Made fixes in Functional Analysis and Statistics

Lectures/5_Semester/Statistics/2023_Savelov/lectures/10lecture.tex

@@ -139,11 +139,11 @@ \subsection{Метод Наименьших Квадратов (МНК)}
 \begin{proof}
 	По доказанному, $\E (X - Z\wh{\theta}(X)) = 0$. Стало быть, $\E \|X - Z\wh{\theta}(X)\|^2 = \Tr D(X - Z\wh{\theta}(X))$. Осталось расписать матрицу ковариаций в явном виде:
 	\begin{multline*}
-		D(X - Z\wh{\theta}(X)) = D\big((E_n - \underbrace{Z(Z^TZ)^{-1}Z}_{A})X\big) = (E_n - A) DX (E_n - A)^T = [A^T = A] =
+		D(X - Z\wh{\theta}(X)) = D\big((E_n - \underbrace{Z(Z^TZ)^{-1}Z^T}_{A})X\big) = (E_n - A) DX (E_n - A)^T = [A^T = A] =
 		\\
 		\sigma^2 (E_n - A)^2 = \sigma^2(E_n - 2A + A^2) = [A^2 = A] = \sigma^2(E_n - A)
 	\end{multline*}
-	Подставим полученное выражение в матожидание (при этом \\ $A = Z(Z^TZ)^{-1}Z = ZZ^{-1}Z^{-T}Z = Z^{-T}Z$):
+	Подставим полученное выражение в матожидание:
 	\[
 		\E \|X - Z\wh{\theta}(X)\|^2 = \sigma^2(n - \Tr A) = \sigma^2(n - k)
 	\]

Lectures/5_Semester/Statistics/2023_Savelov/lectures/4lecture.tex

@@ -215,7 +215,7 @@ \subsubsection*{Метод выборочных квантилей}
 	\begin{enumerate}
 		\item (Разбираемся с плотностью) Запишем $\eta_n$ в более удобном виде:
 		\[
-			\eta_n = (z_{n, p} - z_n)\sqrt{\frac{nf^2(z_p)}{p(1 - p)}}
+			\eta_n = (z_{n, p} - z_p)\sqrt{\frac{nf^2(z_p)}{p(1 - p)}}
 		\]
 		Заметим, что $\eta_n$ является линейной комбинацией от $X_{(k)}$, чью плотность мы знаем. Стало быть, если $t_n(x) = z_p + \frac{x}{f(z_p)}\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ (функция, переводящая $x$ из $F_\eta(x)$ в соответствующий параметр $F_{X_{(k)}}$), то имеет место равенство:
 		\[

Lectures/5_Semester/Statistics/2023_Savelov/lectures/6lecture.tex

@@ -219,7 +219,7 @@ \subsubsection{Среднеквадратический подход}
 
 		\item[$\supseteq$] Итак, $\hat{\tau}(X)$ --- эффективная оценка для $\tau(\theta)$. Нужно проверить, что и $\hat{v}(X) = a\hat{\tau}(X) + b$ является эффективной оценкой для $v(\theta) = a\tau(\theta) + b$. Простыми манипуляциями преобразуем уже имеющийся критерий эффективности для $\hat{\tau}(X)$ так, чтобы он соответствовал $\hat{v}(X)$:
 		\[
-			\hat{\tau}(X) = \tau(\theta) + c(\theta)U_\theta(X) \Ra (a\hat{\tau(X)} + b) = (a\tau(\theta) + b) + (ac(\theta))U_\theta(X)
+			\hat{\tau}(X) = \tau(\theta) + c(\theta)U_\theta(X) \Ra (a\hat{\tau}(X) + b) = (a\tau(\theta) + b) + (ac(\theta))U_\theta(X)
 		\]
 		Получили верный критерий эффективности для $\hat{v}(X)$, что завершает доказательство.
 	\end{itemize}

Lectures/5_Semester/Statistics/2023_Savelov/lectures/7lecture.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
 \begin{example}
 	Рассмотрим распределение $\Gamma(\alpha, \beta)$. Оно принадлежит к экспоненциальному семейству:
 	\[
-		p_{\alpha, \beta}(x) = \frac{\alpha^\beta x^{\beta - 1}}{\Gamma(\beta)} e^{-\alpha x} \chi\{x > 0\} = \frac{1}{x}\chi\{x > 0\} \cdot \exp\ps{\beta \ln x - \alpha x + \ln \frac{\alpha \beta}{\Gamma(\beta)}}
+		p_{\alpha, \beta}(x) = \frac{\alpha^\beta x^{\beta - 1}}{\Gamma(\beta)} e^{-\alpha x} \chi\{x > 0\} = \frac{1}{x}\chi\{x > 0\} \cdot \exp\ps{\beta \ln x - \alpha x + \ln \frac{\alpha^\beta}{\Gamma(\beta)}}
 	\]
 \end{example}
 

Lectures/5_Semester/Statistics/2023_Savelov/lectures/9lecture.tex

@@ -100,7 +100,7 @@ \subsection{Метод максимального правдоподобия}
 
 		\item Существует равномерная интегрируемая оценка сверху в некотором интервале вокруг любого параметра $\theta_0 \in \Theta$:
 		\[
-			\forall \theta_0 \in \Theta\ \exists c > 0, H(x) \such \E_\theta H(X) < \infty \wedge \forall \theta \in (\theta_0 - c; \theta_0 + c),\ x \in A\ \ \md{\pd{^3}{\theta^3} \ln p_\theta(x)} < H(x)
+			\forall \theta_0 \in \Theta\ \exists c > 0, H(x) \such \E_{\theta_0} H(X) < \infty \wedge \forall \theta \in (\theta_0 - c; \theta_0 + c),\ x \in A\ \ \md{\pd{^3}{\theta^3} \ln p_\theta(x)} < H(x)
 		\]
 	\end{enumerate}
 \end{note}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex

