e.svg" /></span>. Dualizzando opportunamente questo risultato, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.018ex 0.078ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.711ex; width: 3.549ex;" src="./antex/c470cfa52503b04fd6e7fadaf5c3c2b0.svg" /></span> diventa monoidale rispetto a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.076ex -0.004ex 0.0ex; height: 1.572ex; width: 3.335ex;" src="./antex/046699f95f8f5d089d4a28c744a4b6df.svg" /></span>, ovvero (equivalentemente) ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> con colimiti finiti diventa monoidale rispetto al <em>coprodotto</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.051ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 15.839ex;" src="./antex/04aa01eac8b18934542f549dacfb52c4.svg" /></span> (l’aggiunto <em>sinistro</em> della diagonale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 11.197ex;" src="./antex/2518ffed1e9d5bcf3020f5307e18e6e1.svg" /></span>).</p> <p>Data una categoria cartesiana <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span>, la categoria dei funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.477ex;" src="./antex/3c9a2c3ffebee6a62812b394f6d1f71a.svg" /></span> eredita i limiti da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> (sono tutti calcolati puntualmente), e dunque <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.477ex;" src="./antex/3c9a2c3ffebee6a62812b394f6d1f71a.svg" /></span> è cartesiana; un caso molto speciale (che contiene tutti i dettagli istruttivi di quello generale) è il seguente.</p> <p><em>Esempio (la categoria dei fasci di insiemi).</em> Un <em>prefascio di insiemi a valori in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span></em> consta di un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 14.111ex;" src="./antex/56f5b3808d38c22759b92ed74dc34d98.svg" /></span>; nel caso in cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.3ex;" src="./antex/be61b854c6fa30bfed7b35f8fc65617f.svg" /></span> sia la categoria degli aperti di uno spazio topologico <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.066ex; height: 1.494ex; width: 1.565ex;" src="./antex/466e0de3a0310151e9199a5a36f23fa5.svg" /></span>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 6.956ex;" src="./antex/b77c44ad64635ec80c5972ca89c2fc9f.svg" /></span> significa <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.115ex 0.0ex; height: 1.609ex; width: 6.12ex;" src="./antex/cb750c0eb1e4032f8325f0059c40cf30.svg" /></span>, possiamo definire un <em>fascio</em> come un prefascio <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> tale per cui, in ogni diagramma del tipo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.001ex 0.0ex -5.527ex 0.0ex; height: 11.339ex; width: 14.504ex;" src="./antex/4694158af41e125a07e8efa8f69d18b5.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 13.401ex;" src="./antex/4e0e34863582d4aa7e5eb1e16d4ce211.svg" /></span> sono gli elementi di un ricoprimento di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.36ex;" src="./antex/e318deadb5a51803af738168b59a8313.svg" /></span> (confuso con la sua immagine in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.204ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.584ex;" src="./antex/7824b62022d27211dab840a27e96393e.svg" /></span> mediante l’embedding di Yoneda), esista un unica trasformazione naturale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 12.568ex;" src="./antex/d944c93dda0cf1e70e50d2933353ce1b.svg" /></span> tale che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.032ex 0.015ex -0.363ex 0.0ex; height: 1.859ex; width: 9.091ex;" src="./antex/33373aad413485fb1f21813d53da3e3e.svg" /></span>. Da questa definizione è evidente che i fasci sono una sottocategoria chiusa per prodotti, che cioè se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.851ex; width: 4.063ex;" src="./antex/6fbc2b1545c526fdd1c919dec70af60a.svg" /></span> sono fasci lo è il prodotto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 5.707ex;" src="./antex/b0dab12f669875c35b876ac54eca54cf.svg" /></span>.</p> <p>Diversi altri esempi, non meno elementari, risultano tutti come astrazioni successive da un primo esempio paradigmatico, quello degli spazi vettoriali (o meglio, degli <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-moduli su un anello).</p> <p><em>Esempio (la categoria degli spazi vettoriali).</em> (Ci riduciamo a spazi di dimensione finita; l’esempio è comunque istruttivo) Il <em>prodotto tensoriale</em> di due spazi vettoriali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.821ex; width: 4.494ex;" src="./antex/69d097f087df7d0d737a6ea4bd3c7965.svg" /></span> è lo spazio vettoriale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.602ex; width: 6.291ex;" src="./antex/c5c62719873a04a8ed6ecb1545eb2e56.svg" /></span> definito dalla proprietà universale di rappresentare il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.008ex;" src="./antex/52400976e31e1f70d561763a9888ae27.svg" /></span>, ossia tale per cui le applicazioni <em>bilineari</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.658ex; width: 11.339ex;" src="./antex/0b6e70aee0b7711ab2518876db1bdbb2.svg" /></span> corrispondano mediante un isomorfismo naturale alle mappe lineari</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.159ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 31.686ex;" src="./antex/4b3d48f5e46506ee69120ff43e7c0baa.svg" /></span> Vi sono metodi classici per dimostrare che un tale spazio esiste: si prenda, ad esempio, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.122ex -0.024ex 0.0ex; height: 2.074ex; width: 6.375ex;" src="./antex/3121f825599c966f50e33496395f5122.svg" /></span> e lo si quozienti per le relazioni indotte da <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.11ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 25.399ex;" src="./antex/6ea9946f451fe0cfcba6e2818b8ee0da.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.11ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 25.896ex;" src="./antex/00192847052803cdc5403b3d3c5021cc.svg" /></span> e da <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 24.265ex;" src="./antex/73a8bfa154d39fd22de8b29eab3c9e8a.svg" /></span>. Questa proprietà universale determina <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.602ex; width: 6.291ex;" src="./antex/c5c62719873a04a8ed6ecb1545eb2e56.svg" /></span> a meno di un unico isomorfismo; da ciò è relativamente semplice ricavare un unitore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.036ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.722ex; width: 19.434ex;" src="./antex/ae57179015705d429071670df8cc3b03.svg" /></span> e un associatore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 1.097ex;" src="./antex/cb9241986ad2d8a793de9a953c15140d.svg" /></span> (farlo esplicitamente è un esercizio). La struttura così determinata è simmetrica (ancora una volta la proprietà universale).</p> <p><em>Lemma.</em> Esiste un isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 39.965ex;" src="./antex/ba2947a3b2dc182b6972669a546c9412.svg" /></span> naturale in tutti i suoi argomenti. In altre parole, per ogni oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.133ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.637ex; width: 8.728ex;" src="./antex/98050ce2f22760e6050be75e513c2aa3.svg" /></span> i funtori <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.143ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.602ex; width: 5.593ex;" src="./antex/5e14e2517ca63f0820eca09e43d88077.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 10.83ex;" src="./antex/3598485432f82dcca40db27f04228c1c.svg" /></span> sono aggiunti (equivalentemente, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 25.784ex;" src="./antex/d8805ccdc9be9dc607005cf4dd2438c2.svg" /></span> definisce una <em>aggiunzione parametrica</em> nel senso di [Mac Lane, ???]).</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Definiamo unità e counità dell’aggiunzione; verificare le identità triangolari è un esercizio noioso.</p> <ul> <li>l’unità dell’aggiunzione ha componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.204ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.366ex; width: 23.777ex;" src="./antex/40c116275aa5abc552c664cd2d2bfe02.svg" /></span> e manda il vettore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.042ex -0.042ex 0.0ex; height: 1.067ex; width: 0.991ex;" src="./antex/bdc98e413394291cd0122f4f524128e6.svg" /></span> nella mappa lineare che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.044ex -0.042ex 0.0ex; height: 1.067ex; width: 1.507ex;" src="./antex/b4814d9414612955ecf3925e7fd8e3f2.svg" /></span> in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.044ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.405ex; width: 5.36ex;" src="./antex/daeda235ed51e68d7c67f6df1ccf50e7.svg" /></span>;</li> <li>la counità ha componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.366ex; width: 23.686ex;" src="./antex/6850d5ad73c06258e319a28d5e1e2035.svg" /></span> indotte dalla mappa bilineare che manda la coppia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 4.943ex;" src="./antex/3228641b7fd12a3f4350ee47bdf725ed.svg" /></span> in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 4.018ex;" src="./antex/2f7f183543720d28d019d1f5f5c23386.svg" /></span>.</li> </ul> <p><em>Proposizione.</em> Il prodotto monoidale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.133ex -0.019ex 0.0ex; height: 1.612ex; width: 4.451ex;" src="./antex/bc0c05c11f8bad42c922af0b5dd351bf.svg" /></span> è <em>cocontinuo</em>, ossia vale l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.036ex -1.274ex 0.0ex; height: 3.174ex; width: 29.953ex;" src="./antex/d87acf51903dc122ef733adcbfeac5fa.svg" /></span> <em>Dimostrazione.</em> Ovvia in virtù del Lemma precedente.</p> <p><em>Esempio (la categoria dei moduli graduati).</em> Un <em>modulo graduato</em> su un anello <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span> consta di una famiglia numerabile di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-moduli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.332ex;" src="./antex/42da266d4c8995fded06a85bf1ff16dd.svg" /></span>; una mappa di moduli graduati consta di una famiglia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.055ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 13.01ex;" src="./antex/f0e3a22afef7c827cf0920350673efbf.svg" /></span> di omomorfismi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-moduli. Questa posizione definisce la categoria degli <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-moduli graduati <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.536ex 0.0ex; height: 2.148ex; width: 7.048ex;" src="./antex/839b577c97b52f433252fa3522b4544d.svg" /></span>. La categoria dei moduli graduati è dotata di un prodotto monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.06ex; width: 1.731ex;" src="./antex/0e25096617f875a528a14e7ffdee4a45.svg" /></span> definito dalla seguente catena di osservazioni:</p> <ul> <li>Esiste un’immersione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.536ex 0.0ex; height: 2.148ex; width: 16.844ex;" src="./antex/5f073c75a6a7ecc8c2595bb061b7c431.svg" /></span> che manda il modulo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/43c6197269c39ca3cbaeb68b49a343ee.svg" /></span> nel modulo graduato che ha <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/43c6197269c39ca3cbaeb68b49a343ee.svg" /></span> al grado <span class="antex inline"><img style="margin: -0.05ex 0.093ex -0.051ex 0.0ex; height: 1.598ex; width: 1.068ex;" src="./antex/ba818a8f156e59793ad1ce5e584d80fc.svg" /></span> e zero altrove; la struttura monoidale che cerchiamo <em>estende</em> nel senso ovvio, quella che si trova su <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.96ex; width: 5.887ex;" src="./antex/f3dea4e884442e105afbfaa6d543ac9f.svg" /></span> alla stessa maniera degli spazi vettoriali.</li> <li> <p>In virtù del lemma precedente, la catena di isomorfismi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.057ex -1.076ex -0.118ex; height: 2.976ex; width: 84.86ex;" src="./antex/7382f1bff2862479104210f28651609d.svg" /></span></p> <p>ha senso, e questo determina univocamente la componente di grado <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/0c1fc8c6ac156efc5557b18b7dd8cb5e.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.056ex -0.763ex -0.124ex; height: 2.291ex; width: 5.622ex;" src="./antex/0f042932c66fafac7554bfe7b2780329.svg" /></span> come <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.057ex -1.076ex 0.0ex; height: 2.911ex; width: 16.636ex;" src="./antex/cb8e3072ecc87bf2311287ba7eb5a715.svg" /></span>.</p> </li> </ul> <p><em>Esempio (la categoria dei complessi di catene).</em> Un <em>modulo differenziale graduato</em> o <em>complesso di catene</em> consta di un oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/43c6197269c39ca3cbaeb68b49a343ee.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.536ex 0.0ex; height: 2.148ex; width: 7.048ex;" src="./antex/839b577c97b52f433252fa3522b4544d.svg" /></span> dotato di mappe</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.172ex -0.365ex 0.0ex; height: 3.344ex; width: 38.364ex;" src="./antex/05d53adc6b1729d17c344619c4dce4fd.svg" /></span> dette <em>differenziali</em> del complesso, tali che per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/0c1fc8c6ac156efc5557b18b7dd8cb5e.svg" /></span> si abbia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.095ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 10.65ex;" src="./antex/80ff4b94afac187d04eaf2589f35d5c4.svg" /></span>; questo implica che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.054ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.977ex; width: 5.629ex;" src="./antex/560f15bec97003ed58274384ef015da6.svg" /></span> contiene l’immagine di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.16ex -0.365ex 0.0ex; height: 1.979ex; width: 4.082ex;" src="./antex/05683e2048f473b7fe8c10ffa9a757eb.svg" /></span>, e permette di definire l’<em>omologia</em> del complesso <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/43c6197269c39ca3cbaeb68b49a343ee.svg" /></span> come il quoziente <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -1.069ex -0.019ex; height: 3.293ex; width: 15.968ex;" src="./antex/6ac94e8f32dd3fda349bae24c9c368b7.svg" /></span>. Il modulo graduato <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.108ex -0.117ex; height: 1.636ex; width: 5.571ex;" src="./antex/f519d7cb22f7447b8458e55da0f25b4f.svg" /></span> ottenuto da due complessi di catene, riguardati come oggetti di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.536ex 0.0ex; height: 2.148ex; width: 7.048ex;" src="./antex/839b577c97b52f433252fa3522b4544d.svg" /></span>, ottiene una naturale struttura di complesso di catene ponendo il differenziale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.071ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.428ex; width: 31.281ex;" src="./antex/42f949af8d1a2610bfc01334d6051637.svg" /></span>.</p> <p>È un’ottima domanda (difficile, e non molto pertinente al nostro discorso) come poter calcolare l’omologia di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.108ex -0.117ex; height: 1.636ex; width: 5.571ex;" src="./antex/f519d7cb22f7447b8458e55da0f25b4f.svg" /></span> a partire da quella di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex -0.117ex; height: 1.528ex; width: 1.407ex;" src="./antex/43c6197269c39ca3cbaeb68b49a343ee.svg" /></span> e di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.364ex;" src="./antex/5084fefc1a5959e30211027d2fead766.svg" /></span> separatamente. Invece di concentrarsi su questa domanda, però, preferiamo presentare un esempio legato a quelli precedenti, ma leggermente patologico: quello degli <em>spazi di Banach</em> reali.</p> <p><em>Definizione (categoria degli spazi di Banach).</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.006ex -0.014ex 0.0ex; height: 1.607ex; width: 4.065ex;" src="./antex/c838d83e93bf914a633c54854c30308c.svg" /></span> ha per oggetti gli spazi di Banach (spazi vettoriali reali normati e completi rispetto alla norma), e per morfismi le mappe lineari. È però un fatto noto che affinché una tale mappa lineare sia continua, rispetto alle topologie naturali che sono indotte sugli spazi di Banach, questa deve essere <em>limitata</em>, ossia deve essere <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.122ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.149ex; width: 37.932ex;" src="./antex/2e8c907def1a6d1cc55735e1d87fba20.svg" /></span>. Ciò porta alla definizione più naturale della categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.104ex -0.432ex 0.0ex; height: 2.026ex; width: 5.157ex;" src="./antex/6f391e3d5559fa227e5001797c37542f.svg" /></span> che ha per oggetti gli spazi di Banach e per morfismi le mappe lineari <em>corte</em>, cioè quelle per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.19ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.613ex;" src="./antex/b2224cc82bd6e7c81d17642decc0a837.svg" /></span>.</p> <p>Ora, costruire strutture monoidali su spazi vettoriali topologici non è semplicissimo, perché spesso e volentieri (sempre in dimensione infinita) il prodotto tensoriale algebrico <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.682ex 0.0ex; height: 2.175ex; width: 9.133ex;" src="./antex/ae9ec1f465bbdf665a2475c847069655.svg" /></span> non ha alcun riguardo della topologia che esisteva su <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.821ex; width: 4.494ex;" src="./antex/69d097f087df7d0d737a6ea4bd3c7965.svg" /></span>; vi sono tuttavia due definizioni standard, ottenute <em>completando</em> opportune norme su <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.682ex 0.0ex; height: 2.175ex; width: 9.133ex;" src="./antex/ae9ec1f465bbdf665a2475c847069655.svg" /></span>.