Close to finish 2nd lecture.

Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex

@@ -186,7 +186,7 @@ \section{Дифференцируемость в $\Cm$}
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
-	Пусть $D \subset \ol \Cm$; $D$ называется областью, если открыто и связно в $\ol \Cm$.
+	Пусть $D \subset \ol \Cm$; $D$ называется \it{областью}, если открыто и связно в $\ol \Cm$.
 \end{proposition}
 
 \begin{theorem}
@@ -196,6 +196,17 @@ \section{Дифференцируемость в $\Cm$}
 	Будет.
 \end{proof}
 
+\begin{definition}
+	Пусть $D$ -- область в $\ol \Cm$; $D$ называется \it{односвязной}, если $\ol \Cm \setminus D$ связно.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Если $D$ -- область, $f$ голоморфна в $D$, $(\forall z \in D) \,\, f'(z) = 0$, тогда $f$ -- константа на $D$: $(\exists C \in \Cm) \, (\forall z \in D) \,\, f(z) = C$.
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+	Будет.
+\end{proof}
+
 \begin{theorem}[об обратных функциях]
 	Если $D$ -- область, $f$ голоморфна в $D$, $f'$ непрерывна в $D$, $z_0 \in D$, $f'(z_0) \neq 0$, $f(z_0) = w_0$, тогда существуют окрестность $U$ точки $z_0$ и окрестность $V$ точки $w_0$ такие, что
 	\begin{enumerate}
@@ -206,4 +217,73 @@ \section{Дифференцируемость в $\Cm$}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 	Будет.
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+{\color{red} Конспект переходит в режим <<дословно с доски>>, пока нет времени привести в вид, который я бы назвал идеалом, мой личный стандарт.} % TODO: как только буду приводить в нормальный вид, сдвигать эту плашку ниже и ниже.
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ голоморфна в области $D$; $f$ \it{однолистна} в $D$, если $f(z_1) = f(z_2) \Ra z_1 = z_2 \,\, (\forall z_1, z_2 \in D)$. % TODO: переписать на кванторы, скзаать, что можно просто запомнить, что это голоморфная и ограничение на $D$ инъективно
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f$ голоморфна в области $D$; $f$ \it{локально однолистна} в $D$, если $(\forall z_0 \in D) \, (\exists O(z_0)) \,\, f \text{ однолистна в $O(z_0)$}$ . % TODO: здесь сказать, что существует радиус, а текстом сказать, у каждой точки есть окрестность, в которой функция однолистна.
+\end{definition}
+
+\begin{note}
+	Если $f$ голоморфна в $D$, $f'$ непрерывна в $D$, $(\forall z \in D) \,\, f(z) \ne 0$, то $f$ локально однолистна в $D$.
+\end{note}
+
+\begin{example}
+	$f(z) = z^2$, $D = \{ 1 < \mds z < 2 \}$. $f(z)$ локально однолистна, но не однолистна ($z = \pm \frac{3}{2}$).
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f, f_n: E \to \Cm$, $E \subseteq \Cm$; $f_n \to f$ (сходится поточечно) на $E$, если $(\forall z \in E) \, (\forall \epsilon > 0) \, (\exists N) \, (\forall n \geq N) \,\, \mds{f_n(z) - f(z)} < \epsilon$. %TODO: сделать определение понятия нормальное, обозначение в скобки, указать, из каких множеств берутся элементы в кванторах.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Пусть $f, f_n: E \to \Cm$, $E \subseteq \Cm$; $f_n \rightrightarrows f$ (сходится равномерно) на $E$, если $(\forall \epsilon > 0) \, (\exists N) \, (\forall n \geq N) \, (\forall z \in E) \,\, \mds{f_n(z) - f(z)} < \epsilon$. %TODO: сделать определение понятия нормальное, обозначение в скобки, указать, из каких множеств берутся элементы в кванторах. Сказать, что все отличие в том, что квантор для любой точки стоит последним.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[критерий Коши] % TODO: критерий Коши равномерной сходимости
