Made a lot of fixes

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Утверждение теоремы эквивалентно тому, что единичная сфера в пространстве $\ker A_\lambda$ компактна. Это будет доказано, если мы покажем, как выделить из любой последовательности сходящуюся подпоследовательность. Пусть $x_n \in S \subseteq \ker A_\lambda$. Отсюда $\|x_n\| = 1$ и $Ax_n = \lambda x_n$. Более того, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченное множество, а значит $\{Ax_n\}_{n = 1}^\infty$ --- предкомпакт. Стало быть, существует сходящаяся подпоследовательность $\lim_{k \to \infty} Ax_{n_k} = y$. В силу того, что мы можем раскрыть образ через $x_{n_k}$, получим следующее:
+	Утверждение теоремы эквивалентно тому, что единичная сфера в пространстве $\ker A_\lambda$ компактна. Это будет доказано, если мы покажем, как выделить из любой последовательности сходящуюся подпоследовательность. Пусть $x_n \in S(0, 1) \subseteq \ker A_\lambda$. Отсюда $\|x_n\| = 1$ и $Ax_n = \lambda x_n$. Более того, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$ --- ограниченное множество, а значит $\{Ax_n\}_{n = 1}^\infty$ --- предкомпакт. Стало быть, существует сходящаяся подпоследовательность $\lim_{k \to \infty} Ax_{n_k} = y$. В силу того, что мы можем раскрыть образ через $x_{n_k}$, получим следующее:
 	\[
 		\lim_{k \to \infty} \lambda x_{n_k} = y \Lra \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \frac{1}{\lambda}y
 	\]
@@ -54,7 +54,7 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе
 \end{theorem}
 
 \begin{note}
-	Отметим, что подобную теорему мы уже доказали для самосопряженных операторов --- это теорема \ref{sao_fred_th}. Теперь же, если добавить требование компактности $A$, то мы можем убрать черту над образом $A_\lambda$
+	Отметим, что подобную теорему мы уже доказали для самосопряженных операторов --- это теорема \ref{sao_fred_th}. Теперь же, если добавить требование компактности $A$, то мы можем убрать замыкание образа $A_\lambda$
 \end{note}
 
 \begin{lemma} \label{simple_spectre}
@@ -91,9 +91,9 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе
 \begin{proof}
 	Применим лемму об инвариантности. Заметим, что $M = \ker A_\lambda$ инвариантен относительно $A$, а значит и $M^\bot = \cl(\im A_\lambda)$ инвариантен относительно $A$. Рассмотрим сужение $\wdt{A} = A|_{\cl(\im A_\lambda)}$ (<<понять это невозможно, можно только запомнить>>). Это тоже компактный самосопряжённый оператор, действующий из $\cl(\im A_\lambda)$ в само себя. Если мы покажем, что $\wdt{A}$ сюръективен, то это будет доказательство исходного утверждения. В самом деле, если это так, то $\cl(\im A_\lambda) = A_\lambda(\cl(\im A_\lambda)) \subseteq \im A_\lambda$. Итак, заметим, что у $\wdt{A}$ нет собственных векторов, соответствующих $\lambda$. Это так, ибо
 	\[
-		\wdt{A}_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)}
+		(\wdt{A})_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)}
 	\]
-	А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные значения $A_\lambda$ лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $\wdt{A}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность.
+	А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные вектора лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $\wdt{A}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность.
 \end{proof}
 
 \begin{proof} (теоремы)

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/11lecture.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 	\[
 		|\lambda_1| \ge |\lambda_2| \ge |\lambda_3| \ge \ldots
 	\]
-	Пусть $v_n$ --- нормированный собственный вектор, соответствующий $\lambda_n$ (для $\lambda_n = \lambda_m$, очевидно, берём ортонормированные вектора базиса подпространства). Образуем ортонормированную систему $\{e_n\}_{n = 1}^\infty$, полученную перенумерованием (при необходимости) векторов $v_n$ и добавлением собственных векторов, соответствующих $\lambda = 0$ (в случае, если оно является собственным значением). Так как мы находимся в сепарабельном пространстве, то для того, чтобы эта система была базисом, достаточно доказать её полноту. Обозначим $M = \cl([\{e_n\}_{n = 0}^\infty])$. Коль скоро это подпространство, можно применить теорему о проекции:
+	Пусть $v_n$ --- нормированный собственный вектор, соответствующий $\lambda_n$ (для $\lambda_n = \lambda_m$ берём ортонормированные вектора базиса подпространства). Образуем ортонормированную систему $\{e_n\}_{n = 1}^\infty$, полученную перенумерованием (при необходимости) векторов $v_n$ и добавлением собственных векторов, соответствующих $\lambda = 0$ (в случае, если оно является собственным значением). Так как мы находимся в сепарабельном пространстве, то для того, чтобы эта система была базисом, достаточно доказать её полноту. Обозначим $M = \cl([\{e_n\}_{n = 0}^\infty])$. Коль скоро это подпространство, можно применить теорему о проекции:
 	\[
 		M \oplus M^\bot = H
 	\]
@@ -34,14 +34,14 @@
 		\begin{itemize}
 			\item $\lambda \neq 0$. Тогда $A_\lambda x = 0$ имеет конечный базис решений. Чтобы получить общее решение $A_\lambda x = y$, нужно найти частное решение и сложить его с комбинацией этой системы (формула координат из предыдущего пункта верна, но при $\lambda_n = \lambda$ просто имеется неоднозначность, которую закрывает базис решений однородной части).
 
