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backup/[Literature Reading]Multichannel analysis of shear wave splitting .md

@@ -51,3 +51,213 @@ The analysis of shear wave splitting is greatly simplified if the polarization o
 | **优点**                     | 多震相联合分析，鲁棒性强               | 单震相分析，结果精确                    |
 | **局限性**                   | 方位角覆盖不足时会影响结果              | 手动窗口选择主观性强，低信噪比受噪声干扰       |
 | **适用场景**                 | 多震相、多台站联合分析区域性各向异性研究 | 单震相分析，高质量数据的精确测量          |
+
+---
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+## 3. Effects of a Dipping Axis of Symmetry 
+### 剪切波在各向异性层中的传播总结
+
+#### 1. 剪切波分裂的物理本质
+- **剪切波分裂现象**：
+  - 剪切波通过各向异性介质时分裂为两个分量：
+    - **快波（Fast Shear Wave）**：传播速度较快，极化方向 $\phi$ 通常与介质的主要对称轴一致。
+    - **慢波（Slow Shear Wave）**：传播速度较慢，与快波方向正交。
+  - **延迟时间** $\delta t$：快慢波传播时间的差异，反映各向异性强度和路径厚度。
+
+- **关键参数**：
+  1. **快波极化方向** $\phi$：与介质的主要应力方向或晶体取向相关。
+  2. **延迟时间** $\delta t$：与介质的各向异性强度及传播路径长度成正比。
+
+---
+
+#### 2. 数学模型
+- **剪切波分裂公式**：
+  - 假设入射波为一个线性极化的剪切波，经过各向异性层后，其快波和慢波可以分别表示为：
+
+$$
+    R(t) = w(t + \frac{\delta t}{2}) \cos^2\phi + w(t - \frac{\delta t}{2}) \sin^2\phi
+$$
+
+$$
+    T(t) = \frac{1}{2} \left[ w(t + \frac{\delta t}{2}) - w(t - \frac{\delta t}{2}) \right] \sin 2\phi
+$$
+
+- **$R(t)$**：径向分量；
+- **$T(t)$**：横向分量；
+- **$w(t)$**：入射波形；
+- **$\delta t$**：快波和慢波的延迟时间；
+- **$\phi$**：快波极化方向。
+
+
+- **小延迟时间的近似**：
+  - 当 $ \delta t $ 较小时，可以简化为：
+
+$$
+    R(t) \approx w(t)
+$$
+
+$$
+    T(t) \approx \frac{\delta t}{2} w'(t) \sin 2\phi
+$$
+
+其中 $w'(t)$ 是 $w(t)$ 的时间导数。
+
+- **矩阵表示**：
+  - 横向分量的矩阵形式可以表示为：
+
+$$
+    T = a \cdot s \otimes r
+$$
+
+
+- **$a = -\frac{1}{2}$** 是比例系数；
+- **$s$** 是分裂矢量，与方位角变化的横向分量振幅相关；
+- **$r$** 是径向分量的导数；
+- **$\otimes$** 表示张量外积。
+
+---
+
+#### 3. 横向各向同性（TI-H）模型
+- **定义**：
+  - 假设介质具有水平对称轴（Transverse Isotropy with Horizontal Symmetry Axis, TI-H）。
+  - 在这种模型下，分裂矢量的变化可以通过以下公式描述：
+
+$$
+    s(\phi) = \delta t \sin[2(\phi - \phi_0)]
+ $$
+
+
+---
+
+#### 4. 多震相的传播特性
+- **不同震相的分裂现象**：
+  - 远震震相（如 SKS 波、SKKS 波）由于传播路径较长，分裂现象主要受到上地幔各向异性的影响。
+  - 不同方位角的震相传播路径对分裂参数的测量结果有显著影响。
+
+- **联合分析的必要性**：