</p> <p><em>Definizione (prodotto tensoriale proiettivo e iniettivo).</em> Dati due spazi di Banach <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.006ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.921ex; width: 11.276ex;" src="./antex/d043191f8774467923c1b9248ad0bcdf.svg" /></span> osserviamo anzitutto che ogni elemento di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.682ex 0.0ex; height: 2.175ex; width: 9.133ex;" src="./antex/ae9ec1f465bbdf665a2475c847069655.svg" /></span> si scrive in maniera unica come una combinazione lineare quasi ovunque finita <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.037ex -0.533ex 0.0ex; height: 2.159ex; width: 11.556ex;" src="./antex/2283d1d5370bd40e16dd7f1f69f546d0.svg" /></span>; ora, dato un tale elemento <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.0ex -0.024ex -0.062ex; height: 1.042ex; width: 1.092ex;" src="./antex/9e9cf39148658481fec7bd9319e42bf0.svg" /></span> definiamo la sua <em>norma proiettiva</em> come</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.142ex -1.872ex 0.0ex; height: 4.569ex; width: 33.627ex;" src="./antex/d459402dbb5cb20163f2b1ae78c3b90a.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.016ex -0.072ex 0.0ex; height: 1.711ex; width: 1.577ex;" src="./antex/5e46922d14c3309f10c98b2bde4ac14a.svg" /></span> è l’insieme di tutte le scritture <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.037ex -0.418ex 0.0ex; height: 2.044ex; width: 8.225ex;" src="./antex/e320bfa8b7a22a05d51d94f5fd0d7d54.svg" /></span> che danno <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.0ex -0.024ex -0.062ex; height: 1.042ex; width: 1.092ex;" src="./antex/9e9cf39148658481fec7bd9319e42bf0.svg" /></span> -non sono uniche!; dualmente, se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.093ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.01ex; width: 3.476ex;" src="./antex/ae8d28b320f6cd838984c7ee5c3ecfc7.svg" /></span> sono funzionali lineari <span class="antex inline"><img style="margin: 0.003ex 0.014ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.857ex; width: 9.743ex;" src="./antex/00111b0b535b2ee0aeb26618c17275ae.svg" /></span> rispettivamente, allora <span class="antex inline"><img style="margin: 0.003ex 0.014ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.008ex; width: 27.327ex;" src="./antex/09c56cc96ea0ecc88240127fe1d37117.svg" /></span> è un funzionale sul prodotto tensoriale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.602ex; width: 6.291ex;" src="./antex/6b64384a09185b05348390707c97af33.svg" /></span>. Definiamo, dato <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex -0.062ex; height: 1.602ex; width: 10.042ex;" src="./antex/68f64ce8f89d6513c9488d8563b32240.svg" /></span>, la <em>norma iniettiva</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.0ex -0.024ex -0.062ex; height: 1.042ex; width: 1.092ex;" src="./antex/9e9cf39148658481fec7bd9319e42bf0.svg" /></span> come</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.031ex 0.169ex -2.523ex 0.0ex; height: 4.201ex; width: 25.647ex;" src="./antex/b8f682b3e24f2a1a5394fa93193a57e2.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.19ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.131ex; width: 17.961ex;" src="./antex/bd2c10abebe7e5a8b58a6690082f35c4.svg" /></span>. Il prodotto tensoriale proiettivo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.363ex 0.0ex; height: 1.857ex; width: 7.426ex;" src="./antex/bb9a5c05840238628123971bfe1d0175.svg" /></span> è definito come il completamento dello spazio normato <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.682ex 0.0ex; height: 2.358ex; width: 15.851ex;" src="./antex/698b0833b63fde7d87349a372a785b26.svg" /></span>, laddove il prodotto tensoriale iniettivo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.363ex 0.0ex; height: 1.857ex; width: 7.22ex;" src="./antex/ad6a751f3edd72122e9d57099f683f44.svg" /></span> è definito come il completamento dello spazio normato <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.682ex 0.0ex; height: 2.358ex; width: 15.851ex;" src="./antex/698b0833b63fde7d87349a372a785b26.svg" /></span></p> <p><em>Proposizione.</em> La tupla <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.983ex;" src="./antex/d9e03f6097d3e7d4c4f6845371f64872.svg" /></span> è una categoria monoidale, dotata delle coerenze ovvie ereditate da quelle di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.133ex -0.019ex 0.0ex; height: 1.612ex; width: 4.451ex;" src="./antex/bc0c05c11f8bad42c922af0b5dd351bf.svg" /></span>.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Omessa. <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.363ex 0.0ex; height: 1.857ex; width: 7.426ex;" src="./antex/bb9a5c05840238628123971bfe1d0175.svg" /></span> esiste in quanto oggetto di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.133ex -0.019ex 0.0ex; height: 1.612ex; width: 4.451ex;" src="./antex/bc0c05c11f8bad42c922af0b5dd351bf.svg" /></span> è ovvia; resta da dimostrare che gli associatori e unitori ereditati da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.133ex -0.019ex 0.0ex; height: 1.612ex; width: 4.451ex;" src="./antex/bc0c05c11f8bad42c922af0b5dd351bf.svg" /></span> sono effettivamente mappe in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.104ex -0.432ex 0.0ex; height: 2.026ex; width: 5.157ex;" src="./antex/6f391e3d5559fa227e5001797c37542f.svg" /></span>.</p> <p><em>Proposizione.</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 10.898ex;" src="./antex/e9b0633c6dc0b6c1907e8c7e662c23e6.svg" /></span> coincide con la palla unitaria di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 1.577ex;" src="./antex/bbcf51ca0323de1c72d8783c3e2779ea.svg" /></span>, ossia col sottospazio topologico dei vettori <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex -0.062ex; height: 1.538ex; width: 5.319ex;" src="./antex/08e449c202780cf7c5d6302b5b02ee29.svg" /></span> tali che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.19ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 8.783ex;" src="./antex/b678096e887dc47298f3ddc0a1c7e269.svg" /></span>.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Esiste un isomorfismo di spazi vettoriali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 14.045ex;" src="./antex/2e9956a9e39876e0d1034af7f6a835c7.svg" /></span> indotto dalla mappa <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 10.457ex;" src="./antex/8380a86670c5b74202cac0d06ed0f577.svg" /></span>; è tuttavia facile notare che questo isomorfismo induce per trasporto di topologie un omeomorfismo con <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 1.577ex;" src="./antex/bbcf51ca0323de1c72d8783c3e2779ea.svg" /></span>, e che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.104ex -0.432ex 0.0ex; height: 2.026ex; width: 5.157ex;" src="./antex/6f391e3d5559fa227e5001797c37542f.svg" /></span> corrisponde al sottospazio di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 1.577ex;" src="./antex/bbcf51ca0323de1c72d8783c3e2779ea.svg" /></span> dei vettori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 12.696ex;" src="./antex/82b36bff0056b38ad23641f61502c4ab.svg" /></span> (l’isomorfismo è isometrico nelle norme). Questa è esattamente la palla unitaria di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 1.577ex;" src="./antex/bbcf51ca0323de1c72d8783c3e2779ea.svg" /></span>.</p> <p>Due esempi a loro stanti meritano una certa attenzione:</p> <p><em>Esempio (Endofuntori di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/0825eb82047139ef79a9b0d0e39f5e2b.svg" /></span>).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> è una qualsiasi categoria, possiamo considerare (eventualmente in un universo più grande) la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.597ex;" src="./antex/acaa935b1d5d96fbf9c3bb2cf24e9d84.svg" /></span> degli <em>endofuntori</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span>, che ha per morfismi le trasformazioni naturali. Questa categoria ha una struttura monoidale data dalla <em>composizione</em> di funtori, per cui l’oggetto unità è il funtore identico. Ovviamente, la coerenza data dall’associatore e dagli unitori è una vacuità, dato che la composizione di funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 16.273ex;" src="./antex/5a9aa90ac88436a2b595a3a9b967796c.svg" /></span> è strettamente associativa e unitaria.</p> <p><em>Definizione (categoria monoidale stretta).</em> In tali circostanze (quando cioè <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.118ex; height: 2.132ex; width: 11.438ex;" src="./antex/58d59b3d4e042ba344c52afabbd89e4e.svg" /></span> non è solo isomorfo a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.534ex;" src="./antex/05622695d0df8f05ecc947d451030ff6.svg" /></span>, ma è proprio lo stesso oggetto, e lo stesso accade per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.327ex -0.018ex; height: 1.856ex; width: 11.137ex;" src="./antex/123e2d310e82e36563fe3a0027965238.svg" /></span>) la categoria monoidale si dice <em>stretta</em>.</p> <p>Un altro esempio di categoria monoidale stretta è dato dall’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.593ex 0.0ex; height: 2.261ex; width: 16.543ex;" src="./antex/03303c44ef9744fc8da6c6b41acd0262.svg" /></span> dei numeri reali non negativi, possibilmente infiniti, denotato per brevità <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.397ex;" src="./antex/923fb2419de1d8a8ebb3c161e5bfd509.svg" /></span>.</p> <p><em>Esempio (L’esempio dei numeri reali).</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.469ex;" src="./antex/08201e9d4d6ebd031f386b1a7fc0ff40.svg" /></span> (dove esiste un morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.028ex 0.042ex -0.478ex -0.063ex; height: 1.563ex; width: 6.049ex;" src="./antex/b61ebe6d83fac5d044ab302ed1289cb6.svg" /></span> se e solo se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.0ex -0.478ex -0.056ex; height: 1.813ex; width: 5.264ex;" src="./antex/f78fad003d38b16d72a77c0fcb0e80bc.svg" /></span>) su definita ha una struttura di categoria monoidale stretta, rispetto alla somma di numeri reali; la struttura è evidentemente simmetrica e stretta.</p> <p><em>Definizione (Categoria monoidale chiusa).</em> Una categoria monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 8.042ex;" src="./antex/7e04e9e7d6957b8efa9f3b79514df71f.svg" /></span> si dice <em>chiusa</em> quando ciascun endofuntore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.696ex; width: 15.32ex;" src="./antex/552d599490263d574198d4398c3c7427.svg" /></span> ha un aggiunto destro <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.296ex;" src="./antex/7b1ae94bbf5064cb4cf9c8abf088b92d.svg" /></span>. Questo realizza l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.159ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 43.452ex;" src="./antex/3c3ccf78d177bcbd2347ce15fa193018.svg" /></span> <em>Esempi.</em> La categoria degli insiemi, degli insiemi puntati, degli spazi vettoriali, dei moduli graduati e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.397ex;" src="./antex/923fb2419de1d8a8ebb3c161e5bfd509.svg" /></span> sono tutte chiuse:</p> <ul> <li>In <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/7428a6177b0832ae9eb31686eb644fa8.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.362ex;" src="./antex/101d280054676d4831f7815bceb6a739.svg" /></span> è l’insieme delle funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.054ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.198ex;" src="./antex/aa80f2490a2af11943e329010ec43a77.svg" /></span></li> <li>In <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.105ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 3.972ex;" src="./antex/aaafb82af8a3740956369c65f903fe09.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.105ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 13.452ex;" src="./antex/da6b1b849912cbd5bba212597361fc2e.svg" /></span> è l’insieme delle funzioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 17.366ex;" src="./antex/c70fbb0adbb184315e42983b9c72fcf7.svg" /></span> per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.063ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.156ex; width: 8.16ex;" src="./antex/0ce6813376d03cfa20328c099f678181.svg" /></span>, e questo insieme ha come punto privilegiato la funzione costante in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.064ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.638ex; width: 1.116ex;" src="./antex/4e42db583002a73f37223c4100c63f53.svg" /></span>.</li> <li>In <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.069ex -0.536ex 0.0ex; height: 2.148ex; width: 7.048ex;" src="./antex/839b577c97b52f433252fa3522b4544d.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.402ex;" src="./antex/b175c97a5e8fda16c9d68ca847145f3d.svg" /></span> è il modulo graduato <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.533ex 0.0ex; height: 2.209ex; width: 29.798ex;" src="./antex/4611f1dc40c2c2fd19d067b31b4239c8.svg" /></span>; in caso <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex -0.0ex -0.327ex -0.067ex; height: 1.821ex; width: 3.839ex;" src="./antex/248c061758c1c30b1fd119d6681dbc75.svg" /></span> siano dei complessi di catene, il differenziale agisce come <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.002ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 25.04ex;" src="./antex/db5dc087c11920cd68ea593ac24d3985.svg" /></span>.</li> <li>In <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 5.397ex;" src="./antex/923fb2419de1d8a8ebb3c161e5bfd509.svg" /></span> definiamo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.117ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 4.267ex;" src="./antex/a820b4545a14191c8b158630adc2fb93.svg" /></span> (chiaramente non possiamo usare <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 4.037ex;" src="./antex/9e2a429a28552681af582a5fdbcce792.svg" /></span>…) come <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 12.759ex;" src="./antex/02f74cb17619077d0d247506379583eb.svg" /></span> (verificare che questa è davvero una chiusura: a cosa si riduce l’isomorfismo della definizione?).</li> </ul> <p>Abbiamo ora raccolto una quantità di esempi sufficiente a introdurre l’oggetto di questo primo capitolo: le categorie <em>arricchite</em> su una categoria monoidale.</p> <p><em>Definizione (<span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria).</em> Una <em>categoria arricchita sulla base monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span></em>, o brevemente una <em><span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span>, consta di</p> <ul> <li>una classe di oggetti <span class="antex inline"><img style="margin: 0.029ex 0.085ex -0.879ex 0.0ex; height: 2.344ex; width: 2.95ex;" src="./antex/c71f831783ae81a51ebdf4cdbee2801c.svg" /></span>;</li> <li>un oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 13.223ex;" src="./antex/954bdbcfb2c9c7feb36b2ff5d67ff0ba.svg" /></span> per ogni coppia di oggetti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.028ex 0.087ex -0.381ex -0.118ex; height: 2.002ex; width: 9.126ex;" src="./antex/43945081d2fa613225f60c41b542954b.svg" /></span>;</li> <li>una famiglia di <em>composizioni</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 38.649ex;" src="./antex/1726d37634f72a1d072f8fc07e159bb2.svg" /></span>, una per ogni terna di oggetti di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span>;</li> <li>una famiglia di <em>identità</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 17.172ex;" src="./antex/43be3097012f98638fde8b291f078468.svg" /></span>, una per ogni oggetto di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span>.</li> </ul> <p>Questi dati sono soggetti agli assiomi seguenti:</p> <ul> <li> <p>La composizione è associativa, tramite l’associatore di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>; ossia il diagramma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.127ex -10.469ex 0.0ex; height: 20.936ex; width: 91.707ex;" src="./antex/dedc0282d729a9fc4999f2012374447f.svg" /></span> è commutativo.</p> </li> <li> <p>La composizione ha le <span class="antex inline"><img style="margin: 0.032ex 0.089ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.845ex; width: 1.853ex;" src="./antex/1ae90ef5cbff6a565fad16e59813bb3b.svg" /></span> come identità, ossia i due diagrammi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.231ex -6.197ex 0.0ex; height: 12.559ex; width: 66.502ex;" src="./antex/44e846b571548289f7fe0874ea5aac2f.svg" /></span> sono commutativi.</p> </li> </ul> <p><em>Osservazione.</em> La definizione non ne ha bisogno, ma i nostri esempi di elezione coinvolgeranno sempre categorie monoidali <em>simmetriche</em> e <em>chiuse</em>, e molto spesso anche dotate di tutti i limiti e i colimiti.</p> <p><em>Esempio (la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>).</em> È un ottimo esercizio mostrare che la categoria delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span>-categorie (quando <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span> è considerata con la sua struttura cartesiana su menzionata) coincide con la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>: un <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span>-funtore è precisamente un funtore tra categorie (dove ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 6.993ex;" src="./antex/7531ad35eff146d7228af10a7d727c78.svg" /></span> è un insieme), e una trasformazione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span>-naturale è precisamente una trasformazione naturale.