Started new semester of Functional Analysis

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/info.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\section*{Предупреждение}
+
+Единственный, кто несёт ответственность материал в этом конспекте --- его автор. Он не может гарантировать верность ни утверждений, ни приведённых доказательств, однако старается исправлять все поступающие замечания по мере сил.
+
+Если вы увидели несостыковки либо ошибки, то смело сообщайте (имя автора на титульной странице кликабельно).
+
+\section*{Обозначения}
+
+Всюду в конспекте приняты однозначные обозначения и соглашения следующего толку:
+
+\begin{itemize}
+	\item $S_1 \subset S_2$ означает строгое вложение множеств (у лектора $\subsetneq$)
+
+	\item $S_1 \subseteq S_2$ означает нестрогое вложение множеств (у лектора $\subset$)
+
+	\item $\cl S$, $\ole{S}$ --- замыкание множества $S$ (у лектора только $\ole{S}$)
+
+	\item $[S]$ --- линейная оболочка множества $S$ (у лектора то же самое)
+\end{itemize}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex

@@ -0,0 +1,166 @@
+\setcounter{section}{6}
+\section{Слабая сходимость}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $E$ --- линейное нормированное пространство, $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq E$. Последовательность $x_n$ \textit{слабо сходится к} $x$, если
+	\[
+		\forall f \in E^*\ \ f(x_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)
+	\]
+	Обозначется как $x_n \wto x$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	В гильбертовом пространстве $H$ есть эквивалентное определение:
+	\[
+	x_n \wto x \Lra \forall y \in H\ \ (x_n, y) \xrightarrow[n \to \infty]{} (x, y)
+	\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Тривиально по теореме Рисса-Фреше.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Если последовательность $x_n$ слабо сходится, то предел единственен.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Пусть $x', x''$ --- два предела по слабой сходимости последовательности $x_n$. По условию:
+	\[
+		\forall f \in E^*\ \ f(x') = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x'')
+	\]
+	По следствию 3 теоремы Хана-Банаха такое возможно только в том случае, когда $x' = x''$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Из сходимости $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ следует слабая сходимость $x_n \wto x$. Обратное неверно только в том случае, когда $\dim E = \infty$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item[$\Ra$] Рассмотрим $f \in E^*$. Тогда:
+		\[
+			|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \le \|f\| \cdot \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
+		\]
+
+		\item[$\La$] Теперь $\dim E < \infty$. Тогда, существует базис $e$. Заметим, что функционалы координат (то есть такие функционалы, которые на вход $x$ выдают координату по соответствующему вектору базиса) лежат в $E^*$. Стало быть, есть покоординатная сходимость, а она соответствует норме $l_\infty$, которая эквивалентна (в силу конечной размерности) исходной норме $E$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Покажем случай $\dim E = \infty$, когда утверждение выше не работает. Рассмотрим пространство $l_2$, за последовательность возьмём просто базис:
+	\[
+		e_n = (\underbrace{0, \ldots, 0}_{n}, 1, 0, \ldots)
+	\]
+	Тогда очевидно, что эта последовательность никуда не сходится: попарное расстояние между элементами всегда равно $\sqrt{2}$. При этом, воспользуемся тем фактом, что $l_2$ гильбертово, и посмотрим слабую сходимость:
+	\[
+		\forall y \in l_2\ \ (e_n, y) = y_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 = (0, y)
+	\]
+	Предельный переход работает, коль скоро верно равенство Парсеваля. Стало быть, есть слабая сходимость к нулю, но нет сходимости по норме.
+\end{example}
+
+\begin{problem}
+	Пусть $x_n \in \ole{B}(0, R)$, причём $x_n \wto x$. Тогда $x \in \ole{B}(0, R)$.
+\end{problem}
+
+\begin{proof}
+	Разберём две разные ситуации
+	\begin{itemize}
+		\item $E = H$ --- гильбертово пространство. Тогда, в силу эквивалентного определения
+		\[
+			\forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y) \Ra \lim_{n \to \infty} |(x_n, y)| = |(x, y)|
+		\]
+		Если мы сможем оценить $|(x_n, y)|$, то такая же оценка верна и для предела в силу предельного перехода:
+		\[
+			|(x_n, y)| \le \|x_n\| \cdot \|y\| \le R\|y\| \Ra |(x, y)| \le R\|y\|
+		\]
+		Так как неравенство КБШ достигается, то должно быть верно неравенство $|(x, y)| \le \|x\| \cdot \|y\| \le R\|y\|$, то есть $\|x\| \le R$.
