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sigma函数

docs/chapter1/chapter1.md

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 此时有$y=\nabla f(x)$，得证。
 
-##  σ-代数
 
-## 15. 鞅
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+##  15. σ-代数
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+σ-代数（或者σ-域）是数学中测度论和概率论的一个重要概念。σ-代数是一个满足特定封闭性质的集合族，使得我们能够对这些集合定义一致的测度（例如概率）。
+具体来说，σ-代数是一个集合族，满足以下三个性质：
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+1. **包含全集**：如果 $\mathcal{F}$ 是一个 σ-代数，定义在集合 $X$ 上，那么 $X$ 本身属于 $\mathcal{F}$，即 $X \in \mathcal{F}$。
+2. **对补集封闭**：如果 $A$ 是 $\mathcal{F}$ 中的一个集合，那么它的补集 $X \setminus A$ 也属于 $\mathcal{F}$，即 $A \in \mathcal{F} \implies X \setminus A \in \mathcal{F}$。
+3. **对可数并封闭**：如果 $A_1, A_2, A_3, \ldots$ 是 $\mathcal{F}$ 中的集合，那么它们的可数并集 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 也属于 $\mathcal{F}$，即 $A_i \in \mathcal{F}$ 对所有 $i \in \mathbb{N}$，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$。
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+σ-代数的概念在测度论中尤为重要，因为它为定义测度（measure）提供了必要的框架。一个测度是定义在 σ-代数上的集合函数，用于度量集合的“大小”。
+在概率论中，σ-代数用于定义事件空间，从而定义概率测度。
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+### 过滤
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+σ-代数 $\mathcal{F}$ 是一个固定的集合族，满足特定的封闭性质，表示我们在某一时刻可以知道的所有信息。
+而过滤（filtration）则是关于如何随着时间推移而观察信息的一个概念，通常与随机过程（stochastic processes）有关。
+具体来说，过滤是一个按时间参数索引的 σ-代数序列 $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$，表示随时间变化的可观测事件的集合，并满足以下性质：
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+1. **每个 $\mathcal{F}_t$ 是一个 σ-代数**：对于每个时刻 $t$，$\mathcal{F}_t$ 是定义在某个固定集合 $X$ 上的一个 σ-代数。
+2. **单调性**：对于任意的 $t_1 \leq t_2$，有 $\mathcal{F}_{t_1} \subseteq \mathcal{F}_{t_2}$。这意味着随着时间的推移，所包含的信息只会增加，不会减少。
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+## 16. 鞅
 
 鞅（Martingale）是概率论中的一个重要概念，用于描述某些类型的随机过程。鞅过程的特点是，它的未来期望值在已知当前信息的条件下等于当前值。
 
@@ -1447,9 +1470,9 @@ $$
 设 $\{X_t\}$ 是一个随机过程，$\{\mathcal{F}_t\}$ 是一个随时间 $t$ 变化的过滤（即包含随时间增加的所有信息的 σ-代数的序列）。
 当这个随机过程 $\{X_t\}$ 是鞅时，必须满足以下条件：
 
-1. 适应性（Adaptedness）：对于每一个 $t$，$X_t$ 是 $\mathcal{F}_t$-可测的（即 $X_t$ 的值在时间 $t$ 时刻是已知信息的函数）。
-2. 积分性（Integrability）：对于所有 $t$，$E[|X_t|] < \infty$。
-3. 鞅性质（Martingale Property）：对于所有 $t$ 和 $s \geq t$，有$E[X_s | \mathcal{F}_t] = X_t$。这意味着在已知当前时刻 $t$ 的信息 $\mathcal{F}_t$ 条件下，未来某个时刻 $s$ 的期望值等于当前时刻 $t$ 的值。
+1. **适应性（Adaptedness）**：对于每一个 $t$，$X_t$ 是 $\mathcal{F}_t$-可测的（即 $X_t$ 的值在时间 $t$ 时刻是已知信息的函数）。
+2. **积分性（Integrability）**：对于所有 $t$，$E[|X_t|] < \infty$。
+3. **鞅性质（Martingale Property）**：对于所有 $t$ 和 $s \geq t$，有$E[X_s | \mathcal{F}_t] = X_t$。这意味着在已知当前时刻 $t$ 的信息 $\mathcal{F}_t$ 条件下，未来某个时刻 $s$ 的期望值等于当前时刻 $t$ 的值。
 
 ### 直观解释
 鞅的定义保证了在已知当前信息的条件下，未来值的期望等于当前值，这反映了一种“无偏性”。因此，鞅过程可以被看作是一种“公平游戏”。设想一个赌徒在一个赌场中进行赌博，如果这个赌徒的资金变化形成一个鞅过程，那么在任何时刻，给定当前的资金情况，未来资金的期望值都是当前的资金，这表示没有系统性的赢或输的趋势。