</p> <p><em>Esempio (la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.008ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.647ex; width: 7.399ex;" src="./antex/87054eb504d35c69269458930ae9eb0c.svg" /></span>).</em> La categoria delle categorie <em>preadditive</em> coincide con la categoria delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.008ex 0.078ex -0.014ex 0.0ex; height: 1.635ex; width: 2.967ex;" src="./antex/edd5cebf76c55e447eb82a40abbf34de.svg" /></span>-categorie, dove ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.016ex 0.214ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.39ex; width: 8.635ex;" src="./antex/4abc390766ceb15c77c3315605da78b6.svg" /></span> è un gruppo abeliano; è un fatto interessante e classico (vedi ad esempio [Freyd]) che ipotesi addizionali di completezza su <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> inducano naturalmente un <span class="antex inline"><img style="margin: -0.008ex 0.078ex -0.014ex 0.0ex; height: 1.635ex; width: 2.967ex;" src="./antex/edd5cebf76c55e447eb82a40abbf34de.svg" /></span>-arricchimento canonico.</p> <p><em>Esempio (la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.044ex 0.133ex -0.051ex 0.0ex; height: 1.689ex; width: 7.951ex;" src="./antex/feb2162d352eb2a0568029ec325ab081.svg" /></span>).</em> Questo è l’esempio con cui abbiamo iniziato l’introduzione. In una DG-categoria ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.016ex 0.214ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.39ex; width: 8.635ex;" src="./antex/4abc390766ceb15c77c3315605da78b6.svg" /></span> è un complesso di catene; la composizione è una mappa di catene <span class="antex display"><img style="margin: 0.016ex 0.211ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.478ex; width: 41.512ex;" src="./antex/41a34464c795a1f92b7b08fd62797d68.svg" /></span> definita dal dominio <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.057ex -1.076ex 0.0ex; height: 2.911ex; width: 61.746ex;" src="./antex/a576228e5c520e184534255a0eaabedf.svg" /></span>.</p> <p><em>Esempio (la categoria degli spazi metrici generalizzati).</em> Una categoria (piccola) arricchita su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.105ex -0.593ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 3.987ex;" src="./antex/b4858036e3371517d8fc22896db58aab.svg" /></span>, seguendo la definizione, è un insieme su cui è definita una funzione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 21.705ex;" src="./antex/468b34e022eda130671b5079bc2d7f1d.svg" /></span> tale per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.093ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.562ex;" src="./antex/53accd02f863e077e50888dd7dee84ba.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 26.485ex;" src="./antex/4ba317c506afbfe71103ea3f6847b5db.svg" /></span>. A meno della simmetria, e del fatto che è possibile <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.121ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 12.254ex;" src="./antex/6ec2d44f222dba36788ad3fb24ab3c8f.svg" /></span>, questo è esattamente uno spazio metrico (tali generalizzazioni si dicono infatti <em>spazi metrici generalizzati</em>).</p> <p>Segretamente, questo è l’esempio che motiva questa introduzione.</p> <p><em>Esempio (la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 8.067ex;" src="./antex/566c0ab6af0daa3fe07a4673a8060019.svg" /></span>).</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> è cartesiana, rispetto al prodotto di categorie; questa struttura monoidale può essere usata per considerare categorie arricchite in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>, dove cioè ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.016ex 0.214ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.39ex; width: 8.635ex;" src="./antex/4abc390766ceb15c77c3315605da78b6.svg" /></span> è una <em>categoria</em>, e composizione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 38.5ex;" src="./antex/521a7d350df73632e2e05539d88f5258.svg" /></span> e identità sono funtori.</p> <p>Una categoria arricchita in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> si indica brevemente con il nome <em>2-categoria</em> (stretta: ma ignoriamo questo aggettivo per il momento). L’obiettivo delle lezioni successive sarà uno studio ragionato di questa particolare categoria.</p> <p>Questa procedura si presta a una definizione induttiva: per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.049ex 0.186ex -0.115ex 0.0ex; height: 1.661ex; width: 4.99ex;" src="./antex/e81e16a70748df6ac69b9f20e875b871.svg" /></span>, esiste una “categoria delle categorie arricchite in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.301ex;" src="./antex/3c22aa30db1b5f421e798bfe80787c37.svg" /></span>-categorie”, detta categoria delle <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 1.092ex;" src="./antex/0c1fc8c6ac156efc5557b18b7dd8cb5e.svg" /></span>-categorie (strette, ma ignoriamo questo aggettivo) <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.133ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 25.908ex;" src="./antex/17557507c26beafaf9d4a5788f37db76.svg" /></span>.</p> <p>Il fatto che, con la scelta di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 6.116ex;" src="./antex/ece8a0a314fcf152d856aee227caa57a.svg" /></span> come la categoria dei funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.906ex; width: 13.634ex;" src="./antex/07da3d063a7c4cc731ba0312abf6800b.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> diventi una 2-categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.027ex 0.0ex -0.65ex 0.0ex; height: 2.271ex; width: 3.941ex;" src="./antex/14b3399958cf5d8e2f0db2f6583963d0.svg" /></span> porta alla seguente</p> <p><em>Proposizione.</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> è monoidale <em>chiusa</em>, essa si può sempre considerare come categoria arricchita su sé stessa; la indichiamo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.015ex 0.0ex -0.715ex 0.0ex; height: 2.304ex; width: 2.39ex;" src="./antex/61144b7498fba0c52f47b6d8f3028df1.svg" /></span>, e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.016ex 0.215ex -0.715ex 0.0ex; height: 2.343ex; width: 8.723ex;" src="./antex/d8a5c5f4afc468fb7391c673193e35ab.svg" /></span> è dato dall’hom interno <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.203ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.082ex; width: 6.041ex;" src="./antex/849905a9fecd34a65ea94fd8d6c11758.svg" /></span>. Gli assiomi di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria sono immediatamente verificati.</p> <p>Definiamo ora la nozione di <em>funtore</em> tra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie; si tratta di una astrazione della definizione classica, che rende evidente il rifiuto (o l’impossibilità) di fare ricorso a nozioni di teoria degli insiemi: un <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore, ora, non è più determinato da una funzione sui morfismi, ma da una <em>famiglia</em> di morfismi di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>, uno per ogni coppia di oggetti di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span>, che soddisfa determinati assiomi.</p> <p><em>Definizione (<span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore).</em> Fissate una coppia di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 5.198ex;" src="./antex/8c549424a5dc8ecf62ad08390e28ee17.svg" /></span> un <em><span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 11.963ex;" src="./antex/67f88847da93f02bc3275c8bf1e443e4.svg" /></span> consiste di una funzione di classe <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.088ex -0.881ex 0.0ex; height: 2.487ex; width: 13.912ex;" src="./antex/49a434aa3a0b0c744c8fd9f45b3d1cab.svg" /></span> e di una famiglia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 30.922ex;" src="./antex/432c33e15e8ed6f6c15a927ddd0a7d16.svg" /></span> tale che i diagrammi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.221ex -6.259ex 0.0ex; height: 12.629ex; width: 95.237ex;" src="./antex/00a13d869f4f330e14a28c93bd454b5d.svg" /></span> siamo commutativi. Diciamo che un tale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> è <em>pienamente fedele</em> quando tutti i <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.071ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.842ex; width: 3.644ex;" src="./antex/5e5b68f7ca977feef8ca7e43e90068ec.svg" /></span> sono isomorfismi in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>; è questo il caso quando (ad esempio) <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.086ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.875ex; width: 2.073ex;" src="./antex/f216b4cfc39bf87918002c9312d8da54.svg" /></span> è l’inclusione di una sottoclasse <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.088ex -0.881ex 0.0ex; height: 2.487ex; width: 8.877ex;" src="./antex/d0ea84c9dd6e2cee629eb08f570c0822.svg" /></span>.</p> <p><em>Osservazione.</em> I <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori si possono comporre; esiste una definizione di “<span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore identico” per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 6.521ex;" src="./antex/bd36d1e0c4640e0343af1b8bd249aaec.svg" /></span> diventa una categoria.</p> <p>È tuttavia possibile rendere la collezione dei <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 8.212ex;" src="./antex/3d631c14e7c803be31492f5f9b3ba88b.svg" /></span> più di un insieme: la prossima definizione si occupa di ciò.</p> <p><em>Definizione (<span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-trasformazione naturale).</em> Fissati due <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.851ex; width: 4.063ex;" src="./antex/6fbc2b1545c526fdd1c919dec70af60a.svg" /></span> diciamo <em><span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-trasformazione naturale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 10.274ex;" src="./antex/06a0ac58be1b92fbd5f08f48d8e8c23a.svg" /></span> una famiglia di morfismi di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.715ex 0.0ex; height: 2.368ex; width: 21.132ex;" src="./antex/8474e438be1697bc6debdd9c702ce86e.svg" /></span> tali che il diagramma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.01ex 0.223ex -10.34ex 0.0ex; height: 20.69ex; width: 47.083ex;" src="./antex/5446cae975b4fd1a121c530f20f364ca.svg" /></span></p> <p>È possibile definire</p> <ul> <li>Una <em>composizione verticale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.021ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 4.524ex;" src="./antex/36afcf1e23f461d0f8edc617555e9a2f.svg" /></span> di trasformazioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-naturali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.021ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 3.708ex;" src="./antex/c3261ebb91b53daa97d3ae61dea8f37a.svg" /></span>, definita con componenti <span class="antex display"><img style="margin: -0.004ex 0.225ex -0.715ex -0.02ex; height: 3.717ex; width: 70.578ex;" src="./antex/7c9aab8080e92d9a5e005329bbaee542.svg" /></span></li> <li>Una <em>composizione orizzontale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.021ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 5.283ex;" src="./antex/586b114e548fd9f99c5eceac2684e30e.svg" /></span> di trasformazioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-naturali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.021ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 3.708ex;" src="./antex/c3261ebb91b53daa97d3ae61dea8f37a.svg" /></span>, definita dal diagramma commutativo <span class="antex display"><img style="margin: 0.036ex 0.08ex -21.463ex 0.0ex; height: 42.892ex; width: 33.528ex;" src="./antex/7007863be7cca6eac6d44afbba7a3cab.svg" /></span></li> </ul> <p>È evidente che la strategia con cui queste definizioni sono state presentate vuole suggerire che stiamo tentando di riprodurre la struttura della categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> che raccoglie tutte le categorie, e dove ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 10.554ex;" src="./antex/ee7027bb1c9707505067f1ee877d49fd.svg" /></span> è una categoria (i cui oggetti sono i funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.698ex; width: 11.058ex;" src="./antex/05868a564a8b47573639eb070284b677.svg" /></span> e i cui morfismi sono le trasformazioni naturali <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 10.274ex;" src="./antex/06a0ac58be1b92fbd5f08f48d8e8c23a.svg" /></span>). Questo è un atto volontario: l’oggetto di questo corso è in un certo senso lo studio delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categorie, ossia della totalità delle strutture che condividono questa stessa proprietà con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>.</p> <p>Resta inteso, allora, che il nostro esempio base di 2-categoria (quello ciò a cui cercheremo di riportare ogni nuova nozione che introduciamo, lungo la discussione) è allora quello delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie.</p> <p>La prossima sottosezione ha lo scopo di rendere precisa, ed estendere, questa osservazione informale.</p> <h3 id="la-struttura-di-">La struttura di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 6.521ex;" src="./antex/bd36d1e0c4640e0343af1b8bd249aaec.svg" /></span></h3> <p>Una caratteristica essenziale della categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> è quella di essere cartesiana: avendo limiti finiti (e in effetti, limiti di ogni cardinalità) <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.017ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 17.098ex;" src="./antex/f39d9a8fcda0338237c85a43c4ba2cf5.svg" /></span> definisce una struttura monoidale cartesiana, dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.698ex; width: 6.251ex;" src="./antex/7ec566c453017fc26fe69b6dcc918ac7.svg" /></span> è il <em>prodotto</em> di categorie, cioè la categoria che ha per oggetti la classe prodotto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.96ex; width: 7.884ex;" src="./antex/a2be39cd468da26d702c8f66b8d047a7.svg" /></span> e per morfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.11ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 21.498ex;" src="./antex/56868e2be999b1886eb34950fad0cec9.svg" /></span> il prodotto cartesiano <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.11ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 19.121ex;" src="./antex/7fce77c5c7621aad5bba4bc69c114938.svg" /></span> di insiemi. In più, esiste una <em>categoria</em> di funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.698ex; width: 7.43ex;" src="./antex/d6a4de40480e9ae6fb878df9e17f4d62.svg" /></span> che rende vero l’isomorfismo naturale</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 47.93ex;" src="./antex/4c8920bea0375bd393bbb377f8922a47.svg" /></span> È evidente che nel gergo introdotto in questa sezione, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> è una categoria (cartesiana) monoidale chiusa. Ci proponiamo di dimostrare che questo vale in generale per ogni altra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 6.521ex;" src="./antex/bd36d1e0c4640e0343af1b8bd249aaec.svg" /></span>.</p> <p><em>Proposizione.</em> La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 6.521ex;" src="./antex/bd36d1e0c4640e0343af1b8bd249aaec.svg" /></span> delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie ha una struttura monoidale.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Date due <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 5.198ex;" src="./antex/8c549424a5dc8ecf62ad08390e28ee17.svg" /></span> definiamo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 7.12ex;" src="./antex/8b4c13c9b6944cdc5f611088fd043c39.svg" /></span> come la <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.088ex -0.881ex 0.0ex; height: 2.487ex; width: 8.476ex;" src="./antex/5ab63c1c6d0cf31642f7299faff66b23.svg" /></span> per oggetti, e dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.117ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.413ex; width: 46.229ex;" src="./antex/b5562c9821570910ee624f3ee3131a85.svg" /></span> (il prodotto monoidale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>); composizione e identità sono definite di conseguenza. Dalla validità degli assiomi di associatività e identità per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 5.198ex;" src="./antex/8c549424a5dc8ecf62ad08390e28ee17.svg" /></span> segue che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 7.12ex;" src="./antex/8b4c13c9b6944cdc5f611088fd043c39.svg" /></span> è una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria.</p> <p>La <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.65ex 0.0ex; height: 1.707ex; width: 1.196ex;" src="./antex/9abb7c0a0efdcf4a06713455a7a662f3.svg" /></span>, “libera” sulla categoria terminale, che ha un solo oggetto e tale per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.65ex 0.0ex; height: 2.328ex; width: 10.073ex;" src="./antex/aa360f19535329564d4bb513dacea2b2.svg" /></span>, fa da oggetto unità. Associatori e unitori seguono dalla presenza degli associatori e unitori in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>.</p> <p><em>Osservazione.</em> Per dimostrare che questa struttura monoidale è chiusa, non è sufficiente invocare la definizione di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-trasformazione naturale: se è vero che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.01ex 0.217ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.416ex; width: 6.599ex;" src="./antex/288094f748da630e243d95b6be6277fc.svg" /></span> ha un candidato naturale per classe degli oggetti, è ugualmente vero che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.118ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.441ex; width: 12.842ex;" src="./antex/7d57a7c20a20e142bd94d4c47610e66f.svg" /></span> deve essere un oggetto di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>, e non solo l’<em>insieme</em> delle trasformazioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-naturali tra funtori <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.851ex; width: 4.063ex;" src="./antex/6fbc2b1545c526fdd1c919dec70af60a.svg" /></span>.