UGM

Ubpa Graphics Mathematics，Ubpa 图形数学库

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特点

• 着重“正确”的代数概念（环、线性、欧式空间、仿射空间等）
• 面向对象（所有方法都是类方法）
• 只有头文件 head-only
• 高性能：SIMD 加速，各算法最优化
• 利用单继承化优化代码结构（不使用恶心的宏）
• 提供 natvis 优化 debug 信息
• ...

1. 简介

UGM 是着重于代数概念的数学库，区分点、向量、法向、颜色等，从而尽可能地避免了错误的计算。

常用的图形数学库（如 Eigen，glm）只提供 vec 类，并使其能做各种运算（如 +-*/ 等），但从代数方面考虑，这并不合理。

示例

• 点与点之间不能相加
• 颜色与点之间没有关系
• 变换矩阵（4x4）与法向的乘积不同于一般向量
• 在考虑齐次坐标时变换矩阵（4x4）与向量和点的乘积不同
• ...

我们通过提供 point，vec，normal，rgb 等来区分不同的代数概念，并仅让他们支持合理的操作，这样就能在编译期就发现各种代数方面的错误，另外还能减轻心智负担（根据类型执行不同的操作）。

此外，我们还通过单继承的技术实现了极佳的代码编写，特点如下

• 复用函数实现（不同于 C++20 的 concept 或者接口，他们只是对类支持的“操作”进行了约束）
• 空基类优化
• ...

2. 示例

#include <UGM/UGM.h>

using namespace Ubpa;
using namespace std;

int main() {
    transformf tsfm{
        vecf3{1,1,1},                        // T
        quatf{vecf3{1,0,0}, to_radian(90.f), // R
        scalef3{2.f}}                        // S
    }; // T * R * S

    pointf3 p{ 1,2,3 };
    vecf3 v{ 1,1,1 };
    normalf n{ 0,1,0 };
    bboxf3 b{ p, p + v }; // min: 1 2 3, max: 2 3 4
    rayf3 r{ p, v }; // point: 1 2 3, dir: 1 1 1, tmin: EPSILON, tmax: FLT_MAX

    cout << tsfm * p << endl; // 3 -5 5
    cout << tsfm * v << endl; // 2 -2 2
    cout << tsfm * n << endl; // 0 0 0.5
    cout << tsfm * b << endl; // 3 -7 5, 5 -5 7
    cout << tsfm * r << endl; // 3 -5 5, 2 -2 2, EPSILON, FLT_MAX

    return 0;
}

3. 文档

• 安装使用说明
• API

4. 设计思路

为了更好地使用该数学库，我们很有必要先了解下该库的设计思路。

4.1 代数概念

该库着重于正确的代数概念，使用者很可能对这方面并不了解，但只要知道基础的线性代数知识即可。

下边我简单介绍下该库涉及的主要代数概念。

• 加法 IAdd：相同元素之间的运算，具有交换性（a+b==b+a）和可逆性（a+(-a)=0）
• 乘法 IMul：相同元素之间的运算，具有可逆性（a*(1/a)=1），不一定具备交换性（a*b==b*a）。
• 数乘 IScalarMul：类与标量（如 float）之间的运算，具有交换性。
• 线性 ILinear：加法 + 数乘，该空间中的元素称为向量
• 环 IRing：加法 + 乘法
• 度量 IMetric：也叫距离
• 范数 INorm：向量 => 标量的函数，一般也叫大小 / 长度，可自然诱导出度量（distance(a,b) == (a-b).norm()）
• 内积 IInnerProduct：可自然诱导出范数（sqrt(dot(x, x)) == norm）
• 仿射空间 IAffine：具有位置概念的空间，该空间中的元素称为点，会对应一个线性空间，两空间之间的元素有关联，如 point-point => vector，point+vector => point

4.2 底层存储类型

• 数组 IArray：有序的元素序列，这将是我们各种类的基类，一般是 std::array<T, N>，其中 T 可以是 float，int，也可以是 point，vec
• 矩阵 IMatrix：一维数组的数组

由于底层存储类型不同，上述代数概念的具体实现有所不同（抽象 => 具体），并引申出新的代数概念

4.2.1 数组

底层存储类型为数组时，则可引申出如下代数概念

• 欧式（向量）空间 IEuclideanV：线性空间 + 内积（dot(a,b) == a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z）
• 欧式仿射空间 IEuclideanA：欧式（向量）空间对应的仿射空间
• 逐元素乘 IArrayHadamardProduct：a*b=(a.x*b.x, a.y*b.y, a.z*b.z)