+	$f_n \overset{E}{\tto} f \Leftrightarrow (\forall \epsilon > 0) \, (\exists N) \, (\forall n, m > N) \, (\forall z \in D) \,\, \mds{f_n(z) - f_m(z)} < \epsilon$.
+\end{theorem}
+%TODO: спросить, почему мы многое не доказываем. Потому что это доказывается аналогично вещественному случаю? Если подтвердиться, написать это в конспекте.
+
+\begin{definition}
+	Ряд $\sum_{n = 1}^\infty g_n(z)$ сходится $\Lra$ последовательность $\sum_{n = 1}^N g_n(z)$ сходится. % Сказать, что сходится поточечно; сделать аналогичное определение для сходимости равномерно.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Ряд $\sum_{n = 1}^\infty g_n(z)$ сходится абсолютно $\Lra$ последовательность $\sum_{n = 1}^N \mds{g_n(z)}$ сходится. % Сказать, что сходится поточечно; сделать аналогичное определение для сходимости равномерно.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[признак Вейерштрасса]
+	Пусть $\mds{g_n(z)} < \alpha_n \,\, (\forall z \in E)$, $\sum_{n = 1}^\infty \alpha_n < \infty$ (ряд вещественных чисел сходится), тогда $\sum_{n = 1}^\infty g_n(z)$ сходится абсолютно и равномерно на $E$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proposition}
+	$\sum_{n = 0}^N z_n = 1 + z + \ldots + z^N = \frac{1 - z^{N + 1}}{1 - z}$; при $\mds{z} < 1$ $\sum_{n = 0}^\infty z^n = \frac{1}{1 - z}$. % запомнить формулу геометрической прогрессии просто, в числителе возводим частное прогресси q в степень количества членов, вычитаем 1, делим на q - 1 (тут просто домножили на $-1$).
+\end{proposition}
+
+\section{Степенные ряды и элементарные функции}
+
+\begin{definition}
+	Степенным рядом в точке $z_0$ называется ряд $\sum_{n = 0}^\infty a_n {(z - z_0)}^n$, $a_n \in \Cm$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Пусть $\ol{\ulim{n \to \infty}} \sqrt{\mds{a_n}} = \frac{1}{R}$, $R \in [0, +\infty]$, $a_n z^n$ -- степенной ряд, тогда
+	\begin{enumerate}
+		\item $\mds z \leq r < R \Ra$ ряд сходится равномерно и абсолютно % на $O_r(0)$.
+		\item $\mds z > R$ -- ряд расходится.
+		\item $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_n z^n$ при $\mds z < R$, $f(z)$ голоморфна и $f'(z) = \sum_{n = 0}^\infty n a_n z^{n - 1}$.
+	\end{enumerate}
+	% перейти к произвольному ряду можно с помощью замены переменных, тогда в неравенствах из условия теоремы тоже нужно сделать замену. Попытаться наглядно объяснить.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}
+		\item Пусть $\rho \in (r, R), \frac{1}{R} < \frac{1}{\rho} < \frac{1}{r}$. Тогда $(\exists N) \, (\forall n > N) \, {\mds{a_n}}^{\frac{1}{n}} < \frac{1}{\rho}$. $\mds{a_n z^n} \leq \frac{1}{\rho^n} r^n$ при $\mds z \leq r$. По признаку Вейерштрасса (ряд $\sum q^n$ сходится при $q < 1$), ряд $\sum_{n = 0}^\infty a_m z^n$ сходится абсолютно и равномерно. % \rho = \mds z, \rho \in [r, R] по условию. Все ли работает в этом случае? Если да, включить r. Объяснить переход от верхнего предела в неравенству на модуль.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}

Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/preamble/preamble.tex

@@ -65,6 +65,8 @@
 \newcommand{\jleft}[1]{\mathopen{}\left#1}
 \newcommand{\jright}[1]{\right#1\mathclose{}}
 
+\let\tto\rightrightarrows
+
 \let\ol\overline
 \newcommand{\mds}[1]{\jleft\lvert#1\jright\rvert} % Комплексный модуль (complex modulus)