</p> <p>È tuttavia vero che</p> <p><em>Proposizione.</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> è una fissata categoria monoidale, la classe delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori e trasformazioni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-naturali diventa una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categoria.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Esercizio.</p> <p>Una procedura standard per confrontare categorie arricchite su basi diverse è sfruttare una aggiunzione tra le basi di arricchimento <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.0ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.957ex; width: 5.979ex;" src="./antex/d207e825f0430052e020d40744a60485.svg" /></span> e indurre una analoga aggiunzione tra le <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie e le <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.0ex -0.063ex 0.0ex; height: 1.692ex; width: 2.879ex;" src="./antex/9c5c4039e8a4cca6a6ac9c837e87b369.svg" /></span>-categorie. Per introdurre questa nozione abbiamo bisogno della</p> <p><em>Definizione (funtore monoidale).</em> Date due categorie monoidali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 22.099ex;" src="./antex/5270e933c2ee59dfa773d94ea1bd9266.svg" /></span> un <em>funtore monoidale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.699ex; width: 12.247ex;" src="./antex/402f40d8dafb1b7c5407eac4affe6249.svg" /></span> consta di una funzione di classe tra le categorie <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 2.01ex; width: 9.985ex;" src="./antex/d478849461db63ada1ccb601e0beb804.svg" /></span> e di</p> <ul> <li>Una famiglia di isomorfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 31.772ex;" src="./antex/d1a482bfc3a925d7867b163fc473f9fd.svg" /></span> naturali nei due argomenti;</li> <li>Un morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 13.499ex;" src="./antex/5ac1d342a0370fb32e1de75b50a5a246.svg" /></span></li> </ul> <p>tali che i seguenti assiomi siano soddisfatti</p> <ul> <li><em>Associatività delle <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.071ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.495ex; width: 3.742ex;" src="./antex/8d6680535deeb36734147d93b97be71d.svg" /></span></em>: il diagramma <span class="antex display"><img style="margin: -0.038ex 0.13ex -5.89ex 0.0ex; height: 11.818ex; width: 43.485ex;" src="./antex/a609b0ede240729054474f918936703d.svg" /></span> è commutativo (questo attesta che i due modi distinti di passare da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 14.753ex;" src="./antex/60be90217691d9f34f992e3f24dfacab.svg" /></span> a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 13.069ex;" src="./antex/1560eed2b40748476ddd99687ce6829f.svg" /></span> coincidono).</li> <li><em>Unitalità di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.087ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.495ex; width: 2.162ex;" src="./antex/cdf1b0dbc0cfe01e12196ea6d1da8206.svg" /></span></em>: i due diagrammi <span class="antex display"><img style="margin: -0.0ex 0.131ex -5.661ex 0.0ex; height: 11.321ex; width: 66.214ex;" src="./antex/35b4097d0c1ea9a8703bed5c4e1c5656.svg" /></span> sono commutativi (questo attesta che i due modi distinti di passare da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.108ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.528ex; width: 3.021ex;" src="./antex/f4251d9f6c7d55768eecc439392df840.svg" /></span> a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 17.559ex;" src="./antex/ab672fc32821857b2707758185b676a4.svg" /></span> coincidono).</li> </ul> <p><em>Osservazione.</em> Questa definizione è ciò che in letteratura si dice funtore monoidale <em>forte</em>; esistono restrizioni e rilassamenti di tale nozione,</p> <ul> <li>Un funtore monoidale è <em>stretto</em> se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 8.783ex;" src="./antex/baa618760ec670bee2f059e5d12685d0.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 8.824ex;" src="./antex/31da8461e5ff1aea075b84336d43a5cf.svg" /></span> sono lo stesso oggetto, e analogamente anche le altre coerenze si riducono a delle identità.</li> <li>Un funtore monoidale è <em>lasco</em> se esistono morfismi (non necessariamente invertibili) <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 21.516ex;" src="./antex/c64f92fcff1bef584491f5ddb582fa24.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.014ex; height: 2.132ex; width: 8.995ex;" src="./antex/2c5dd015dfd29bd8debad767fd65183d.svg" /></span>; dualmente, un funtore <em>colasco</em> ha dei morfismi (non necessariamente invertibili) <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 21.516ex;" src="./antex/1b9ef6ed59397a060603cc571a004dcf.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.014ex; height: 2.132ex; width: 8.995ex;" src="./antex/f6e182a325370e675d461949b3c6bba5.svg" /></span>.</li> </ul> <p>Non ci preoccupiamo di ispezionare queste definizioni; sebbene il caso veramente generale sia quello di un funtore co/lasco ci limitiamo al caso in cui <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>, nella definizione seguente, sia forte.</p> <p><em>Definizione (cambio di base).</em> Dato un funtore monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.699ex; width: 12.247ex;" src="./antex/4b18abc15bce7a8e7c4acffdd417383d.svg" /></span> tra categorie monoidali definiamo il <em>cambio di base mediante <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span></em> come il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.133ex -0.587ex 0.0ex; height: 2.223ex; width: 21.851ex;" src="./antex/c335f1acd4c29d6d695c4e2668345563.svg" /></span> che manda una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span> nella <span class="antex inline"><img style="margin: 0.014ex 0.0ex -0.063ex 0.0ex; height: 1.692ex; width: 2.879ex;" src="./antex/9c5c4039e8a4cca6a6ac9c837e87b369.svg" /></span>-categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.032ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.26ex; width: 4.612ex;" src="./antex/4b34b2b93ba18a5c22b863e0d38fd995.svg" /></span> che ha gli stessi oggetti, e dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.117ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.413ex; width: 27.05ex;" src="./antex/1ae53782ba6dff1cf0c99132d9b13014.svg" /></span>.</p> <p><em>Esempio (la 2-categoria associata a una categoria simpliciale).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.031ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.225ex; width: 2.256ex;" src="./antex/27f951a38b4bf4ba94d5bedd87eff1c2.svg" /></span> è una categoria simpliciale, il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 15.391ex;" src="./antex/92703954d9b8e4423c0c87377afc367d.svg" /></span> definisce un cambio di base <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.587ex 0.0ex; height: 2.206ex; width: 22.982ex;" src="./antex/0f5271df19785653ae0632e7333b263d.svg" /></span> che manda una categoria simpliciale in una 2-categoria “naturalmente” associata ad essa.</p> <p><em>Esempio (la categoria sottostante a una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria).</em> Il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.133ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 17.529ex;" src="./antex/f07eaf36a5e85cf79b6fab7a29a9ec4a.svg" /></span> definisce un cambio di base <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.133ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 30.04ex;" src="./antex/fff5ee3bd5d346d1fbe88394365d633c.svg" /></span> che manda una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria nella categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.029ex 0.085ex -0.879ex 0.0ex; height: 2.344ex; width: 2.95ex;" src="./antex/c71f831783ae81a51ebdf4cdbee2801c.svg" /></span> che ha gli stessi oggetti, e dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.016ex 0.214ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.39ex; width: 8.635ex;" src="./antex/4abc390766ceb15c77c3315605da78b6.svg" /></span> è stato declassato all’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.117ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.413ex; width: 14.698ex;" src="./antex/ba08fcd6a5f78d7cab10a63929244ad4.svg" /></span>.</p> <!-- - Cambio di base (questo resterà un esempio standard di 2-funtore; fatto tutto nei dettagli) - Proprietà del 2-funtore di confronto <span class='antex inline'><img style='margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 13.832ex;' src='./antex/3b184df17cf7094a5224a0cfd234c233.svg' /></span> --> <h3 id="primo-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio1.pdf"><strong>PRIMO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="calcolo-delle-cofini"><a name="cofini-kan"></a>Calcolo delle cofini</h2> <h3 id="cofini">Cofini</h3> <p>Iniziamo con un esempio semplice. La categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span> degli insiemi, come visto nella lezione precedente, è cartesiana chiusa. Vale ciò l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.552ex; width: 39.068ex;" src="./antex/f68bf72636d8b13a1f2fefa5a57c5a3a.svg" /></span> e l’aggiunzione così determinata ha per unità la mappa <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.002ex -0.713ex 0.0ex; height: 1.73ex; width: 5.24ex;" src="./antex/287c492b6f2ef7dd068220b39cd0ae3f.svg" /></span> e per counità la mappa <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.002ex -0.713ex 0.0ex; height: 1.73ex; width: 4.859ex;" src="./antex/bfddf24c4032b2d3fd437c153d48f74e.svg" /></span> definite rispettivamente dalle posizioni</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.062ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.809ex; width: 82.284ex;" src="./antex/2004dc269a74d898d8345e7b4bf2e135.svg" /></span> E’ immediato vedere che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.495ex; width: 3.114ex;" src="./antex/0c41fc7378c41a600381d5d38ebf6fb9.svg" /></span> sono naturali nell’argomento <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.066ex; height: 1.494ex; width: 1.565ex;" src="./antex/466e0de3a0310151e9199a5a36f23fa5.svg" /></span> e nell’argomento <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.448ex;" src="./antex/51406e57dbaa8f53d022fd8b145af690.svg" /></span> rispettivamente; ma per quanto riguarda l’altro argomento, a valere è un isomorfismo meno ovvio, che ricorda la naturalità ma che non vi è proprio uguale.</p> <p><em>Proposizione.</em> I diagrammi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.002ex 0.082ex -7.192ex -0.299ex; height: 13.546ex; width: 66.58ex;" src="./antex/cabf16a3182026721d2c68ad454ab77b.svg" /></span> sono commutativi, per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.054ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.198ex;" src="./antex/aa80f2490a2af11943e329010ec43a77.svg" /></span>.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Immediata.</p> <p>Un quadrato come quello riempito da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.0ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.044ex; width: 1.039ex;" src="./antex/2ef314812708fed3ddc147d6cde0b6f9.svg" /></span> si dice un quadrato di <em>cocuneo</em>, mentre uno come quello riempito da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.044ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.495ex; width: 1.098ex;" src="./antex/e72fe9d4ee35f2ffdde986699c21f677.svg" /></span> si dice un quadrato di <em>cuneo</em>. I due sono esempi particolari della seguente nozione.</p> <p><em>Definizione (trasformazione dinaturale).</em> Dati due funtori paralleli <span class="antex inline"><img style="margin: -0.018ex 0.016ex -0.419ex 0.0ex; height: 2.011ex; width: 19.797ex;" src="./antex/fdf424b81da8ffa82b13e9c9705e3870.svg" /></span> diciamo <em>trasformazione dinaturale</em> tra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.053ex -0.419ex 0.0ex; height: 1.943ex; width: 1.6ex;" src="./antex/5a5ae4984558fd82dc74289913b55eda.svg" /></span>, denotata <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.059ex -0.42ex 0.0ex; height: 2.343ex; width: 11.315ex;" src="./antex/b5050571928d47602a9276ed6a09e14f.svg" /></span>, una famiglia di morfismi di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.017ex -0.074ex 0.0ex; height: 1.653ex; width: 2.011ex;" src="./antex/c8100d9ab685787657173eafe4155749.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 22.942ex;" src="./antex/30b16fd4e9439bb5ced644454437f26f.svg" /></span> tali che il seguente diagramma sia commutativo <span class="antex display"><img style="margin: -0.002ex 0.111ex -9.905ex -0.002ex; height: 20.286ex; width: 60.501ex;" src="./antex/b9a155220c1d56ac672f026c6d3b1251.svg" /></span></p> <p><em>Osservazione.</em> Idealmente, una trasformazione dinaturale è il “dato necessario” per riempire il diagramma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.002ex 0.075ex -7.416ex -0.002ex; height: 15.661ex; width: 47.328ex;" src="./antex/159d2d5c2654fde20f741248a8c9361f.svg" /></span> generato dall’azione mista controvariante-covariante di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.053ex -0.419ex 0.0ex; height: 1.943ex; width: 3.892ex;" src="./antex/04b91d46a7341ccfd614faaae37baffc.svg" /></span> sui morfismi.</p> <p>Ora, un <em>cuneo</em> sarà una trasformazione dinaturale dal funtore costante; se è invece il codominio a essere costante, la trasformazione dinaturale sarà detta un <em>cocuneo</em>.</p> <p><em>Definizione (co/cuneo).</em> Un <em>cuneo per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.053ex -0.419ex 0.0ex; height: 1.943ex; width: 1.6ex;" src="./antex/5a5ae4984558fd82dc74289913b55eda.svg" /></span></em> consta di una trasformazione dinaturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.059ex -0.42ex -0.074ex; height: 2.343ex; width: 7.715ex;" src="./antex/2696dc13eada0515852c8015f4d58991.svg" /></span> (<span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.066ex; height: 1.494ex; width: 1.565ex;" src="./antex/466e0de3a0310151e9199a5a36f23fa5.svg" /></span> è la <em>base</em> del cuneo), ossia di una famiglia di morfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 17.46ex;" src="./antex/78710ce3a375e472e40ceacaf83559b1.svg" /></span> tali che per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.083ex -0.48ex -0.333ex; height: 2.079ex; width: 10.641ex;" src="./antex/bf99aaaa1a4c244b50c372bba1ea19bb.svg" /></span> sia commutativo il diagramma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.038ex 0.13ex -5.89ex 0.0ex; height: 11.818ex; width: 28.517ex;" src="./antex/254f2493561d0f9e4d9ba9c4de9f6fc4.svg" /></span> Dualmente, un <em>cocuneo per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span></em> consta di una trasformazione dinaturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.0ex 0.0ex; height: 1.923ex; width: 7.41ex;" src="./antex/82a43949451feca88a247d1d87dd5a1d.svg" /></span> (<span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.448ex;" src="./antex/51406e57dbaa8f53d022fd8b145af690.svg" /></span> è la <em>punta</em> del cocuneo), ossia di una famiglia di morfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 17.007ex;" src="./antex/73b8d009f70c278900730dedfce57a0c.svg" /></span> tali che per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.083ex -0.48ex -0.333ex; height: 2.079ex; width: 10.641ex;" src="./antex/bf99aaaa1a4c244b50c372bba1ea19bb.svg" /></span> sia commutativo il diagramma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.008ex 0.13ex -5.89ex 0.0ex; height: 11.788ex; width: 27.097ex;" src="./antex/39f85d98bc43d242b01e04f2e922e03f.svg" /></span> <em>Definizione (categoria dei co/cunei; co/fini).</em> I cunei per un dato <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span> formano una categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.675ex;" src="./antex/db9b4c92597e23aa20e9ce98c77fd386.svg" /></span>, se per morfismi scegliamo i morfismi tra le base dei cunei, che rendono opportunamente commutativi i diagrammi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.038ex 0.1ex -5.647ex 0.0ex; height: 11.333ex; width: 30.509ex;" src="./antex/944c8bd019046b4f30043fff9441ef89.svg" /></span> Dualmente, i cocunei per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.053ex -0.419ex 0.0ex; height: 1.943ex; width: 1.6ex;" src="./antex/5a5ae4984558fd82dc74289913b55eda.svg" /></span> formano una categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.817ex;" src="./antex/cf492a86d5c48f8f1f2a3e2eb674f090.svg" /></span>, se per morfismi scegliamo i morfismi tra le punte dei cocunei, che rendono opportunamente commutativi i diagrammi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.018ex 0.099ex -5.647ex -0.078ex; height: 11.277ex; width: 31.023ex;" src="./antex/6188b648965a52a4429d900affb617c7.svg" /></span> Una <em>fine</em> per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span> è (quando esiste) un oggetto terminale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.675ex;" src="./antex/db9b4c92597e23aa20e9ce98c77fd386.svg" /></span>. Dualmente, una <em>cofine</em> per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.053ex -0.419ex 0.0ex; height: 1.943ex; width: 1.6ex;" src="./antex/5a5ae4984558fd82dc74289913b55eda.svg" /></span> è (quando esiste) un oggetto iniziale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.817ex;" src="./antex/cf492a86d5c48f8f1f2a3e2eb674f090.svg" /></span>.