Added more fixes

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/13lecture.tex

@@ -213,7 +213,7 @@ \section{Сходимости случайных векторов}
 \begin{proof}~
     \begin{enumerate}
         \item С учётом упражнения достаточно доказать в одномерном случае, а это уже делали.
-        \item Доказательство в точности повторяет доказательство одномерного случая, в виду того, что оно достаточно громоздкое, не будем проделывать ещё раз.
+        \item Доказательство в точности повторяет доказательство одномерного случая. В виду того, что оно достаточно громоздкое, не будем проделывать ещё раз.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 

Lectures/4_Semester/Probability_Theory/2023_Shabanov/lectures/14lecture.tex

@@ -108,7 +108,7 @@ \section{Многомерное нормальное распределение}
         	\\
         	&{\forall k \in \range{m + 1}{n}\ \ \phi_{\xi'_k}(t_k) = 1 \Ra \xi'_k \sim Const(0) \Ra \xi'_k = 0 \text{ $P$-почти наверное}}
         \end{align*}
-        Причём мы параллельно получили, что $\phi_{\xi'}(t) = \prod_{k = 1}^n \phi_{\xi'_k}(t_k)$, а тогда по теореме о единственности и критерию независимости в терминах харфункций компоненты $\{\xi'_k\}_{k = 1}^n$ случайного вектора $\xi'$ независимы и имеют в точности такое распределение, как указано выше. Введём для первых $m$ координат $\xi'$ отнормированные величины $\eta_k = \xi'_k / \sqrt{d_k}$, для которых верно, что $\eta_k \sim N(0, 1)$. Обозначим $\eta = (\eta_1, \ldots, \eta_m)^T$. Тогда, мы можем выразить $\xi'$ через $\eta$ в матричнлм виде:
+        Причём мы параллельно получили, что $\phi_{\xi'}(t) = \prod_{k = 1}^n \phi_{\xi'_k}(t_k)$, а тогда по теореме о единственности и критерию независимости в терминах харфункций компоненты $\{\xi'_k\}_{k = 1}^n$ случайного вектора $\xi'$ независимы и имеют в точности такое распределение, как указано выше. Введём для первых $m$ координат $\xi'$ отнормированные величины $\eta_k = \xi'_k / \sqrt{d_k}$, для которых верно, что $\eta_k \sim N(0, 1)$. Обозначим $\eta = (\eta_1, \ldots, \eta_m)^T$. Тогда, мы можем выразить $\xi'$ через $\eta$ в матричном виде:
         \[
             \xi' \stackrel{P\text{ п.н.}}{=}
             \begin{pmatrix}
@@ -141,7 +141,7 @@ \section{Многомерное нормальное распределение}
             \\
             & \sigma_\tau^2 = D \tbr{\tau, \xi} = \E (\tbr{\tau, \xi} - \E \tbr{\tau, \xi})^2 = \E (\tbr{\tau, \xi} - \tbr{\tau, \E\xi})^2 = \E (\tbr{\tau, \xi - \E\xi})^2 =
             \\
-            & = \E\sum_{i, j = 1}^{n} \tau_i \tau_j (\xi_i - \E\xi_i) (\xi_j - \E\xi_j) = \sum_{i, j = 1}^{n} \tau_i \tau_j cov(\xi_i, \xi_j) = \tbr{D\xi \cdot \tau, \tau}
+            & = \E\sum_{i, j = 1}^{n} \tau_i \tau_j (\xi_i - \E\xi_i) (\xi_j - \E\xi_j) = \sum_{i, j = 1}^{n} \tau_i \tau_j \cov(\xi_i, \xi_j) = \tbr{D\xi \cdot \tau, \tau}
         \end{align*}
 
         Обозначим $a = \E\xi,\ \Sigma = D\xi$. Заметим, что $\phi_\xi(\tau) = \E e^{i \tbr{\xi, \tau}} = \phi_{\tbr{\tau, \xi}}(1)$. При этом $\tbr{\tau, \xi}$ нормально распределено, знаем математическое ожидание и дисперсию, тогда:
@@ -282,18 +282,27 @@ \section{Условное математическое ожидание}
 \end{note}
 