-			\item $\lambda = 0$
+			\item $\lambda = 0$. Либо $0 \in \sigma_p(A)$ и тогда может быть базис решений любой размерности, либо $0 \in \sigma_c(A)$ и мы можем бесконечно близко приближаться решением к $y$.
 		\end{itemize}
 
 		\item Структура $\sigma(A)$: $0 \in \sigma(A)$. Возможно только 2 случая:
 		\begin{enumerate}
 			\item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- бесконечное число собственных ненулевых значений. Тогда либо $0 \in \sigma_p(A)$, либо $0 \in \sigma_c(A)$
 
-			\item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- конечное число собственных ненулевых значений. Тогда $0 \in \sigma_p(A)$, причём это собственное значение бесконечной кратности
+			\item $\{\lambda_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq \sigma_p(A) \bs \{0\}$ --- конечное число собственных ненулевых значений. Тогда $0 \in \sigma_p(A)$, причём это собственное значение бесконечной кратности (в силу теоремы Гильберта-Шмидта)
 		\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
 \end{note}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex

@@ -90,7 +90,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа}
 \begin{proof} \textcolor{red}{(не по лектору)}
 	Достаточно расписать разность, чтобы увидеть, как $F$ появится в нужном слагаемом:
 	\[
-		F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h)
+		F[x_0 + h] - F[x_0] = F[h]
 	\]
 \end{proof}
 
@@ -144,15 +144,15 @@ \section{Элементы нелинейного анализа}
 	\]
 	Аналогично запишем для $G$:
 	\[
-		G(y_0 + t) - G(y_0) = \Delta G = G'(y_0)\Delta y + \underbrace{\eps_2(\Delta y)}_{\in Z}\|\Delta y\|
+		G(y_0 + t) - G(y_0) = \Delta G = G'(y_0)\Delta y + \underbrace{\eps_2(\Delta y)}_{\in Z}\|\Delta y\|,\ \lim_{\Delta y} \eps_2(\Delta y) = 0
 	\]
 	В силу непрерывности, мы можем рассмотреть $t = F(x_0 + h) - F(x_0)$. Тогда $t \to 0$ при $h \to 0$. Более того, мы можем подставить первую формулу во вторую:
 	\[
 		\Delta G = G'(y_0)\sbr{F'(x_0)\Delta x + \eps_1(\Delta x)\|\Delta x\|} + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\|, h \to 0
 	\]
 	Если мы покажем, что $G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)\|\Delta x\|] + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\| = o(\|\Delta x\|)$, то всё будет доказано. А это действительно так, разберёмся с каждым слагаемым отдельно. Для первого квадратные скобки (конкретно тут) говорят нам о том, что оператор $G'(y_0)$ линеен, и даже непрерывен. Отсюда
 	\[
-		\Delta G = G'(y_0)F'(x_0)\Delta x + G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)]\|\Delta x\| + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\|, h \to 0
+		\Delta G = G'(y_0)F'(x_0)\Delta x + \underbrace{G'(y_0)[\eps_1(\Delta x)]\|\Delta x\|}_{o(\|\Delta x\|)} + \eps_2(\Delta y)\|\Delta y\|, h \to 0
 	\]
 	Для второго --- распишем $\|\Delta y\|$:
 	\[
@@ -204,7 +204,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа}
 \end{note}
 
 \begin{theorem} (о среднем)
-	Пусть $D \subseteq E_1$ --- линейно связанное открытое множество, $F$ --- дифференцируема по Фреше на $D$. Тогда верно неравенство:
+	Пусть $D \subseteq E_1$ --- выпуклое открытое множество, $F$ --- дифференцируема по Фреше на $D$. Тогда верно неравенство:
 	\[
 		\forall x_0, x_1 \in D\ \ \|F(x_1) - F(x_0)\| \le \sup_{y \in s(x_0, x_1)} \|F'(y)\| \cdot \|x_1 - x_0\|
 	\]