</p> <p>Siamo arrivati piuttosto in fretta all’oggetto principale del nostro studio. Una trattazione esaustiva delle proprietà finora enunciate sta ovviamente in [cofini]; per ora, ci accontentiamo di una introduzione molto rapida alla materia, che è vasta (certamente più vasta della conoscenza che ne ha l’autore di un survey monotematico).</p> <p>Il resto di questa lezione è volto a mostrare che il calcolo delle co/fini è semplice, ubiquitario, e descrittivo di tutta una serie di fenomeni che unificano l’algebra categoriale. Per farlo, introduciamo una notazione, dovuta a Yoneda, che indica <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.61ex;" src="./antex/3ed13a8e2a45c51361ad290a61ac8dc3.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.046ex;" src="./antex/fadd4851bcd887aa127de9ee552d3f1e.svg" /></span> mediante degli integrali:</p> <p><em>Notazione (integrale per le co/fini).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.018ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.711ex; width: 17.323ex;" src="./antex/22cfbb64f8377556eb28def6ae634a8f.svg" /></span> è un funtore, denotiamo la sua fine</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.243ex; width: 19.756ex;" src="./antex/6a5eb97d4326996076aa621a392f4d6a.svg" /></span> e la sua cofine <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 8.874ex;" src="./antex/5028dbfe756c17a3e37065a38f64f9e0.svg" /></span> come</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.112ex -1.966ex 0.0ex; height: 5.607ex; width: 23.373ex;" src="./antex/e96ddbd6cc30c10a63b1dd2e5657e704.svg" /></span></p> <p>Il primo risultato in tal senso è che gli integrali iterati commutano l’uno con l’altro.</p> <p><em>Teorema (Fubini per co/fini).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: -0.031ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.724ex; width: 27.86ex;" src="./antex/adef7180d76c5ad753fcfaac1818b824.svg" /></span> è un funtore, vale l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.024ex 0.116ex -2.263ex 0.0ex; height: 5.992ex; width: 73.271ex;" src="./antex/2a698c1a4a3ba808e21089156f56c85a.svg" /></span> nel senso che uno dei tre oggetti esiste se e solo se esistono gli altri due, e tutti e tre sono canonicamente isomorfi in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.017ex -0.074ex 0.0ex; height: 1.653ex; width: 2.011ex;" src="./antex/c8100d9ab685787657173eafe4155749.svg" /></span> (questo isomorfismo è ottenuto identificando il prodotto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.031ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.724ex; width: 18.369ex;" src="./antex/4c8225050e9e7d076a52a19167ac01f5.svg" /></span> con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 19.232ex;" src="./antex/0e58ecc2904f22abef4384af1964a0ba.svg" /></span>).</p> <p><em>Dimostrazione.</em> E’ facile controllare a mano che vale l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -1.484ex 0.0ex; height: 4.181ex; width: 41.047ex;" src="./antex/43b168220bc4dc020606571008420d02.svg" /></span> il quale testimonia che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.868ex 0.0ex; height: 3.409ex; width: 9.054ex;" src="./antex/db0e1a7841fc756051cca3d93853073c.svg" /></span> è un aggiunto sinistro al funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.011ex 0.08ex -0.044ex 0.0ex; height: 2.075ex; width: 28.929ex;" src="./antex/771ef887103b972ea311b338d0e1bb80.svg" /></span>. Dualmente, <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.984ex 0.0ex; height: 3.046ex; width: 8.32ex;" src="./antex/cc0ea4671b788587e380182acf6db18f.svg" /></span> è un aggiunto destro e vale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -0.984ex 0.0ex; height: 3.046ex; width: 38.297ex;" src="./antex/fddc92b5056f62e036a3581282b34943.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.05ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 33.892ex;" src="./antex/fc95cbe5519d019c99b3fd0a99825897.svg" /></span>. Per dimostrare, allora, che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.081ex -1.285ex 0.0ex; height: 3.347ex; width: 17.274ex;" src="./antex/eb416147cb9958ef78e3b85b5b75a7a2.svg" /></span> sono isomorfi è sufficiente dimostrare che sono isomorfi i loro aggiunti sinistri (risp., destri per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.082ex -0.868ex 0.0ex; height: 3.498ex; width: 20.821ex;" src="./antex/1cca9c91152f62d64053d0a2bb75f3d6.svg" /></span>). D’altra parte questo ultimo fatto è immediato: segue dalla simmetria di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> e dalla proprietà universale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.04ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.405ex; width: 1.445ex;" src="./antex/2112891dc9b1f306effbdbd4af6c2f11.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.146ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.725ex; width: 1.395ex;" src="./antex/613db02fc44ed17077f4e65ffd87bc04.svg" /></span>. Ad esempio per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.052ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.751ex; width: 9.202ex;" src="./antex/b80e2c4061ff2a803926a4313400b879.svg" /></span> vale <span class="antex align_environment"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -7.718ex 0.0ex; height: 16.63ex; width: 81.523ex;" src="./antex/239d3e430978cf01373be903cf57f3a7.svg" /></span> <em>Proposizione (trasformazioni naturali come fine).</em> Dati due funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.906ex; width: 13.634ex;" src="./antex/07da3d063a7c4cc731ba0312abf6800b.svg" /></span>, l’insieme delle trasformazioni naturali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.487ex;" src="./antex/77dea044e3f63fb6328cb72ae00c8f40.svg" /></span> coincide con la fine <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.243ex; width: 14.29ex;" src="./antex/657af92349aa871d74303e907a20dd1d.svg" /></span> e il cuneo universale è la famiglia di componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 29.171ex;" src="./antex/527c97925a2720f7a82c880299f04231.svg" /></span> che mandano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 10.064ex;" src="./antex/e91dda35acd1239bf1370818051a86fa.svg" /></span> nella sua componente <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 14.718ex;" src="./antex/2b12c0f95644d1aba3d340a4564bb7ec.svg" /></span>.</p> <p><em>Dimostrazione.</em> E’ evidente che la funzione che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 10.064ex;" src="./antex/e91dda35acd1239bf1370818051a86fa.svg" /></span> nella collezione delle sue componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.147ex; width: 24.852ex;" src="./antex/af854744cfd9e4d7a2088294e82a75e4.svg" /></span> è un cuneo. Bisogna dimostrare che è terminale; per farlo, dato un altro cuneo di componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.154ex; width: 21.478ex;" src="./antex/dd569064c24915ca62caba9d7d82f4df.svg" /></span>, è sufficiente mostrare che esiste una fattorizzazione <span class="antex display"><img style="margin: -0.004ex 0.125ex -5.89ex -0.075ex; height: 12.404ex; width: 44.489ex;" src="./antex/9bff735ca6afc15b65c4fea9202ab505.svg" /></span> cioè che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.0ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.154ex; width: 17.993ex;" src="./antex/0379a2e49edbf1a05a2caf13ef756dd1.svg" /></span> è la componente in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.579ex;" src="./antex/6d586bd998b9a69966061f56bfd04e1a.svg" /></span> di una trasformazione naturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 6.859ex;" src="./antex/a0b50de486693f0762dc7c9e838ec917.svg" /></span>. Del resto, il fatto che il quadrato <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.088ex -6.513ex -0.191ex; height: 12.643ex; width: 23.847ex;" src="./antex/14b6421956fef025db237947c687a561.svg" /></span> sia commutativo è implicato dalla condizione di cuneo per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.007ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 1.404ex;" src="./antex/7b59ad1b073435dd64cda84c5e129e94.svg" /></span>. La fattorizzazione così ottenuta lungo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.487ex;" src="./antex/77dea044e3f63fb6328cb72ae00c8f40.svg" /></span> ora è unica, perché le trasformazioni naturali coincidono se e solo se lo fanno sulle componenti.</p> <p>Esiste una dimostrazione più concisa di questo fatto, che fa uso di una caratterizzazione di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -0.984ex 0.0ex; height: 3.046ex; width: 9.883ex;" src="./antex/c4d5546f1bb6cac3d78f10119629e2e3.svg" /></span> come un limite (e dualmente, di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.112ex -0.868ex 0.0ex; height: 3.409ex; width: 10.628ex;" src="./antex/66ac99ed874d2a421457d5be24e43ed3.svg" /></span> come di un opportuno colimite): brevemente, è possibile definire un isomorfismo di categorie</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.635ex; width: 17.017ex;" src="./antex/3e9ffe13c6ddc6673d59434702953402.svg" /></span> tra i cunei per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.018ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.711ex; width: 17.323ex;" src="./antex/e3ca190e0db79f93877e0a6e8c835287.svg" /></span> e i coni per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.017ex -0.12ex 0.0ex; height: 2.299ex; width: 12.126ex;" src="./antex/ebb3be43794a6db2c3a65a9f374d314a.svg" /></span>, in modo tale che l’oggetto terminale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.675ex;" src="./antex/db9b4c92597e23aa20e9ce98c77fd386.svg" /></span> (cioè <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.014ex -0.984ex 0.0ex; height: 3.046ex; width: 4.264ex;" src="./antex/d52b37ffb71416848f991e384065be7e.svg" /></span>) venga mandato nell’oggetto terminale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.635ex; width: 6.229ex;" src="./antex/b95f8de9722cd73ac374e618575b8156.svg" /></span>, cioè nel limite di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 2.179ex; width: 1.645ex;" src="./antex/c92b3bb232ec850fed78475d5aee88c6.svg" /></span>. Più esplicitamente, la fine di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span> prende posto in un equalizzatore</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.115ex -3.293ex 0.0ex; height: 6.453ex; width: 45.312ex;" src="./antex/c273355015d900c3eb8b25ec947ff0fb.svg" /></span> ovvero, quando il limite a destra del segno di uguale esiste, esso ha la stessa proprietà universale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.014ex -0.984ex 0.0ex; height: 3.046ex; width: 4.264ex;" src="./antex/17fadf7967bbdb440c03edf431bdf10d.svg" /></span>. Le mappe <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.007ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.344ex; width: 3.637ex;" src="./antex/c298df98b8be0e1b8587fd4a7389d859.svg" /></span> sono definite rispettivamente dall’azione di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 6.912ex;" src="./antex/03cfc2dc5768bc81f56c7761fc33810a.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 6.912ex;" src="./antex/b59445d5ef674a286c7b4a6a12588153.svg" /></span>.</p> <p>Dualmente, la cofine di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.014ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.384ex;" src="./antex/31ea88538524e597eca4c660fa0f4064.svg" /></span> prende posto in un coequalizzatore</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.115ex -3.293ex -0.287ex; height: 6.934ex; width: 45.333ex;" src="./antex/a7ffb5a6d5f4220ad9dff285d370d229.svg" /></span> in modo tale che quando il colimite a destra del segno di uguale esiste, allora ha la stessa proprietà universale di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.014ex -0.868ex 0.0ex; height: 3.409ex; width: 4.97ex;" src="./antex/dcc419d31fdf697f72dcc0269cc828fe.svg" /></span>. Le mappe <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.083ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.927ex; width: 4.932ex;" src="./antex/adb12d74caa8fae3528137e32e1fa99c.svg" /></span> sono definite rispettivamente dall’azione di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 6.912ex;" src="./antex/03cfc2dc5768bc81f56c7761fc33810a.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 6.912ex;" src="./antex/b59445d5ef674a286c7b4a6a12588153.svg" /></span>.</p> <p>Alla luce del risultato precedente, il lemma di Yoneda nella sua forma classica si esprime nella forma seguente:</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.243ex; width: 28.375ex;" src="./antex/fcda590fe432d9148b1b45ffd0be676a.svg" /></span> e questo isomorfismo è naturale in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.066ex; height: 1.494ex; width: 1.565ex;" src="./antex/466e0de3a0310151e9199a5a36f23fa5.svg" /></span>. Il risultato nella sua interezza è il seguente.</p> <p><em>Proposizione (lemma di Yoneda).</em> Sia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 12.036ex;" src="./antex/cfe6c07b0c95f3c0fadbe683c2ca6bfe.svg" /></span> un funtore.</p> <ul> <li> <p>Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> è controvariante, valgono gli isomorfismi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.724ex; width: 59.783ex;" src="./antex/008a4284b544395eba83cd5e998e4498.svg" /></span> naturali nel loro argomento libero.</p> </li> <li> <p>Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> è covariante, valgono gli isomorfismi</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.724ex; width: 59.783ex;" src="./antex/c3baf00a64d77167f14b697bd31c9385.svg" /></span> naturali nel loro argomento libero.</p> </li> </ul> <p><em>Dimostrazione.</em> Si tratta di un conto puramente formale: nel caso delle fini, il risultato segue dalla caratterizzazione di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 10.449ex;" src="./antex/efedc6ec7a6a3b7cb265ae3974f857b6.svg" /></span> come una fine (nel caso covariante e controvariante: la dimostrazione è la stessa con evidenti opportune modifiche). Si ha <span class="antex align_environment"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -14.914ex 0.0ex; height: 31.021ex; width: 81.523ex;" src="./antex/8b6ce12d9d6ba6c3ee1fbc460965fd12.svg" /></span> A questo punto, la piena fedeltà dell’emebdding di Yoneda implica che valga l’isomorfismo naturale in oggetto.</p> <h3 id="estensioni-di-kan">Estensioni di Kan</h3> <p>La totalità della matematica è soffusa di questo problema: dato un quadrato commutativo come</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.084ex -5.727ex -0.304ex; height: 11.104ex; width: 13.624ex;" src="./antex/212c262bda633fd6293fc93fc85d0dfa.svg" /></span> in una categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span>, esiste un modo di spezzarlo nella giunzione di due triangoli commutativi con un morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.107ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.553ex; width: 9.929ex;" src="./antex/c1211f95f27f8a72929c0c579d97e3ac.svg" /></span> per cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.059ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.081ex; width: 8.34ex;" src="./antex/7f3dc84561b00c1d81366a8c7f4dad0c.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.004ex 0.042ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.5ex; width: 7.91ex;" src="./antex/330ffee3fb51b7131eea1aa5f5adfd8a.svg" /></span>? Questo quadrato si dice “problema di sollevamento”, e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.055ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 1.097ex;" src="./antex/cb9241986ad2d8a793de9a953c15140d.svg" /></span> è la “soluzione” al problema di sollevamento. Nella circostanza in cui per ogni coppia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 4.64ex;" src="./antex/85d1534e0ffa7def11a1d914f1a97451.svg" /></span> esista una soluzione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.052ex -0.593ex 0.0ex; height: 1.61ex; width: 3.48ex;" src="./antex/82ab3c6cb9c6245e07f4aed521001b53.svg" /></span> al problema, si dice che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span> è ortogonale a sinistra a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.072ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.504ex; width: 1.09ex;" src="./antex/407017bae40a54b2a406f4d40e2ee278.svg" /></span>, o dualmente che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.072ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.504ex; width: 1.09ex;" src="./antex/407017bae40a54b2a406f4d40e2ee278.svg" /></span> è ortogonale a destra a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span>.</p> <p>Un caso particolare già molto diffuso è quello in cui <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.072ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.504ex; width: 1.09ex;" src="./antex/407017bae40a54b2a406f4d40e2ee278.svg" /></span> è un morfismo terminale:</p> <p><em>Esempio (teorema di estensione di Tietze).</em> Sia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.014ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.283ex;" src="./antex/c353cbd593783369449307fcecff1622.svg" /></span> una funzione lipschitziana definita su un sottospazio <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.115ex -0.115ex; height: 1.643ex; width: 5.928ex;" src="./antex/bb963a5a587116d2cd66b6ce0328dc56.svg" /></span> di uno spazio metrico <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.115ex -0.115ex; height: 1.643ex; width: 5.928ex;" src="./antex/bb963a5a587116d2cd66b6ce0328dc56.svg" /></span>; allora esiste una estensione (non unica) <span class="antex inline"><img style="margin: 0.003ex 0.014ex -0.025ex 0.0ex; height: 1.555ex; width: 10.022ex;" src="./antex/b8b8466cf1d9320328aa25f27d9f420c.svg" /></span>,</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.016ex -5.331ex -0.076ex; height: 11.431ex; width: 12.205ex;" src="./antex/a3894f3046ef6af92c2d2ea81dbdb1ba.svg" /></span> con la stessa costante di Lipschitz di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span>.