Added raw 6th lecture

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/6lecture.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\begin{exercise}~
+	\begin{enumerate}
+		\item Если $Y \subseteq X$ --- компакт в метрическом пространстве, то $Y$ замкнуто в $X$
+
+		\item Если $X$ --- компактное метрическое пространство, то $X$ сепарабельно
+
+		\item Если $X$ --- полное метрическое пространство, тогда $Y \subseteq X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено
+	\end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{theorem} (Кантора)
+	Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство, $f \in C(X, K)$, где $K \in \{\R, \Cm\}$. Тогда $f \in \hat{C}(X, K)$:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists \delta > 0 \such \forall x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta\ \ |fx - fy| < \eps
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} (Прямое доказательство)
+	Раз $X$ --- компактное метрическое пространство, то мы можем рассмотреть любой $x \in X$ и для него существует шар $B(x, r_x) \subseteq X$. В силу непрерывности $f$ на $X$, у нас имеется непрерывность и в каждой точке:
+	\[
+		\forall \eps > 0\ \exists B(x, r_x) \such \forall y \in B(x, r_x)\ \ |fx - fy| < \eps
+	\]
+	Чтобы найти $r$, подходящее для каждой точки при фиксированном $\eps > 0$, вспомним о компактности и наличии покрытия $X = \bigcup_{x \in X} B(x, r_x)$. Выделим из покрытия конечное, пусть в нём $n$ элементов. Тогда $\delta := \min_{k \in \range{1}{n}} \frac{r_k}{2}$ и его достаточно. Действительно, пусть $\rho(x, y) < \delta$. В таком случае, есть шар $B(x_k, r_k)$, содержащий обе этих точки. Но шары выбирались исходя из непрерывности $f$, то есть:
+	\[
+		|fx - fy| \le |fx - fx_k| + |fx_k - fy| < 2\eps
+	\]
+\end{proof}
+
+\begin{proof} (Косвенное доказательство)
+	Предположим противное. Тогда для $f$ не выполнено условие равномерной непрерывности:
+	\[
+		\exists \eps_0 > 0\ \forall \delta > 0 \such \exists x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta\ \ |fx - fy| \ge \eps_0
+	\]
+	Дальше схема обычная. Рассмотрим $\delta = \frac{1}{n}$, получим последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ и $\{y_n\}_{n = 1}^\infty$. В силу компактности $X$, можем выделить сходящуюся к некоторому $x_0$ подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty$. Но тогда есть предел $\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = x_0$, а это уже ведёт к противоречию с фактом $|fx_{n_k} - fy_{n_k}| \ge \eps_0$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $X$ --- метрическое пространство. $Y \subseteq X$ называется \textit{предкомпактным}, если $\cl Y$ --- компактно. В такой ситуации говорят, что \textit{$Y$ компактно относительно $X$}.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem} (Арц\'{е}ла-Аск\'{о}ли)
+	Пусть $X$ --- компактное метрическое пространство, $M \subseteq C(X, K)$. Множество $M$ является предкомпактным тогда и только тогда, когда выполнено 2 условия:
+	\begin{enumerate}
+		\item $M$ ограничено
+
+		\item $M$ равностепенно непрерывно, то есть выполено условие:
+		\[
+			\forall \eps > 0\ \exists \delta >0 \such \forall x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta\ \forall f \in M\ \ |fx - fy| < \eps
+		\] 
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item[$\Ra$] Будем доказывать каждый пункт отдельно:
+		\begin{enumerate}
+			\item Коль скоро $X$ компактно, оно также вполне ограничено. Отсюда следующее:
+			\[
+				\forall \eps > 0\ \exists \{\phi_k\}_{k = 1}^n \such \forall f \in M\ \exists \phi_k\ \ \rho(f, \phi_k) = \|f - \phi_k\| < \eps
+			\]
+			Стало быть, $\|f\|$ можно оценить таким образом:
+			\[
+				\forall f \in M\ \ \|f\| \le \|f - \phi_k\| + \|\phi_k\| < \eps + \max_{k \in \range{1}{n}} \|\phi_k\|
+			\]
+
+			\item В силу компактности, $\{\phi_k\}_{k = 1}^n$ --- равномерно непрерывные функции, то есть
+			\[
+				\forall \eps > 0\ \exists \delta_k > 0 \such \forall x, y \in X,\ \rho(x, y) < \delta_k\ \ |\phi_kx - \phi_ky| < \eps
+			\]
+		\end{enumerate}
+		Положим $\delta := \min_{k \in \range{1}{n}} \delta_k$. Тогда оценку получить несложно:
+		\[
+			|fx - fy| \le |fx - \phi_k x| + |\phi_k x - \phi_k y| + |\phi_k y - fy| < 3\eps
+		\]
+
+		\item[$\La$] 
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\section{Линейно нормированные пространства}
+
+\begin{exercise}
+	Пусть $E$ --- линейно нормированное пространство над $K$, $M = \tbr{e_1, \ldots, e_n}$
+\end{exercise}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/main.tex

@@ -17,4 +17,5 @@
     \input{lectures/3lecture}
     \input{lectures/4lecture}
     \input{lectures/5lecture}
+    \input{lectures/6lecture}
 \end{document}

config.json

@@ -24,8 +24,8 @@
     "!l/3/Discrete_Analysis/2022_Raigorodsky",
     "!l/4/Discrete_Analysis/2023_Raigorodsky",
     "!l/4/Calculus/2023_Lukashov",
-    "l/4/Probability_Theory/2023_Shabanov",
-    "!l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov",
+    "!l/4/Probability_Theory/2023_Shabanov",
+    "l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov",
     "!l/5/Statistics/2023_Savelov"
   ]
 }