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex

@@ -53,7 +53,7 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$}
 	\]
 \end{proposition}
 
-\begin{reminder} (следствие)
+\begin{reminder} (следствие теоремы Фубини)
 	Пусть $f \colon \R \to \R$ --- измеримая функция, причём конечен хотя бы один из интегралов
 	\[
 		\int_\R \int_\R |f(x, y)|d\mu(y)d\mu(x) < \infty \vee \int_\R \int_\R |f(x, y)|d\mu(x)d\mu(y) < \infty
@@ -68,7 +68,7 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$}
 	\]
 	Покажем, что мы можем переставить интегралы (по следствию теоремы Фубини). Для этого оценим повторный интеграл:
 	\begin{multline*}
-		\int_Y \int_\R |f(y)g(x)e^{-xy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_Y \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le
+		\int_Y \int_\R |f(y)g(x)e^{-ixy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_Y \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le
 		\\
 		\|g\|_1\int_Y |f(y)|d\mu(y) \le \|f\|_1\|g\|_1
 	\end{multline*}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex

@@ -45,7 +45,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 \end{reminder}
 
 \begin{proposition}
-	Преобразование Фурье продолжается на $L_2$. Более того, $F[L_1] \subseteq S$.
+	Преобразование Фурье продолжается на $L_2(\R)$. Более того, \\ $F[L_2(\R)] \subseteq S$.
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
@@ -69,12 +69,16 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 		\item Распишем скалярное произведение с использованием \textit{формулы обращения} (она идёт без доказательства):
 		\begin{multline*}
-			(f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) =
+			(f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) =
 			\\
-			\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g})
+			\int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g})
 		\end{multline*}
 
-		\item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. \textcolor{red}{Доказать?}
+		\item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. Заметим связь между прямым и обратным преобразованием Фурье:
+		\[
+			F[f]y = \wdh{f}(y) = \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = \int_\R f(x)e^{ix(-y)}d\mu(x) = \check{f}(-y)
+		\]
+		Так как преобразование Фурье биективно, можно применить его к полученному равенству и получить требуемое.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -94,12 +98,11 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 		\item Если бы это было так, то у преобразования Фурье точечный спектр лежал бы на вещественной прямой. Однако из уравнения следует, что $\sigma_p(F) \supseteq \{\pm 1, \pm i\}$.
 	\end{enumerate}
-	Тривиальное следствие из $F^4 = I$.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition} (Теорема Планшереля, 1910г.)
 	\begin{enumerate}
-		\item Преобразовние Фурье осуществляет биекцию на $L_2(\R)$ и даже изометрию. В частности, $\|f\|_2^2 = \|\wdh{f}\|_2^2$
+		\item Преобразование Фурье осуществляет биекцию на $L_2(\R)$ и даже изометрию. В частности, $\|f\|_2^2 = \|\wdh{f}\|_2^2$
 
 		\item Определим $g_N(y)$ как своего рода \textit{срезку преобразования Фурье}:
 		\[

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex

@@ -140,7 +140,7 @@ \section{Слабая сходимость}
 \end{proof}
 
 \begin{anote}
-	В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $c$ --- сходящиеся последовательности, сходящиеся к нулю. Известно, что $c^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>:
+	В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $\ell_\infty$ --- ограниченные последовательности. Известно, что $\ell_\infty^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>:
 	\[
 		x_n \wto x \Lolra \forall y \in \ell_1\ \ \phi_y(x_n) = \sum_{k = 1}^\infty x_n^ky_k \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum_{k = 1}^\infty x^ky_k = \phi_y(x)
 	\]
@@ -159,11 +159,9 @@ \section{Слабая сходимость}
 	\[
 		x_n \xrightarrow[n \to \infty]{h} x \Lra \forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y)
 	\]
-	Тогда эта сходимость не является метризуемой. \textcolor{red}{Нужно дать определение метризуемости, если этого не сделает лектор}
+	Тогда эта сходимость не является метризуемой.
 \end{theorem}
 
-\textcolor{red}{Наверное, надо какое-то введение к дальнейшему тут оформить}
-
 \begin{theorem}
 	Между пространствами $E$ и $E^{**}$ существует изометрия $\pi$, чей вид явно записывается так:
 	\[