上述各种概念在具体为数组时会有对应的实现，如

T operator+(T a, T b) const {
    return {a[0]+b[0], a[1]+b[1], a[2]+b[2]};
}

4.2.2 矩阵

由于该库用于离线渲染，实时渲染，游戏等，基本只要用 float4，因此也只需 3x3 和 4x4 的矩阵，因此该库也限制为只支持 3x3 和 4x4 的矩阵(并特化矩阵的乘法与逆的实现，如循环展开，simd 加速，以提高性能)。

大型矩阵的支持一般需要用线性代数库，如 Eigen 等。

底层通过一维数组的数组来实现，右乘，列优先，同于 OpenGL 与 DX（右乘+列优先的方案十分适合于 SIMD，同理左乘+行优先也如此）。

4.3 类

通过组合多个代数概念并加上具体类型支持的操作，可以轻松得到各种各样的代数类。他们满足不同的操作，极大地帮助使用者避免错误。

目前各种组合（主要部分）如下

若图片加载失败，请用该链接 graph.jpg

图中含有的类有

• 向量 vec
• 法向 normal：本质是二重向量 bivector（wiki, stackoverflow）
• 点 point
• 四元数 quat：限制为单位四元数，用于表示旋转
• 矩阵 mat
• 变换 transform：可表示仿射变换（平移，旋转，缩放）和射影变换（正交投影，透视投影）
• 颜色 rgb
• 缩放 scale

该库还含有类

• 值 val：加法 + 数乘 + 逐元素乘
• 欧拉角 euler：roll -> pitch -> yaw，同于 Unity3D
• 透明颜色 rgba
• 表面向量 svec：切空间的单位向量，上方向为 z 轴
• 齐次向量 hvec
• 包围盒 bbox：axis-aligned bounding box (AABB)
• 三角形 triangle：三个 point
• 直线 line：point + direction
• 射线 ray：增加了 t min 和 t max 的直线

5. 接口

类由多个代数概念组合而成，所以关键在于把握代数概念的接口，各代数概念位于 include/UGM/Interfaces/。

所有接口都是类方法，方便使用，大部分情况下都可以利用 IDE 的代码提示功能（如 VS2019 的 intellisense）来查询接口。

此外还提供了渲染领域常见函数 / 算法，如相交（位于 line，ray 内）、采样、材质 等。

6. SIMD

该库支持 SIMD，只要求支持 SSE2 指令。

主要加速的类为 float4，包括 vecf4，pointf4 等。

注意 float3 并没有 SIMD 加速，这是为了保持 sizeof(float3)==3*sizeof(float)，部分数学库通过使用含 __m128 的 float3 来实现 SIMD 加速，但这样 sizeof(float3)==4*sizeof(float)。目前可以通过显式将 float3 转成 float4 来获取加速效果。

加速部分包括

• +-*/ ...
• min/max/min_component/max_component/abs/sin/cos/...
• transform * float4/bbox/transform
• transform inverse
• ray 和 sphere/triangle/bbox 的相交
• float3 的 dot/cross（需要扩展成 float4 并使用 float4::dot3 和 float4::cross3）
• ...

7. Natvis

泛型编程在 debug 时会引入大量的单继承，该库使用了单继承化技术，单继承深度也很大，导致在 IDE 中查看类成员变量会很麻烦。

示例

若图片加载失败，请用该链接 TextBox default visualization

我们可使用 VS2019 的 natvis 功能来实现定制的视图

若图片加载失败，请用该链接 natvis_demo.jpg

当使用 find_package(UGM REQUIRED) 时，会自动给解决方案添加一个项目，包含 UGM_<VERSION>.natvis，从而使得其他项目都可以支持 natvis（VS2019 支持多种方式引入 natvis，但这是目前我能想到的最合适的方式）。

若图片加载失败，请用该链接 use_natvis.jpg

Future Features

• 更轻量级的单继承化技术（减少 coding overhead），进一步加快编译速度
• 提供 config.h，方便定制功能
• 给 float4 一系列 v3_* 接口
• 支持 CUDA
• swizzle
• 去除依赖 XSIMD
• vector op: log, exp, cos, sin, ...
• ...

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