Update lecture 3, theorem 4.2.

Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex

@@ -32,20 +32,22 @@ \section{Интегрирование}
 
 {\color{red} Сказать, что такое минус кривая: это обход её в другом направлении, разворот параметризации; возможно, у нас на лекции кривые ориентированные были, в отношении эквивалентности должны быть неубывающие непрерывные. Определялось ли на матане это -- не знаю. }.
 
-Пусть $D$ -- область в $\Cm$; $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой $\gamma$, $\gamma \in \Cm$ (прим. автора: подразумевается, что образ кривой лежит в области; кривую считаем в том числе и множеством точек); $f: D \to \Cm$, $f$ непрерывна в $D$, $f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ для любых $x, y \in \R$.
+Пусть $D$ -- область в $\Cm$; $w: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $w$ -- параметризация кривой $\gamma$, $\gamma \in \Cm$ (прим. автора: подразумевается, что образ кривой лежит в области; кривую считаем в том числе и множеством точек); $f: D \to \Cm$, $f$ непрерывна в $D$, $f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ для любых $x, y \in \R$.
 
 Возьмём разбиение $P = (t_0, \ldots, t_n)$ отрезка $[\alpha, \beta]$ (прим. автора: разбиение определяли на матане, во втором семестре; $t_0 = \alpha$, $t_n = \beta$, $\jleft( \forall k \in \ol{1, n} \jright) \,\, t_{k - 1} < t_k$; в разбиении скобочки, потому что порядок точек важен). Рассмотрим интегральную сумму.
 \[
 	\begin{aligned}
-		S(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \underbrace{\jleft( z(t_k) - z(t_{k - 1}) \jright)}_{\Delta x_k + i \Delta y_k} = \\
-		& && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta x_k - v(z(t_k)) \Delta y_k \jright] + \\
-		& i && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta y_k + v(z(t_k)) \Delta x_k \jright].
+		S(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(w(t_k))}_{(u+iv)(w(t_k))} \underbrace{\jleft( w(t_k) - w(t_{k - 1}) \jright)}_{\Delta x_k + i \Delta y_k} = \\
+		& && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(w(t_k)) \Delta x_k - v(w(t_k)) \Delta y_k \jright] + \\
+		& i && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(w(t_k)) \Delta y_k + v(w(t_k)) \Delta x_k \jright].
 	\end{aligned}
 \]
 (Прим. автора: по ходу дела ввели приращения параметризации по $x$ и по $y$, вещественной и мнимой частям.) Устремим к нулю мелкость дробления $\Delta P$, получим интеграл по кривой.
 
-\begin{definition}[интеграл от функции по кривой]
-	Интегралом от функции $f$ по кривой $\gamma$ называется $\int_\gamma f(z) dz = \lim_{\Delta(P) \to 0} S(f, P)$.
+\begin{definition}
+	\it{Интегралом от функции $f$ по кривой $\gamma$} называется \[
+		\int_\gamma f(z) dz = \lim_{\Delta(P) \to 0} S(f, P).
+	\]
 \end{definition}
 \begin{note}
 	При выполнении предположений выше, интеграл всегда существует и
@@ -60,8 +62,8 @@ \section{Интегрирование}
 Рассмотрим ещё другую сумму, теперь домножаем на модуль приращения параметризации.
 \[
 	\begin{aligned}
-		S'(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{ z(t_k) - z(t_{k - 1})}\\
-		= & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{\Delta z(t_k)}.
+		S'(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(w(t_k))}_{(u+iv)(w(t_k))} \mds{ w(t_k) - w(t_{k - 1})}\\
+		= & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(w(t_k))}_{(u+iv)(w(t_k))} \mds{\Delta w(t_k)}.
 	\end{aligned}
 \]
 При $\Delta P$ стремящемуся к нулю $S'(f, P)$ стремится к интегралу $\int_\gamma f(z) \mds{dz}$:
@@ -73,11 +75,11 @@ \section{Интегрирование}
 \begin{anote}
 	Комбинируя всё вместе, получим:
 	\[
-		\int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\alpha^\beta f(z) \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt.
+		\int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\alpha^\beta f(z(t)) \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt.
 	\]
 \end{anote}
 