</p> <p><em>Esempio (teorema di Brouwer).</em> L’inclusione della sfera <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.054ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.627ex; width: 2.175ex;" src="./antex/00cdbe1beef17bd3b8e5e20df8d193a5.svg" /></span> nel disco <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.157ex -0.0ex -0.018ex; height: 1.923ex; width: 4.602ex;" src="./antex/569249e9501a9cda5c9b98db7c87f454.svg" /></span>,</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.064ex -5.546ex -0.022ex; height: 11.092ex; width: 17.32ex;" src="./antex/280cec878e27e9e0ab2e35c45bad4685.svg" /></span> <em>non ammette</em> una retrazione continua <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.054ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 13.869ex;" src="./antex/83d744b0cabdad35a9b26ed801b3ba30.svg" /></span>.</p> <p>Volendo risolvere un problema simile nella categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> delle categorie, ci scontriamo con un fatto piuttosto concreto: ci sono molti sensi in cui un diagramma in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> può “commutare”, e spesso la nozione più stringente di commutatività non è quella corretta. Dato un triangolo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.018ex -5.484ex 0.0ex; height: 11.301ex; width: 14.082ex;" src="./antex/02a66c5caa61fa680491e38911fa7b1b.svg" /></span> di categorie e funtori, possiamo chiedere che esso commuti <em>strettamente</em> (cioè che la composizione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex -0.0ex -0.044ex -0.018ex; height: 1.568ex; width: 3.466ex;" src="./antex/d17bf4d8ee116320173dfc315f0af7a5.svg" /></span> sia esattamente uguale a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>), che commuti <em>fortemente</em> (cioè che ci sia un isomorfismo naturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 7.958ex;" src="./antex/f1619926310d851090169818056ebdc1.svg" /></span>) oppure che non commuti -o meglio, che commuti <em>lascamente</em>, con una trasformazione naturale possibilmente non invertible <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 12.13ex;" src="./antex/d6123db324d6cdcc06c6d1982b8cb86c.svg" /></span> o <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 12.12ex;" src="./antex/3e8600af5ebc37418fad7bfb1eff4405.svg" /></span>.</p> <p>Una richiesta ragionevole è la seguente: esiste un modo di riempire il diagramma precedente con una trasformazione naturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 11.922ex;" src="./antex/9b978c2fcfe1ed08e9dd4e56de9b51b0.svg" /></span> che sia <em>universale</em> tra tutte queste? Ossia, tale per cui ogni altra <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 11.811ex;" src="./antex/5992f4112024e7c93ba494d458cd2fec.svg" /></span> si scriva come <span class="antex inline"><img style="margin: -0.052ex 0.044ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.377ex; width: 9.44ex;" src="./antex/7ec57f80c5d92f06aa3d0630d466b774.svg" /></span>?</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.017ex -6.522ex 0.0ex; height: 13.384ex; width: 46.153ex;" src="./antex/2e88d3704ba33780f8adf555eda67054.svg" /></span> Questa, si scoprirà a posteriori, è la nozione al grado giusto di generalità.</p> <p><em>Definizione (estensione di Kan).</em> Quando nelle notazioni precedenti, esiste una 2-cella <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 11.922ex;" src="./antex/9437f1ad98127520d2544418444264c9.svg" /></span> che induce una biiezione tra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.748ex;" src="./antex/5304be48e229afc0e9372d691a4a879a.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.255ex;" src="./antex/5905e81173d68bd463cadb80b54b9b34.svg" /></span>, diciamo che la coppia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.117ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.131ex; width: 5.549ex;" src="./antex/6dce8790e0e4b8e6c9147af40aad82d4.svg" /></span> <em>esibisce l’estensione sinistra di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> lungo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/f5c37147919cdbe3b22d88e31891509f.svg" /></span></em>, situazione che denotiamo con <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex -0.018ex; height: 1.967ex; width: 11.787ex;" src="./antex/3e08df3911455a55269f6e1c6e3f09dd.svg" /></span>. Brevemente, spesso si dice solo che “<span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.773ex;" src="./antex/4ca7e6f6613da24cea719efcd5ea0d18.svg" /></span> è <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span>”.</p> <p>Ora, il problema di questa definizione è che è troppo generale: non disponiamo di regole che ci permettano di <em>determinare</em> esplicitamente la coppia <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.117ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.131ex; width: 5.549ex;" src="./antex/6dce8790e0e4b8e6c9147af40aad82d4.svg" /></span> (e nemmeno di provare che un tale funtore esiste, o che non può esistere).</p> <p>Per risolvere il problema, ci concentriamo su una definizione meno generale, comunque capace di contenere molti (in effetti, tutti) gli esempi che faremo. Questa sarà la definizione di <em>estensione puntuale</em>.</p> <p>L’idea su cui si basa è la seguente: sarebbe bello poter calcolare <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span> “localmente”, nel senso che l’immagine di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 5.341ex;" src="./antex/3e38894ebafa1c9002ef84f62c6a4132.svg" /></span> mediante il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span>, è data, confondendo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 5.341ex;" src="./antex/3e38894ebafa1c9002ef84f62c6a4132.svg" /></span> con un morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.016ex -0.452ex 0.0ex; height: 2.104ex; width: 11.336ex;" src="./antex/61519150a3f7d953433b6c55bfa83b24.svg" /></span>,</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.001ex 0.018ex -6.718ex 0.0ex; height: 12.683ex; width: 28.522ex;" src="./antex/dc7f670d22f7fd4c6a634af3c0d44cab.svg" /></span></p> <p><em>Definizione (estensione di Kan sinistra puntuale).</em> Quando il colimite</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.001ex 0.06ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.325ex; width: 14.967ex;" src="./antex/576b0c4f74638866a4d9b6cd2f9c8e87.svg" /></span> esiste per ogni <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 5.341ex;" src="./antex/3e38894ebafa1c9002ef84f62c6a4132.svg" /></span>, la corrispondenza <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.06ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.325ex; width: 19.698ex;" src="./antex/bfa830571cb95bc3dd6412a286b870a8.svg" /></span> si può rendere funtoriale in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.044ex -0.024ex 0.0ex; height: 1.042ex; width: 0.979ex;" src="./antex/b252f11f1de07980d3ef0584338a5a8c.svg" /></span>, e diventa un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.016ex -0.12ex -0.019ex; height: 1.726ex; width: 10.971ex;" src="./antex/70cc3ccb648f8c6dcaf2602fcfd94204.svg" /></span> che ha la proprietà universale affinché la trasformazione naturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.002ex; width: 11.922ex;" src="./antex/9b978c2fcfe1ed08e9dd4e56de9b51b0.svg" /></span> ottenuta dalla proprietà universale del colimite esibisca <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span>.</p> <p><em>Osservazione.</em> Il colimite <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.06ex -0.713ex 0.0ex; height: 2.325ex; width: 14.967ex;" src="./antex/bb0e4046cdb88722ef056d1fffa01f70.svg" /></span> si calcola come la cofine</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.109ex -1.966ex 0.0ex; height: 5.607ex; width: 21.724ex;" src="./antex/76016c5d73615340dc351c538e43dfb3.svg" /></span> <em>Proposizione (<span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.014ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 5.294ex;" src="./antex/013b4b32dd11229d38bb3f4983c771b5.svg" /></span> come aggiunto).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span> è puntuale, la corrispondenza <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 12.293ex;" src="./antex/54b1d4c5a75b40ff97fba45b1c5abce3.svg" /></span> si può promuovere a un funtore</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 23.47ex;" src="./antex/77ed06756b2c4034e422b032eb2cf551.svg" /></span> in modo tale che esista una aggiunzione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.105ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.995ex; width: 10.356ex;" src="./antex/94ed9f12f72094d5c6b5ecfc1a41f3f3.svg" /></span> (dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 13.848ex;" src="./antex/465b17cf2d9f3a7badbb76f75141e9ec.svg" /></span> è la <em>precomposizione</em> mediante <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.655ex;" src="./antex/f5c37147919cdbe3b22d88e31891509f.svg" /></span>).</p> <p><em>Dimostrazione.</em> Ci sono molte strade possibili. La più semplice usa l’osservazione precedente per dimostrare che esiste una biiezione</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 34.852ex;" src="./antex/3594b56ffd602dc842e7c7d5b35da540.svg" /></span> la quale determina una aggiunzione, la cui unità <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.044ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.495ex; width: 1.098ex;" src="./antex/e72fe9d4ee35f2ffdde986699c21f677.svg" /></span> è esattamente la trasformazione naturale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 8.716ex;" src="./antex/28b35bc94e3f1ecceb92bcb248987353.svg" /></span> cercata. Vale infatti la catena di isomorfismi: <span class="antex align_environment"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -17.507ex 0.0ex; height: 36.208ex; width: 81.523ex;" src="./antex/eb2e18882497f72185bcd615f657c013.svg" /></span></p> <p><em>Definizione (estensione di Kan destra).</em> Vale una teoria perfettamente duale, ottenuta rovesciando la direzione delle 2-celle coinvolte nella definizione di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 7.058ex;" src="./antex/144df8611d01d70de93ce7f75e72aae5.svg" /></span>: una estensione destra realizza una biiezione</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 34.881ex;" src="./antex/83b953e4ba1fc9c028eacaa820e1f086.svg" /></span> quando tale biiezione è naturale nei suoi argomenti, esiste una aggiunzione <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.014ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.995ex; width: 10.633ex;" src="./antex/8ff145daa8a9d962db2de3840f4d9e4e.svg" /></span> che si può calcolare <em>puntualmente</em> con la <em>formula di Kan</em>, <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.081ex -2.083ex 0.0ex; height: 5.243ex; width: 25.564ex;" src="./antex/cc16deb59d98d31e07435ace36cca6fe.svg" /></span></p> <h3 id="limiti-pesati">Limiti pesati</h3> <p>La teoria dei limiti pesati nasce per generalizzare la teoria dei limiti classica a categorie arricchite; idealmente, per categorie basate su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span>, la teoria funziona come sappiamo perché quest’ultima è una categoria monoidale abbastanza semplice. Per categorie più strutturate non è ovvio che la teoria dei limiti “conici” (il cui <em>peso</em>, nella terminologia introdotta a breve, è il prefascio terminale) sia sufficientemente descrittiva, e in effetti si trova a posteriori che così non è: i limiti pesati sono oggetti più generali, ed esistono categorie complete -che hanno tutti i limiti pesati- dove però i limiti conici sono pochi (o poveri di significato: in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> è molto più importante l’unità monoidale <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 0.897ex;" src="./antex/5db68c47fcf41a849e25b484956041c5.svg" /></span> del suo oggetto terminale, quando <span class="antex inline"><img style="margin: 0.007ex 0.129ex -0.116ex 0.0ex; height: 1.428ex; width: 5.65ex;" src="./antex/65b5ad1e7bc3fc19bc672cfe2cc0f71d.svg" /></span>).</p> <p>La teoria si riassume come segue: nel mondo delle categorie arricchite un limite è un funtore di due variabili; un <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 11.963ex;" src="./antex/67f88847da93f02bc3275c8bf1e443e4.svg" /></span> tra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie (il <em>diagramma</em> di cui si vuole il limite), e un <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.015ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.351ex; width: 12.872ex;" src="./antex/e6f3a415416c6992b1761a8e4583a12b.svg" /></span> (il <em>peso</em> su cui si vuole indicizzare il limite). Il limite di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> pesato da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span> si indica allora <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 6.557ex;" src="./antex/0968f7293d942f0ee41d5c7e83fa4abd.svg" /></span> oppure <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.945ex; width: 7.058ex;" src="./antex/01501b4ad56280f4ce33fad8002deeb8.svg" /></span>.</p> <ul> <li>Quando <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.132ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.688ex; width: 8.067ex;" src="./antex/781c6c6017f5c88d46876ffcacc5fa7c.svg" /></span>, e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span> è costante nell’insieme terminale, si ottiene dalla definizione la nozione classica di limite, cioè <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.0ex -0.0ex 0.0ex; height: 1.612ex; width: 14.534ex;" src="./antex/b63ffd8e65085f6eae66c38df66bcbc5.svg" /></span>.</li> <li>In <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span> <em>tutti</em> i limiti pesati sono particolari limiti conici per un diverso diagramma che però “cattura” le proprietà del peso: cioè in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span> <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.518ex; width: 19.979ex;" src="./antex/3983bfccbf7bb47de00788f97f9f826e.svg" /></span> per una opportuna costruzione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.0ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 15.107ex;" src="./antex/59ef2fc7c3943fb5b40c79eb27180593.svg" /></span>.</li> </ul> <p>Il calcolo delle cofini rende semplice definire e studiare questi oggetti: dopo avere motivato e introdotto la definizione, ci preoccuperemo di studiare un certo numero di esempi e di rendere precise alcune parti di questo paragrafo introduttivo.</p> <p><em>Osservazione (i limiti conici sono limiti pesati).</em> La definizione classica di limite come rappresentante di un opportuno funtore dice che per <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.698ex; width: 11.058ex;" src="./antex/ecb282239540cc8482a83be1c6bfca2a.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.016ex -0.074ex 0.0ex; height: 1.686ex; width: 9.941ex;" src="./antex/fa118bb21e9bc8fedec4dc18940f7c73.svg" /></span> è l’oggetto tale per cui <span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 26.382ex;" src="./antex/4c4435044b92d5678b0a1fdf2f00b721.svg" /></span> dove un cono per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> di punta <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.05ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.62ex;" src="./antex/e73381b67e02a294aba247f39f81a332.svg" /></span> altro non è che una trasformazione naturale dal funtore costante in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.05ex 0.0ex -0.018ex; height: 1.494ex; width: 1.62ex;" src="./antex/e73381b67e02a294aba247f39f81a332.svg" /></span> verso <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>; e a sua volta, una tale trasformazione naturale si può vedere come una trasformazione naturale dal prefascio terminale <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 12.609ex;" src="./antex/6a1083c7c6f62df5d5bb12fb5a0b377d.svg" /></span>, che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.579ex;" src="./antex/6d586bd998b9a69966061f56bfd04e1a.svg" /></span> in <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.146ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.057ex; width: 0.96ex;" src="./antex/fe8140ce89200e7eabf06fc0bba80a5c.svg" /></span>, verso il prefascio <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.89ex;" src="./antex/26355da37fbad66b0aa3915fe28a6612.svg" /></span>, che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.579ex;" src="./antex/6d586bd998b9a69966061f56bfd04e1a.svg" /></span> nell’insieme <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.52ex;" src="./antex/12e08b8c3b40d96b6fb72f8ec2c2d7df.svg" /></span>. Se indichiamo con <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 13.271ex;" src="./antex/650b9788e2e9271b3c6a3efb07a48d4d.svg" /></span> tale funtore costante, quanto abbiamo detto si riassume in</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 35.05ex;" src="./antex/2af9bb9b3f7a0ae340a6470bc4dad78e.svg" /></span> La teoria dei limiti pesati inizia rispondendo alla domanda: cosa accade se interpretiamo questa costruzione in un contesto (le <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categorie) dove non sempre disponiamo di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.104ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.842ex; width: 2.609ex;" src="./antex/2578def10cb1463a686c6da39fe74ddb.svg" /></span> e quindi sostituiamo a tale funtore terminale un generico prefascio <span class="antex inline"><img style="margin: -0.015ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.351ex; width: 12.872ex;" src="./antex/e6f3a415416c6992b1761a8e4583a12b.svg" /></span>?