Finished lectures up to the 5th

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/2lecture.tex

@@ -94,20 +94,12 @@ \subsubsection*{Связь метрического пространства с
 
 		\item Настало время воспользоваться леммой для внутренностей. Если $x \in \Int M$, то по определению $\exists r > 0 \such B(x, r) \subseteq M$. Применив к этим множествам лемму, имеем $B(x, r) = \Int B(x, r) \subseteq \Int M$, что и требовалось показать.
 
-		\item \textcolor{red}{Дописать прямое доказательство}
+		\item Заметим тривиальную \textit{микродвойственность}: точка $x \in X$ не лежит в замыкании $M$ тогда и только тогда, когда она лежит во внутренности $X \bs M$. Этот факт позволяет заявить, что $\cl M \sqcup \Int (X \bs M) = X$, а так как $\Int (X \bs M)$ по доказанному является открытым множеством, то в силу теоремы о двойственности мы тривиально имеем требуемое.
 
 		\item Тривиально. Для точек на расстоянии $< r$ мы уже всё знаем по первому пункту, а для тех, у кого расстояние $= r$, достаточно сказать, что всегда есть точки на пересечении отрезка от $x$ до $y$ и шара с центром в рассматриваемой точке.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{anote}
-	Замкнутость замыкания множества можно было доказать и проще. Предположим противное. Тогда:
-	\[
-		\exists x \in \cl M, r > 0 \such B(x, r) \cap \cl M = \emptyset
-	\]
-	Но из вложения $M \subseteq \cl M$ моментально следует, что $B(x, r) \cap M = \emptyset$, то есть $x \notin \cl M$, противоречие.
-\end{anote}
-
 \begin{proposition}
 	Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство. Всегда верно, что \\ $\ole{B(x, r)} \subseteq \ole{B}(x, r)$, но равенство выполнено не всегда.
 \end{proposition}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/3lecture.tex

@@ -1,39 +1,117 @@
- \textcolor{red}{Дописать первый час лекции}
-
- \section{Полные метрические пространства}
+\begin{definition}
+	Пусть $X, Y$ --- топологические пространства. Тогда мы говорим, что они \textit{гомеоморфны}, если существует функция $f \colon X \to Y$ такая, что она удовлетворяет двум свойствам:
+	\begin{enumerate}
+		\item $f$ --- биекция
+
+		\item $f, f^{-1}$ непрерывны на всём своем пространстве
+	\end{enumerate}
+	Гомеоморфизм топологических пространств обозначается как $X \simeq Y$
+\end{definition}
+
+\begin{exercise}
+	Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство. Тогда $x \in X$ --- точка прикосновения множества $M$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\{m_k\}_{k = 1}^\infty \subseteq M$ такая, что $\lim_{k \to \infty} m_k = x$
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}
+	В метрическом пространстве определение предела через шары и произвольные открытые множества эквивалентны.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}
+	Если $(X, \Tau)$ --- связное топологическое пространство и $f \colon X \to Y$ --- непрерывное отображение в тоже топологическое пространство $Y$, то $f(X)$ является связаным топологическим пространством.
+\end{exercise}
 
- \begin{definition}
- 	Метрическое пространство $X$ называется \textit{полным}, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится
- \end{definition}
+\section{Полные метрические пространства}
+
+\begin{definition}
+	Метрическое пространство $X$ называется \textit{полным}, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится
+\end{definition}
 
-\begin{example}
-	\textcolor{red}{Тут должны быть примерчики разных пространств}
+\begin{example}~
+	\begin{itemize}
+		\item Полные метрические пространства:
+		\begin{itemize}
+			\item $\R$
+
+			\item $\Cm$
+
+			\item $L_p[a; b],\ p \ge 1$
+		\end{itemize}
+
+		\item Неполные метрические пространства:
+		\begin{itemize}
+			\item $\Q$
+
+			\item $C_p[a; b],\ p \ge 1$
+		\end{itemize}
+	\end{itemize}
 \end{example}
 
-\begin{theorem}
+\begin{theorem} (Принцип вложенных шаров)
 	Пусть $(X, \rho)$ --- полное метрическое пространство, а $\{\ole{B}_n(x_n, r_n)\}_{n = 1}^\infty$ --- последовательность замкнутых вложенных шаров, $r_n \to 0$. Тогда существует и единственна точка $x \in \bigcap_{n = 1}^\infty \ole{B}_n$.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Интуитивно понятно, что к $x$ должна сходиться последовательность центров шаров. Действительно, покажем существование такого предела. В силу полноты $X$, нам достаточно показат фундаментальность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$. Итак, рассмотрим расстояние:
-	\[
-		\rho(x_{n + p}, x_n) \le r_n
-	\]
-	Осталось воспользоваться условием, что $r_n \to 0$, и фундаментальность тривиально установлена. Пусть $x = \lim_{n \to \infty} x_n$. Если мы снова посмотрим на оценку выше и устремим $p$ в бесконечность (в силу сходимости это уже можно), то получится замечательный факт:
+	Интуитивно понятно, что к гипотетической точке $x$ должна сходиться последовательность центров шаров. Действительно, покажем существование такого предела. В силу полноты $X$, нам достаточно показать фундаментальность $\{x_n\}_{n = 1}^\infty$. А это просто, ибо верно неравенство $\rho(x_{n + p}, x_n) \le r_n$. Осталось воспользоваться условием, что $r_n \to 0$, и фундаментальность тривиально установлена. Обозначим $x := \lim_{n \to \infty} x_n$. Если мы снова посмотрим на оценку выше и устремим $p$ в бесконечность (в силу сходимости это уже можно), то получится замечательный факт:
 	\[
 		\forall n \in \N\ \ \rho(x, x_n) \le r_n \Lra x \in \ole{B}_n(x_n, r_n)
 	\]
 	Осталось показать, что $x$ --- единственная точка пересечения шаров. Действительно, если есть отличная $y$, то $\rho(x, y) > 0$, а тогда мы знаем, что начиная с некоторого номера все шары находятся в сколь угодно малой окрестности $x$, отсюда противоречие с $y$.
 \end{proof}
 