 \begin{theorem} (Теорема о существовании и единственности УМО, без доказательства)
-    Пусть $\xi$ --- случайная величина в вероятностном пространстве $(\Omega, \F, P)$. Если $\E|\xi| < +\infty$ (или, что то же самое, $\E\xi \neq \infty$), то для любой $\cC \subseteq \F$ --- $\sigma$-подалгебры --- условное математическое ожидание $\E(\xi | \cC)$ существует и единственно с точностью до равенства $P$-почти наверное.
+    Пусть $\xi$ --- случайная величина в вероятностном пространстве $(\Omega, \F, P)$. Если $\E|\xi| < +\infty$ (эквивалентно $\E\xi \neq \infty$), то для любой $\sigma$-подалгебры $\cC \subseteq \F$ условное математическое ожидание $\E(\xi | \cC)$ существует и единственно с точностью до равенства $P$-почти наверное.
 \end{theorem}
 
 \begin{note}
     Доказательство этого факта опирается на теорему Радона-Никодима.
 \end{note}
 
 \begin{lemma} (Дискретный случай УМО)
-    Пусть $\xi$ --- случайная величина на пространстве $(\Omega, \F, P)$, $\sigma$-алгебра $\cC \subseteq \F$ порождена не более, чем счётным разбиением $\{D_n\}_{n = 1}^\infty$ множества $\Omega$, то есть $\Omega = \bscup_{n = 1}^{\infty} D_n$. Пусть также $\E|\xi| < +\infty$. Тогда
-    \[
-        \forall \omega \in \Omega\ \ \E(\xi | \cC)(\omega) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\E(\xi \chi_{D_n})}{P(D_n)} \chi_{D_n}(\omega)
-    \]
+	Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega, \F, P)$, случайную величину $\xi$ на нём и $\sigma$-подалгебру $\cC \subseteq \F$. Если выполнены условия:
+	\begin{itemize}
+		\item $\cC$ порождена не более, чем счётным разбиением $\{D_n\}_{n = 1}^\infty$ множества $D$, то есть:
+		\[
+			\cC = \sigma(\{D_n\}_{n = 1}^\infty);\quad \Omega = \bscup_{n = 1}^\infty D_n
+		\]
+
+		\item $\E |\xi| < \infty$
+	\end{itemize}
+	Тогда верна следующая формула для $\E(\xi|\cC)$:
+	\[
+		\forall \omega \in \Omega \E(\xi|\cC)(\omega) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\E(\xi\chi_{D_n})}{P(D_n)} \chi_{D_n}(\omega)
+	\]
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
@@ -303,9 +312,16 @@ \section{Условное математическое ожидание}
     \]
     подходит под определение УМО, нужно проверить два свойства:
     \begin{enumerate}
-        \item (Измеримость) $\forall n \in \N \ \ D_n \in \cC$, то есть каждый индикатор $\chi_{D_n}$ $\cC$-измерим. Переходя сначала к конечным суммам, а затем к пределу, получим, что случайная величина $\eta$ $\cC$-измерима.
+        \item (Измеримость) Сделать это проще всего в духе построения интеграла Лебега:
+        \begin{enumerate}
+        	\item $\forall n \in \N\ D_n \in \cC$, то есть каждый индикатор $\chi_{D_n}$ точно $\cC$-измерим
+
+        	\item Если функция является конечной линейной комбинацией индикаторов $\chi_{D_n}$, то по свойствам измеримости такая функция тоже $\cC$-измерима.
+
+        	\item $\eta$ есть предел своих префиксных сумм, каждая из которых измерима. В пределе измеримость наследуется.
+        \end{enumerate}
 
-        \item (Интегральное свойство) Нужно проверить свойство для множеств $A \in \cC$. Рассмотрим случаи:
+        \item (Интегральное свойство) Разберём случаи для $A \in \cC$:
         \begin{enumerate}
         	\item $A = D_k,\ k \in \N$. Для таких множеств можно сказать следующее:
         	\begin{multline*}
@@ -329,4 +345,8 @@ \section{Условное математическое ожидание}
     \textcolor{red}{Здесь нужна картинка с лекции или что-то похожее}
 
     Это видно по дискретному случаю УМО: на каждом множестве $D_n$ мы заменяем функцию $\xi$ на $const$, равную среднему значению $\xi$ на этом множестве.
-\end{note}
+\end{note}
+
+\begin{anote}
+	Мне довелось столкнуться ещё с такой интуицией: $\xi$, как наблюдатель за исходами $\omega \in \Omega$, различает их все. Когда же мы переходим к $\E(\xi|\cC)$, то новый наблюдатель <<слепнет>>: он не различает те $\omega$, что лежат в одном $D_n$, поэтому для оценки значения использует усреднение.
+\end{anote}