</p> <p><em>Definizione (limite di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> pesato da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span>).</em> Supponiamo dato un diagramma di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori <span class="antex display"><img style="margin: 0.035ex 0.0ex -6.063ex 0.0ex; height: 12.091ex; width: 25.044ex;" src="./antex/eac14781b92c8a93e236a7a08a3f51ce.svg" /></span> Un <em>limite pesato per <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>, di peso <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span></em>, quando esiste, è un oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.112ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 6.557ex;" src="./antex/0968f7293d942f0ee41d5c7e83fa4abd.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.715ex 0.0ex; height: 2.324ex; width: 1.952ex;" src="./antex/3ede719eb306ded35044f8da7b18aaf2.svg" /></span> che realizza l’isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: -0.035ex 0.118ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.441ex; width: 37.497ex;" src="./antex/1aea9f4c9259398ab74e1d65b7f2bd6b.svg" /></span> Dualmente, e nelle stesse notazioni (dati cioè <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.035ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.371ex; width: 11.963ex;" src="./antex/9dba4341f9006097fe4f43a24b2b64c9.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.019ex 0.0ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.356ex; width: 15.225ex;" src="./antex/d8c8fb4a36e4225a89d12323be3471c1.svg" /></span>) definiamo il <em>colimite pesato di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>, di peso <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span></em>, come l’oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex 0.0ex; height: 1.602ex; width: 6.323ex;" src="./antex/b8374b24fa7b5fa7d0d9b4576d549c05.svg" /></span> tale che <span class="antex display"><img style="margin: -0.027ex 0.117ex -0.763ex 0.0ex; height: 2.449ex; width: 39.031ex;" src="./antex/eeb6faf23e01feac9f605a6b26879a18.svg" /></span> <em>Proposizione (limiti pesati come fini).</em> Nelle notazioni precedenti, valgono le formule</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.109ex -2.051ex 0.0ex; height: 5.692ex; width: 54.394ex;" src="./antex/f67644d71c82862ee9cbc49b42004813.svg" /></span></p> <p><em>Esempio (il cono di una mappa continua e di una mappa di catene).</em> Riguardando <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.268ex;" src="./antex/e62ecd6ea41b9fb0a55ebde9978712a5.svg" /></span> come un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.079ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.149ex; width: 19.095ex;" src="./antex/74dee8fbf372d94da9a50b5d14ce73d0.svg" /></span>, possiamo considerare il colimite di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span> pesato dal funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.079ex -0.463ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 32.974ex;" src="./antex/a254dee8a4e5a0b97c6a50ca03df6ef2.svg" /></span> che sceglie il morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.157ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 8.541ex;" src="./antex/c25f83fe2b5240037a27306ac23e7960.svg" /></span>. Il colimite di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span> pesato da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span> consta del <em>cilindro</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 1.343ex;" src="./antex/15abcec2f4d6759d116e47446017177d.svg" /></span>, ossia lo spazio ottenuto dal colimite <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex -0.0ex -5.634ex -0.075ex; height: 12.043ex; width: 38.996ex;" src="./antex/611e6810cead0dc2bb0a960a65ef0323.svg" /></span></p> <p>Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/e5826f077e36ccd238c7a82873cd53df.svg" /></span> è un anello unitario, consideriamo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 11.19ex;" src="./antex/05c84ad7acad77e4362fa1cfbf418ad7.svg" /></span>, la categoria dei complessi di catene di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/e5826f077e36ccd238c7a82873cd53df.svg" /></span>-moduli. Considerando <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span> come una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.0ex -0.07ex 0.0ex; height: 1.657ex; width: 2.108ex;" src="./antex/3cb257907d3bcad4575bb9c63d39fba8.svg" /></span>-categoria nel modo ovvio, la costruzione del <em>cono mappante</em> di una mappa di catene <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex -0.0ex -0.48ex -0.346ex; height: 2.081ex; width: 10.268ex;" src="./antex/e62ecd6ea41b9fb0a55ebde9978712a5.svg" /></span>, cioè l’oggetto <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.106ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 17.039ex;" src="./antex/0f7e1aef9343e7589529bff7d23bd797.svg" /></span>, soddisfa la proprietà universal del colimite <span class="antex inline"><img style="margin: -0.024ex 0.0ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.081ex; width: 6.295ex;" src="./antex/2a76dc110c4d761ce9c0cc49d3fe61d2.svg" /></span>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.48ex -0.342ex; height: 2.132ex; width: 13.159ex;" src="./antex/37e25d91012470db0c09bbdedbbe977d.svg" /></span> viene guardato come un funtore, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 16.039ex;" src="./antex/8aa5a81f5fd03f8a19c30f1531f9b052.svg" /></span> è il morfismo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.104ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.379ex; width: 16.947ex;" src="./antex/98e0c7526aaaca6f1d2b2234dcbd5807.svg" /></span>, definito ponendo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.105ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 14.58ex;" src="./antex/0fe2b905830951392f5d50007c4c149f.svg" /></span>, il complesso di catene che ha <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.652ex;" src="./antex/e5826f077e36ccd238c7a82873cd53df.svg" /></span> concentrato al grado <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 2.581ex;" src="./antex/95b286c35b3a90fcd388f72069547b97.svg" /></span> e zero altrove, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.105ex -0.456ex -0.018ex; height: 2.132ex; width: 6.889ex;" src="./antex/6d5035d6d25eb708c71467febd2cbe59.svg" /></span> è il complesso <span class="antex display"><img style="margin: -0.007ex 0.158ex -0.051ex 0.0ex; height: 1.586ex; width: 28.475ex;" src="./antex/4198fd3784a2c06c9f99dfa3a6d29b80.svg" /></span> col primo termine non nullo in grado <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.06ex -0.02ex 0.0ex; height: 1.037ex; width: 2.581ex;" src="./antex/95b286c35b3a90fcd388f72069547b97.svg" /></span>; esiste un’ovvia inclusione <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.157ex -0.574ex 0.0ex; height: 2.496ex; width: 11.094ex;" src="./antex/6d39f3a3c786775881767c57cffb9da5.svg" /></span>: <span class="antex display"><img style="margin: -0.008ex 0.189ex -5.376ex 0.0ex; height: 10.735ex; width: 58.163ex;" src="./antex/04a71f3a7d78f9f53b81a2aa8700b68d.svg" /></span> Ora, dobbiamo dimostrare che <span class="antex display"><img style="margin: -0.025ex 0.16ex -1.966ex 0.0ex; height: 5.86ex; width: 25.531ex;" src="./antex/ba48d95e80454d3a479a552bc6b241da.svg" /></span> e per farlo è sufficiente dimostrare che esiste un pushout <span class="antex display"><img style="margin: -0.038ex 0.13ex -5.913ex 0.0ex; height: 11.863ex; width: 35.957ex;" src="./antex/9f2a88a5ff46bdbb88d117f378bbe169.svg" /></span> Per farlo, è sufficiente mostrare la giusta proprietà universale, note le mappe <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.262ex -1.33ex 0.0ex; height: 6.057ex; width: 38.606ex;" src="./antex/13b4cdad66c4b2b1592e979074e37f27.svg" /></span></p> <p><em>Definizione (la categoria degli elementi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span>).</em> Se <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 1.51ex;" src="./antex/51c77f78b2ef545d29f8b30aef151ddd.svg" /></span> è una categoria piccola, e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 12.35ex;" src="./antex/d50eeee5fc53b56a397667fa77dbcb6b.svg" /></span> un funtore, definiamo la <em>categoria degli elementi</em> di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.579ex;" src="./antex/da1f2b268ea7c4ddec9baa420c485ce9.svg" /></span> come la categoria che ha per oggetti le coppie <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 14.728ex;" src="./antex/e3020de862bc8cc72678221ac7db867c.svg" /></span>, e per morfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.11ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.106ex; width: 13.498ex;" src="./antex/1afab2549cb660970b55da6d2b4e20cb.svg" /></span> quei morfismi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.007ex 0.111ex -0.48ex -0.338ex; height: 2.13ex; width: 10.875ex;" src="./antex/236cee09d234bb6f52c9c945a97448ff.svg" /></span> tali che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.042ex -0.48ex 0.0ex; height: 2.156ex; width: 11.759ex;" src="./antex/495fd8e4bf0ab1cb95e66f40a2a2cd2c.svg" /></span>.</p> <p><em>Proposizione.</em> La categoria degli elementi <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.579ex;" src="./antex/da1f2b268ea7c4ddec9baa420c485ce9.svg" /></span> di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 12.609ex;" src="./antex/7985978372c418d66e39ed73b273d138.svg" /></span> si caratterizza equivalentemente come</p> <ul> <li>La categoria che risulta dal pullback <span class="antex display"><img style="margin: -0.037ex 0.118ex -6.332ex 0.0ex; height: 12.062ex; width: 22.26ex;" src="./antex/97bcfac2c3ac288d47821c582c8199be.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.967ex; width: 14.501ex;" src="./antex/a9d5e1cedf09eef0d805a67d1487604b.svg" /></span> è il funtore dimenticante che dimentica il punto distinto di un insieme puntato;</li> <li>La categoria comma <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 6.983ex;" src="./antex/c92435921ff70b36b16023b94690b251.svg" /></span> del diagramma <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.017ex -0.466ex 0.0ex; height: 3.322ex; width: 17.303ex;" src="./antex/e4f4b4211af1dc2fd9537f8b20a01320.svg" /></span>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.135ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 10.109ex;" src="./antex/7808e56b62e9f1dab78bab37d3e5c717.svg" /></span> sceglie l’oggetto terminale di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span>;</li> <li>L’opposta della categoria comma <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 10.552ex;" src="./antex/42cb1269e9704ac7430d488eb2dbb776.svg" /></span>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.026ex 0.206ex -0.466ex 0.0ex; height: 2.135ex; width: 19.897ex;" src="./antex/17bec1f5dae8f99f8ba5c2ebbf53c8cc.svg" /></span> è il <em>nome</em> del funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span>, ovvero l’unico funtore la cui immagine è <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.206ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 12.051ex;" src="./antex/8a0902165f8dba7c845fd9ca45e9b652.svg" /></span>.</li> </ul> <p><em>Proposizione (Su <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.148ex;" src="./antex/b2251e85d7c73981af0be57f5c20a3b8.svg" /></span> ogni limite <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span>-pesato è un limite conico).</em> Più precisamente, vale che il limite di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> pesato da <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span> si calcola come il limite di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex 0.0ex 0.0ex; height: 1.494ex; width: 1.476ex;" src="./antex/c97dbf28fd99a374d6538d5bd75889da.svg" /></span> pesato dalla categoria degli elementi di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.538ex; width: 2.077ex;" src="./antex/36e7fcb3d8406fa65c409a612ea1a173.svg" /></span>, e similmente per il colimite: <span class="antex align_environment"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -15.549ex 0.0ex; height: 32.291ex; width: 81.523ex;" src="./antex/d7d75dff41888fa1dff3e4c0961369dd.svg" /></span></p> <p><em>Teorema-Esempio (<span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.134ex;" src="./antex/fda15ece34de0ee99e67f60c3f83c305.svg" /></span> è un colimite pesato).</em> Oltre alle caratterizzazioni date sopra, la categoria degli elementi di un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.739ex; width: 12.609ex;" src="./antex/7985978372c418d66e39ed73b273d138.svg" /></span> ammette una ulteriore caratterizzazione come colimite pesato: più precisamente, c’è un isomorfismo</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.868ex 0.0ex; height: 3.421ex; width: 27.184ex;" src="./antex/84701dd6dd9ff15bdf73ee145886bd41.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 3.672ex;" src="./antex/cc646a51d9b26a99539071f5e59c59c3.svg" /></span> è l’insieme riguardato come una categoria discreta; in altre parole si tratta del colimite pesato <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.108ex -0.014ex; height: 1.602ex; width: 5.854ex;" src="./antex/a91b36feb5534f11d6dfe82bfe21b305.svg" /></span>, dove <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.134ex -0.12ex -0.014ex; height: 1.739ex; width: 13.911ex;" src="./antex/9130c9c762ba8549981410b3e8ecdca7.svg" /></span> è il funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.016ex -0.454ex 0.0ex; height: 2.107ex; width: 9.678ex;" src="./antex/82219e62f12bf80c2d09232d1180f35c.svg" /></span> che manda <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.016ex -0.12ex 0.0ex; height: 1.691ex; width: 5.936ex;" src="./antex/f0b2571c0c0e2cb95943180b646c8fa7.svg" /></span> nella categoria delle frecce <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 6.929ex;" src="./antex/48d91a25f30910d37f15ef5cf2fe0e36.svg" /></span>. Scegliamo una dimostrazione esplicita e verifichiamo direttamente che <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.579ex;" src="./antex/da1f2b268ea7c4ddec9baa420c485ce9.svg" /></span> ha la proprietà universal del coequalizzatore della coppia</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.002ex 0.052ex -2.848ex 0.0ex; height: 6.427ex; width: 50.603ex;" src="./antex/408b96f151595cb7f8558010f843a66c.svg" /></span> dove <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.021ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.044ex; width: 1.349ex;" src="./antex/c6bf5fa18f734b65275a05bbe836d7ef.svg" /></span> ha per componenti <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.066ex -0.703ex 0.0ex; height: 3.74ex; width: 32.47ex;" src="./antex/60e1a1019f75e6a6868a40595366b7e7.svg" /></span> le mappe che mandano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -1.503ex 0.0ex; height: 4.199ex; width: 24.886ex;" src="./antex/583b4f19e940d0945806170537669f33.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.007ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 1.404ex;" src="./antex/7b59ad1b073435dd64cda84c5e129e94.svg" /></span> ha per componenti <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.059ex -0.703ex -0.239ex; height: 3.801ex; width: 34.054ex;" src="./antex/ccc4f93cc83ab97d6a9b4bdcf2326b09.svg" /></span> le mappe che mandano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -2.263ex 0.0ex; height: 5.671ex; width: 25.061ex;" src="./antex/8e4bd420b0f9f2f107df0354cef45817.svg" /></span>. Evidentemente, queste mappe vanno composte con le opportune inclusioni nei coprodotti</p> <p>E’ piuttosto facile definire un funtore</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -3.039ex 0.0ex; height: 5.416ex; width: 30.59ex;" src="./antex/bf7eb26c91e6f85a002fdbe9e3c93555.svg" /></span> che ha per componenti <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 25.065ex;" src="./antex/c070fceb6680981c0345044b4d970f45.svg" /></span> le mappe che mandano <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.111ex -1.503ex 0.0ex; height: 4.199ex; width: 33.893ex;" src="./antex/c9249af7cfddff09e1b2c85b989b6761.svg" /></span>, che coequalizza <span class="antex inline"><img style="margin: 0.009ex 0.021ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.044ex; width: 1.349ex;" src="./antex/c6bf5fa18f734b65275a05bbe836d7ef.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.007ex -0.478ex -0.226ex; height: 2.01ex; width: 1.404ex;" src="./antex/7b59ad1b073435dd64cda84c5e129e94.svg" /></span>.</p> <p>Questo funtore <span class="antex inline"><img style="margin: -0.001ex 0.0ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.557ex; width: 1.061ex;" src="./antex/8dc995a68022d2ba34831923d365b759.svg" /></span> ha la proprietà universale del coequalizzatore di <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.007ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.01ex; width: 3.642ex;" src="./antex/dff02d41c946928dba46b78f62419bcb.svg" /></span>: data una qualsiasi altra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.009ex 0.0ex -0.604ex 0.0ex; height: 2.257ex; width: 25.209ex;" src="./antex/652eb8efdc333dc7d396a10354446a3b.svg" /></span> possiamo definire un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.657ex; width: 17.206ex;" src="./antex/e0f443ba5b09857dd5b62b3c8be8290a.svg" /></span> tale che <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.167ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.657ex; width: 23.986ex;" src="./antex/4c120dd65d170987017b6c19946f234c.svg" /></span> Ora, va notato che ogni mappa <span class="antex inline"><img style="margin: 0.015ex 0.083ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.078ex; width: 1.747ex;" src="./antex/3a480babcf5b282dd562fc45012cd57c.svg" /></span> che coequalizza <span class="antex inline"><img style="margin: -0.003ex 0.007ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.01ex; width: 3.642ex;" src="./antex/dff02d41c946928dba46b78f62419bcb.svg" /></span> ha la proprietà per cui</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.116ex -2.263ex 0.0ex; height: 5.671ex; width: 33.721ex;" src="./antex/30ea11d87ec28096e2bf30192975d95b.svg" /></span> E’ ora una verifica del tutto elementare dimostrare che <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.053ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.657ex; width: 11.082ex;" src="./antex/cf376d9cdb61bb0119dc56e57255d2e8.svg" /></span>, e che ogni altro funtore con questa proprietà deve coincidere con <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.657ex; width: 1.339ex;" src="./antex/b7b9e27492bee690af3797d7ab78d822.svg" /></span>.