+
+		\item $E$ --- произвольное линейное нормированное пространство. Здесь у нас нет права пользоваться теоремой Рисса-Фреше, но, тем не менее, есть теорема Хана-Банаха и её следствия. Согласно второму следствию:
+		\[
+			\forall x \in E \bs \{0\}\ \exists f_0 \in E^* \such \|f_0\| = 1 \wedge f_0(x) = \|x\|
+		\]
+		В силу слабой сходимости:
+		\[
+			\forall f \in E^*\ \ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x) \Ra \lim_{n \to \infty} |f(x_n)| = |f(x)| \Ra \lim_{n \to \infty} |f_0(x_n)| = |f_0(x)| = \|x\|
+		\]
+		При этом $|f_0(x_n)| \le \|f_0\| \cdot \|x_n\| \le 1 \cdot R$, а отсюда уже тривиально по предельному переходу в неравенстве.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem} (Мазура, 1933г., без доказательства)
+	Пусть $S \subseteq E$ --- выпуклое замкнутое множество, $x_n \wto x$, причём $x_n \in S$. Тогда $x \in S$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proposition} (Связь сходимости по норме и слабой сходимости)
+	Последовательность $x_n$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда она слабо сходится к $x$ и есть сходимость норм $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}~
+	\begin{itemize}
+		\item[$\Ra$] Повторим уже известные рассуждения:
+		\begin{itemize}
+			\item Для слабой сходимости всё есть из того факта, что рассматриваются $f \in E^*$:
+			\[
+				\forall f \in E^*\ \ \|f(x_n) - f(x)\| = \|f(x_n - x)\| \le \|f\| \cdot \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
+			\]
+
+			\item Для сходимости норм вспомним неравенство:
+			\[
+				\big|\|x_n\| - \|x\|\big| \le \|x_n - x\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
+			\]
+		\end{itemize}
+
+		\item[$\La$] \textcolor{red}{Проведём доказательство в случае гильбертова пространства $E = H$.} По определению, нужно показать следующее:
+		\[
+			\forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|x_n - x\| < \eps
+		\]
+		Распишем $\|x_n - x\|^2$ через скалярное произведение:
+		\[
+			\|x_n - x\|^2 = \|x_n\|^2 + \|x\|^2 - (x_n, x) - (x, x_n)
+		\]
+		Так как оценка КБШ точная, а скалярное произведение $f(x_n) = (x_n, x)$ является линейной непрерывной функцией, то есть сходимость $\lim_{n \to \infty} (x_n, x) = \|x\|^2$. Стало быть
+		\[
+			\|x_n - x\|^2 \xrightarrow[n \to \infty]{} 2\|x\|^2 - 2\|x\|^2 = 0
+		\]
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\textcolor{red}{Тут должна быть картинка с нормами и сходимостями, 1 лекция 1:04:00}
+
+\begin{theorem} (фон Неймана, без доказательства)
+	Пусть $H$ --- гильбертово пространство, причём $\dim H = \infty$. Рассмотрим сходимость $x_n \xrightarrow{h} x$ \textcolor{red}{(лектор не давал обозначения, просто я ввёл для формулировки)} следующего вида:
+	\[
+		x_n \xrightarrow[n \to \infty]{h} x \Lra \forall y \in H\ \ \lim_{n \to \infty} (x_n, y) = (x, y)
+	\]
+	Тогда эта сходимость не является метризуемой. \textcolor{red}{Нужно дать определение метризуемости, если этого не сделает лектор}
+\end{theorem}
+
+\textcolor{red}{Наверное, надо какое-то введение к дальнейшему тут оформить}
+
+\begin{theorem}
+	Между пространствами $E$ и $E^{**}$ существует изометрия $\pi$, чей вид явно записывается так:
+	\[
+		\forall x \in E, f \in E^*\ \ \pi(x)(f) := f(x)
+	\]
+\end{theorem}
+
+\begin{anote}
+	В курсе Алгебры и Геометрии мы установили, что в конечномерном случае отображение выше задаёт \textit{канонический изоморфизм}.
+\end{anote}
+
+\begin{proof}
+	Определим элемент $\pi(x)$ поточечно, согласно утверждению теоремы. Тогда мы тривиально получим линейное отображение, для которого остаётся лишь установить равенство норм:
+	\[
+		\|\pi(x)\| = \sup_{\|f\| = 1} |\pi(x)(f)| = \sup_{\|f\| = 1} |f(x)| = \|x\|
+	\]
+	Последний переход сделан по следствию 4 теоремы Хана-Банаха
+\end{proof}
+
+\begin{note}
+	Далее для обозначения $\pi(x)$ мы будем использовать более лаконичное $F_x$.
+\end{note}
+
+\begin{definition}
+	Если $E = E^{**}$ (в смысле наличия изоморфизма), то пространство $E$ называется \textit{рефлексивным}.
+\end{definition}