@@ -93,12 +93,21 @@ \section{Слабая сходимость}
 \end{theorem}
 
 \begin{proposition} (Связь сходимости по норме и слабой сходимости)
-	Последовательность $x_n$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда она слабо сходится к $x$ и есть сходимость норм $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$.
+	Пусть $x_n, x \in E$. Тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item Из сходимости $x_n \to x$ всегда следует, что $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$
+
+		\item Если $E$ --- гильбертово пространство, то из слабой сходимости $x_n \wto x$ и предела $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$ следует сходимость $x_n \to x$
+	\end{enumerate}
 \end{proposition}
 
+\begin{anote}
+	Таким образом, в случае гильбертова пространства у нас есть явный критерий сходимости через слабую сходимость.
+\end{anote}
+
 \begin{proof}~
-	\begin{itemize}
-		\item[$\Ra$] Повторим уже известные рассуждения:
+	\begin{enumerate}
+		\item Повторим уже известные рассуждения:
 		\begin{itemize}
 			\item Для слабой сходимости всё есть из того факта, что рассматриваются $f \in E^*$:
 			\[
@@ -111,7 +120,7 @@ \section{Слабая сходимость}
 			\]
 		\end{itemize}
 
-		\item[$\La$] \textcolor{red}{Проведём доказательство в случае гильбертова пространства $E = H$.} По определению, нужно показать следующее:
+		\item По определению, нужно показать следующее:
 		\[
 			\forall \eps > 0\ \exists N \in \N \such \forall n \ge N\ \ \|x_n - x\| < \eps
 		\]
@@ -123,9 +132,22 @@ \section{Слабая сходимость}
 		\[
 			\|x_n - x\|^2 \xrightarrow[n \to \infty]{} 2\|x\|^2 - 2\|x\|^2 = 0
 		\]
-	\end{itemize}
+	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
+\begin{anote}
+	В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $c$ --- сходящиеся последовательности, сходящиеся к нулю. Известно, что $c^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>:
+	\[
+		x_n \wto x \Lolra \forall y \in \ell_1\ \ \phi_y(x_n) = \sum_{k = 1}^\infty x_n^ky_k \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum_{k = 1}^\infty x^ky_k = \phi_y(x)
+	\]
+	Рассмотрим базис с $e_0 = (1, 1, \ldots)$ и $e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$ (единица стоит в $n$-й позиции). Несложно понять, что $x_n = e_0 - e_n$ должен хотя бы слабо сходится к $x = e_0$, при этом $\|x_n\| = \|x\| = 1$, тем самым предел по норме $c$ уже имеется. Проверим сходимости:
+	\begin{itemize}
+		\item $|\phi_y(x) - \phi_y(x_n)| = |\phi_y(x - x_n)| = |\phi_y(e_n)| = |y_n| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ --- слабая сходимость есть
+
+		\item $\|x - x_n\| = \|e_n\| = 1$ --- сходимости по норме $c$ нет и быть не может
+	\end{itemize}
+\end{anote}
+
 \textcolor{red}{Тут должна быть картинка с нормами и сходимостями, 1 лекция 1:04:00}
 
 \begin{theorem} (фон Неймана, без доказательства)

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex

@@ -10,6 +10,8 @@
 \begin{proof}
 	Перейдём к рассмотрению операторов $F_{x_n}, F_x \in E^*$. Тогда слабая сходимость $x_n \wto x$ по определению является поточечной сходимостью $F_{x_n}(f) \to F_x(f)$. Из условия:
 	\begin{itemize}
+		\item Пространство $E^*$ полно
+
 		\item Нормы $\|F_{x_n}\| = \|x_n\|$ ограничены
 
 		\item $\exists S \subseteq E^* \such \cl [S] = E^* \wedge \forall f \in S\ \ F_{x_n}(f) \to F_x(f)$
@@ -18,9 +20,13 @@
 \end{proof}
 
 \begin{note}
-	Условия для слабой сходимости можно ослабить. Достаточно потребовать не $f(x_n) \to f(x)$ (и соответственно знания конкретного $x$), а существования предела $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$. В предыдущем семестре мы доказали теорему о полноте относительно поточечной сходимости (её нужно применить к $F_{x_n}$ и $F_x$)
+	\textcolor{red}{В случае рефлексивности и банаховости пространства $E$} условие для слабой сходимости можно ослабить. Достаточно потребовать не $f(x_n) \to f(x)$ (и соответственно знания конкретного $x$), а существования предела $\lim_{n \to \infty} f(x_n)$. В предыдущем семестре мы доказали теорему о полноте относительно поточечной сходимости (её нужно применить к $F_{x_n}$ и $F_x$).
 \end{note}
 
+\begin{anote}
+	Ради пущего убеждения, напишу здесь явно доказательство слабой версии, а точнее доказательство существования нужного $x$.
+\end{anote}
+
 \begin{theorem}
 	Пусть $E_1, E_2$ --- нормированные пространства, $x_n, x \in E_1$, причём $x_n \wto x$, а также $A \in \cL(E_1, E_2)$. Тогда, есть слабая сходимость образов $Ax_n \wto Ax$.
 \end{theorem}

config.json

@@ -26,7 +26,7 @@
     "!l/4/Calculus/2023_Lukashov",
     "!l/4/Probability_Theory/2023_Shabanov",
     "!l/5/Functional_Analysis/2023_Konovalov",
-    "!l/5/Statistics/2023_Savelov",
+    "l/5/Statistics/2023_Savelov",
     "l/6/Functional_Analysis/2024_Konovalov"
   ],
   "66golden": [