-{\color{red} Вот бы примеры вычисления сюда от себя добавить, но это как-нибудь потом.}
+{\color{red} Вот бы примеры вычисления сюда от себя добавить, но это как-нибудь потом. Проверить, по определению интеграла комплекснозначной функции из матана этот интеграл можно брать отдельно по вещественной и мнимой частям, а потом собирать исходный.}
 
 \begin{note}
 	Длину кривой можно вычислить так (обозначение $\mds{\gamma}$ от автора, не с лекции):
@@ -96,3 +98,81 @@ \section{Интегрирование}
 	\end{enumerate}
 \end{theorem}
 
+\begin{definition}
+	Пусть $D$ -- область в $\Cm$, $f$ непрерывна в $D$, $F: D \to \Cm$; $F$ называется \it{первообразной} $f$, если $F$ голоморфна в $D$ и $(\forall z \in D) \,\, F'(z) = f(z)$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Выражение $f(z) dz$ называется \it{полным дифференциалом в области $G$}, если у $f$ существует первообразная (т.е. $f(z) dz = dF$, условно).
+\end{definition}
+\begin{anote}
+	Если считать $f(z) dz$ дифференциальной формой, должно быть не условно, а даже формально верно.
+\end{anote}
+
+\begin{theorem}
+	Если $D$ -- область, $f$ непрерывна в $D$, тогда:
+	\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+		\item если $f(z) dz$ -- полный дифференциал в области $D$, тогда для любой замкнутой кривой $\gamma \subset D$
+		\[
+			\int_\gamma f(z) dz = 0;
+		\]
+		\item если для любой замкнутой ломаной $\gamma \subset D$ $\int_\gamma f(z) dz = 0$, тогда $f(z) dz$ -- полный дифференциал.
+	\end{enumerate}`
+\end{theorem}
+\begin{proof} \hfil
+	\begin{enumerate}
+		\item $f(z) dz$ -- полный дифференциал значит то, что у $f$ есть первообразная. Возьмём произвольную кривую $\gamma$, $w: [\alpha, \beta] \to \Cm$ -- её параметризация.
+			\begin{align*}
+				\int_\gamma f(z) dz = \int_\alpha^\beta f(w(t)) w'(t) dt = \int_\alpha^\beta F'(w(t)) w'(t) dt.
+			\end{align*}
+		Видим производную <<сложной>> функции $F(w(t))$. Знаем первообразную подынтегральной, воспользуемся ещё и замкнутостью кривой: $z(\alpha) = z(\beta)$. (Верно для любой параметризации, если верно для одной; упражнение, его решение можете присылать мне :).)
+		\begin{align*}
+			\int_\gamma f(z) dz = & \int_\alpha^\beta F'(w(t)) w'(t) dt = F(w(t)) \mid_\alpha^\beta = F(w(\alpha)) - F(w(\beta)) = \\
+			& F(w(\alpha)) - F(w(\alpha)) = 0.
+		\end{align*}
+
+		\item Зафиксируем точку $a \in D$. Мы будем её использовать как начальную точку ломаных. Для произвольной точки $z \in D$ обозначим $\gamma_{a, z}$ -- некоторая ломаная с началом в $a$ и концом в $z$. Ломаная есть, поскольку область -- связное множество {\color{red} (прим. автора: связность же не обязательно влечет линейную связность (когда между двумя точками можно провести кривую), тем более связность с помощью ломаной; если удастся прояснить этот вопрос, сделать замечание автора об этом.)}. Введем интеграл по ломаной для произвольного конца:
+		\[
+			F(z) = \int_{\gamma_{a,z}} f(z) dz.
+		\]