+  - 单震相分裂结果可能受到路径效应或噪声干扰，通过整合多个震相数据，可以提高分裂参数的可靠性。
+
+---
+
+#### 5. 剪切波分裂的观测与测量
+- **观测方式**：
+  - 分析横波的横向分量，通过以下特性提取分裂参数：
+    - 横向分量振幅的变化；
+    - 横向分量与径向分量的时间差异。
+- **观测限制**：
+  - 传播路径的复杂性（如地壳效应）和噪声可能导致测量结果的不稳定。
+
+---
+
+#### 总结
+- 剪切波分裂由介质的各向异性引起，其关键参数包括快波极化方向 $ \phi $ 和延迟时间 $ \delta t $。
+- 数学模型提供了对分裂现象的定量描述，TI-H 模型是一种常用假设，用以简化分析。
+- 多震相联合分析能有效提高测量精度，为后续 Multichannel 方法的提出奠定了理论基础。
+
+## 3. Effects of a Dipping Axis of Symmetry 
+
+#### 核心思想
+- **目标**：
+  - 提出一种鲁棒的剪切波分裂测量方法，称为 **Multichannel Method**，该方法能够在高噪声条件下稳定估计各向异性参数。
+  - 通过联合分析多个震相记录的数据（多通道），减少单次测量的随机误差，并提高分裂参数的可靠性。
+
+- **基本原理**：
+  - 多震相观测中，横波的分裂现象包含了介质的各向异性信息。通过整合这些不同震相的数据，可以提高对快波方向 $ \phi $ 和延迟时间 $ \delta t $ 的估计精度。
+  - 采用 **分裂强度矩阵（Splitting Intensity Matrix）** 和奇异值分解（SVD）技术来优化分裂参数的提取。
+
+---
+
+#### 分裂强度矩阵
+- **定义**：
+  - 分裂强度矩阵表示横向分量中的分裂信息，定义如下：
+  - 
+$$
+\mathbf{S} = \sum_i \mathbf{T}_i \cdot \mathbf{T}_i^T
+$$
+
+  其中：
+  - **$\mathbf{T}_i$** 是第 $i$ 个震相的横向分量；
+  - **$\mathbf{S}$** 表示分裂强度矩阵，综合了不同震相的横波分量信息。
+
+- **矩阵性质**：
+  - 矩阵的主方向（即主奇异向量）反映了快波方向 $\phi$；
+  - 奇异值的分布用于估计快波和慢波的分裂程度，即延迟时间 $\delta t$。
+
+---
+
+#### 奇异值分解（SVD）技术
+- **引入 SVD 的必要性**：
+  - 在噪声数据中，分裂强度矩阵可能包含较大的随机误差，通过奇异值分解，可以有效提取主信号方向并消除噪声的影响。
+  - 奇异值分解公式为：
+
+$$
+\mathbf{S} = \mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^T
+$$
+
+  其中：
+  - **$\mathbf{U}$** 和 **$\mathbf{V}$** 是正交矩阵；
+  - **$\Sigma$** 是对角矩阵，包含奇异值。
+
+- **物理意义**：
+  - 最大奇异值方向对应于快波方向 $\phi$；
+  - 奇异值的大小反映分裂效应的强弱，与延迟时间 $\delta t$ 相关。
+
+---
+
+#### Multichannel 方法的步骤
+1. **数据准备**：
+   - 收集多个震相的横波分量数据（如 SKS 波和 SKKS 波）。
+2. **构建分裂强度矩阵**：
+   - 将所有震相的横波分量数据叠加，生成分裂强度矩阵 $\mathbf{S}$。
+3. **奇异值分解**：
+   - 对矩阵 $\mathbf{S}$ 进行奇异值分解，提取快波方向 $\phi$ 和延迟时间 $\delta t$。
+4. **参数优化**：
+   - 使用优化算法进一步调整结果，提高分裂参数的准确性。
+5. **结果验证**：
+   - 验证测量结果的稳定性和可靠性，例如通过残差分析或对比多个震相的独立结果。
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+---
+
+#### 方法局限
+- **数据需求高**：
+  - Multichannel 方法依赖多个震相的高质量记录，特别是方位角分布均匀的震相覆盖。
+
+- **复杂性较高**：
+  - 方法实现涉及较多矩阵计算和参数优化过程，需要较高的计算资源。
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+---
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