</p> <h3 id="secondo-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio2.pdf"><strong>SECONDO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="2-categorie-primi-rudimenti"><a name="2-categorie"></a>2-categorie: primi rudimenti</h2> <p>Alcuni riferimenti: <a href="http://download1.libgen.io/get.php?md5=B38448DFDD2C306E5B4336FE8C8E9AA4&key=YFD6BWK78TK4YXHV">Benabou</a>, <a href="https://arxiv.org/abs/math/9810017">Leinster</a>, <a href="https://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0063101">Kelly</a></p> <h3 id="-come-2-categoria-stretta"><span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> come 2-categoria stretta</h3> <p>Rammentando la definizione di 2-categoria come <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categoria, consideriamo la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.027ex 0.0ex -0.65ex 0.0ex; height: 2.271ex; width: 3.941ex;" src="./antex/14b3399958cf5d8e2f0db2f6583963d0.svg" /></span>: ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.878ex;" src="./antex/b3e748498a21ef6eb23cb3d5a9e74c89.svg" /></span> è a sua volta una categoria, i cui oggetti sono i funtori <span class="antex inline"><img style="margin: -0.005ex 0.016ex -0.327ex 0.0ex; height: 1.906ex; width: 13.634ex;" src="./antex/07da3d063a7c4cc731ba0312abf6800b.svg" /></span> e i cui morfismi sono le trasformazioni naturali. Ciascuna composizione</p> <p>La teoria delle 2-categorie coincide allora con la teoria delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categorie? In parte sì: un gran numero di risultati è conseguenza della teoria generale sviluppata nel primo capitolo. Del resto, una parte ancora maggiore di risultati non si può ingabbiare nel linguaggio delle categorie arricchite: e questo perché segretamente la collezione delle 2-categorie (di cui, fatti salvi alcuni problemi di teoria degli insiemi, <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span> è un oggetto) è una <em>3-categoria</em>; le sue proprietà sono quindi più naturalmente descritte da strutture e leggi di coerenza più blande di quelle che sostengono la teoria delle <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categorie.</p> <p>Un esempio su tutti: nei termini di una <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>-categoria è complicato (o impossibile?) descrivere come faccia un diagramma a commutare <em>a meno</em> di una trasformazione naturale -invertibile o meno.</p> <h3 id="due-2-problemi">Due 2-problemi</h3> <p>In <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>, guardata come arricchita su sé stessa, ogni <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 38.866ex;" src="./antex/ae57800c0314b72096116c3e9756c6cd.svg" /></span> è un funtore; la bifuntorialità di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.012ex -0.436ex 0.0ex; height: 1.453ex; width: 5.367ex;" src="./antex/47a24bc5e3634793ab6d9627df1761a9.svg" /></span> risulta in una regola della forma</p> <p><span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex -0.028ex 0.0ex 0.0ex; height: 42.314ex; width: 52.476ex;" src="./antex/622c09ceba731d85c262c0b7a884d471.svg" /></span> che equazionalmente diventa <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.112ex -0.478ex 0.0ex; height: 2.154ex; width: 31.304ex;" src="./antex/b97eaed2107a21723bee3b29bd7550c5.svg" /></span>.</p> <p>Sembra assolutamente innocuo prendere come definizione di 2-categoria quella di una categoria arricchita in <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>; qualsiasi altra struttura che ha questa stessa proprietà formale, dove cioè sono dati degli oggetti (o <em>0-celle</em>) e per ogni coppia di oggetti una categoria <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 7.433ex;" src="./antex/bd69e1f8fb98b331393827a448da9f97.svg" /></span> (i cui oggetti si dicono <em>1-celle</em>, e i cui morfismi si dicono <em>2-celle</em>) dovrà essere considerata come la versione 2-dimensionale di una categoria.</p> <p>C’è però un problema.</p> <p>Consideriamo questo esempio: definiamo una certa 2-categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.038ex -0.014ex 0.0ex; height: 1.626ex; width: 4.684ex;" src="./antex/35cf719f6625a68c0244bc2f12d57e8b.svg" /></span></p> <ul> <li>i cui oggetti sono gli anelli unitari;</li> <li>e in cui <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 9.862ex;" src="./antex/a758f73038ace201e989e96cc68e1759.svg" /></span> è la categoria <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.022ex -0.381ex -0.027ex; height: 1.992ex; width: 6.98ex;" src="./antex/e7203e64c2830d3f373cb46af7c08ae4.svg" /></span> degli <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-<span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.57ex; width: 1.164ex;" src="./antex/095a9de6f574e5d855a4ee84197d2aea.svg" /></span>-moduli e loro omomorfismi;</li> <li>la composizione di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex -0.041ex; height: 1.57ex; width: 10.455ex;" src="./antex/ef9eac03814455a3ae2bbfddda6e44ac.svg" /></span> e di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.044ex -0.046ex; height: 1.57ex; width: 9.994ex;" src="./antex/87cb2f1922e8efc32f3d8acfa578c595.svg" /></span> è il prodotto tensore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.381ex -0.027ex; height: 1.875ex; width: 11.858ex;" src="./antex/3c0731d14313ce1449a854ccc01d26be.svg" /></span>;</li> <li>la composizione di 2-celle <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.972ex; width: 10.84ex;" src="./antex/8c899edf223afbe83792b2b711e1279c.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.478ex 0.0ex; height: 1.972ex; width: 10.948ex;" src="./antex/12d9f0b0eb63f67ea02720a6f40bb500.svg" /></span> è la loro composizione in quanto omomorfismi di moduli.</li> </ul> <p>Si tratta di una 2-categoria?</p> <p>La risposta è no. La composizione di 1-celle, infatti, non è associativa se non a meno di un isomorfismo, che è quello tra <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.111ex -0.456ex -0.042ex; height: 2.132ex; width: 12.461ex;" src="./antex/ed21fd86208288046683605785c5184a.svg" /></span> e <span class="antex inline"><img style="margin: -0.032ex 0.053ex -0.456ex 0.0ex; height: 2.132ex; width: 12.518ex;" src="./antex/ede5e921344c5d4caf807d5bd6916d3c.svg" /></span>, e non è unitaria (l’identità coincide con <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span> guardato come <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-<span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.053ex 0.0ex -0.03ex; height: 1.494ex; width: 1.375ex;" src="./antex/88af89943b918328a338545a97b36660.svg" /></span>-modulo) se non a meno dell’isomorfismo <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.0ex -0.381ex -0.041ex; height: 1.907ex; width: 12.164ex;" src="./antex/d3fed9854a3d029389bcf6941c27da05.svg" /></span>, <span class="antex inline"><img style="margin: 0.034ex 0.0ex -0.348ex -0.03ex; height: 1.842ex; width: 12.639ex;" src="./antex/3b9beae51ce2e5cf87d556efb69adb13.svg" /></span>.</p> <p>Utilizzando un costume tipico della ricerca filosofica contemporanea, potremmo ignorare il problema fingendo che non esista. Risulta tuttavia difficile ignorare l’esistenza di un esempio tanto semplice da costruire, e di molti altri che si possono generare su questa falsariga. E’ allora meglio inglobare questa apparente patologia come caso particolare di una definizione ragionevole di struttura 2-dimensionale a meno di coerenza.</p> <p>L’idea, in effetti, è esattamente che gli assiomi di 2-categoria valgano a meno di alcune regole di coerenza, nello stesso modo e nello stesso senso in cui alcune regole di coerenza dettano la struttura di una categoria monoidale intrecciata, opposta a una stretta. “Rimuovere” la presenza degli associatori e degli unitori da una categoria monoidale è certamente possibile; tuttavia genera situazioni bizzarre quando (come nel caso dei moduli) è la coerenza lo “stato naturale” delle cose, e non la strettezza.</p> <p><em>Definizione (bicategoria).</em> Una bicategoria consta di [herebe]</p> <p>Potremmo pensare di aver corretto la situazione; osserviamo questo esempio.</p> <p>Definiamo una 2-categoria che ha per oggetti le categorie (piccole in un universo <span class="antex inline"><img style="margin: -0.014ex 0.081ex -0.021ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 1.7ex;" src="./antex/78ce15ce0a2f136e420f256379999911.svg" /></span>) e dove ci sono due tipi distinti di 1-celle: alcune celle “verticali” <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.002ex -1.62ex -0.018ex; height: 4.434ex; width: 1.287ex;" src="./antex/c9ceca460db407088ebf364e1b4344db.svg" /></span> che sono aggiunti destri, e alcune celle orizzontali <span class="antex inline"><img style="margin: -0.033ex 0.017ex -0.122ex 0.0ex; height: 1.729ex; width: 7.749ex;" src="./antex/e53ea2c56824f23bab1fc20b20842838.svg" /></span> che sono aggiunti sinistri. Le 2-celle constano di diagrammi quadrati <span class="antex display"><img style="margin: 0.0ex 0.069ex -6.179ex 0.0ex; height: 11.996ex; width: 15.503ex;" src="./antex/838a95cb2e9cc83d548a5d620d09c6cd.svg" /></span> (questo diagramma è pensato come un quadrato commutativo di funtori). Esiste una <em>identità orizzontale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.0ex 0.076ex -1.201ex 0.0ex; height: 3.596ex; width: 4.021ex;" src="./antex/0e1281810da6ff7ab4c41b102719811e.svg" /></span> per una legge di composizione orizzontale <span class="antex display"><img style="margin: -0.02ex 0.076ex -1.289ex 0.0ex; height: 3.793ex; width: 8.605ex;" src="./antex/5075ce9fd59c8857c2f3f539d9fed134.svg" /></span> che incolla due quadrati orizzontalmente (e compone le frecce orizzontali) ed esiste una <em>identità verticale</em> <span class="antex inline"><img style="margin: -0.02ex 0.122ex -1.289ex 0.0ex; height: 3.793ex; width: 4.987ex;" src="./antex/f6884e3b769af97ec7ca2d78eceb40aa.svg" /></span> per una simile legge di composizione verticale che li giustappone verticalmente; le due composizioni sono legate dalla identità <span class="antex display"><img style="margin: -0.022ex 0.083ex -10.534ex 0.0ex; height: 21.09ex; width: 26.927ex;" src="./antex/c049d64cf263d1f69b69fc768963f001.svg" /></span> Che struttura è questa? Non si assimila ad una bicategoria (perché la composizione è associativa e strettamente unitaria) né ad una 2-categoria (perché <span class="antex inline"><img style="margin: -0.02ex 0.076ex -1.289ex 0.0ex; height: 3.793ex; width: 4.687ex;" src="./antex/4e4ae981e2a773564c66217852ae38ae.svg" /></span> si assimila a <span class="antex inline"><img style="margin: 0.005ex 0.0ex -0.044ex 0.0ex; height: 1.568ex; width: 10.274ex;" src="./antex/06a0ac58be1b92fbd5f08f48d8e8c23a.svg" /></span> solo se le sue frecce verticali sono identità).</p> <p><em>Definizione (categoria doppia).</em> Una <em>categoria doppia</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.066ex -0.045ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 1.504ex;" src="./antex/a5a87451d56ddfabd2725faed4ac01e7.svg" /></span> è una categoria interna a <span class="antex inline"><img style="margin: -0.025ex 0.133ex -0.026ex 0.0ex; height: 1.644ex; width: 3.58ex;" src="./antex/7e87bb7fe6379e9946131b44fcc20c2b.svg" /></span>; per specificare una tale struttura vanno date</p> <ul> <li>una <em>categoria degli oggetti</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.953ex; width: 2.22ex;" src="./antex/a1f1a81a1942594daf77b2e4a61ddad5.svg" /></span> i cui oggetti si dicono <em>0-celle</em> e i cui morfismi si dicono <em>1-celle verticali</em>;</li> <li>Una <em>categoria dei morfismi</em> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.159ex -0.348ex 0.0ex; height: 1.92ex; width: 2.149ex;" src="./antex/6b2904f75d028a8ae9ea071a082240d6.svg" /></span> i cui oggetti si dicono <em>1-celle orizzontali</em> e i cui morfismi si dicono <em>2-celle</em>;</li> <li>un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.157ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.993ex; width: 12.175ex;" src="./antex/3aecc3cd5049c0f86f64e1821799a462.svg" /></span> che fa da identità;</li> <li>una coppia di funtori <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.088ex -0.381ex 0.0ex; height: 1.953ex; width: 13.058ex;" src="./antex/7c52f516c240690635fe5ee494ff6a83.svg" /></span> che fanno da dominio e codominio;</li> <li>un funtore <span class="antex inline"><img style="margin: 0.002ex 0.158ex -0.629ex 0.0ex; height: 2.2ex; width: 18.636ex;" src="./antex/c550b07fba2012fa5929a4b2fe80ef0d.svg" /></span> che fa da composizione. Questi dati sono soggetti alle condizioni di funtorialità, e alle equazioni <span class="antex display"><img style="margin: -0.035ex 0.163ex -0.028ex 0.0ex; height: 1.641ex; width: 8.717ex;" src="./antex/210690a25560d75d4ed09a619fd23b1d.svg" /></span> <em>Osservazione.</em> Una 2-categoria stretta è una categoria doppia la cui categoria degli oggetti è discreta.</li> </ul> <p>Abbiamo implicitamente suggerito l’esistenza di una rete di corrispondenze <span class="antex display"><img style="margin: -0.029ex 0.153ex -6.924ex 0.0ex; height: 13.893ex; width: 69.91ex;" src="./antex/0221d1c3124d620ea70fc13aa7183961.svg" /></span> dove una 2-categoria stretta è pensata o come una categoria doppia con categoria degli oggetti discreta, o come una bicategoria con coerenze banali. Ognuna delle inclusioni in questo diagramma ha un opportuno aggiunto, dato da</p> <ul> <li>il funtore che manda una categoria doppia nella 2-categoria ottenuta “discretizzando” la categoria degli oggetti di <span class="antex inline"><img style="margin: 0.008ex 0.066ex -0.045ex 0.0ex; height: 1.636ex; width: 1.504ex;" src="./antex/a5a87451d56ddfabd2725faed4ac01e7.svg" /></span>.</li> <li>il funtore ottenuto strettificando una bicategoria ad una 2-categoria stretta (il modo in cui questo si ottiene non è banale). <h3 id="funtori-stretti-forti-laschi-colaschi-trasformazioni-modificazioni">Funtori stretti, forti, laschi, colaschi; trasformazioni, modificazioni</h3> <h3 id="trasformazioni-pseudonaturali">Trasformazioni pseudonaturali</h3> <h3 id="aggiunzioni-in-2-categorie-la-2-categoria-degli-aggiunti">Aggiunzioni in 2-categorie; la 2-categoria degli aggiunti</h3> <h3 id="gli-aggiunti-si-compongono">Gli aggiunti si compongono</h3> </li> </ul> <h3 id="terzo-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio3.pdf"><strong>TERZO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="la-bicategoria-dei-profuntori"><a name="profuntori"></a>La bicategoria dei profuntori</h2> <ul> <li><a href="https://arxiv.org/abs/1501.02503">Cofriend</a>; <a href="https://tidsskrift.dk/brics/article/download/21847/19274">Cattani</a>; <a href="http://download1.libgen.io/get.php?md5=B38448DFDD2C306E5B4336FE8C8E9AA4&key=YFD6BWK78TK4YXHV">Benabou</a></li> </ul> <h3 id="quarto-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio4.pdf"><strong>QUARTO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="la-2-categoria-dei-prederivatori"><a name="prederivatori"></a>La 2-categoria dei (pre)derivatori</h2> <ul> <li><a href="https://arxiv.org/abs/1705.08565">io</a>, <a href="https://arxiv.org/abs/1802.08193">io2</a>; <a href="https://arxiv.org/abs/1112.3840">Groth1</a>, <a href="https://arxiv.org/abs/1203.5071">Groth2</a></li> </ul> <h3 id="quinto-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio5.pdf"><strong>QUINTO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="teoria-2-dimensionale-dei-limiti"><a name="2-limiti"></a>Teoria 2-dimensionale dei limiti</h2> <ul> <li><a href="https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S0004972700002781">Kelly-Elem</a>.</li> </ul> <h3 id="sesto-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio6.pdf"><strong>SESTO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="monadi-teoria-formale"><a name="monadi"></a>Monadi: teoria formale</h2> <ul> <li><a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404972900199">Street-FTM</a></li> </ul> <h3 id="settimo-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio7pdf"><strong>SETTIMO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="teoria-delle-categorie-formale"><a name="formale"></a>Teoria delle categorie formale</h2> <ul> <li><a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869378901606">Street-Walters</a>, <a href="http://www.numdam.org/item/CTGDC_1982__23_3_279_0">Wood</a>.</li> </ul> <h3 id="ottavo-foglio-di-esercizi"><a href="./esercizi/foglio8.pdf"><strong>OTTAVO FOGLIO DI ESERCIZI</strong></a></h3> <hr /> <h2 id="varie-">Varie (???)</h2> <hr /> <hr /> <h4 id="-crafted-with--">~~ <a href="https://github.com/paolobrasolin/jekyll-antex">Crafted with</a> <span class="antex inline"><img style="margin: 0.001ex 0.056ex -0.5ex 0.0ex; height: 2.086ex; width: 6.37ex;" src="./antex/e2d6c3b7c112f575e3a66c9e8cdb1bbb.svg" /></span> ~~</h4> </article> </body> </html>