+		Хотим сказать, что $(\forall z \in \Cm) \,\, F'(z) = f(z)$. Возьмём произвольную $z_0 \in \Cm$. Можем сказать, что $(\exists \epsilon > 0) \,\, B_r(z_0) \subseteq G$ (прим. автора: область -- открытое множество ($D$ -- область), это значит, любая точка внутренняя, в том числе $z_0$, т.е. содержится с некоторой своей окрестностью). Рассмотрим $\Delta z: 0 < \mds{\Delta z} < r$, тогда $z_0 + \Delta z \in D$ (прим. автора: всё ещё в окрестности, специально так брали $\Delta z$),
+		\[
+			F(z_0 + \Delta z) = \int_{\gamma_{a,z_0 + \Delta z}} f(z) dz = \int_{\gamma_{a, z_0} \cup [z_0, z_0 + \Delta z]} f(z) dz.
+		\]
+		Как $\gamma_{a, z_0} \cup [z_0, z_0 + \Delta z]$ обозначаем ломаную $\gamma_{a, z_0}$ к которой добавили ещё и звено $[z_0, z_0 + \Delta z]$, являющееся отрезком на комплексной плоскости. (Прим. автора: здесь используем то, что интеграл по $\gamma_{a, z}$ не зависит от того, какую ломаную из $a$ в $z$ брать; $\gamma_{a, z}$ была ``некоторой'' ломаной, не обязательно $\gamma_{a, z_0} \cup [z_0, z_0 + \Delta z]$.)
+		Тогда
+		\[
+			\begin{aligned}
+				F(z_0 + \Delta z) - F(z_0) & = & \int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} f(z) dz, \\
+				\frac{F(z_0 + \Delta z) - F(z_0)}{\Delta z} & = \frac{1}{\Delta z} & \int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} f(z) dz.
+			\end{aligned}
+		\]
+		Прим. автора: воспользовались аддитивностью интеграла по кривой.
+		Хотим подогнать под определение предела, осталось немного: вычесть $f(z_0)$.
+		\[
+			\int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} f(z_0) dz = f(z_0) \int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} 1 dz = f(z_0) \Delta z.
+		\]
+		Прим. автора: здесь воспользовались линейностью интеграла по кривой, интеграл единицы для нашего отрезка равен его длине: пусть $w_1: [\alpha_1, \beta_1] \to D$ -- параметризация отрезка $[z_0, z_0 + \Delta z]$, тогда для интеграла от единицы по отрезку в интегральных суммах получится $w_1(\beta_1) - w_1(\alpha_1)$ (независимо от разбиения), а это $z_0 + \Delta z - z_0 = \Delta z$.
+		Тогда
+		\[
+			\begin{aligned}
+				\frac{F(z_0 + \Delta z) - F(z_0)}{\Delta z} - f(z_0) = \frac{1}{\Delta z} & \int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} (f(z) - f(z_0)) dz.
+			\end{aligned}
+		\]
+		Функция $f$ непрерывна в области $D$, потому непрерывна в точке $z_0$, т.е.
+		\[
+			(\forall \epsilon > 0) (\exists \delta_1(\epsilon) > 0) \jleft( \forall \Delta z \in \Cm: \mds{\Delta z} < \delta_1(\epsilon) \jright) \,\, \mds{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)} < \epsilon.
+		\]
+		Хотим получить определение производной $F$ в точке $z_0$ (показать, что она равна $f(z_0)$):
+		\[
+			(\forall \epsilon > 0) (\exists \delta_2 > 0) \jleft( \forall \Delta z \in \Cm: \mds{\Delta z} < \delta_2 \jright) \,\, \mds{\frac{F(z_0 + \Delta z) - F(z_0)}{\Delta z} - f(z_0)} < \epsilon.
+		\]
+		Рассмотрим произвольное $\varepsilon > 0$. Возьмём $\delta_2 = \min \{ \delta_1(\epsilon), r \}$.
+		\[
+			\begin{aligned}
+				\mds{\frac{F(z_0 + \Delta z) - F(z_0)}{\Delta z} - f(z_0)} = & \frac{1}{\mds{\Delta z}} \mds{\int_{[z_0, z_0 + \Delta z]} (f(z) - f(z_0)) dz} && \leq \\
+				& \frac{1}{\mds{\Delta z}} \max_{p \in [z_0, z_0 + \Delta z]} \mds{f(p) - f(z_0)} \mds{\Delta z} && < \epsilon.
+			\end{aligned}
+		\]
+	\end{enumerate}
+\end{proof}