+\begin{note}
+	Все условия теоремы существенны:
+	\begin{itemize}
+		\item При отсутствии замкнутости существует такое равенство: $\bigcap_{n = 1}^\infty \ps{0; \frac{1}{n}} = \emptyset$
+
+		\item При отсутствии вложенности совсем тривиально, что пересечение может быть пустым
+
+		\item Если радиусы шаров не стремятся к нулю, то можно рассмотреть $X = \N$ с такой метрикой:
+		\[
+			\rho(m, n) = \System{
+				&{1 + \frac{1}{m + n},\ m \neq n}
+				\\
+				&{0,\ m = n}
+			}
+		\]
+		Тогда последовательность шаров $\ole{B}\ps{1 + \frac{1}{2n}}$ является искомым контрпримером
+	\end{itemize}
+\end{note}
+
+\begin{note}
+	Принцип вложенных шаров является критерием полноты метрического пространства. Доказываться этот факт не будет.
+\end{note}
+
+\begin{proposition}
+	Следующие свойства эквивалентны:
+	\begin{itemize}
+		\item $M \subseteq X$ --- нигде не плотное множество
+
+		\item $\forall B(x)\ \exists B(y) \subseteq B(x) \such B(y) \cap M = \emptyset$
+
+		\item $\forall G\ \exists G_1 \subseteq G \such M \cap G_1 = \emptyset$
+	\end{itemize}
+\end{proposition}
+
 \begin{theorem} (Бэра)
 	Пусть $(X, \rho)$ --- полное метрическое пространство. Тогда $X$ нельзя представить в виде $\bigcup_{n = 1}^\infty M_n$, где $M_n$ --- нигде не плотное множество
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Предположим противное. Тогда $X = \bigcup_{n = 1}^\infty M_n$, где $M_n$ --- нигде не плотное множество 
+	Предположим противное. Тогда $X = \bigcup_{n = 1}^\infty M_n$, где $M_n$ --- нигде не плотное множество. Дальнейшая идея состоит в том, чтобы воспользоваться принципом вложенных шаров и найти точку, которая не будет принадлежать ни одному $M_n$ (а должна, как точка $X$). Итак, найдём наши шары:
+	\begin{enumerate}
+		\item Рассмотрим $x_1 \in X$ и шар, скажем, $B(x_1, 1)$. Так как $M_1$ нигде не плотно, то должен найтись шар $B(X_1, r_1) \subseteq B(x_1, 1)$ такой, что $B(x_1, r) \cap M_1 = \emptyset$ (это тривиально следует из определения, ведь иначе $\cl M_1 \supseteq B(x_1, 1)$). В этом шаре мы можем выбрать замкнутый шар $\ole{B}(x_1, r_1) \subseteq B(x_1, r)$, который послужит отправной точкой
+
+		\item Для нахождения следующего замкнутого шара, рассмотрим произвольный шар \\ $B(x_k, r) \subset \ole{B}(x_{k - 1}, r_{k - 1})$ и повторим процедуру выше для него.
+	\end{enumerate}
+	Итак, мы получили последовательность вложенных замкнутых шаров. В силу полноты метрического пространства, их пересечение соответствует ровно одной точке $x \in \bigcap_{k = 1}^\infty B(x_k, r_k)$. Осталось формально увидеть 2 уже оговоренных факта:
+	\begin{itemize}
+		\item $x \in X \Ra \exists k_0 \in \N \such x \in M_{k_0}$
+
+		\item $x \in \bigcap_{k = 1}^\infty \ole{B}(x_k, r_k) \wedge \big(\forall k \in \N\ \ole{B}(x_k, r_k) \cap M_k\big) = \emptyset \Lora \forall k \in \N\ x \notin M_k$
+	\end{itemize}
+	Достигнуто явное противоречие.
 \end{proof}
 
-\begin{example}
-	Покажем пространство, где можно применить теорему Бэра. Пространство $C[0; 1]$ --- это полное метрическое пространство, а $M \subset C[0; 1]$ --- это множество всех неперрывных функций, у которых хотя бы в одной точке есть хотя бы одна односторонняя производная
+\begin{example} (из книги К. Иосида <<Функциональный Анализ>>, 1967г.)
+	Покажем пространство, где можно применить теорему Бэра. Пространство $C[0; 1]$ --- это полное метрическое пространство, а $M \subset C[0; 1]$ --- это множество всех непрерывных функций, у которых хотя бы в одной точке есть хотя бы одна односторонняя производная. Несложно показать, что $M$ представимо в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. Это интуитивно означает, что даже таких функций невероятно мало.
 \end{example}